《数值分析》第五章 插值法
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
第五章插值法PPT课件
三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于 是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质
第五章插值法
上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。
本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
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第5章 插值法
前进
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预
测2019年该地区的人口数量 。利用插值方法就可以解决
这一类问题。
另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于
复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函
数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
如在积分
I
b
f (x)dx
中，当f (x)很复杂，要计算
a
积分I是很困难的，构造都要用到插值逼近。
返回代数插值第5章 插值法
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
数值分析(15)样条插值
数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？ 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程 边界条件（补充两个方程） 封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件， 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 （1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).
数值分析 插值法
图形见图2-3. 称 lk ( x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数，
11
图2-3
12
பைடு நூலகம் 2.
n次插值多项式
根据插值的定义 Ln ( x) 应满足
Ln ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
为构造 Ln ( x)， 先定义 n 次插值基函数.
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定义1 若 n 次多项式 L j ( x ) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
L1 ( xk 1 ) yk 1.
8
其几何意义就是通过两点( xk , yk ), ( xk 1 , yk 1 ) 的直线. 如图2-2.
图2-2
9
由 L1 ( x) 的几何意义可得到表达式
L1 ( x ) y k y k 1 y k ( x xk ) xk 1 xk
5
因为线性方程组的系数行列式
1 1 . . 1 xn ...
n xn
x0 x1
... ...
n x0 n x1
0
所以线性方程组 的解存在且唯一。
6
定理1
在次数不超过 n 的多项式集合 H n 中，满足条
件的
插值多项式 L ( x) H是存在唯一的. n n
7
2.3
1. 线性插值
拉格朗日插值
y
k 0
n
k
l k ( x ).
Ln ( x j ) yk lk ( x j ) y j
( j 0,1, , n).
称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式 而线性插值与抛物线插值是 n=1 和 n=2 的特殊情形
若引入记号
第5章插值法3
( 4) ( ) f ( 4) ( ) k ( x)4! 0 ，
所以
f ( 4) ( ) k ( x) . 4!
f ( 4) ( ) R( x) f ( x) P3 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 2 ( x x2 ) ， 4!
构造函数
(t ) f (t ) P3 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 ) 2 (t x2 ) ，
显然， ( x) 0, ( x0 ) 0, ( x1 ) 0, ( x2 ) 0 ，且 x1 为
(t ) 的二重零点（共5个零点），反复应用Rolle定理可知， (t ) 在 [ x0 , x2 ] 内至少有4个互异的零点，…， ( 4) (t ) 在
~ Q( x) H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) 为次数不超过 2n 1 的多项式，且满足条件 Q( xi ) 0, Q( xi ) 0, i 0,1,, n. 这说明 x xi (i 0,1,, n) 都是 Q ( x) 的二重零点，即 Q( x) 共有 2n 2 个零点，故 Q( x) 0 ，即 ~ H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) .
(t ) f (t ) H 2n1 (t ) k ( x) [ (t xi )]2 ，
易知 ( xi ) ( xi ) 0, (i 0,1,, n) 且 ( x) 0 (有 2n 3 个零点）. 而由对 f ( x) 的假设及 H 2 n 2 ( x) 知， (t ) 具有 2n 2 阶导数.对 (t )反复应用Rolle定理，可知在 ( a, b) 内至
x
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
数值分析-插值法的讲解
称P(x)为f(x)的插值函数，x为插值节 点，[a,b]为插值区间，求插值函数P(x)的 方法为插值法。
若P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn，称 P(x)为插值多项式。 若P(x)为分段多项式，就称 之为分段插值。
若P(x)为三角多项式，就 称之为三角插值。
枪管膛线－－－－→
1.插值多项式的存在唯一性 P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn, P(x) ∈Hn a0+a1x0+…+anx0n=y0 a0+a1x1+…+anx1n=y1
. . .
a0+a1xn+…+anxnn=yn
1 x x ... x Vn(x0,x1,…,xn)= 1 x x ... x ... 1 x x ... x
k 1 k 1 k 1 k 1
y
( x xk 1)( x xk 1)
k
( xk xk 1)( xk xk 1)
T H A N K Y O U !
