专题28 数列求和(教学案)(原卷版)

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数列求和的方法(学案)

数列求和的常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。

一、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和。

因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有：()();213211+=++++n n n ()()();6121212222++=+++n n n n()().212132333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n例1 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题. 二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n ,2,,12,例2 已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.分析：该数列的通项是由一个等比数列{}n2与一个等差数列{}13-n 组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和.【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和. 三、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求和. 例3.(2010年全国高考宁夏卷17）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S解：【能力提升】错位相减法适用于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.若等比数列{}n b 中公比q 未知，则需要对公比q 分11≠=q q 和两种情况进行分类讨论. 四、倒序相加法如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.例4求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。

(完整)数列求和教案高三

⎪⎩⎪⎨⎧≠--=时当时当1,1)1(1,a a a a a n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2112)1(《数列求和》教案一、高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、并项求和法、变换通项法等 .二、知识点归纳1、公式法2、分组求和法3、错位相减法4、裂项求和法5、倒序求和法6、变换通项法7、关于正整数的求和公式：三、热身练习1、求和：1+4+7+……+97= 16172、求和：n n a a a a s ++++=Λ32=3、求和：=-++-+-100994321Λ -504、求和：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n s 21813412211Λ= 四、题型讲解例1：（2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nn n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力. 解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.(1)122n n n ++++=L 222(1)(21)126n n n n +++++=L 3332(1)12[]2n n n ++++=L}21{n n ⨯ΛΛΛΛ,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c Θ ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--ΛΛΛ两式相减得 ].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T Λ 例2：求和：ns n ++++++++++=ΛΛ21132112111 五、反馈练习：1.求数列前n 项和2.求数列3、求和：11131121222-++-+-=n s Λ()*,2N n n ∈≥4、求和：12321-++++=n n nx x x s Λ()R x ∈5、设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且六、小结)()21(*2N n a S n n ∈+=求数列{a n }的前n 项和。

数列求和公式基础教案

1 1 2
,ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3
, ,
1 n n 1
, 的前 n 项和.
【例 9】计算：
变式 1 等差数列 an 中, a7 4, a19 2a9 ,
(I)求 an 的通项公式; (II)设 bn
1 , 求数列bn 的前n项和Sn . nan
4
变式 2 正项数列｛an｝满足 a n 2 (2n 1)a n 2n 0 .
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 【例 6】求数列的前 n 项和： 1 1,
1 1 1 4, 2 7, , n 1 3n 2 ，… a a a
变式 1 已知数列{an}是 3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项和 Sn.
1 1 1 1 ( ) n( n k ) k n n k
1 【例 7】在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2 n＝an Sn－2 . (1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝，求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋1
【例 8】求数列
(1)求数列｛an｝的通项公式 an； (2)令 bn=
1 错误！未找到引用源。，求数列｛bn｝的前 n 项和 Tn. (n 1)a n
一、真题训练二、学法总结三、技巧提炼四、作业布置
5
1、已知等差数列 a n 满足 a 2 0 ， a6 a8 10 （1）求数列 a n 的通项公式；（2）求数列

高三数学第一轮复习 —数列求和教案

〔5〕；〔6〕．
解：〔1〕
．
〔2〕∵ ，
∴ ．
〔3〕∵
∴
．
〔4〕，
当时， … ，
当时， … ，
… ，
两式相减得 … ，
∴ ．
〔5〕∵ ，
∴原式 … … ．
〔6〕设，
又∵ ，
∴ ，．
例2．数列的通项，求其前项和．
解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；
2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和Hale Waihona Puke 求和方法；〔二〕主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
〔三〕例题分析：
例1．求以下数列的前项和：
〔1〕5，55，555，5555，…，，…；〔2〕；
〔3〕；〔4〕；
芯衣州星海市涌泉学校一．课题：数列求和
二．教学目的：1．纯熟掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进展求和运算；
3．熟记一些常用的数列的和的公式．
三．教学重点：特殊数列求和的方法．
四．教学过程：
〔一〕主要知识：
1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；
当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，
∴ ，
当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，
∴ ，
所以，．
例3．〔高考A方案智能训练14题〕数列的前项和，数列满足，假设是等比数列，
〔1〕求的值及通项；〔2〕求和 … ．
〔解答见教师用书127页〕

《数列求和》教学设计

《数列求和》教学设计一、教学目标1.知识目标学生能够理解数列求和的基本概念，掌握常用的数列求和公式，能够熟练应用求和公式解决实际问题。

2.能力目标学生能够运用数学思维和方法，分析问题，提出合理的求和方法，并能灵活运用求和公式解决实际问题。

3.情感目标学生能够树立积极的学习态度，发现数列求和的有趣之处，提高数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点和难点1.教学重点(1)数列求和的基本概念和常用的求和公式；(2)运用求和公式解决实际问题。

