结构化学习题

《物质结构》第一章习题(下)

(注：习题中，分别用L 2和L z 表示轨道角动量的平方和z 分量，课本上所采用的符号是M 2

和M z )

1. 证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是z L ˆ的本征函数，并求相应的本征值.

2. 球谐函数),(φθlm Y 是_____和_____的共同本征函数，相应的本征值分别是___和____。

3. 球谐函数)(),(),(φφθφθm lm lm Y ΦΘ=，其中),(φθlm Θ是______，=Φ)(φm _____。

4. 设一粒子的状态为θcos 211⎪

⎭

⎫

⎝⎛3=πψ，证明：该状态下，轨道角

动量的平方L 2有确定值，并求出角动量的大小。

已知：在球极坐标系中，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆφθθθθθL . 5. 设一粒子的状态为φψi 2

1e sin cos 21-⎪

⎭

⎫

⎝⎛2π15=θθ，证明：该状态下，

轨道角动量的z 分量有确定值。

6. 设一个粒子的状态是0,21,22Y Y +=ψ，其中Y 为球谐函数。问L 2和L z 有无确定值，若有，其值是多少，若无，则求平均值。

7. 类氢原子的定态波函数()φψ,r,θnlm 是____、_____、_____的共同本征函数，本征值分别是____、____、____。

8. 类氢原子的定态波函数()φψ,r,θnlm 可以写作()()()φΦΘ,,θr R 三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数_____, _____, _____来规定。

9. 写出单电子原子的ΦΘ,,,R ψ函数归一化时的积分变量及积分区间。

【答案1-9】

1. 在笛卡尔坐标系中，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=x y y x i L z ˆ

())()()(ˆiy x y ix i iy x x y y x i iy x L z +=--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=+ ())()()(ˆiy x y ix i iy x x y y x i iy x L z --=+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=- z z x y y x i z L z ⋅==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=00ˆ

故本征值分别为0,, -

2. 轨道角动量平方算符2ˆL ，轨道角动量z 分量算符z

L ˆ；2)1( +l l ， m

3. 归一化的联属勒让德函数；φπ

φim e 21)(=

Φ

4. 只需证明ψψ⋅=常数2ˆL ，其中常数(本征值)即为该状态下L 2的值。

()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-∂∂-=0sin sin 122θθN θ

()ψ222cos 2 ==θN

故L 2有确定值22 ，得 2=L

5. 在球极坐标系中，φ

∂∂-= i L z

ˆ，于是 ()()

ψθθθθφ

ψφφ -=-=∂∂-=--i i z

e N e N i L sin cos sin cos ˆ 故L z 有确定值 -。 6. 利用态叠加原理求解。

①Y 2,1和Y 2,0都是2ˆL

的本征函数，并且本征值都是()226122 ＝+，因此，线性组合0

,21

,22Y Y +仍是2ˆL

的对应于同一本征值的本征函数 (线性算符的性质)。故L 2有确定值26 。

② Y 2,1和Y 2,0都是z

L ˆ的本征函数，但本征值不同，分别是0 ， ，故线性组合0

,21

,22Y Y +不是z

L

ˆ的本征函数。可以验证如下： 2 02)2(ˆˆ1,20,21,20,21,2ψψ⋅≠=+⋅=+=常数Y Y Y Y Y L L z z 因此，在ψ状态下L z 没有确定值， 0 ， 都有一定的出现几率。 在0,21,22Y Y +=ψ中，球谐函数Y lm 是归一化的，但线性组合系数的绝对值平方和=22+12≠1，说明ψ不是归一化的。设ψ的归一化系数为N ，则

()

0,21,22Y Y N N +=ψ ⇒ 1222=+N

N ⇒ 5/12

=N

于是，L z 的平均值 5

4

022

2

=

⋅+⋅=N N L z 7. 哈密顿算符H

ˆ、轨道角动量平方算符2ˆL 、轨道角动量z 分量算符z

L

ˆ；22/n RZ -、2)1( +l l 、 m . 8. n,l ； l ,m ； m

9. ,θr θr τφψd d d sin d :2= [)[][];20:0:0:ππ∞,,,,θ,r φ r r R d :2, [)∞,0

θθd sin :Θ,[]π,0 φd :Φ,[].20π,

10. 已知Φ⨯Θ⨯=⨯=R Y R ψ，其中ΦΘ,,,,Y R ψ皆为归一化的波函数，请写出ΦΘ,,,,Y R ψ的归一化表达式。

11. 已知Φ⨯Θ⨯=⨯=R Y R ψ，其中ΦΘ,,,Y R 皆已归一化， 则下列式中哪些成立？ ( )

(A)⎰∞

=0

21dr ψ (B)⎰∞

=0

21dr R (C)⎰

⎰

=πφ0π20

2

1d d θY

(C)⎰

⎰=πφ0π202

1sin θdθd Y (D)⎰

⎰

=πφ0π

20

2

1sin θdθd Y

(E)⎰=Θπ

21sin θdθ (F)