( x xk 1)( x xk ) ( xk 1 xk 1)( xk 1 xk )
k k k 1
l
l
2
k
k 1
( x xk )( x xk 1) ( x x )( x x ) y ( )( ) L ( x) yk 1 x x x x ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1)
k 1
x
x xk
k 1
k ห้องสมุดไป่ตู้1
k
xk
L1(x)=
x x y x x y x x x x
数值分析-第五章-函数近似计算的插值法
节点x0 , x1,函数值f0 , f1
Lagrange线性插值基函数(一次插值)为
x x1 l0 ( x ) x0 x1
Lagrange线性插值多项式为
L1 ( x) l0 ( x) f0 l1( x) f1
x x0 l1 ( x ) x1 x0
x x1 x x0 f0 f1 x0 x1 x1 x0
且满足插值条件: pn ( xi ) fi
i 0,1, 2,
,n
其中 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
f ( xi ) fi i 0,1,2, ,n
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如果a x0 x1 x2 xn b为区间 [a, b]上的一组节点
我们作一组 n次多项式l j ( x), j 0,1,2,, n
且
f (175) L2 (175) 12l0 (175) 13l1 (175) 15l2 (175) 13.230 15873
在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值
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显然0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性无关 且任意n次多项式Pn ( x)可由0 ( x),1 ( x),,n ( x)线性表示
Pn ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
如果Pn ( x)为某个函数 f ( x)的插值函数 则称0 ( x),1 ( x),,n ( x)为插值基函数
7
二、代数插值多项式的存在唯一性
数值分析插值法
数值分析插值法数值分析是数学的一个分支，用于研究如何使用数值方法来近似和解决数学问题。
插值是数值分析的一个重要概念，它涉及到如何通过已知数据点的信息来估计未知数据点的值。
在本文中，我们将着重讨论插值法。
插值法是一种基于已知数据点的函数值，通过建立适当的插值函数来估计未知数据点的函数值的方法。
插值问题的目标是找到一个函数f(x)，使得f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n)，其中x_i是已知的数据点，y_i是相应的函数值，n是已知数据点的数量。
然后，通过插值函数可以近似估计任意一个未知数据点的函数值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
下面我们将逐一介绍这些插值方法。
拉格朗日插值是一种利用拉格朗日多项式进行插值的方法。
拉格朗日多项式是一个多项式函数，满足通过已知数据点的函数值。
具体地说，设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。
拉格朗日插值多项式的形式如下：P(x)=Σ(y_i*l_i(x))其中l_i(x)是拉格朗日基函数，它定义为：l_i(x)=Π((x-x_j)/(x_i-x_j))(j≠i)牛顿插值是另一种常用的插值方法。
它通过使用差商来递归地计算插值多项式。
差商是一个递归定义的函数，用于计算多项式的系数。
设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。
牛顿插值多项式的形式如下：P(x)=y_0+(x-x_0)*f[x_0,x_1]+(x-x_0)*(x-x_1)*f[x_0,x_1,x_2]+...其中，f[x_i,x_j,...,x_k]是差商的定义，它可以通过递归公式计算得到：f[x_i,x_j,...,x_k]=(f[x_j,...,x_k]-f[x_i,...,x_{k-1}])/(x_k-x_i)埃尔米特插值是一种利用已知数据点及其导数信息进行插值的方法。
数值分析第五章-函数插值-2010.9
第五章函数插值§1 插值问题与插值多项式§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值西北工业大学理学院欧阳洁1问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
西北工业大学理学院欧阳洁2§1 插值问题与插值多项式一插值问题二插值多项式西北工业大学理学院欧阳洁3西北工业大学理学院欧阳洁4一插值问题ni x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ已知定义于区间[a,b ]上的实值函数f (x )在n+1 个互异节点处的函数值。
若函数集合Φ中的函数ϕ(x )满足{}n i i x f 0)(={}],[0b a x n i i ⊂={}n i i x 0=则称ϕ(x )为f (x )在函数集合Φ中关于节点的一个插值函数，称f (x )为被插值函数,[a,b ]为插值区间。
{}ni i x 0=称为插值节点。
