北京高考数学题不难

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北京数学高考评价

北京数学高考评价
北京市的数学高考评价主要有以下几个方面：
首先是考查难度。

北京市每年的高考数学试题都非常注重难度控制，
力求使试题难度适中，能够对考生的数学素养进行全面的评估。

同时，试
题的难度也相当具有挑战性，考查学生的数学思维能力与解决问题的能力。

其次是试题设计。

北京市数学高考题目设计得非常优秀。

试题设计考
虑了学科知识的全面性、纵向性与横向性。

试题涉及到的知识点、题型设
计以及题目解答要求的多样性被广泛认为是数学教育的一个范例。

第三是对分析的考查。

除了考察数学概念和公式的理解应用外，北京
市的数学高考还非常注重分析、推理、归纳和证明能力。

这样的试题设计
可以考察学生对于知识的理解和运用能力，并激发学生展开思考和探究的
兴趣，培养创造型的思维能力。

第四是考试要求。

在答题过程中，北京市的数学高考注重对考试过程
的规范和细节。

例如，要求考试过程中必须填写尽量完整的答题卡，所有
答案必须在卡上填写。

这些要求旨在帮助学生避免在答题过程中出现失误，保证考试成绩的真实有效。

综上所述，北京市的数学高考试卷注重启发式教学，以灵活性、创造性、反应能力、分析以及合作精神为核心，试图使学生在日常数学学习过
程中逐渐习得批判性思维。

试题难度设计合理、思维性、掌握难度强，兼
有推断、归纳和抽象的思维要素，起到了提高学生数学思维能力和实际应
用能力的目的。

北京高考数学难度降低、回归原理

2019年北京高考数学难度降低、回归原理2019年北京高考数学考试已经结束，纵观北京新课标高考以来，理科数学命题一直着重对于数学基本原理和思维方法运用的考查，不会在细节上为难考生。

同时，命题角度大气、创新点多而不偏、能力考查角度贴合实际等是北京一如既往的命题风格，这也是笔者在学而思课堂上对高三考生的一贯说明。

《考试说明》要求学生掌握六大基本数学思维能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力，同时在考查能力的同时注重基础知识点原理及其本质思维方法的运用。

这在2019年高考数学命题中体现的尤为明显。

首先，需要说明的是，北京数学试卷结构按照难度可以分为两个部分：数学基本原理简单题型与数学思维运用较难题型。

主要对应关系如下：2019年高考数学命题从试卷结构、命题难度与侧重点上看有如下变化：一.2019年试题难度降低，运算量减少，“三基”依旧是主体首先说说试卷总体难度，北京市近4年来高考理科数学平均分基本稳定在98±3分左右，如下表：2019年高考理科数学命题整体难度在2019年基础上有所降低，运算量在减少，没有出现“偏、难、怪”等题型。

同时，从整体情况看，依旧更加注重对于基础知识原理、基本数学技能、基本思维方法的考查。

二.以稳为主、稳中有新北京市高考新课标以来，命题立意每年都是以稳为主、稳中有新。

2019年，三角函数大题命题简单、解题快捷，却要求思路明确、逻辑严谨;概率统计大题理论联系实际，以环境污染为背景考查方差的现实意义运用;解析几何考查不存在性证明等等。

2019年，第8题考查现实问题的数学模型分析;导数大题注重数学模型的转化、化归思想运用;解析几何大题考查几何位置关系的代数处理角度，区别于以往联立韦达求解的常规思路。

同样，2019年北京高考理科数学试题不乏很多创新点，比如：第8题理论联系实际，考查对于生活实际中的数据处理与分析能力;概率统计继续考查方差的现实意义，不过区别往年考查定性的方差大小比较，而是定量判断何时方差会相等;最后一道题回归到知识点原理的思维方法运用的角度，考查对于数列递推关系的运用。

北京高考数学各部分难度及分值

北京高考数学各部分难度及分值北京高考数学分为两个部分，分别是文科数学和理科数学。

文科数学的主要内容包括数与代数、空间与图形、数据与概率三个部分，总分150分，其中选择题110分，解答题40分。

理科数学的主要内容包括数与代数、几何与三角、函数与分析、统计与概率四个部分，总分150分，其中选择题110分，解答题40分。

下面将详细介绍每个部分的难度和分值。

第一部分：数与代数1.文科数学数与代数部分主要涉及数字性质、整式的加减乘除、一元一次方程与一元一次不等式、二元一次方程组与二元一次不等式等内容。

该部分的难度适中，设置在30分，题型主要包括选择题和简答题，题目考查学生对基本代数运算的掌握和应用能力。

2.理科数学数与代数部分主要包括数字的性质、整式的加减乘除与因式分解、分式的四则运算与方程不等式、二元一次方程组与不等式组、二次函数与不等式以及立体几何等内容。

该部分的难度适中，设置在30分，题型主要包括选择题和简答题，考查学生对基本代数与数字运算的掌握和应用能力。

第二部分：空间与图形1.文科数学空间与图形部分主要涉及图形的基本性质、图形的相似、全等、平移、旋转、翻折等变换、平面直角坐标系与直线方程、空间解析几何等内容。

该部分的难度适中，设置在40分，题型主要包括选择题和解答题，考查学生对基本几何图形的认识和几何变换、坐标系、解析几何的应用能力。

2.理科数学空间与图形部分主要包括几何图形的基本性质、图形的相似、全等、平移、旋转、翻折等变换、平面直角坐标系与直线方程、空间向量、立体几何等内容。

该部分的难度适中，设置在40分，题型主要包括选择题和解答题，考查学生对基本几何图形的认识和几何变换、坐标系、向量、立体几何的应用能力。

第三部分：数据与概率1.文科数学数据与概率部分主要包括数据的描述与统计、概率的基本概念、事件的概率、随机变量及其概率分布等内容。

该部分的难度适中，设置在30分，题型主要包括选择题和解答题，考查学生对数据统计和概率概念的理解和应用能力。

2023北京高考数学评析

有关“北京高考数学”的评析
有关“北京高考数学”的评析如下：
北京高考数学评析可以从多个方面进行。

首先，从试卷结构上来看，北京卷保持了一贯的稳定性和延续性，试题的难度预设基本符合从易到难的分布。

其次，在试题内容上，北京卷重点考查了数学的基础知识和主干知识，包括函数导数与不等式、三角函数与解三角形、平面解析几何、立体几何、统计概率、数列等，体现了对数学知识考查的全面性和基础性。

