数学分析-定积分应用ppt课件
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
定积分PPT课件
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1]区间上的一
个积分和．分割是将[0,1]n等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 0时， 和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限 b
n
f ( x)dx I lim
a
0 i1
f (i )xi
积分和
积分下限
被
数学分析-定积分应用ppt课件
A4
a
0
ydx4 bsin td(acot)s
0
2
4ab2sin2tdt a.b 0
16.05.2020
.
16
二、极坐标系情形
图形是曲边扇(梯)形
曲边扇形是由曲
线rj()及射线 , 所围成
r =j( ) 如何化不规则 +d 为规则
的图形
dA
d
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
16.05.2020
.
5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。
16.05.2020
.
6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。
(1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积，
(2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记 dA f(x)dx称为面积面微积 元 y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0a
这种方法通常称为微元法或元素法
面积为 S c d [ 右 ( y ) 左 ( y ) d ] y
16.05.2020
.
12
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
16.05.2020
.
13
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
数学分析定积分课件
定积分在物理中的应 用
• 定积分在物理中的应用 • 求解物体的位移 • 求解物体的速度 • 求解物体的加速度
定积分在工程中的应 用
• 定积分在工程中的应用 • 求解工程问题的累积效应 • 求解工程问题的优化问题 • 求解工程问题的概率分布
数06学分析定积分习题精选
与解答
习题精选与解题思路
习题精选
连续函数的定积分与间断函数的定积分
连续函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在 • 连续函数的定积分可以通过基本积分公式、换元积分法和分部积分法求解
间断函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上存在间断点，则定积分∫[a, b] f(x) dx可能存在 • 间断函数的定积分可以通过黎曼和和勒贝格积分求解
基本积分公式的应用
• 求解简单的定积分问题 • 通过换元法求解复杂积分问题
换元积分法及其应用
换元积分法的基本原理
• 通过换元将复杂的积分问题转化为简单的积分分法的应用实例
• 将三角函数转换为幂函数 • 将指数函数转换为幂函数 • 将多项式函数转换为幂函数
定积分的极限存在性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存 在 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在
定积分的唯一性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx的 值唯一 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx的值唯一
分部积分法及其应用
分部积分法的基本原理
• 将复杂的积分问题分解为简单的积分问题 • 通过分部积分求解定积分
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
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3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
数学分析-定积分应用
2018/8/27
6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 ( x ) o
x x+dx
l
x
( x ) C
关键 ( x ) 变量！
step2. 质量 M ( x)dx
2018/8/27 9
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x x
b x
o
a x
x x
b x
曲边梯形的面积
由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
dA f ( x )dx
A2018/8/27 a f ( x )dx
第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0
a
x x+dx
b
x
2018/8/27
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介
绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，
曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
2018/8/27 16
2
二、极坐标系情形
曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形
dA
d
图形是曲边扇(梯)形
r =j( )
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
数学分析-定积分的应用
与 x 轴围成的面积等
故
3.
求曲线
图形的公共部分的面积 .
解：
与
所围成
得
所围区域的面积为
设平面图形 A 由
与
所确定 提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
4.
若选 y 为积分变量, 则
则有
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
则曲边梯形面积
二、参数方程情形
例3. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
且曲线不在自相交，
则曲线围成面积为：
所表示的曲线是封闭的，即
如果参数方程
例3. 求椭圆
解:
所围图形的面积 .
利用椭圆的参数方程
得
当 a = b 时得圆面积公式
三、极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其它.
又
故在区域
故
3.
求曲线
图形的公共部分的面积 .
解：
与
所围成
得
所围区域的面积为
设平面图形 A 由
与
所确定 提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
4.
若选 y 为积分变量, 则
则有
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
则曲边梯形面积
二、参数方程情形
例3. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
且曲线不在自相交，
则曲线围成面积为：
所表示的曲线是封闭的，即
如果参数方程
例3. 求椭圆
解:
所围图形的面积 .
利用椭圆的参数方程
得
当 a = b 时得圆面积公式
三、极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其它.
