2021届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题
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求实数 的取值范围.
18.已知 .
（1）求 的最大值及该函数取得最大值时 的值；
（2）在△ 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，若 ， ，
且 ，求边 的值.
19.经过多年的运作，“双十一” 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，
为迎接今年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，
建平中学2021届高三上学期9月月考
数学试卷
2020.09
一.填空题
1.设复数 ， 为虚数单位，则复数 的虚部为
2.已知全集 ，集合 ，则
3.若行列式 中的元素2的代数余子式的值等于2，则实数 的值为
4.正实数 、 满足 ，则 的最大值为
5.已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图像过点 ，则 的值为
20.设椭圆 （ ）的左顶点为 ，中心为 ，若椭圆 过点
，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若△ 的顶点 也在椭圆 上，试求△ 面积的最大值；
（3）过点 作两条斜率分别为 、 的直线交椭圆 于
、 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点.
21.已知常数 ，数列 满足 ， .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，求数列 的前 项和 ；
11.设 、 分别是抛物线 和圆 上的点，若存在实数 使得
，则 的最小值为
12.若函数 （ 且 ）在 上单调递减，且关于
的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
二.选择题
13.直线 的一个法向量为（）
A. B. C. D.
14.已知 、 是空间两个不同的平面，则“平面 上存在不共线的三点到平面 的距离相等”是“ ∥ ”的（）
19.（1） ；（2）当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，最大利润为13万元；当 时，促销费用投入 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 万元.
20.（1） ；（2） ；（3）过定点 ，证明略.
21.（1） ；（2） ， ；（3） .
经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 （万件）与促销费用 （万元）满足 （其中 ， 为正常数），已知生产该产品还需投入成本 万元
（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为 元，假定厂家的生产能力完全能满
足市场的销售需求.
（1）将该产品的利润 （万元）表示为促销费用 （万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.
（3）若数列 中存在三项 、 、 （ 且 ）依次成等差数列，求
的取值范围.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4.
5.36. 47. 8. 16
9. 10. 11. 12.
二.选择题
13.A14.B15.C16.C
三.解答题
17.（1） ， ；（2） .
18.（1）当 ， 时， 取得最大值，最大值ຫໍສະໝຸດ Baidu2；（2） 或 .
①曲线 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是（）
A.①B.②C.①②D.①②③
三.解答题
17.设函数 定义域为集合 ，函数 定义域为集合 .
（1）求集合 和 ；
（2）已知 ， 满足 ，且 是 的充分条件，
6.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 、 、10、11、9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 的值为
7.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则
8.不等式组 所表示的区域的面积为
9.将函数 的图像向右平移 （ ）个单位得到函数 的图像，
若存在 使得 ，则 的最小值为
10.在 的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
15.设数列 ，以下命题正确的是（）
A.若 ， ，则 为等比数列
B.若 ， ，则 为等比数列
C.若 ， ，则 为等比数列
D.若 ， ，则 为等比数列
16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
18.已知 .
（1）求 的最大值及该函数取得最大值时 的值；
（2）在△ 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，若 ， ，
且 ，求边 的值.
19.经过多年的运作，“双十一” 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，
为迎接今年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，
建平中学2021届高三上学期9月月考
数学试卷
2020.09
一.填空题
1.设复数 ， 为虚数单位，则复数 的虚部为
2.已知全集 ，集合 ，则
3.若行列式 中的元素2的代数余子式的值等于2，则实数 的值为
4.正实数 、 满足 ，则 的最大值为
5.已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图像过点 ，则 的值为
20.设椭圆 （ ）的左顶点为 ，中心为 ，若椭圆 过点
，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若△ 的顶点 也在椭圆 上，试求△ 面积的最大值；
（3）过点 作两条斜率分别为 、 的直线交椭圆 于
、 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点.
21.已知常数 ，数列 满足 ， .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，求数列 的前 项和 ；
11.设 、 分别是抛物线 和圆 上的点，若存在实数 使得
，则 的最小值为
12.若函数 （ 且 ）在 上单调递减，且关于
的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
二.选择题
13.直线 的一个法向量为（）
A. B. C. D.
14.已知 、 是空间两个不同的平面，则“平面 上存在不共线的三点到平面 的距离相等”是“ ∥ ”的（）
19.（1） ；（2）当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，最大利润为13万元；当 时，促销费用投入 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 万元.
20.（1） ；（2） ；（3）过定点 ，证明略.
21.（1） ；（2） ， ；（3） .
经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 （万件）与促销费用 （万元）满足 （其中 ， 为正常数），已知生产该产品还需投入成本 万元
（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为 元，假定厂家的生产能力完全能满
足市场的销售需求.
（1）将该产品的利润 （万元）表示为促销费用 （万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.
（3）若数列 中存在三项 、 、 （ 且 ）依次成等差数列，求
的取值范围.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4.
5.36. 47. 8. 16
9. 10. 11. 12.
二.选择题
13.A14.B15.C16.C
三.解答题
17.（1） ， ；（2） .
18.（1）当 ， 时， 取得最大值，最大值ຫໍສະໝຸດ Baidu2；（2） 或 .
①曲线 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是（）
A.①B.②C.①②D.①②③
三.解答题
17.设函数 定义域为集合 ，函数 定义域为集合 .
（1）求集合 和 ；
（2）已知 ， 满足 ，且 是 的充分条件，
6.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 、 、10、11、9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 的值为
7.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则
8.不等式组 所表示的区域的面积为
9.将函数 的图像向右平移 （ ）个单位得到函数 的图像，
若存在 使得 ，则 的最小值为
10.在 的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
15.设数列 ，以下命题正确的是（）
A.若 ， ，则 为等比数列
B.若 ， ，则 为等比数列
C.若 ， ，则 为等比数列
D.若 ， ，则 为等比数列
16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图），给出下列三个结论：