专题28 数列求和(教学案)(原卷版)

A.1 008
B.2 016 C.504 D.0
高频考点二 裂项相消法求和
例 2、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d，若 d，S9 为函数 f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且
d<S9. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝ an＋1＋ an(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【举一反三】[2017·全国卷Ⅲ]设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； an (2)求数列2n＋1的前 n 项和．
，
．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
5. （2018 年全国 I 卷）已知数列 满足 ，
，设
．
（1）求
；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
名师整理，助你成功
6. （2018 年全国 III 卷）等比数列 中，
．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若
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【变式探究】正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式 an；
n＋1
5
(2)令 bn＝n＋22a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn<64.
【方法技巧】裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略
（I）求an 的通项公式；
（II）设等比数列bn 满足 b2 a3 ， b3 a7 ，问： b6 与数列an 的第几项相等？
【2015 高考安徽， 文 18】已知数列an 是递增的等比数列，且 a1 a4 9, a2a3 8.
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设 Sn 为数列 an
(1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：
①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}
是等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1，ana1n＋2＝21da1n－an1＋2.
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达 式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
【变式探究】 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且 m∈N*)． (1)求 m 的值；
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）设 cn an bn ，求数列{cn} 的前 n 项和.
4.【2016 高考山东文数】（本小题满分 12 分）
已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 8n ， bn 是等差数列，且 an bn bn1 .
（I）求数列bn 的通项公式；
【2015
高考重庆，文
16】已知等差数列an 满足
a3
=2，前
3
项和
S3
=
9 2
.
(Ⅰ)求an 的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列 bn 满足 b1 = a1 ， b4 = a15 ，求 bn 前 n 项和Tn .
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过
程的推广．
(6)并项求和法
一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
（Ⅰ）求{ an }的通项公式；
（Ⅱ） 设 bn [an ] ，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x] 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
3.【2016 高考北京文数】（本小题 13 分）
已知{an}是等差数列，{bn} 是等差数列，且 b2 3 ， b3 9 ， a1 b1 ， a14 b4 .
(2)若对任意的 n∈N＋，bn 是 log2an 和 log2an＋1 的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前 2n 项和.
【方法规律】(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和
法求数列{cn}的前 n 项和. an，n为奇数，
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分 组求和法求{an}的前 n 项和.
第一步：求数列{an}的前 n 项和；
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第二步：令 an≤0(或 an≥0)确定分类标准； 第三步：分两类分别求前 n 项和； 第四步：用分段函数形式表示结论； 第五步：反思回顾，即查看{|an|}的前 n 项和与{an}的前 n 项和的关系，以防求错结果． 【变式探究】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝12n－n2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.
111 1
1
【变式探究】 (1)数列 12，34，58，716，…，(2n－1)＋2n，…的前 n 项和 Sn 的值等于 ( )
1 A.n2＋1－2n
1 C.n2＋1－2n－1
1 B.2n2－n＋1－2n
1 D.n2－n＋1－2n
nπ (2)数列{an}的通项公式 an＝ncos 2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 016 等于( )
（II）令 cn
(an 1)n1 (bn 2)n
.求数列
cn
的前 n 项和 Tn .
5【. 2016 高考浙江文数】 （本题满分 15 分）设数列{ an }的前 n 项和为 Sn .已知 S2 =4，an1 =2 Sn +1，n N* .
（I）求通项公式 an ；
（II）求数列{ an n 2 }的前 n 项和.
2．常见的裂项公式
1
11
(1)n（n＋1）＝n－n＋1.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
1 (3) n＋ n＋1＝ n＋1－ n.
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高频考点一 分组转化法求和
112 例 1、已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n∈N＋)，且a1－a2＝a3，S6＝63. (1)求{an}的通项公式；
1. （2018 年天津卷）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，
其前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求 Sn 和 Tn；
（Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
5.【2017 课标 3，文 17】设数列 an 满足 a1 3a2 (2n 1)an 2n .
（1）求an 的通项公 式；
（2）求数列
an 2n
1
的前 n 项和.
6.【2017 山东，文 19】（本小题满分 12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且
a1 a2 6, a1a2 a3 .
(I)求数列{an}通项公式；
(II){
bn}为各项非零的等差数列,其前
n
项和
Sn,已知
S2n1
bnbn1
,求数列
bn an
的前
n
项和 Tn
.
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7.【2017 北京，文 15】已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求an 的通项公式；
【2015 高考福建，文 17】等差数列an 中， a2 4 ， a4 a7 15 ．
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（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn 2an 2 n ，求 b1 b2 b3 b10 的值．
【2015 高考北京，文 16】（本小题满分 13 分）已知等差数列an 满足 a1 a2 10 ， a4 a3 2 ．
2. （2018 年北京卷）设 是等差数列，且
.
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求
.
3. （2018 年江苏卷）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列．
（1）设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，若
对
均成立，求 d 的取值范围；
（2）若
，证明：存在 ，使得
对
均成立，并求
的取值范围（用 表示）．
4. （2018 年全国卷Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和，已知
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q ＝ 1－q . (2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
(2)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*)．
4.【2017 课标 II，文 17】已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，等比数列{bn}的前 n 项和为Tn ，
a1 1,b1 1, a2 b2 2
(1)若 a3 b3 5 ，求{bn}的通项公式；
（2）若T3 21，求 S3 .
(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差
法、放缩法、单调性等证明不等式．
高频考点三 错位相减法求和
例 3、[2017·山东高考]已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bann的前 n 项和 Tn. 【特别提醒】用错位相减法求和应注意的问题
，求 ．
1．[2017·全国卷Ⅲ]等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6 成等比数列，则{an}前 6
项的和为( )
A．－24 B．－3 C．3
D．8
n1
2．[2017·全国卷Ⅱ]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则 Sk＝________.
k＝1 3．[2017·天津高考]已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且 公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
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1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
1．求数列的前 n 项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前 n 项和公式
n（a1＋an）
n（n－1）
Sn＝
2
＝na1＋ 2 d．
②等比数列的前 n 项和公式
(ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝na1； a1（1－qn） a1－anq
的前 n 项和， bn
an1 Sn Sn 1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
【2015
高考山东，文
19】已知数列
an
是首项为正数的等差数列，数列
an
1 • an1
的前
n
项和为
n
.
2n 1
（I）求数列an 的通项公式；
（II）设 bn an 1 2an ，求数列bn 的前 n 项和Tn .
an (2)若数列{bn}满足 2 ＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前 n 项和． 高频考点四 求数列{|an|}的前 n 项和问题 例 4、在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1，2a2＋2，5a3 成等比数列． (1)求 d，an；
(2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 【方法技巧】求数列{|an|}前 n 项和的一般步骤
（Ⅱ）求和： b1 b3 b5 b2n1 ．
1.【2016 高考新课标 1 文数】（本题满分 12 分）已知an 是公差为 3 的等差数列,数列bn 满足
b1=1，b2 =
1 3
，anbn1
bn1
nbn
,.
（I）求an 的通项公式；
（II）求bn 的前 n 项和.
2.【2016 高考新课标 2 文数】等差数列{ an }中， a3 a 4 4, a5 a 7 6 .