2.教学难点(1)问题分析和求解的过程；(2)运用数列求和解决实际问题。

三、教学过程设计1.导入新课(10分钟)(1)向学生提问：“在做加法运算的时候，我们经常会遇到从1开始的连续整数相加的问题，你们知道如何快速求和吗？”(2)引导学生思考，并提示“等差数列”的概念。

(3)分享一个有趣的问题：“小明和小红相约去打篮球，每天他们都会增加一个篮球的练习量，小明从第一天开始每天练习一个篮球，小红从第一天开始每天练习两个篮球，问他们练习30天后总共练习了多少个篮球？”(4)引导学生思考解决问题的方法。

2.板书设计(5分钟)根据导入新课的内容，板书“等差数列”和“数列求和”的概念。

3.概念讲解(20分钟)(1)对等差数列的概念进行详细讲解和举例。

(2)引入数列求和的概念，并通过具体的例子让学生理解求和的含义。

(3)介绍数学家高斯的求和故事，引出等差数列求和公式。

4.基本求和公式(20分钟)(1)教师讲解等差数列求和的基本公式S_n=(a_1+a_n)*n/2，并通过例题进行演练。

(2)介绍等差数列求和公式的推导过程，并通过几个简单例子进行说明。

5.应用题训练(25分钟)(1)学生分组进行应用题训练，训练内容包括常见的等差数列求和问题和实际生活中的应用问题。

(2)学生在小组内共同讨论，解决问题，并由小组代表上台分享解题思路和解题过程。

6.拓展练习(15分钟)(1)给出一些拓展练习，要求学生在规定时间内完成，并进行答案的交流和讨论。

数列复习数列求和精品教案

课题：数列求和教学目标（一）知识与技能目标数列求和方法．（二）过程与能力目标数列求和方法及其获取思路．教学重点：数列求和方法及其获取思路．教学难点：数列求和方法及其获取思路．教学过程1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：（1）)(211121n n n n n n n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=- 例1．求和：222222222222110108339221011++++++++ 分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相加法．小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n 项和.2．错位相减法：等比数列前n 项和公式的推导方法：（2）11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S 例2．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n3．分组法求和例3求数列 1614,813,412,211的前n 项和；例4．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a aa a a a a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解 ]1)1([11)]([11 11111122a a a n a a a a n a a a a a a a S n n n n ----=+++--=--++--+--= 于是 4．裂项法求和例6．求和：n++++++++++ 21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)111(2)1(2+-=+=n n n n a n , 12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n a a a S n n例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n三、课堂小结：1．常用数列求和方法有：(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；(5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和；(6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.四、课外作业：1．《学案》P62面《单元检测题》2．思考题（.1616814412).1项的和前求数列：n +++ （2）．在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. （3）．在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10。

数列求和优质课教案

数列求和教学目标：让学生回顾数列基本知识点；让学生能够掌握数列的求和的几种基本方法；锻炼学生的自我思考能力。

教学重难点：对题意的分析以及方法的选择。

学法指导：示范，探究教学过程：※课标展示，强调本节内容及重点一、回顾数列求和的方法：学生活动：请学生做总结，不全的由其他同学做补充。

通过课件总结方法：1、公式法2、分组求和法3、裂项法4、错位相加法5、倒叙相加法二、互动探究1、（2010重庆）、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。

教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。

2、（2010山东）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=．{}n a 的前n 项和为n S 。

（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n a 的前n 项和T n ．学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。

教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。

3 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。

教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。

4学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。

教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。

数列求和教案

数列的求和教学目标：1、让学生掌握数列求和的方法；2、让学生能熟练的求数列的前n 项和；3、提高学生的思维能力。

重难点：裂项相消和错位相减法教学手段：多媒体；引导学生小结，讲练结合。

一．基础知识小结：求和的常用方法：公式法，倒序相加法，分组求和法，裂项相消法和错位相减法练习：1.、求和)2123()217()214()11(12-+-+++++++n n 2.、求和)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n 3.、若,121=+x x 则1)()(21=+x f x f ，已知)1()2()1(n n f n f n f S n -+++= ，求n S 。

4、求和：9997531+-+-+-= S 。

二．例题讲解：例一：设数列}{n a 的前n 项和n S ，点),(n S n n )(*N n ∈均在函数23-=x y 的图像上，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有)(*N n ∈都成立的最小正整数m 。