n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ称为插值条件。
如何求插值函数ϕ(x )称为插值问题。
西北工业大学理学院欧阳洁71 代数插值多项式的存在唯一性分析：对于多项式插值问题，插值条件等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210210212110200n n n n nn n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故满足插值条件的不超过n 次的插值多项式是存在惟一的。
数值分析-插值法
数值分析-插值法我们能得到⼀个函数f在区间[a,b]上某些点的值或者这些点上的⾼阶导数我们就能通过插值法去得到⼀个函数g，g与f是⾮常相近的⼀般来说g分为三类，⼀类是n次多项式 a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，⼀类是三⾓多项式，最后⼀类是分段n次多项式多项式插值这个可以说是最简单的插值了对于a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，我们有n+1个未知数，我只需要知道n+1个点的函数值就可以解出这n+1个未知数将解出的值带⼊即可优点:简单粗暴缺点:要解n+1个⽅程，时间复杂度较⾼，n不好确定，若n过⼤，容易过拟合，若n过⼩，容易⽋拟合拉格朗⽇插值先说⼀阶多项式我们有两点式f(x) = y k*(x k+1 - x) / (x k-x k+1) + y k+1*(x-x k) / (x k+1 - x k)此两点式可以看做∂ * y k + (1-∂) * y k+1那么⾃然的在x=x k的时候 ∂=0 在x=x k+1的时候∂=1这⾥的∂其实是与x相关的⼀阶多项式再说⼆阶多项式对于⼀个⼆次函数，我们有三个点(x k-1,y k-1) ,(x k,y k) ,(x k+1,y k+1)我们有l k-1,l k,l k+1f(x) = l k-1*y k-1 + l k*y k + l k+1*y k+1其中l是与x相关的⼆次多项式我们可以把l当作基函数这样的话就有x = x k-1 时l k-1 = 1, l k=0, l k+1 = 0x = x k时 l k-1 = 0, l k=1, l k+1 = 0x = x k+1时l k-1 = 0, l k=0, l k+1 = 1那么这个插值基函数是很好求的因为每个插值函数都有两个零点对于l k-1来说有零点x k,x k+1那么lk-1就可以表⽰为l k-1 = A*(x-x k)*(x-x k+1)因为x=xk-1时l k-1 = 1所以A = 1 / (（x k-1 - x k）* (x k-1 - x k+1) )那么同理l k和l k+1也能求出来了那我们得到⼆阶的拉格朗⽇插值多项式现在将⼆阶推⼴到n阶得到n接的拉格朗⽇插值多项式余项:R n(x) = f(x) - L n(x) R n(x)表⽰n次拉格朗⽇多项式的插值余项R n(x) = f n+1(e)/(n+1)! * w n+1(x) e属于[a,b]且依赖与x w n+1(x) = (x-x0)(x-x1).......(x-x n)优点:算法较为简单缺点:⽆法处理动态增加节点的情况⽜顿插值还是先从⼀阶到⼆阶进⾏说明我先得到了⼀阶差值多项式P1(x),P1(x) 满⾜过点(x1, f(x1)), (x2,f(x2))假设现在有第三个点(x3,f(x3))我们要通过这个点去得到⼆阶差值多项式P2(x) 使得P2(x)过这三个点可以设P2(x) = P1(x) + a2*(x-x0)*(x-x1)通过第三个点解出a2就⾏了推⼴到多阶那么可以得到P n(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + ......求这个插值多项式的值可以通过递推⼀步⼀步的求这样就实现了动态增删可以看到计算a k需要计算(k-1)2次，那么⽜顿插值法就是⼀个快速的计算⽅法均差⼀阶均差 f[x0, x k] = ( f(x k) - f(x0) ) / (x k - x0)⼆阶均差 f[x0, x1, x2] = (f[x0, x2] -f[x0, x1] ) / (x2 - x1)可以看到⼀阶均差就是简单的求斜率⼆阶均差就是对⼀阶均差求斜率那么k阶均差就是f[x0, x1,,,,,,x k] = (f[x0,,,,,x k-2, x k] -f[x0, ,,,,,,,x k-2,x k-1] ) / (x k - x k-1)f[x0, x1,,,,,,x k] = f n(ε) / n!均差的性质k阶均差可表⽰为f(x0),f(x1), f(x2),,,,,,,,, f(x k)的线性组合⽜顿插值中的a就是均差，可以从⼀阶开始推，然后使⽤数学归纳法证明那么⽜顿插值多项式就是：在计算f[x0,x1,,,,,,,,,,x n]时，⼀般使⽤均差表均差表的计算⽅式为a[i,j] = ( a[i-1][j] - a[i-1][j-1] ) / (末尾的x - 最开始的x)误差:误差为最后⼀阶的均差 * w(x)优点:可动态增删节点缺点:⽆法处理要求导数相同的情况埃尔⽶特插值法实验报告⼀个点，多个导数:⽜顿插值中的均差在xi->x0时其实分别是i阶导数，这样就是我们熟悉的泰勒多项式此时的插值函数就是泰勒多项式两个点，⼀个导数我们有三个条件，也就是说我们能求出三次插值多项式这时我们先写出过这两个点的⽜顿插值多项式在这个多项式的基础上我们再加上⼀个三次项搞定，可以观察到，这三个项数其实可以算是正交的，因为当x=x1或者x=x2时最后⼀项是0满⾜条件的两个点，两个导数这也是题⽬所要求的情况因为有两个导数，所以⽜顿插值法⽆法解决，这⾥只能使⽤基函数⽅法设插值函数为H(x), 