此外，北京卷还注重对数学素养和数学思想的考查，要求考生通过实际问题和现象，挖掘其中蕴含的数学模型和思想方法。

在逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象等方面也有所涉及，旨在综合考查学生的数学能力。

同时，北京卷也强调对数学应用能力的考查，通过引入具有现实情境的问题，要求考生运用所学数学知识解决实际问题。

这不仅能够引导中学数学教学更加关注实际应用，还能引导学生更加关注生活中的数学问题。

总的来说，北京高考数学试卷具有结构稳定、重点突出、强调基础、注重思想和应用的特点，对于提高学生的数学素养和应用能力具有一定的导向作用。

高考数学北京卷解读：整体试卷规范、无偏难怪

高考数学北京卷解读：整体试卷规范、无偏难怪看到2021年北京市高考试卷数学试题，第一感受是2021年题目整体难度较2021年有所下降。

近四年(2009-2021)北京高考理科数学试题平均分分别为102分、92分、101分、95分，从中也能看出北京市高考数学整体大小年的规律。

2021年北京高考数学平均分估量将回到102分±4分左右的水平。

2021年北京高考理科数学试题总体结构没有改变，需要强调的是，北京卷题型构思设计新颖，同时从新课标以来北京市高考数学试题着重于六大能力的考查：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力。

今年高考数学试题仍旧没有偏颇。

就具体题目而言，第8、14、18、19、20题仍旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。

笔者统计了近四年北京高考数学试题这几道题考查分布：题型年份2021202120212021第8题（创新题型）立体几何运动问题动态区域整点统计数列与几何图象几何区域、参数范畴第14题（创新题型）平面几何运动问题动点轨迹及其性质函数与逻辑思维题型正方体、动点到定直线最值第18题（导数）切线方程、单调区间单调区间、参数范畴切线、单调与最值切线方程、不等式恒成立问题第19题（解析几何）轨迹方程、动点与面积问题差不多量、距离最值参数范畴、三点共线椭圆、面积问题第20题（创新大题）数组、新距离及其性质新数列及其性质二维数表、行和与列和性质新数列最值与新性质问题今年高考数学试题，整体上出现以下特点：一、整体试题规范、无偏难怪、难度与2021年相比有所下降纵观整套试卷，没有偏题、难题、怪题，仍旧着重关于知识点原理、差不多思维方法的考查，差不多结构连续以往常规题型，比如复数、极坐标方程、简易逻辑、算法与程序框图、差不多初等函数及其图象、平面几何、排列组合、平面向量等题型差不多上考纲范畴内的重点，这些知识点着重与关于知识点原理的考查，试卷整体难度有所下降。

北京高考数学难度模块

北京高考数学难度模块在北京高考中，数学是一个非常重要的科目，也是考生们普遍认为较为困难的科目之一。

下面将从不同角度来探讨北京高考数学的难度模块。

一、题目类型多样北京高考数学试卷中，题目类型多样，包括选择题、填空题、解答题等。

每个类型的题目都有其特点和难点。

选择题要求考生在有限的时间内作出正确的选择，需要考生对知识点的掌握和理解都非常扎实。

填空题则对考生的计算能力和思维灵活性提出了更高的要求。

解答题则要求考生具备较强的分析和解决问题的能力。

这样多样的题型给考生带来了一定的难度，需要综合运用各种解题方法和策略。

二、题目难度适中北京高考数学试卷中的题目难度整体适中，既有基础性的题目，也有较难的拓展题目。

这样的设计旨在考察考生对基础知识的掌握以及对数学思想的理解和运用能力。

对于基础薄弱的考生来说，基础性的题目可以为他们提供一些容易入手的解题途径，增强信心；对于数学能力较强的考生来说，拓展题目则可以考验他们的思维能力和解决问题的能力。

三、题目内容贴近实际生活北京高考数学试卷中的题目内容通常与实际生活紧密相关，如市场调查、房屋租赁、交通运输等。

题目的内容贴近生活，不仅能够使考生更好地理解题目，还能够培养考生的实际问题解决能力。

这要求考生具备将数学知识应用于实际问题的能力，提高数学的实用性和可操作性。

四、题目思维要求较高北京高考数学试卷中的一些题目，除了考察对知识点的掌握外，还要求考生具备较高的思维能力。

这些题目通常需要考生进行分析、推理、归纳和创造，培养考生的逻辑思维和创新思维能力。

这样的题目能够激发考生的学习兴趣，提高他们的解决问题的能力。

五、题目命题合理北京高考数学试卷中的题目命题合理，题目之间存在一定的连续性和渐进性。

这样的设计可以帮助考生建立知识的逻辑框架，形成系统化的思维方式。

同时，题目的命题合理还可以考察考生的综合运用能力，强调数学知识的综合性和整体性。

六、题目解答方法灵活在北京高考数学试卷中，同一个问题通常可以用多种方法来解答。

今年北京高考数学

今年北京高考数学
今年北京高考数学
1. 今年的北京高考数学难度如何？
今年的北京高考数学难度相比往年稍微有所增加，但整体难度并不是很大，难度系数在中等偏上。

考生需要掌握扎实的数学基础知识，同时还需要具备较强的解题能力和思维逻辑能力。

2. 今年北京高考数学考了哪些内容？
今年的北京高考数学主要考查了初二至高二的数学知识，包括函数、解析几何、三角函数、导数、极限等。

其中，数学建模成为了一道热门题目，要求考生结合实际场景，运用数学知识解决问题。

3. 今年北京高考数学得分的走势如何？
据统计，今年北京高考数学的得分情况整体比较理想，部分优秀的考生得分超过了140分，甚至有的人得分达到了150分以上。

但也有部分考生出现了失误，导致分数不理想，需要进一步加强复习和命题技巧的掌握。

4. 今年北京高考数学的考察重点有哪些？
今年北京高考数学的考察重点主要是应用题和复合题，这也是考察考生解题能力和实际应用能力的一个体现。

此外，考生需要重点掌握初二至高二的数学知识，并扎实掌握数学概念、公式和方法。

5. 怎样提高自己的数学实力，备战高考？
为了备战高考数学，考生需要加强平时的数学基础知识学习和掌握，及时整理思路、做好笔记，并进行数学练习和实战演练。

同时，要提高数学思维能力和解题能力，加强对数学考试命题规律的掌握，注重策略性和方法性，灵活运用所学数学知识解决实际问题。

总的来说，今年北京高考数学的难度系数适中，考生需要整理数学基础知识并加强练习，增强解题能力和思维逻辑能力，同时注重对数学考试的命题规律的熟悉，灵活运用所学数学知识解决问题，才能在高考中取得好成绩。

