利用向量解决空间角问题

利用向量解决空间角问题

一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。

二、学情分析

学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。

三、教学目标

知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。

认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。

能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。

情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.

教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；

2）空间角与向量夹角的区别和联系。

教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；

2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.

关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.

四、课型及课时安排

课型：高三首轮复习专题课课时：一节课

五、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价

六、教学手段：借助多媒体辅助教学

七、教学过程：

教师教学活动

学生参与活动

设计意图 前面我们学习了立几中的空间角问题，请问空间角包括几种类型？求解的方法有几步？ 两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角的平面角。 分三步：作——证——求

复习空间角概念及求法为新课做准备 讲评作业：

(1) 求二面角M-BC-D 的平面角的正

切值；

(2) 求CN 与平面ABCD 所成角的正切

值； (3) 求CN 与BD 所成角的余弦值； (4) 求平面SBC 与SDC 所成角的正弦

值 1、学生求解（略）

2、方法归纳：求空间角的主要方法是

通过平移转化法作出所成角,然后利用

三角形边角关系求解

以简单的练习题回顾空间角的三种类型

在解题方法上注重引导学生并通过问题让学生对所用知识有个较为详细的回顾，基于时间的问题板演省略 提出问题：如何用空间向量来求解空间角？

多媒体演示两异面直线夹角与向量夹角的区别和联系，得出结论：

分别在直线n m ,上取定向量,

,b a

则异面直线n m ,所成的角θ等于向

量b a ,所

成的角或其补角（如图1

所示），则.|

||||

|cos b a b a

⋅⋅=θ

教师板演：

（板演过程间后面附页）

通过讨论、分析总结得出用空间向量求线线角方法，同时强调两者之间的区别和联系，培养学生严谨的学习习惯。

ABCD 6SA ABCD SA=8,M SA M BC SD N.

⊥如图所示，四边形是边

长为的正方形，平面

，是的中点，过

和的平面交于图1

1:Rt ABC ABC ∠中，现将沿着平面∆法向量平移到111、的中点AC 11与所成的角的余弦值BD AF 1

C 题型一：线线角

学生练习（简书）

(5,2,4),

=AM 1(0,8,=AD 10＝AM A D ⇒A (0,8,0),D (5,2,4)

M 讲练结合使得知识能够及时巩固，同时通过练习题第（2）小问提出线面角的空间向量法，这样的设计符合学生的认知规律

直线L 与平面α所成的角 在L 上取定，求平面α的法向量n （如图2所示），再求

||||cos n AB

⋅=

θ

则θπ

β-=

2

为所求的角.

教师板演过程（见附页）

通过教师的板书使学生对证明、求解题的过程书写有个很规范的标准，目的使学生即要会做又要不失分。

明确直线方向向量与平面法向量所成角与线面角的关系

图2

学生练习，求出答案，点评对错讲练结

合让学生

自己动手

分析问题

解决问题

更能激发

学生学习

的兴趣。

有助于学

生对知识

的掌握二面角

方法一：构造二面角β

α-

-l

的两个半平面β

α、的法向量

2

1

n

n、

（都取向上的方向，如图3所示），则

①若二面角β

α-

-l是“钝角

型”的如图3甲所示，那么其

大小等于两法向量

2

1

n

n、的夹

角的补角，即

cos

2

1

2

1

=

θ

②若二面角β

α-

-l是“锐角

型”的如图3乙所示，那么其大小

等于两法向量

2

1

n

n、的夹角，即

cos

2

1

2

1

=

θ

方法二：在二面角的棱l上确定

两个点B

A

、，过B

A、分别在平

观察、分析、理解用向量求二面角的

方法和依据

通过数

形结合，

分类讨论

分析使学

生掌握用

法向量求

二面角时

不要忽略

对二面角

大小的判

断

图3甲