点与导数分别为(x1,y1,m1),(x2,y2,m2)H(x)满⾜：H(x1) =y1, H(x2) = y2, H(x1)’ = m1,H(x2)=m2H(x) = a1*x1 + a2*x2 + b1*m1 + b2*m2其中 a1, a2, b1, b2均为三层插值多项式X=x1时 a1(x1) = 1,a2(x1) = 0, b1(x1) = 0,b2(x1) = 0,a1’(x1) = 1,a2’(x1) = 0X=x2时 a1(x2) = 0,a2(x2) = 1, b1(x2) = 0,b2(x2) = 0,a1’(x2) = 1,a2’(x2) = 0X=x1时 b1’(x1) = 1,b2’(x1) = 0X=x2时b1’(x1) = 0,b2’(x1) = 1然后⽤了⼀个很巧妙的⽅法设基函数，解出来值和就是这样⼦的R3(x) = 1/4! * (x-x k)2(x-x k+1)2*f4(ε)两个点，两个导数2直接使⽤泰勒多项式，并把将余项改为未知数，使⽤多余的⼀个条件去求余项的值例如:求次数⼩于等于3的多项式P(x)，使满⾜条件P(x0)=f(x0)，P'(x0)=f'(x0)，P"(x0)=f"(x0)，P(x1)=f(x1)。
数值分析插值法
实验报告专用纸实验项目名称插值法课程名称计算机数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写，一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题及解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容。
）1、实验目的（1）学会Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值等基本插值方法；（2）讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法；（3）学会用Matlab或C等实现多项式拟合。
2、实验内容（1）用Newton插值多项式及分段线性插值函数对数据进行插值；（2）比较牛顿插值与分段线性插值法；（3）函数f(x)的多项式拟合；输入：拟合数据序列{x i，y i}，i=0,1,2,…,m；输出：多项式拟合函数，并画出拟合曲线和f(x)。
3、实验步骤（1）用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式的函数（2）用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式（3）利用编写好的函数计算实际问题（4）记录实验数据（5）对运行结果进行分析（6）根据实验情况和结果撰写并提交实验报告。
4、实验原理（1）拉格朗日插值多项式（2）牛顿插值多项式（3）分段线性插值5、实验程序(MATLAB)6、实验结果与分析（1）实验结果图1龙格函数图形图2Runge(10)的图形图3Runge(12)的图形图4Runge(20)的图形输入：拟合数据序列{x i，y i}，i=0,1,2,…,m；01491625364964xi012345678yi输出：多项式拟合函数，并画出拟合曲线和f(x)。
图5拟合曲线图（2）结果分析在本题中，据Runge图形可知，在区间两端点附近，节点等距的条件下，n越大，插值多项式的值与f(x)的偏离程度越大。
因此，Runge现象说明，并非插值多项式的次数越高，其近似代替f(x)的精度就越高。
分段线性插值法可以解决Runge现象。
牛顿插值法克服了拉格朗日插值法不具有继承性的缺点。
数值分析05-插值法(下)
5-7
阜师院数科院第五章 插值法
W
推广至n+1个点
H (x)
Y
( ( x ) h 0 ( x ) y 0 h1 ( x ) y 1 H 0 ( x ) y 0 H 1 ( x ) y 1 实际计算中经常用到下
2
0 ( x ) (1 2 x )( 1 x ) , 1 ( x ) x (1 x )
因此n =1的三次Hermite插值多项式可用标准化 的基函数表示为：
x x0 x x0 x1 x x x h 1 1 H (x) 0 y0 0 y0 y1 h 1 y1 h h h h
H ( x)
特别地，当n =1时，有:
x x0 h0 ( x ) 1 2 x1 x 0 x x1 x x 1 0
2
x x1 H 0 ( x ) ( x x 0 ) 阜师院数科院第五章 插值法 x 0 x 1
( x x 0 )( x x 2 ) ( x1 x 0 ) ( x1 x 2 )
2
, 可设： H 1 ( x ) C ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )
将 h 0 ( x ), h1 ( x ), h 2 ( x ), H 1 ( x ) 代入 H ( x )中，可以检查按上述方 H (阜师院数科院第五章 插值法 x ) 满足前面条件，即为所 求。
数值分析 第五章插值法
当 n =2时, 抛物线插值余项为
f ''' ( ) R( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x2 ), ( x0 , x2 ). 6
11
Lagrange方法求插值多项式 当用Lagrange方法求插值多项式时, 其n次插 值多项式记为Ln(x). n=1的情形
F (t )在(a, b)内至少有 (n+1)个零点.