2023年高考北京数学试卷评析

2023年高考北京数学试卷评析2023年高考北京数学试卷一直备受关注，作为考生们迈向大学的重要一步，数学试卷的分析对于考生们来说至关重要。

本文将对2023年高考北京数学试卷进行深入评析，帮助考生们更好地了解试卷特点，为备考提供有力的参考。

首先，2023年高考北京数学试卷的整体难度适中，注重考查学生对数学基本概念和解题能力的掌握。

试卷题型包括选择题、填空题、计算题和解答题，涵盖了数学各个方面的知识点。

试卷的题目设置合理，既考查了学生对基础知识的理解，又考察了学生的运算能力和解题思路。

在试卷的难度分布上，各题型的难度相对均衡，使得考生们能够有机会发挥自己的优势。

其次，试卷中的题目注重考查学生的综合运用能力。

试卷中的题目大多数是多个知识点的综合运用，要求学生能够将所学的数学知识进行整合，解决实际问题。

例如，选择题中的应用题要求考生能够运用数学知识解决生活中的实际问题，这既考察了学生对基本知识的掌握，又考察了学生的逻辑思维和解决问题的能力。

这种综合能力的考查对于学生在大学学习和日后的工作中都具有重要意义。

此外，试卷中的解答题更加注重学生的思考能力和解决问题的方法。

解答题的设计更加灵活，能够更好地考察学生的思考能力和解决问题的方法。

试卷中的解答题包括了证明题、计算题和解析几何题等，要求学生能够熟练掌握解题的方法和步骤，运用正确的数学推理和推导，解决复杂的数学问题。

这对于学生的数学素养和数学思维的培养具有重要的意义。

总的来说，2023年高考北京数学试卷的设计合理，难度适中，注重考查学生的数学基础知识和解题能力。

试卷的题目设置全面，既考查了学生的基础知识，又注重考察学生的综合运用能力和解决问题的方法。

因此，考生们在备考过程中，要注重基础知识的复习，提高解题能力和思考能力。

同时，要多做一些综合性的题目，培养解决问题的综合能力。

最后，考生们要保持良好的心态，在考试中保持冷静和自信，不要过于紧张。

只有在放松的状态下，才能更好地发挥自己的实力。

辩证看待北京高考数学题难度降低对考生的利弊

辩证看待2019北京高考数学题难度降低对考生的利弊【】2019年高考数学考试已结束，新东方在线优能中学网络课堂、北京新东方优能中学高考数学名师周帅发表了表示了要辩证看待2019北京高考数学题难度降低对考生的利弊，以下是查字典数学网小编为你整理的相关信息，请阅读。

周帅老师表示，试题出来以后，我的很多学生打电话反应，行业内的进行交流，就北京市的高考来说，难度是偏低，跟2019年相比，即使难度低，对我们来说未必是一件好事，不能单纯只看难度这样静止的问题，我们要看看难度对我们的影响。

提两件事情。

第一，对于2019年参加高考的同学未必好。

这个是小题看速度，大题看规范。

学习方法上会讲一些策略。

为什么说难度低不是特别好的事情?稍稍想想就会明白，难度高，区分度会高，平时学的好的同学，会好一些，学的不太好的同学，会给拦住，这点实际上是降低了考试的区分度，难度相对较低的情况下，考试和出题，如何通过题目达到考察人才的目的?很多同学在做简单题目的时候，可能做的比较慢，这是一个问题，慢一定会影响到整场考试的时间安排，导致大题没有时间做。

难度也许低，你如果按照平时的速度做，可能会在简单题目上浪费时间，大题没有时间做，导致我们丢了一些应该得到的东西。

第二，大题看规范。

难度低的情况下，平均分数会高，这样一种情况下，在阅卷，制订细则的时候，普遍有这样一种感觉，如果难度低，相对会改的松一些，难度高，会判的严一些，主观性严的大题上，难度低的情况下，不是特别仔细严谨，规范不注意的话，可能会被扣掉一些分数。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

这是对于今年的考生而言，难度低未必是好事。

收看我们视频的，大部分是明年要参加高考的同学，甚至是高一的同学，跟大家讲的是今年难度低意味着什么?正常情况下，不管是高考录取分数也好，高考实测的平均分数也好，都存在大小年这样的说法，如果去年题目出难了，今年题目就会出简单一些，不能一直难下去。

北京高考数学各部分难度及分值

北京高考数学各部分难度及分值北京高考数学试卷一般分为选择题和填空题两部分，难度和分值也各不相同。

选择题部分一般涵盖了数学的各个知识点，包括代数、几何、概率统计等。

这部分题目的难度较为适中，需要考生熟练掌握各种不同类型的题型，并能够快速准确地解题。

选择题部分通常占据试卷总分的50%左右，分值相对较小，一般为1-2分。

填空题部分也是考查考生对数学知识点的掌握程度，但相对于选择题来说，填空题的难度会有所增加。

这部分题目一般包括多步计算、证明推理等复杂题型，需要考生具备较高的解题能力和数学思维能力。

填空题部分的分值一般比选择题要高一些，也会根据题目的难度而有所不同。

总的来说，北京高考数学试卷的难度和分值分布比较均衡，选择题和填空题相互配合，全面考察考生的数学能力。

在备考过程中，考生需要全面复习各个知识点，掌握解题技巧，提高解题速度和准确度，从而在考试中取得理想的成绩。

下面分别对选择题和填空题的难度及分值进行详细介绍。

选择题部分：选择题部分一般包括单选题和多选题两种题型，涵盖了数学的各个知识点。

这部分题目的难度一般在中等水平，考查内容包括代数、几何、概率统计等各个方面的知识点。

考生需要在有限的时间内迅速准确地解题，因此需要对各个知识点有深入的理解和熟练的掌握，以及快速的解题能力。

选择题的分值一般较为稳定，每道题目一般为1-2分，总分占比约为50%左右。

因此，选择题部分在考试中的重要程度不容忽视，需要认真对待。

填空题部分：填空题部分一般包括了计算题、证明题、计算证明题等复杂题型，难度相对选择题要高一些。

这部分题目要求考生能够熟练掌握各种解题技巧，具备较强的数学思维能力和解题能力，能够灵活运用各种知识点进行解题。

填空题的分值一般比选择题要高一些，因为难度也相对更大。

考生在备考过程中需要重点关注填空题部分，针对不同的题型进行训练和练习，提高解题的效率和准确度，以取得尽可能高的分数。

总的来说，北京高考数学试卷的选择题和填空题部分各自有着不同的难度和分值分布，考生需要全面复习各个知识点，提高解题能力和速度，以取得理想的成绩。

北京高考数学各部分难度及分值

北京高考数学各部分难度及分值摘要：I.引言- 介绍北京高考数学的考试内容- 说明数学各部分难度及分值的重要性II.北京高考数学的考试内容- 选择题- 填空题- 解答题III.选择题的难度及分值- 简单题- 中等难度题- 难题IV.填空题的难度及分值- 简单题- 中等难度题- 难题V.解答题的难度及分值- 简单题- 中等难度题- 难题VI.数学各部分难度及分值对考生的影响- 分析各部分难度及分值对考生的策略选择- 提出应对策略VII.结论- 总结北京高考数学各部分难度及分值的特点- 强调合理安排考试时间的重要性正文：北京高考数学一直以来都是考生们关注的焦点。