例二：数列}{n a 和}{n b 中，n S 为数列的前n 项和，2,111==b a 。

且1),1(2-=+=+n b n n n a b a n n S ，（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式。

（2）设1112211-++-+-=n n n b a b a b a T ，求n T 。

三、练习：1、数列}{n a 的通项公式是11++=n n a n ，则120S =（）。

2、求和)0()12(53112≠⋅-++++=-a a n a a S n n四．小结。

数列求和教案

数列求和教案教案标题：数列求和教案教案目标：1. 理解数列的概念和性质。

2. 掌握数列求和的方法和技巧。

3. 运用数列求和的知识解决问题。

教案步骤：1. 引入数列的概念和性质a. 使用具体生活例子引起学生对数列的兴趣，如斐波那契数列、等差数列等。

b. 解释数列的定义：数列是按照一定规律排列的数字的集合。

c. 解释数列的基本性质，如公差、首项、通项公式等。

2. 解决等差数列求和的问题a. 解释等差数列的概念和性质，包括公差和通项公式。

b. 引导学生理解等差数列求和公式的推导过程。

c. 给予学生一些具体的等差数列求和问题，并引导他们运用所学的知识解决问题。

3. 解决等比数列求和的问题a. 解释等比数列的概念和性质，包括公比和通项公式。

b. 引导学生理解等比数列求和公式的推导过程。

c. 给予学生一些具体的等比数列求和问题，并引导他们运用所学的知识解决问题。

4. 解决其他类型数列求和的问题a. 引导学生思考其他类型数列的求和方法，如斐波那契数列、等差数列的和等。

b. 给予学生一些具体的其他类型数列求和问题，并引导他们找到解决问题的方法和技巧。

5. 总结和拓展a. 总结数列求和的基本方法和技巧。

b. 提供更多的数列求和问题，让学生加深对所学知识的理解和运用。

c. 鼓励学生在课后拓展数列求和的应用，如数学竞赛等。

扩展练习：1. 对于等差数列 {3, 7, 11, 15, ...}，求前10项的和。

2. 对于等比数列 {2, 4, 8, 16, ...}，求前5项的和。

3. 对于斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, ...}，求前8项的和。

评估方式：1. 在课堂上布置练习题，检查学生对数列求和的理解和运用能力。

2. 考察学生解决数列求和问题的思路和方法。

3. 鼓励学生在课后通过编写文章或讲解视频来展示对数列求和知识的理解深度。

教案提供的专业指导将帮助教师详细规划教学内容和步骤，确保学生能够深入理解数列求和的概念和运用方法。

《数列求和》教学设计

人教版必修5高三年级复习课《数列求和》教学设计一、设计思想：本课教学能够充分培养学生的动手观察能力，及数学中的类比和转化思想。

二、教材分析：本节课的教学内容在教材中所占的篇幅比较小，但其重要性却不容忽视。

关于数列求和经常会遇到非等差、等比数列的求和问题。

三、学情分析：所任教的班级是文科班，学生的基础不够扎实，理解能力还有待提高。

因此本节课所设计的题目在难度和容量上较为侧重基础，难度不大但是具有典型代表性，题量不大但是精炼，能适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。

四、教学目标：知识目标：掌握数列求和的几种常用方法,能将一些特殊数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题。

能力目标：培养学生的观察能力、运算﹑化归意识；培养学生的数学思维能力和问题转化的思想。

情感目标：激发学生学习数学的兴趣。

五、教学重点：将一般数列转化为等差,等比数列的几种方法,学会如何转化。

解决方法：观察、分析；找特征，抓关键。

六、教学难点：不同的数列采用不同的方法,运用转化的思想方法分析问题和解决问题.解决方法:分析﹑鉴别。

七、教学过程：1、引入新课：（直接导入）关于数列，我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。

其中一项重要的内容就是数列的求和。

它往往是数列知识的综合体现，求和题在高考试题中非常常见，它常常考查我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。

这节课我们就来研究一下数列的求和的问题。

2、知识回顾：（1）等差数列的前n 项和公式：___________________;（2）等比数列的前n 项和公式：①___________________;②___________________提出问题：这两个公式分别是什么方法推导得到的？等差数列求和公式的推导方法是利用倒序相加法，等比数列求和公式的推导是利用错位相减法。

计算：=++++n 321___________________;=-++++12531n __ ___________;=++++n 2842 ________ ____;教师引导学生回忆这些常用的等差数列、等比数列的求和公式，学生进一步掌握这些公式，为下面的学习做好铺垫。

数列求和的方法(教案)