对F (t )再应用Rolle 定理， 可知F (t )在(a, b)内
至少有 n 个零点. 依此类推, F(n+1) (t )在(a, b)内至少
有一个零点, 记之为(a, b), 使得
F ( n1) ( ) f ( n1) ( ) 0 (n 1)! K ( x ) 0,
n=1
x x1 x x0 y0 y1 x0 x1 x1 x0
x0 x1
xi x0
1
l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l1 ( x )
xi x0
0
l0 ( x )
1次多项式
x1
0
x1
1
13
1次多项式
二次插值多项式
xi x0
x1
y1
已知
x2 y2
yi f ( xi ) y0
( n 1 )
max f ( n1) ( x ) M n1 , 则 若
x[ a , b ]
M n 1 | Rn ( x ) | | ( x x 0 )( x x1 )( x xn ) | ( n 1)!
10
当 n =1时, 线性插值余项为
f '' ( ) R( x ) ( x x 0 )( x x1 ), ( x0 , x1 ). 2
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
数值分析 第五章
第五章 插值法与最小二乘法第一节 问题的提法和多项式插值一、问题提法函数是描述客观规律的重要工具。
在实际应用中许多函数是通过科学实验或观测得到的，通常是一个列表函数或复杂函数的解析表达式的列表形式。
设)(x f y =在已知点b x x x a n ≤<<<≤ 10上的函数值为0y ，1y ，n y ，记为(){}n i y x i i ,,1,0,, =，如何用一个简单的函数)(x p 近似，使得在[]b a ,上，)()(x f x p ≈，这就是本章要解决的问题。
通常有两类提法：1） 通过给定点()n i y x i i ,,1,0,, =，作一曲线，其方程为)(x p y =，)(x p 为一简单函数，n i y x p i i ,,1,0,)( ==。
)(x p 为插值函数，i x 为插值点，[]b a ,为插值区间，)(i i x f y =为样本值。
2）作一指定类型的曲线)(x p y =，使曲线在“一定意义”下逼近给定的列表函数(){}n i y x i i ,,1,0,, =，此为曲线的拟合问题。
本章采用做小二乘法解决。
二、多项式插值通过两个插值点()00,y x 和()11,y x 的为一条直线，方程为：10100101y x x x x y x x x x y --+--=推广到在[]b a ,上的1+n 个插值点b x x x a n ≤<<<≤ 10，对应的函数值为0y ，1y ，n y ，求次数不超过n 的多项式n n x a x a a x p +++= 10)(，其中0a ，1a ，n a 为待定系数。
使n i y x p i i ,,1,0,)( ==即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010，i x 互异，故由Vandermande 定理知方程组方程组的解0a ，1a ，n a 唯一存在。
数值分析ppt
由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项为 基本插值公式的余项 由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项为
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − N n ( x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
若将x ≠ xi , (i = 0 ,1,L , n)视为一个节点, 则
因此， 因此，可以作为插值基函数 线性无关， 线性无关，
设插值节点为 xi ,
函数值为 f i , i = 0 ,1,L , n
hi = xi + 1 − xi , i = 0 ,1,2 ,L , n − 1
插值条件为 P( xi ) = f i , i = 0 ,1,L , n
设插值多项式 P ( x )具有如下形式
一、均差 二、Newton插值公式 三、等距节点的Newton插值公式 四、Newton插值算法
均差) 引入差商 (均差) 的目的 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 ,Lagrange
( x − xi ) l j (x ) = ∏ i = 0 ( x j − xi )
0.28000 0.35893 0.43348 0.52493 0.19733 0.21300 0.22863 0.03134 0.03126 −0.00012
15
从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 N4(x)做近似即可. 按牛顿插值公式，将数据代入
N4(x) = 0.41075+1.116(x −0.4) +0.28(x −0.4)(x −0.55)
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问题的提出
函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代
替它，使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,…,n) 这类问题称为插值问题。函数p(x)称为插值函数。
x0,x1,… xn称为插值节点，简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区间。
p(xi)= yi 称为插值条件。 求插值函数的方法称为插值法。
12
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商表
1.1 差商
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]
x0 x1
f(x0) f(x1)
f[x0,x1]
x2 f(x2) f[x1,x2]
x3 f(x3) f[x2,x3] …… …
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] …
aa00
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