又
故在区域
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
第四节定积分的应用0882428页PPT
m 1inaxi
3
一、微元法（曲边梯形的面积A）
由连续曲线y=f(x)≥0与直线 x=a、x=b、y=0
围成的平面图形，称为曲边梯形．
y f (x)
面积微元 dAf(x)dx
o a xxdx b x
x
b
A a f (x)dx
微元法
4
二、平面图形的面积
由曲线 y f 1 ( x ) ， y f 2 ( x ) f 1 ( x ) （ f ２ ( x ) ） 和直线
解：(1)求交点作图
y
yx4
y22x y2，x2 yx4y4，x8
(2)求面积
4 (2,2) 2
o2
2 (2,2)
(8,4)
8x
y2 2x
2
8
A0[ 2x( 2x)]dx 2[ 2x(x4)]dx
或A
4
[(
y
4)
1
y2]dy
2
2
9
以 dx为高的小圆柱体的体积，故所求体积微元为
dx V y2d xf2(x)dx
10
三、旋转体的体积
同理，由曲线 x(y)和直线 yc， yd（ cd）
及直线 x0围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成
的旋转体的体积为
y
Vycdx2dy cd2 (y)dy
d
y dy
422 22 dy
0
4
((
0
yy))22dy 4(4y)dy8. 0
13
三、旋转体的体积（例题）
例3.由曲线 x2(yb)2a2（ 0ab） 围成的图形
绕 x 轴旋转一周所得体积.
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第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0a
14.04.2020
x x+dx b x
.
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f(i )xi
y
i1 n
(4) 求极限. A lim 0
ff (( ii )) xx ii
i 1
y = f (x)
b
14.04.2020
f ( x)dx a
.
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
n x
x
n
3 1
b
xn
把上述步骤略去下标，改写为：
yf2(x)
yf1(x)
o axxx b x 由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
d A [f2(x)f1(x)d ] x
b
A . a[f2(x)f1(x)d ] x 10
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 1) 求出两抛物线的交点.
解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 (x)
o
x x+dx
lx
关 键(x)变 量 ！(x)C
step1. 取[微 x ,x d元 ]x 则 ,dM ? (x)dx
step2. 质量 M l(xd)x 0
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的
14一.04.2些020 应用。
.
7
第二节 定积分在几何上的应用
14.04.2020
.
5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。
a
t1
（其中t1和 t2对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2（] 或 [t2,t1]）上 x j (t )具有连续导数， y (t)连续.
14.04.2020
.
15
例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cost bsint
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
yx4 yx4
yy2222xx
选 y为积分变量 y[2,4]
dA
y
4
y2 2
dy
14.04.2020
4
y2
A (y4 )dy1.8
2
2
.
14
b
b
A f(x)dx ydx
a
a
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
j
(t) (t)
曲边梯形的面积 A b ydx t2(t)j(t)dt.
o
r
.
. .
14.04.2020
.
17
d
o
r =j( ) 积分变 量 [,]
+d
面积元素
dA
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到
面积元素：
dA1j()2d
2
r
.
曲边扇形的面积 A 1[j()]2d
. .
2
14.04.2020
A4
a
0
ydx4 bsin td(acot)s
0
2
4ab2sin2tdt a.b 0
14.04.2020
.
16
二、极坐标系情形
图形是曲边扇(梯)形
曲边扇形是由曲
线rj()及射线 , 所围成
r =j( ) 如何化不规则 +d 为规则
的图形
dA
d
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
14.04.2020
.
x x+dx b x
4
可用微元法的条件
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上;
2. 总量U有可加性.
骤 步 (1) 求微元
局部近似得 dU = f (x)dx
(2) 求全量
应用方向：
微元积分得
b
Ua
f (x)dx
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
1. 3
11
jj S a b [ f 上 ( x ) f 下 ( x ) d S ] c d [ 右 x ( y ) 左 ( y ) d ]
讨论：由左右两条曲线xj左(y) 与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积
如何表示为定积分？
提示：选积分变量,
jj 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy,
(1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积，
(2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记 dA f(x)dx称为面积面微积 元 y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0a
这种方法通常称为微元法或元素法
面积为 S c d [ 右 ( y ) 左 ( y ) d ] y
14.04.2020
.
12
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
14.04.2020
.
13
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y+dy y
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
14.04.2020
.
8
平面图形的面积
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题
14.04.2020
.
9
一、直角坐标系情形
y yf(x)
o a xxxb x 曲边梯形的面积
dA f(x)dx
b
A f(x)dx 14.04.20a20
y
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
14.04.2020
.