数列求和的方法(教案) 海南华侨中学黄玲玲一、教学目标：1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2、能运用错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；二、教学重难点：特殊数列的求和方法三、教学过程知识回顾等差数列前n 项和公式：等比数列前n 项和公式：（一）直接求和法（或公式法）例1、观察下列数列，指出该数列是何数列，并求出其前n 项和（1）...12 (531)，，，，-n （2） (21)...21212132，，，，n变式：...1...11132，，，，n aa a a （1）解：等差 2)12....(531n n S n =-+++=（2）解：等比 n n n S 211)21...212121(32-==++++== 变式：对a 进行讨论等差、等比型数列（二）分组法求和例2、观察数列③指出该数列与数列①②的关系，并求出其前n 项和（1）...12 (531)，，，，-n （2）...21...21212132，，，，n（3） (2)1)12(...815413211，，，，，n n +- 解：[]n n n n n S 211)21...212121()12....(531232-+=+++++-+++=．有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ，，成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.（三）错位相减法例3、观察数列③ 指出该数列与数列① ②的关系，并求出其前n 项和（1）...12 (531)，，，，-n （2） (21)...21212132，，，，n（3） (21))12(...815413211，，，，，n n ⨯-⨯⨯⨯ 解：n n n n n S 21)12(21)32(...215213211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ①143221)12(21)32(...21521321121+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ② ①—②得143221)12(212........................21221221221121+⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n S n n n n S 21)12(2132⋅---=- 源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法.小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式错一位相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. （四）裂项相消法例4、观察数列②指出该数列与数列① 的关系，并求出其前n 项和（1）...12 (531)，，，，-n （2）...1)(2n 1)-2n 1...751531311，（，，，+⨯⨯⨯⨯ 解:12)1211(21)121121(...)7151()5131()311(21+=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=n n n n n S n这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 针对训练：1、（2011年海南理17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

数列求和学习教案

等比数列(děnɡ bǐ shù liè)
和一个
的对应项
之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比
数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
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考点一分组转化法求和命 1.分组、拆、拼、转化为题常数列或等差数列求和点 2.转化为等比数列求和
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③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
⑤ n1 n2 (n 2)2
1 4
(
1 n2
(n
1 2)2
)
⑥
(2n
2n 1)(2n1
1)
1 2n 1
1 2n1 1
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4．错位相减法
等差数列(děnɡ chā shù liè)
如果一个数列的各项是由一个
数列{a n}中，a1 2, an1 an 4n 3,求数列的前 n项和sn
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第四页，共46页。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差
，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1. ②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相
等或等于同一个常数(chángshù)
，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加
法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
f
(x)
2
2x x
1
,

数列求和方法教案

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n kS n k n 例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f例3 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．二、错位相减法求和类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。

数列求和教案

《数列求和》教案武威十八中鲁文霞一、教材分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修5（A）版》第二章章复习内容，数列求和的第一课时：分组求和法与裂项求和法的应用。

数列求和是在学生学习了等差数列与等比数列求和问题的基础上，对数列求和问题的进一步深入和拓广，是《数列》一章中重要的基础内容，无论在知识，还是在能力上，都在数列中占有重要地位。

知识方面：数列求和有广泛的实际应用。

能力方面：可考查学生的运算、推理、及等价转化能力，使学生进一步深入体会学习函数方程、数形结合、化归等重要数学思想方法。

因此数列求和在《数列》一章具有极为重要的地位，也是高考命题的热点。

二、学情分析1. 知识储备：学生已经学习了等差数列与等比数列基本内容，会判断数列是否等差、等比数列，并会利用公式解决等差、等比数列的求和问题。

2. 能力水平：具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

3. 本校学情：二中高二学生，学习程度较好，知识面较广，对于大多数学生，能利用公式法解决等差、等比数列的求和问题，课堂新知探究中，讨论参与的积极性较高。

三、三维目标（1）知识与技能：掌握数列求和问题中的两种方法，分组求和法和裂项求和法。

（2）过程与方法：通过求和方法的探究，体会化归思想、函数思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

（3）情感态度与价值观：认识事物间的内在联系和相互转化，培养学生的探索、创新精神。

四、重点、难点教学重点：探索并掌握数列求和的两种方法，分组求和法和裂项求和法。

教学难点：解决求和问题基本思想方法，两种求和方法的获得。

五、教学过程步骤学情预设设计意图（一）复习回顾：复习等差、等比数列的求和公式的推导及应用清楚等差、等比数列求和公式的推导方法可以利用公式解决等差、等比求和问题即是求和方法的总结，也是新知探究的基础（二）分组求和法探究例1．变式训练1. 求和)2421()421()21(1s 1-+++++++++++=n n学生能够积极的参与到新知的探究中通过例1的共同探究与学习，把握分组求和数列的特点，独立自主的完成变式训练1的练习通过观察通项公式，分析、归纳分组求和数列的特征，能利用分组的方式解决非特殊数列的求和问题体会数学中化归思想的应用（三）裂项求和法探究例2. 求和)2)(1(1541431321S ++++⨯+⨯+⨯=n n n变式训练2.求)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++。