y0 y1
a0
a1 x2
a2 x22
y2
7
本章内容
§1不等距节点下的牛顿基本差商公式 §2 等距节点下的牛顿基本差商公式 §3 不等距节点下的拉格朗日插值公式 §4 等距节点下的拉格朗日插值公式 §5 插值公式的唯一性及其应用 §6 反插值 §7 埃尔米特插值多项式 §8 三次样条插值 §9多元函数插值
8
§1 不等距节点下的 牛顿基本差商公式
9
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商 1.2 牛顿基本差商公式的建立 1.3牛顿基本差商公式的余式估计
10
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商(也叫均差)
f(x)在xi点的零阶差商为
f[xi]= f(xi)
(i=0,1,2,…,n)
1.1 差商
f(x)在[xi,xj]区间上零阶差商之差商为一阶差商
f [xi , x j ]
f [xj ] f [xi ] x j xi
f (x j ) f (xi ) x j xi
11
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f(x)在[xi,xj,xk]区间上一阶差商之差商为二阶差商
f [xi , x j , xk ]
本章讨论：
1、多项式的插值法
构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
使满足Pn(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
2、利用Pn(x)进行插值计算
5
问题的提出
n＝1：求一次多项式P1(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)两点。
(x1,y1)
P1(x) f(x)
(x0,y0)
• P1(x)= a0 + a1x
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
6
问题的提出
n＝2：求二次多项式P2(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)， (x2,y2)三点。
P2(x) f(x)
(x2,y2)
(x0,y0) (x1,y1)
P2(x)= a0 + a1x + a2x2
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
例如：f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x1, x2 ] f [ x0 , x1] x2 x0
一般的，可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为
f [ xi , xi1,..., xin ]
f [ xi1, xi2 ,..., xin ] f [ xi , xi1,..., xin1] xin xi
1 （ f (xk ) f (x j ) f (x j ) f (xi ) ） xk xi xk x j x j xk x j xi xi x j
f[x0,x1,x2 ,x3] …
13
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
例5.1 求出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值
解：用如下表计算
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3 , xi+4]
1.1 差商
以x代表时间t, f(x)代表路程s,
一阶差商si / ti =Vi； 二阶差商为上述平均速度的平均变化率——平均加速
度,…,
差商表的数值可以直接反映出函数值的变化情况
差商的重要特性——对称性
例如：
f[x0 , x1]=
f ( x1) f ( x0 ) f ( x1) f ( x0 )
课程内容
第一章 数值计算中的误差 第二章 方程（组）的迭代解法 第三章 解线性方程组的直接解法 第四章 解线性方程组的迭代法 第五章 插值法 第六章 数值积分与数值微分
1
第五章 插值法
2
插值法简介
古老的数学方法，来自生产实践。 –一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性 插值与二次插值，但基本理论却是在微积分产生以后 才逐步完善的。 –计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问 题的需要，理论上和实践上得到进一步发展。 –近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得极为广 泛的应用，是计算机图形学的基础。
x1 x0
x1 x0 x0 x1
f[x1 , x0]= f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f ( x0 ) f ( x1) x0 x1 x1 x0
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§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f [xi , x j , xk ]
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
3
问题的提出
情况一：函数解析式未知，
通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间
[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0 y1 y2 …… yn
情况二：虽有明确解析式，但计算复杂
——需要用比较简单且易于计算的函数p(x)去近似代替
y=p(x)
y=f(x)
4
0 0 80 4 2 8 20
27 8 19
19 4 5 30
3
27 3 2
125 27 49
49 19 1Biblioteka 52535 125
91 49 14
216 125 91 6 3
65
6 216
10 5 1 50 14 10 1 62
11 0 60
14
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式