2
回顾 曲边梯形面积 A b f (x)dx的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 A i f( i)xi (xi1i xi)
解方程组
y 2 x
y
x2
x0,x1
即这两个抛物线的交点为：(0,0),(1,1)
2) 选x为积分变量, 则x[0,1]
x y2(1,1) y x2
x x+dx 1
3) 面积元素 dA (y上y下)dx( xx2)dx
1
A ( 0
14.04.2020
xx2)dx
2 3.
x
3 2
x3 3
1 0
y
y=f (x)
0a
14.04.2020
x x+dx b x
.
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介 绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积， 曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。
(3) 求和. 得A的近似值
n
A f(i )xi
y
i1 n
(4) 求极限. A lim 0
ff (( ii )) xx ii
i 1
y = f (x)
b
14.04.2020
f ( x)dx a
.
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
n x
x
n
3 1
b
xn
把上述步骤略去下标，改写为：
yf2(x)
yf1(x)
o axxx b x 由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
d A [f2(x)f1(x)d ] x
b
A . a[f2(x)f1(x)d ] x 10
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解 1) 求出两抛物线的交点.
解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 (x)
o
x x+dx
lx
关 键(x)变 量 ！(x)C
step1. 取[微 x ,x d元 ]x 则 ,dM ? (x)dx
step2. 质量 M l(xd)x 0
下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的
14一.04.2些020 应用。
.
7
第二节 定积分在几何上的应用
14.04.2020
.
5
微元法的实质 (1) 整体问题转化为局部问题； (2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲； (3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，
任一点的线密度是长度的函数。
a
t1
（其中t1和 t2对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2（] 或 [t2,t1]）上 x j (t )具有连续导数， y (t)连续.
14.04.2020
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例3
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cost bsint
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
yx4 yx4
yy2222xx
选 y为积分变量 y[2,4]
dA
y
4
y2 2
dy
14.04.2020
4
y2
A (y4 )dy1.8
2
2
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b
b
A f(x)dx ydx
a
a
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
j
(t) (t)
曲边梯形的面积 A b ydx t2(t)j(t)dt.
o
r
.
. .
14.04.2020
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d
o
r =j( ) 积分变 量 [,]
+d
面积元素
dA
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到
面积元素：
dA1j()2d
2
r
.
曲边扇形的面积 A 1[j()]2d
. .
2
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A4
a
0
ydx4 bsin td(acot)s
0
2
4ab2sin2tdt a.b 0
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二、极坐标系情形
图形是曲边扇(梯)形
曲边扇形是由曲
线rj()及射线 , 所围成
r =j( ) 如何化不规则 +d 为规则
的图形
dA
d
以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素：
14.04.2020
.
x x+dx b x
4
可用微元法的条件
1. 若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间[a, b]上;
2. 总量U有可加性.
骤 步 (1) 求微元
局部近似得 dU = f (x)dx
(2) 求全量
应用方向：
微元积分得
b
Ua
f (x)dx
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
1. 3
11
jj S a b [ f 上 ( x ) f 下 ( x ) d S ] c d [ 右 x ( y ) 左 ( y ) d ]
讨论：由左右两条曲线xj左(y) 与xj右(y)及上下两条直线yd
与yc所围成的平面图形的面积
如何表示为定积分？
提示：选积分变量,
jj 面积元素 dA=[j右(y)j左(y)]dy,
(1) 分割. 取微元 任取一个具有代表性的小区间 [x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积，
(2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记 dA f(x)dx称为面积面微积 元 y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0a
这种方法通常称为微元法或元素法
面积为 S c d [ 右 ( y ) 左 ( y ) d ] y
14.04.2020
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例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
14.04.2020
.
13
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y+dy y
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
14.04.2020
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平面图形的面积
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题
14.04.2020
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一、直角坐标系情形
y yf(x)
o a xxxb x 曲边梯形的面积
dA f(x)dx
b
A f(x)dx 14.04.20a20
y
如何应用定积分解决实际问题_____微元法：
14.04.2020
.
2
回顾 曲边梯形面积 A b f (x)dx的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 A i f( i)xi (xi1i xi)
解方程组
y 2 x
y
x2
x0,x1
即这两个抛物线的交点为：(0,0),(1,1)
2) 选x为积分变量, 则x[0,1]
x y2(1,1) y x2
x x+dx 1
3) 面积元素 dA (y上y下)dx( xx2)dx
1
A ( 0
14.04.2020
xx2)dx
2 3.
x
3 2
x3 3
1 0