2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题28数列求和(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .高频考点一分组转化法求和例1、已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2＋1－12nB.2n 2－n ＋1－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2－n ＋1－12n(2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( )A.1 008B.2 016C.504D.0【答案】(1)A (2)A－2014，2 016.故S 2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 高频考点二裂项相消法求和例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，若d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d <S 9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n ＋1＋a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d <S 9，所以d ＝2，S 9＝99，又因为S n ＝na 1＋n n －2d ，所以9a 1＋9×82×2＝99，解得a 1＝3，{a n }是首项为3，公差为2的等差数列．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝1a n ＋1＋a n＝12n ＋3＋2n ＋1＝12(2n ＋3－2n ＋1)，∴T n ＝12(5－3)＋12(7－5)＋…＋12(2n ＋1－2n －1)＋12(2n ＋3－2n ＋1)＝2n ＋3－32.【举一反三】[2017·全国卷Ⅲ]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．【变式探究】正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ，数列 {b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .当n ＝1时，a 1＝2＝2×1符合上式．综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋2.T n ＝116[ 1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －2－1n ＋2＋1n2－1n ＋2 ]＝116[ 1＋122－1n ＋2－1n ＋2 ]<116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 【方法技巧】裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. (2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．高频考点三错位相减法求和例3、[2017·山东高考]已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .【特别提醒】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【变式探究】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)． (1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．高频考点四求数列{|a n |}的前n 项和问题例4、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【方法技巧】求数列{|a n|}前n项和的一般步骤第一步：求数列{a n}的前n项和；第二步：令a n≤0(或a n≥0)确定分类标准；第三步：分两类分别求前n项和；第四步：用分段函数形式表示结论；第五步：反思回顾，即查看{|a n|}的前n项和与{a n}的前n项和的关系，以防求错结果．【变式探究】已知数列{a n}的前n项和S n＝12n－n2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.解(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，S n＝12n－n2，S n－1＝12(n－1)－(n－1)2，∴a n＝S n－S n－1＝13－2n；当n＝1时也满足此式成立，故a n 的通项公式为a n ＝13－2n .(2)令a n ＝13－2n ≥0，n ≤132.当n ≤6时，数列{|a n |}的前n 项和T n ＝S n ＝12n －n 2；当n >6时，a 7，a 8，…，a n 均为负数，故S n －S 6<0，此时T n ＝S 6＋|S n －S 6|＝S 6＋S 6－S n ＝72＋n 2－12n .故{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －n 2，n ≤6，n 2－12n ＋72，n >6.1. （2018年天津卷）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.，故，所以，．（II ）由（I ），有由可得，整理得解得（舍），或．所以n 的值为4．2. （2018年北京卷）设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I ）（II ）【解析】（I ）设等差数列的公差为，∵， ∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

数列求和的各种方法的教案.docx

授课时间2014年10月27日课题数列求和的常用方法课型总结课关于数列求和解题方法总结（第一课时）教学目标仁初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法.2.通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想.教学重难点重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和.难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的.教学过程（一）引入数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

（二）方法讲解首先介绍数列求和有六种方法，分别是公式法、错项相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法、拆项求和法。

具体介绍每一种方法的具体内容，通过知识点的介绍和习题的讲解使学生了解到有关于解决数列求和问题六种方法的解题步骤与需要注意的问题。

本课时只介绍前三种求和方法：第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列的前〃项和公式n{a x + a n）n{n-\）dS n =——! ------ -- = na, + --------------“2 1 22、等比数列的前〃项和公式na x{q = Y）S“ = 4（1 -q"） _ a{ -ci n q[i-g - I3、常用几个数列的求和公式n1⑴、S” 二工k = 1 + 2 + 3 +.・・ + 〃= —n（n +1）k=l2n 1(2)> S n ='土$ = l 2 + 22 +32 +・・・ + /F = —H (M + 1)(2/7 + 1) k=\ 6n1⑶、s”=l 3 + 23 +33 +... + /?3 =[-/?(7? + l)]2k=[2第二类：乘公比错项相减(等差X 等比)这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n xb tl ｝的前n 项和，其中｛a n ]f ｛b n ]分别是等差数列和等比数列。