数学考试的难度和分值对于考生的整体成绩有着重要的影响。

因此，了解北京高考数学各部分难度及分值对于考生来说至关重要。

首先，北京高考数学的考试内容包括选择题、填空题和解答题。

选择题主要考察考生的基本概念和知识点，填空题主要考察考生的计算能力和知识点掌握程度，解答题则主要考察考生的综合运用能力和解决问题的能力。

对于选择题，其难度及分值分为简单题、中等难度题和难题。

简单题主要考察考生对基础概念的理解和掌握，分值占比为30%。

中等难度题主要考察考生对知识点的运用和计算能力，分值占比为50%。

难题则主要考察考生的综合运用能力和创新能力，分值占比为20%。

对于填空题，其难度及分值也分为简单题、中等难度题和难题。

简单题主要考察考生对基础概念和公式的记忆，分值占比为30%。

中等难度题主要考察考生的计算能力和知识点掌握程度，分值占比为50%。

难题则主要考察考生的综合运用能力和解决问题的能力，分值占比为20%。

对于解答题，其难度及分值同样分为简单题、中等难度题和难题。

简单题主要考察考生对基础概念的理解和运用，分值占比为30%。

中等难度题主要考察考生的综合运用能力和解决问题的能力，分值占比为50%。

难题则主要考察考生的创新能力和高级思维能力，分值占比为20%。

总的来说，北京高考数学各部分的难度及分值对考生的成绩有着重要的影响。

2024年高考数学北京卷试题及参考答案

1一、单选题12024年高考数学北京卷试题及参考答案．已知集合=−<≤M x x {|41}，=−<<N x x {|13}，则⋃=M N （） A ．−<<x x 43}{ B ．−<≤x x 11}{ C ．0,1,2}{D ．−<<x x 14}{2．已知=−zi i 1，则=z （）．A ．−1iB ．−iC ．−−1iD ．13．求圆+−+=x y x y 26022的圆心到−+=x y 20的距离（） A．B ．2C．D4．x 4(的二项展开式中x 3的系数为（） A ．15B ．6C ．−4D ．−135．已知向量a ，b ，则“+−=a b a b 0·)()(”是“=a b 或=−a b ”的（）条件． A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知=>ωωf x x sin 0)()(，=−f x 11)(，=f x 12)(，−=x x 2||π12min ，则=ω（） A ．1B ．2C ．3D ．47．记水的质量为=−nd S ln 1，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且=d 2.11，=d 2.22，则n 1与n 2的关系为（） A ．<n n 12 B ．>n n 12C ．若<S 1，则<n n 12；若>S 1，则>n n 12；D ．若<S 1，则>n n 12；若>S 1，则<n n 12；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，则该四棱锥的高为（）2A．2B．2C．D9．已知x y ,11)(，x y ,22)(是函数=y x 2图象上不同的两点，则下列正确的是（） A ．>++y y x x 22log 21212B ．<++y y x x 22log 21212C ．>++x x y y 2log 21212D ．<++x x y y 2log 2121210．若集合=+−≤≤≤≤x y y x t x x t x ,|(),01,122}{)(表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A ．=d 3，<S 1B ．=d 3，>S 1 C．d <S 1D．=d ，>S 1二、填空题11．已知抛物线=y x 162，则焦点坐标为．12．已知⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤α63,ππ，且α与β的终边关于原点对称，则βcos 的最大值为．13．已知双曲线−=y x 4122，则过3,0)(且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．14．已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为．15．已知==M k a b k k |}{，a n ，b n 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 . ①a n ，b n 均为等差数列，则M 中最多一个元素； ②a n ，b n 均为等比数列，则M 中最多三个元素； ③a n 为等差数列，b n 为等比数列，则M 中最多三个元素； ④a n 单调递增，b n 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题316．在△ABC 中，=a 7，A为钝角，=B B 7sin 2cos ． (1)求∠A ；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积． ①=b 7；②=B 14cos 13；③=c A sin 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．已知四棱锥P -ABCD ，AD BC //，==AB BC 1，=AD 3，==DE PE 2，E 是AD 上一点，⊥PE AD ．(1)若F 是PE 中点，证明：BF //平面PCD ．(2)若⊥AB 平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单，以频率估计概率： (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19．已知椭圆方程C ：+=>>a ba b x y 102222)(，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过t 0,)(>t (的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1)(，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t ．420．已知=++f x x k x ln 1)()(在>t t t f 0,)()()(处切线为l ． (1)若切线l 的斜率=−k 1，求f x )(单调区间； (2)证明：切线l 不经过0,0)(；(3)已知=k 1，A t f t ,)()(，C f t 0,)()(，O 0,0)(，其中>t 0，切线l 与y 轴交于点B 时．当△△=S S ACO ABO 215，符合条件的A 的个数为？（参考数据：<<1.09ln31.10，<<1.60ln51.61，<<1.94ln71.95）21．设集合=∈∈∈∈+++M i j s t i j s t i j s t ,,,1,2,3,4,5,6,7,8,2}{)(}{}{}{}{)(．对于给定有穷数列≤≤A a n n :18)(}{，及序列Ωωωωs :,,...,12，=∈ωi j s t M k k k k k ,,,)(，定义变换T ：将数列A 的第i j s t ,,,1111项加1，得到数列A T 1)(；将数列A T 1)(的第i j s t ,,,2222列加1，得到数列T T A 21)(…；重复上述操作，得到数列T T T A s ...21)(，记为ΩA )(．若+++a a a a 1357为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA )(为常数列”的充要条件为“+=+=+=+a a a a a a a a 12345678”5参考答案：1．A【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得⋃=−M N 4,3)(，故选：A. 2．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得=−=−−z i i 11i )(，故选：C. 3．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得+−+=x y x y 26022，即−++=x y 131022)()(，则其圆心坐标为−1,3)(，则圆心到直线−+=x y 20=，故选：C. 4．B【分析】写出二项展开式，令−=r243，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】x 4(的二项展开式为==−=+−−T x xr r r r r rrr C C 1,0,1,2,3,4144244)()((，令−=r243，解得=r 2，故所求即为−=C 16422)(. 故选：B. 5．A【分析】根据向量数量积分析可知+⋅−=a b a b 0)()(等价于=a b ，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为+⋅−=−=a b a b a b 022)()(，可得=a b 22，即=a b ，可知+⋅−=a b a b 0)()(等价于=a b ，6若=a b 或=−a b ，可得=a b ，即+⋅−=a b a b 0)()(，可知必要性成立；若+⋅−=a b a b 0)()(，即=a b ，无法得出=a b 或=−a b ，例如==a b 1,0,0,1)()(，满足=a b ，但≠a b 且≠−a b ，可知充分性不成立；综上所述，“+⋅−=a b a b 0)()(”是“≠a b 且≠−a b ”的必要不充分条件. 故选：A. 6．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：x 1为f x )(的最小值点，x 2为f x )(的最大值点，则−==x x T 22πmin 12，即=T π，且>ω0，所以==ωT2π2. 故选：B. 7．C【分析】根据题意分析可得⎩=⎪⎨⎪=⎧−−n n S S e e 22.211 2.11，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得⎩⎪==⎪−⎨⎪⎪==⎧−n d S n d S ln 2.21ln 2.112211，解得⎩=⎪⎨⎪=⎧−−n n S S e e 2 2.211 2.11，若>S 1，则>−−S S 2.1 2.211，可得>−−S S e e 2.1 2.211，即>n n 12；若=S 1，则==−−S S 2.1 2.2011，可得==n n 112；若<S 1，则<−−S S 2.1 2.211，可得<−−S S e e 2.1 2.211，即<n n 12；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C. 8．D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面⊥PEF 平面ABCD ，可知⊥PO 平面7ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设=====PA PB AB PC PD 4,分别取AB CD ,的中点E F ,，连接PE PF EF ,,，则⊥⊥PE AB EF AB ,，且⋂=PE EF E ，⊂PE EF ,平面PEF ，可知⊥AB 平面PEF ，且⊂AB 平面ABCD ，所以平面⊥PEF 平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即⊥PO EF ，由平面PEF 平面=ABCD EF ，⊂PO 平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：===PE PF EF 2,4，则+=PE PF EF 222，即⊥PE PF ，则⋅=⋅PE PF PO EF 2211，可得==⋅EFPO PE PF当相对的棱长相等时，不妨设==PA PC 4，==PB PD因为==+BD PB PD ，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在. 故选：D. 9．