⎰=Φ2π

21d θ

12. 以下关于Φ方程的叙述何者有错 ( ) (A) 方程的解为()φm A m i exp =Φ

(B) 根据归一化条件1d ||202=Φ⎰π

φm ，可得π2/1=A

(C) 由于m Φ必须单值(边界条件)，故l m ±±±=,,2,1,0

(D)m

Φ是算符z L

ˆ的本征函数，故 m L z

= (E) 由Φ方程的一对复函数解，线性组合可得实函数

13. 解Φ方程时，由于波函数φm e i 要满足连续条件，所以量子数m 只能为整数，对吗？

14. 求解氢原子的Schr ödinger 方程能自然得到 n ,l ,m ,m s 四个量子数，对吗？

15. 写出 Li 2+ 的薛定谔方程；比较Li 2+的2s 和2p 态能量的高低。

16. H 原子的0

e 12/30s

1a Zr

a Z -⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=πψ，列式计算①1/r 的平均值，

② r 的平均值。积分公式：)0,1(,!d e 1

>->=+∞-⎰

b n b

n x x n bx n

17. 对于H 原子，2s 和2p 电子，平均来说，哪一个离核近些？

20230221221)(a r s e

a r a r R -⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

, 0

2023021621)(a r p e

a r a r R -⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

积分公式：)0,1(,!d e 10

>->=+∞

-⎰b n b n x x n bx n

18. 三价铍离子( Be 3+ )的1s 轨道能应为多少 -R ？ ( )

(A) 13.6 (B) 1 (C) 16 (D) 4 (E) 0.5

19. 若氢原子基态到某激发态跃迁光谱波长为1.217×10-5cm ，求该激发态的量子数n 。(J 1018.2eV 6.1318-⨯=-=R )

20. Li 2+

的一个电子所处的轨道的能量等于氢原子1s 轨道能量，求该轨道可能是Li 2+的哪个轨道？

该轨道是Li 2+的主量子数为3的轨道，可能是3s , 3p 0,±1或3d 0,±1, ±2 21. H 原子(气态)的电离能为___eV ， He +(气态)的电离能为___ eV 。 【答案10-21】 10.

1d d d sin 22

0020

=⎰⎰⎰∞ππ

φψθr θr ；

1d d 2

22

2==⎰⎰∞

∞

r R r r R ；1d d sin 2

00

=⎰

⎰

π2π

φθθY

1d s i n d s i n 0

20

2

=Θ=

Θ⎰⎰π

π

θθθθ；

1d 2

20

=Φ⎰π

φ；

或者，⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰

∞∞

⋅=00

020

2

22

020

22

sin sin ππ

ππ

φθθφθθψd drd Y dr r R d drd r

⎰

⎰⎰Φ⋅Θ⋅=

∞

π

π

φθθ20

2

2

22

sin d drd dr r R 1111=⨯⨯=

注意，Θ,R 是实函数，其绝对值平方就等于函数的平方，但Φ以

及Φ⨯Θ=Y 和ψ有可能是复函数(除非明确是实函数，否则不可去掉绝对值符号)。 11. (D)(E)。

12. (C)。根据Φ函数的单值性可确定 ,2,1,0±±=m ，但m 的最大值l 是通过解Θ方程确定的。

13. 不对。φm e i 是连续函数，但不一定单值。若要求函数单值，则m 只能为整数.

14. 不对，只能得到n ,l ,m ，自旋是非相对论量子力学的基本假设。 15. ψψE r εe m =⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛π-∇-

0222432 ；2s 和2p 态能量相同 16. ①

⎰⎰⎰∞=00202*1*1sin 11

ππφθθψψd d r r

r s s 0

20

2

301sin 1

a d d dr re a r a =

⋅⋅=

⎰

⎰⎰∞

-π

πφθθπ ②00

020

2*1*12

3

sin a d d r r r s s =

=⎰⎰⎰∞ππ

φθθψψ 17. ⎰

⎰⎰

⎰∞==0020

2**sin ππ

φθθψψτψψd drd r r d r

⎰⎰

⎰∞

⋅=0

020

2

32

sin ππ

φθθd drd Y dr r R ⎰∞

=0

32dr r R

对于2s 电子，00

3

2

03

s

26d 281

0a r r e a r a r

a r

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=

⎰∞- 对于2p 电子，00

32

03

p

25d 241

0a r r e a r a r

a r

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=

⎰∞-

因此，2p 电子离核的平均距离较近。 18. (C)

19. ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=-=∆1121n R E E E n ，λhc E =∆ ⇒ 212

=⎪

⎭⎫ ⎝⎛+-=-λR hc n

20. R E -=H ⇒ R R

E -=-=+2

2Li 32 ⇒ n =3