13.5.2线段垂直平分线导学案

A 13.5.2 线段垂直平分线导学案

一、学习目标：

1、掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

2、能够运用线段垂直平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

3、进一步发展推理意识及能力。

二、学习重难点

重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

难点：利用线段垂直平分线的性质定理、判定定理的应用。

三、预习导学：

1、我们学过哪些互逆定理？举例说明。

2、什么是线段垂直平分线？

并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。 3、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）

性质1：线段是 图形。

A 、中心对称；

B 、轴对称性质2： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）

∴ ， （定义）

四、新课探究 探究一：在公路的同侧有张村、李庄两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？ 探究二：实践： 1、在一张纸上任意画一线段AB 。

2、作出这条线段的垂直平分线MN

3、沿直线MN 对折，你有什么发现？

4、在直线MN 上任意取一点P ，连结PA 、PB

5

（1）

（2）

（3）、写一写：几何语言：（如上图）

∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB ∴ =

探究三：

1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：

。

2、想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ）

3、证一证：

已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB

李庄

A B 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：为了证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段AB.

证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C

∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° ∴△ 和△ 是 三角形

在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩

⎨⎧

∴Rt △ ≌Rt △ （ ）

∴ =

∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上

（也可以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为点C ，然后证明QC 垂直于线段AB ，想一想用这种方法怎么证明？）

4、概括：因此得到线段的垂直平分线的判定定理：

到线段的 距离相等的点，在这条线段的 。

几何语言：（如上图）

∵ OB= OC

∴ 点 在 的垂直平分线上

5、试一试：

证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。

已知：在△ABC 中，OE 、OF 分别是△ABC 边AB 、AC 的垂直平分线,

求证：点O 在BC 的垂直平分线 分析：要证点O 在线段BC OB=OC （想到添辅助线），由已知条件如何证得OB=OC ？

证明：连结 、 、 ∵OE 、OF 是AB 、AC 的垂直平分线 （已知）

∴ OA= ，OA=

（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）

∴ = （等量代换）

∴ 点O 在 的垂直平分线

（到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

即三角形三边的垂直平分线交于一点。

五．知识点梳理提升

1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、重要规律：三角形三边的垂直平分线交于一点。

C 六、随堂反馈练习

1、如图，EF 是△ABC 中BC 边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=

2、如图， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，

（1）、如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=

（2）、如果BC=8cm ，那么△EBC （3

3AC=5

，BC=4，则△BCD 的周长是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 4、在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC

A ．三条角平分线的交点

B ．三条中线的交点

C ．三条高的交点

D 5、如图，四边形ABCD ，AB=AD ，BC=DC ，则AC 与BD 点A 在线段BD 的 上，点C 在线段BD 6、如图，AD 是△

ABC 的高，E 为AD 上一点，且BE=CE ，

则△ABC 为 三角形。

7、△ABC 中，AB=AC=28cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AB 交BC 若△EAC 的周长为36cm,则AC= 。 8、如图，∠C=90度，DE 是AB 的垂直平分线，∠1：∠2=2的度数为 。

9是 三角形。

10、如果一个三角形三边的垂直平分线的交点在其中一边上，那么这个三

角形是 。

11、如图，DE 垂直平分AC ，AE=7，△ABC 的周长是35，则△ABD 的周长

是 。

七、课后检测：

1、在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 与D ，∠DBC=1/2∠ABD,则∠BAC= 。

2、在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于D,且BD=AC,若∠A=60度，则∠C= 。

3、如图，已知有三个小村庄A 、B 、C ，先计划联合打一口井，要求

水井到三个村庄的距离相等，试问水井应建在何处？并说明理由。

4、如图，已知在△ABC 中，∠C=90度，∠A=30度，BD 平分∠ABC 交AC 于D 。

求证：D 在AB 的垂直平分线上。

C

C B