A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设<x x 12，因为函数=y x 2是增函数，所以<<x x 02212，即<<y y 012，对于选项AB：可得=++x x x x 222221212，即>>++y y x x 22021212，8根据函数=y x log 2是增函数，所以>=+++y y x x x x 22log log 2222121212，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如==x x 0,112，则==y y 1,212，可得=∈+y y 22log log 0,132212)(，即<=++x x y y 2log 121212，故C 错误；对于选项D ：例如=−=−x x 1,212，则==y y 24,1112，可得==−∈−−+y y 28log log log 332,1322212)(，即>−=++x x y y 2log 321212，故D 错误，故选：A. 10．C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域⎩≤≤⎪⎨≥⎪≤⎧x y x y x 122，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定∈x 1,2][，则−=−≥x x x x 102)(，且∈t 0,1][，可知≤+−≤+−=x x t x x x x x x 222)(，即≤≤x y x 2，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域⎩≤≤⎪⎨≥⎪≤⎧x y x y x 122，如图阴影部分所示，其中A B C 1,1,2,2,2,4)()()(，可知任意两点间距离最大值==d AC 阴影部分面积△<=⨯⨯=S S ABC 21211.故选：C.9【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 11．4,0)(【分析】形如=≠y px p 2,02)(的抛物线的焦点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫p 2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为=y x 162，所以其焦点坐标为4,0)(. 故答案为：4,0)(. 12．−21/−0.5【分析】首先得出=++∈βαk k ,Z π2π，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意=++∈βαk k ,Z π2π，从而=++=−βααk cos π2πcos cos )(，因为⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤α63,ππ，所以αcos的取值范围是⎣⎦⎢⎡21，βcos的取值范围是⎣⎦⎢⎥−⎡⎤21，当且仅当=α3π，即=+∈βk k 3,Z π2π4时，βcos 取得最大值，且最大值为−21. 故答案为：−21.13．±21【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立=x 3与−=y x 4122，解得=±y 2设所求直线斜率为k ，则过点3,0)(且斜率为k 的直线方程为=−y k x 3)(，联立⎩=−⎪⎨⎪−=⎧y k x y x 34122)(，化简并整理得：−+−−=k x k x k 142436402222)(，由题意得−=k 1402或=++−=k k k 244364140Δ2222)()()(，解得=±k 21或无解，即=±k 21，经检验，符合题意.10故答案为：±21.14．2mm,23mm 115【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为h 1，第二个圆柱的高为h 2，则⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫==⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⨯⎛⎫⎛⎫h h h 22ππ653251022230ππ3253251222222，故=h 23mm 2，=h 2mm 1151，故答案为：2mm,23mm 115. 15．①③④【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为a b n n ,}{}{均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确. 对于②，取==−−−−a b n n n n 2,2,11)(则a b n n ,}{}{均为等比数列，但当n 为偶数时，有===−−−−a b n n n n 2211)(，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设=≠≠±b Aq Aq q n n0,1)(，=+≠a kn b k n 0)(，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程=+Aq kn b n 至少有4个不同的正数解，若>≠q q 0,1，则由=y Aq n 和=+y kn b 的散点图可得关于n 的方程=+Aq kn b n 至多有两个不同的解，矛盾；若<≠±q q 0,1，考虑关于n 的方程=+Aq kn b n 奇数解的个数和偶数解的个数，当=+Aq kn b n 有偶数解，此方程即为=+A q kn b n，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时>Ak q ln 0，11否则<Ak q ln 0，因==+y A q y kn b n,单调性相反，方程=+A q kn b n至多一个偶数解，当=+Aq kn b n 有奇数解，此方程即为−=+A q kn b n，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时−>Ak q ln 0即<Ak q ln 0 否则>Ak q ln 0，因=−=+y A q y kn b n,单调性相反，方程=+A q kn b n 至多一个奇数解，因为>Ak q ln 0，<Ak q ln 0不可能同时成立，故=+Aq kn b n 不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为a n }{为单调递增，b n }{为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 16．(1)=A 3π2； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得=πB 3，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出=B 14sin ，再代入式子得=b 3，再利用两角和的正弦公式即可求出C sin ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到=c 5，再利用正弦定理得到=C 14sin ，再利用两角和的正弦公式即可求出B sin ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得=B B B 2sin cos cos ，因为A 为钝角，则≠B cos 0，则=B 2sin，则===BA A b a sin sin sin 7，解得=A sin12因为A 为钝角，则=A 3π2. （2）选择①=b 7，则===B sin 7=A 3π2，则B 为锐角，则=πB 3，此时+=A B π，不合题意，舍弃；选择②=B 14cos 13，因为B为三角形内角，则==B sin则代入=B 2sin得=2，解得=b 3， ⎝⎭⎪=+=+=+⎛⎫C A B B B B 333sin sin sin sin cos cos sin π2π2π2)(⎝⎭ ⎪=+−⨯=⎛⎫21421414131,则==⨯⨯=Sab C ABC22sin 7311.选择③=c A sinc =c 5，则由正弦定理得=A C a c sin sinC sin 5，解得=C 14sin ，因为C为三角形内角，则C 14cos 11，则⎝⎭⎪=+=+=+⎛⎫B AC C C C 333sin sin sin sin cos cos sin π2π2π2)(⎝⎭ ⎪=+−⨯=⎛⎫21421414111，则△==⨯⨯=S ac B ABC 22sin 7511 17．(1)证明见解析【分析】（1）取PD 的中点为S ，接SF SC ,，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF //平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.13【详解】（1）取PD 的中点为S ，接SF SC ,，则==SF ED SF ED 2//,11，而=ED BC ED BC //,2，故=SF BC SF BC //,，故四边形SFBC 为平行四边形，故BF SC //，而⊄BF 平面PCD ，⊂SC 平面PCD ，所以BF //平面PCD . （2）因为=ED 2，故=AE 1，故AE BC AE BC //,=，故四边形AECB 为平行四边形，故CE AB //，所以⊥CE 平面PAD ，而⊂PE ED ,平面PAD ，故⊥⊥CE PE CE ED ,，而⊥PE ED ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则−−A B C D P 0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2)()()()()(，则=−−=−−=−=−PA PB PC PD 0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,)()()()( 设平面PAB 的法向量为=m x y z ,,)(，则由⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧m PB m PA 00可得⎩−−=⎨⎧−−=x y z y z 2020，取=−m 0,2,1)(，设平面PCD 的法向量为=n a b c ,,)(，则由⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧n PD n PC 00可得⎩−=⎨⎧−=b c a b 22020，取=n 2,1,1)(，故⨯==−m n 5cos ,1故平面PAB 与平面PCD18．(1)10114(2)(i)0.122万元 (ii)0.1252万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求E X )(.（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求E Y )(. 【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得++++==++P A 800100603010106030101)(.（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得======ξξP P 100051000100,0.880041001)()(， ===ξP 100050( 1.6)603，===ξP 1000100( 2.4)303， ===ξP 1000100(3)101，故=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 5105010010000.8 1.6 2.430.27841331)( 故=−=E X 0.40.2780.122)(（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为⨯⨯+⨯⨯=550.496%0.4 1.20.403241，故=+−=E Y 0.1220.40320.40.1252)(（万元） 19．(1)+==e x y 421,22 (2)=t 2【分析】（1）由题意得=b c a ，由此即可得解；（2）说明直线AB斜率存在，设=+AB y kx t t :,(，A x y B x y ,,,1122)()(，联立椭圆方程，由韦达定理有+++==−−k k x x x x kt t 1221,4242212122，而+=−+−x x AD y x x y y y :121112)(，令=x 0，即可得解.【详解】（1）由题意==b c==a 2，15所以椭圆方程为+=x y 42122，离心率为=e 2；（2）显然直线AB 斜率存在，否则B D ,重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设=+>AB y kx t t :,(，A x y B x y ,,,1122)()(，联立⎩=+⎪⎨⎪+=⎧y kx t x y 42122，化简并整理得+++−=k x ktx t 124240222)(，由题意=−+−=+−>k t k t k t 1682128420Δ222222)()()(，即k t ,应满足+−>k t 42022，所以+++==−−k k x x x x kt t 1221,4242212122，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设−D x y ,22)(，所以+=−+−x x AD y x x y y y :121112)(，在直线AD 方程中令=x 0，得+++−====+==++++++−x x x x x x kt ty t x y x y x kx t x kx t kx x t x x k t C 4122421212121221122112122)()()()(，所以=t 2，此时k 应满足⎩≠⎨+−=−>⎧k k t k 042420222，即k应满足<k 2或>k 2，综上所述，=t 2满足题意，此时<k>k 20．(1)单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为+∞(0,). (2)证明见解析 (3)2【分析】（1）直接代入=−k 1，再利用导数研究其单调性即可；16（2）写出切线方程⎝⎭+ ⎪−=+−>⎛⎫t y f t x t t k 1()1()(0)，将(0,0)代入再设新函数+=+−t F t t t1()ln(1)，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入=S S ACOABO 215得到++−−=tt t t113ln(1)2150，再设新函数+=+−−>th t t t t t1()13ln(1)2(0)15研究其零点即可. 【详解】（1）++=−+=−=>−'x xf x x x f x x x 11()ln(1),()1(1)1，当∈−x 1,0)(时，<'f x 0)(；当∈+∞x 0,)(，>'f x 0)(； ∴f x ()在−(1,0)上单调递减，在+∞(0,)上单调递增.则f x ()的单调递减区间为−(1,0)，单调递增区间为+∞(0,).（2）+=+'xf x k 1()1，切线l 的斜率为++t k11，则切线方程为⎝⎭+ ⎪−=+−>⎛⎫t y f t x t t k 1()1()(0)，将(0,0)代入则⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪−=−+=+⎛⎫⎛⎫t t f t t f t t k k 11()1,()1，即+++=+t t k t t t k 1ln(1)，则++=t t t 1ln(1)，++−=tt t1ln(1)0，令+=+−tF t t t1()ln(1)，假设l 过(0,0)，则F t ()在∈+∞t (0,)存在零点.+++=−=>'+−t t t F t t t t 1(1)(1)()01122，∴F t ()在+∞(0,)上单调递增，>=F t F ()(0)0， ∴F t ()在+∞(0,)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）=k 1时，++=++=+=>'+x xf x x x f x x 11()ln(1),()1012. =Stf t ACO2()1，设l 与y 轴交点B 为q (0,)， >t 0时，若<q 0，则此时l 与f x ()必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知≠q 0.所以>q 0，则切线l 的方程为⎝⎭+ ⎪−−+=+−⎛⎫t y t t x t 1ln 111)()(，令=x 0，则+===+−t y q y t t 1ln(1). =SS ACOABO 215，则⎣⎦+⎢⎥=+−⎡⎤t tf t t t t 12()15ln(1)，17+∴+−−=t t t t 113ln(1)2150，记+=+−−>th t t t t t 1()13ln(1)2(0)15， ∴满足条件的A 有几个即h t ()有几个零点.'+++++=−−===+−−+−+−++−t t t t t h t t t t t t t t 1(1)(1)(1)(1)()21315294(21)(4)131322115222222)(，当⎝⎭ ⎪∈⎛⎫t 20,1时，<'h t 0)(，此时h t )(单调递减；当⎝⎭ ⎪∈⎛⎫t 2,41时，>'h t 0)(，此时h t )(单调递增；当∈+∞t 4,)(时，<'h t 0)(，此时h t )(单调递减；因为⎝⎭⎪=<=−>⨯−=>⎛⎫h h h 2(0)0,0,(4)13ln 52013 1.6200.801， =−−=−−<⨯−−=−<⨯h 2555(24)13ln 254826ln 54826 1.614820.54015247272，所以由零点存在性定理及h t ()的单调性，h t ()在⎝⎭⎪⎛⎫2,41上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h t ()有两个零点，即满足=S S ACO ABO 215的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．证明见解析【分析】分充分性和必要性两方面论证.【详解】我们设序列T T T A k ...21)(为≤≤a n k n 18,)(}{，特别规定=≤≤a a n n n 180,)(. 必要性：若存在序列Ωωωωs :,,...,12，使得ΩA )(为常数列.则=======a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，所以+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8.18根据T T T A k ...21)(的定义，显然有+=+−−−−a a a a k j k j k j k j ,21,21,211,2，这里=j 1,2,3,4，=k 1,2,.... 所以不断使用该式就得到，+=+=+=+a a a a a a a a 12345678，必要性得证. 充分性：若+=+=+=+a a a a a a a a 12345678.由已知，+++a a a a 1357为偶数，而+=+=+=+a a a a a a a a 12345678，所以+++=+−+++a a a a a a a a a a 42468121357)()(也是偶数.我们设T T T A s ...21)(是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA )(中，使得−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8最小的一个.上面已经证明+=+−−−−a a a a k j k j k j k j ,21,21,211,2，这里=j 1,2,3,4，=k 1,2,....从而由+=+=+=+a a a a a a a a 12345678可得+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8. 同时，由于+++i j s t k k k k 总是偶数，所以+++a a a a k k k k ,1,3,5,7和+++a a a a k k k k ,2,4,6,8的奇偶性保持不变，从而+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数. 下面证明不存在=j 1,2,3,4使得−≥−a a s j s j 2,21,2.假设存在，根据对称性，不妨设=j 1，−≥−a a s j s j 2,21,2，即−≥a a s s 2,1,2. 情况1：若−+−+−=a a a a a a s s s s s s 0,3,4,5,6,7,8，则由+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，知−≥a a s s 4,1,2.对该数列连续作四次变换2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7)()()()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 4,14,24,34,44,54,64,74,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8减少4，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；情况2：若−+−+−>a a a a a a s s s s s s 0,3,4,5,6,7,8，不妨设−>a a s s 0,3,4.情况2-1：如果−≥a a s s 1,3,4，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7,2,4,6,8)()(后，新的19−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾；情况2-2：如果−≥a a s s 1,4,3，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8,2,3,6,7)()(后，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 2,12,22,32,42,52,62,72,8相比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8至少减少2，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的=j 1,2,3,4都有−≤−a a s j s j 1,21,2. 假设存在=j 1,2,3,4使得−=−a a s j s j 1,21,2，则+−a a s j s j ,21,2是奇数，所以+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8都是奇数，设为+N 21.则此时对任意=j 1,2,3,4，由−≤−a a s j s j 1,21,2可知必有=+−a a N N s j s j ,,1,21,2}{}{. 而+++a a a a s s s s ,1,3,5,7和+++a a a a s s s s ,2,4,6,8都是偶数，故集合=m a N s m ,}{中的四个元素i j s t ,,,之和为偶数，对该数列进行一次变换i j s t ,,,)(，则该数列成为常数列，新的−+−+−+−++++++++a a a a a a a a s s s s s s s s 1,11,21,31,41,51,61,71,8等于零，比原来的−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8更小，这与−+−+−+−a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8的最小性矛盾.综上，只可能−==−a a j s j s j 01,2,3,4,21,2)(，而+=+=+=+a a a a a a a a s s s s s s s s ,1,2,3,4,5,6,7,8，故=Ωa A s n ,)(}{是常数列，充分性得证.。

历年北京高考数学难度系数表

历年北京高考数学难度系数表摘要：1.历年北京高考数学难度系数表的概述2.北京高考数学难度系数的变化趋势3.对考生的影响和应对策略正文：历年北京高考数学难度系数表概述：北京高考数学难度系数表是对历年来北京高考数学试题难度的一个量化衡量。

难度系数是根据试题的平均分、标准差、高分段人数等指标进行计算的，其值在0-1 之间，越接近1 则表示试题难度越大。

通过这个系数，我们可以了解到高考数学试题的难易程度，从而对教学、备考等方面提供一定的参考。

北京高考数学难度系数的变化趋势：通过对历年北京高考数学难度系数表的分析，我们可以发现以下几个变化趋势：1.高考数学难度系数整体呈下降趋势。

这说明近年来，北京高考数学试题的难度有所降低，考生在应对高考数学时，相对较为容易。

2.难度系数的波动幅度逐渐减小。

这表明高考数学试题的难度在逐年稳定，有利于考生对高考数学的备考。

3.某些年份难度系数出现较大波动。

这可能是由于高考数学试题的命制出现较大调整，或考生的整体水平发生变化等原因。

对考生的影响和应对策略：面对高考数学难度系数的变化，考生需要采取一定的应对策略：1.充分了解历年高考数学试题的特点，掌握难度系数的变化趋势，合理评估自己的数学水平，制定合适的学习计划和备考策略。

2.注重基础知识的学习和巩固，强化基本技能的训练，提高解题速度和准确率。

3.适当关注高考数学试题的新动态，密切关注官方发布的相关政策和信息，以便及时调整学习方向和备考策略。

4.增强心理素质，保持良好的心态，面对难度系数的变化，要有信心应对，避免因心理压力过大而影响考试表现。

总之，通过对历年北京高考数学难度系数表的分析，我们可以了解到高考数学试题的难易程度，从而为教学、备考等方面提供参考。

2021北京高考数学评析

2021北京高考数学评析今年的北京高考数学试卷在难度和题型上都有一定的变化，对考生的能力要求也更高。

以下将对2021年北京高考数学试卷进行评析。

首先是选择题部分。

今年的选择题中，与往年相比，注重对基础知识的考查，尤其是对知识点的深入理解和应用能力的考察。

例如，在函数与导数的题目中，要求考生具备分段函数、可导函数和函数的图像变换等知识的综合应用能力。

这样的考查方式，对考生的逻辑思维和分析能力提出了更高的要求。

其次是解答题部分。

今年的解答题更加注重对数学思想的理解和运用。

在平面向量的题目中，要求考生对向量的定义和性质有深刻的理解，并能够将向量与几何问题相结合，进行推理和证明。

这种注重思维方法和解题思路的考查，对考生的逻辑推理和创新能力提出了更高的要求。

此外，今年的数学试卷还增加了一些实际问题的应用题。

这些应用题涉及到现实生活中的各种情境，要求考生能够将数学知识与实际问题相结合，进行分析和解决。

例如，在概率统计的题目中，要求考生对样本调查和统计分析有一定的了解，并能够根据实际情况进行合理的推断和预测。

这样的应用题，不仅考查了考生的数学知识，还考查了考生的实际问题解决能力和数学模型建立能力。

总的来说，2021年北京高考数学试卷在难度和题型上都有一定的变化，对考生的能力要求更高。

考生在备考过程中，不仅要掌握扎实的数学基础知识，还要注重对数学思想的理解和运用，提高解题的逻辑推理和创新能力。

同时，要注重实际问题的应用，培养数学建模和解决实际问题的能力。

只有全面提升自己的数学素养，才能在高考中取得理想的成绩。

以上是对2021年北京高考数学试卷的评析。

希望考生们能够认真总结备考经验，提高自己的数学水平，为未来的发展打下坚实的数学基础。

祝愿所有考生都能取得优异的成绩！。

北京高考数学题不难

北京高考数学题不难
文科卷答题顺序有调整
北京市教委昨天公布了7位来自一线的教研员和教师对数学试卷试题的分析。

分析指出，与去年高考文科数学试卷相比，2019年将解答题的顺序进行适当调整。

另外，部分试题的阅读量稍有增大。

试题还结合数据分析、数表观察、图象解析等，解释现实生活中的现象，解决生活、生产中的数学问题。

例如第14题关注的不是甲乙两名学生名次之间的关系，而是引导学生学会运用数学方法对考试结果进行分析，很贴近学生的实际生活，能够帮助学生分析自己的学习状况，发现自己的优势与不足，培养学生理性分析问题的思维习惯。

北京教育考试院公布的高考数学试卷分析称，2019年的数学试卷整体结构合理、难度适中、区分度合理。

理科卷解答题阅读量下降
与去年相比，2019年理科数学卷解答题的总体阅读量有所下降，注重基本知识、基本技能、基本思想方法的考查。

例如：三角、复数、算法、线性规划、极坐标与参数方程、立体几何等知识;读图、读表、计算、数据处理等基本技能;数形结合、转化与化归、函数与方程等基本数学思想方法。

另外，大部分试题的背景学生很熟悉，这有利于学生将注意力放在数学问题的解决上。

例如第16题是一个关于病人服药后康复时间的问题，来源于实际，但降低了阅读量，避
免了其他因素的干扰，让学生很容易进入答题状态。

北京试题“多想少算”
与往年相比，2019年理科数学卷在降低计算量、减少数学符号阅读的同时，更注重对数学能力的考查。

比如第16题，前两问主要考查概率的基本概念和简单计算，较为基础;第3小问并没有要求学生进行繁杂的计算，只要学生理解方差概念的本质即可得出答案，充分反映了北京试题“多想少算”的特点。

2022年北京高考数学试题难不难

2022年北京⾼考数学试题难不难
6⽉7⽇下午，⾼考数学考试结束后，有媒体报道称，北京考⽣被数学“难哭了”。

考⽣出考场以后，⼤呼试题给出的条件让⼈有点“摸不到头脑”，“感觉我们遇上近⼏年最难的⾼考数学题！”“最后的⼤题⼀道没看懂”。

2022年北京⾼考数学试题难吗
今年北京⾼考数学到底难不难？专家们认为，今年北京⾼考数学试题整体上保稳定，细微处见变化。

相⽐于去年，数学试题在试卷结构、考试内容和难度上保持⼀致。

试题突出对理性思维和关键能⼒的考查，通过设计真实问题情境，关注我国科学防疫的成果，体现数学⽂化，贯彻全⾯育⼈的要求。

试题考查了考⽣获取新知识的能⼒和对新概念、新问题的理解探究能⼒，体现了对数学阅读与理解能⼒的考查。

⽹友评论
很难吗我堂哥复读今年第⼆次⾼考了他真的很想上⼤学呢
这个⾼考数学让我想到重庆康德⼀诊时64分的数学重本线
来吧，家⼈们，我画的图可⽐卷纸上的得劲，算吧
⽴体⼏何的三棱锥像是被橘⼦林中的修好蹄⼦的马踩了⼀脚
⼗七题括号⼆都不会了。

北京高考数学难度降低、回归原理

北京高考数学难度降低、回归原理2021年北京高考数学考试差不多终止，纵观北京新课标高考以来，理科数学命题一直着重关于数学差不多原理和思维方法运用的考查，可不能在细节上为难考生。

同时，命题角度大气、创新点多而不偏、能力考查角度贴合实际等是北京一如既往的命题风格，这也是笔者在学而思课堂上对高三考生的一贯说明。

《考试说明》要求学生把握六大差不多数学思维能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力，同时在考查能力的同时注重基础知识点原理及其本质思维方法的运用。

这在2021年高考数学命题中表达的尤为明显。

第一，需要说明的是，北京数学试卷结构按照难度能够分为两个部分：数学差不多原理简单题型与数学思维运用较难题型。

要紧对应关系如下：2021年高考数学命题从试卷结构、命题难度与侧重点上看有如下变化：一.2021年试题难度降低，运算量减少，“三基”仍旧是主体第一说说试卷总体难度，北京市近4年来高考理科数学平均分差不多稳固在98±3分左右，如下表：2021年高考理科数学命题整体难度在2021年基础上有所降低，运算量在减少，没有显现“偏、难、怪”等题型。

同时，从整体情形看，仍旧更加注重关于基础知识原理、差不多数学技能、差不多思维方法的考查。

二.以稳为主、稳中有新北京市高考新课标以来，命题立意每年差不多上以稳为主、稳中有新。

2021年，三角函数大题命题简单、解题快捷，却要求思路明确、逻辑严谨;概率统计大题理论联系实际，以环境污染为背景考查方差的现实意义运用;解析几何考查不存在性证明等等。

2021年，第8题考查现实问题的数学模型分析;导数大题注重数学模型的转化、化归思想运用;解析几何大题考查几何位置关系的代数处理角度，区别于以往联立韦达求解的常规思路。

同样，2021年北京高考理科数学试题不乏专门多创新点，比如：第8题理论联系实际，考查关于生活实际中的数据处理与分析能力;概率统计连续考查方差的现实意义，只是区别往年考查定性的方差大小比较，而是定量判定何时方差会相等;最后一道题回来到知识点原理的思维方法运用的角度，考查关于数列递推关系的运用。

2022年新高考北京卷数学高考真题(解析版)

2022年新高考北京卷数学高考真题一、单选题1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--U C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--U 【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--U ð，故选：D ．2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．253．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪上单调递增6．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-9．已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】在底面上的投影为O ，连接BO ，则23623⨯⨯=，故3612PO =-=10．在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA u u u r ，PB u u u r，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，二、填空题11．函数1()f x x=+的定义域是_________．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==L ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题14．在ABC V 中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，233⨯．以上16．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、（含950m乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.17．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．18．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈L ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ≥．【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++<L 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．四、双空题20．若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，a<0不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-，解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1。

北京高考数学卷评析：整体难度较低文科试题难度适中

北京高考数学卷评析：整体难度较低文科试题难度适中北京2017高考数学卷评析：整体难度较低文科试题难度适中2017年北京高考数学已经落下帷幕，不少专家、名师第一时间对试卷做了评析。

下面店铺带大家一起来看看详细内容，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!名师认为北京2017年高考数学整体难度较低。

“2017年文科也好、理科也好，整个试卷难度较2015、2016年比较平稳，北京高考应该是从2014年以前和2014年以后，2015、2016年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低。

”往年我们说把试卷分为三个档次：第一档属于简单基础，选择了前六档，填空前四档，大题中档;第二档属于中档，稍难一点的，第七题，填空第五题和大题倒数第二题，第三题，就是18、19，最难的是第8、第14和第20题。

今天所说卷子简单在于第8题和第14题，难度下降了，相比2014、2015、2016，整体都下降了。

中等档题比较平稳，基本可以预测今年的平均分不会比去年的平均分低(去年文理平均分都在110以上)。

北京卷难度今年可控范围就是这样，所以今年录取线相对来讲应该会上升。

对于2017北京高考文科数学试卷的总体印象是：难度适中，考察全面。

试卷严格遵照2017年北京高考大纲的.要求，延续8+6+6的试卷结构，即8道选择、6道填空、6道大题的形式，所占分值分别为40分、30分、80分。

试卷由容易题、中等难度题、难题组成，并以容易题，中等难度题为主，总体难度适当。

试卷着重考查了高中数学的重点章节：函数、三角函数、数列、立体几何、平面解析几何、算法、统计、概率、向量。

整个试卷难易程度对比往年略有下降，其中8和14表现明显。

分评(1)基础题：1-6，9-12，15，16，17，18题注重基础，只要学生平时对于基础知识，基础题型练习到位，就能保证基础分顺利全部拿到手。

(2)中档题：比如7题考查知识点交叉问题。

(3)创新题：第8题考察对数在实际应用中的计算问题，第14题考察实际应用中的逻辑问题。