17.整式的乘法与除法(含答案)-

17.整式的乘法与除法

知识纵横

指数运算律是整式乘除的基础,有以下4个:a m·a n=a m+n,(a m)n=a nm,(ab)n=a n b n,a m÷a n=a m-n,学习指数运算律应注意:

1.运算律成立的条件;

2.运算律字母的意义:既可以表示一个数,也可以是一个单项式或者多项式;

3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,•方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是:

1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位;

2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐;

3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.

例题求解

【例1】(1)如果x2+x-1=0,则x3+2x2+3=________. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

(2) (“祖冲之杯”邀请赛试题)把(x2-x+1)6展开后得a12x12+a11x11+……+a2x2+a1x+a0,

则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=_______.

思路点拨(1)把高次项用低次多项式表示;(2)我们很难将(x2-x+1)6的展开式写出,因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的,事实上,上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算,等式都成立,考虑用赋值法解.

解:(1)4 提示:x2=1-x,原式=x·x-2+2x3+3=x(1-x)+2x2+3=x2+x+3=1-x+x+3=4.

(2)365 提示:令x=1,由已知等式得a12+a11+…+a2+a1+a0=1 ①

令x=-1,由已知等式得a12-a11+…+a2-a1+a0=729 ②

①+②,得2(a12+a10+…+a2+a0)=730,即a12+a10+…+a2+a0=365

【例2】已知25x=2000,80y=2000,则11

x y

+等于( ).

A.2

B.1

C. 1

2

D.

3

2

(第11届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨因x、y为指数，我们目前无法求x、y的值，11

x y

+=

x y

xy

+

，其实只需求

出x+y、•xy的值或它们的关系,自然想到指数运算律.

解:选B 提示:25xy=2000y①,80xy=2000x②,①×②得(25×80)xy=2000x+y,得xy=x+y.

【例3】设a、b、c、d都是自然数,且a5=b4,c3=d2,a-c=17,求d-b的值.

(上海市普陀区竞赛题) 思路点拨设a5=b4=m20,c3=d2=n6,这样a,b可用m的式子表示,c、d可用n的式子表示,减少字母的个数,降低问题的难度.

解:提示:设a5=b4=m20,c3=d2=n6(m,n为自然数),则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3,由已知得m4-n2=17,即(m2+n)(m2-n)=17

因17是质数m2+n、m2-n是自然数,且m2+n>m2-n

故

2

2

17

1

m n

m n

⎧+=

⎪

⎨

-=

⎪⎩

解得m=3,n=8,所以,d-b=n3-m5=83-35=269

【例4】已知x2-xy-2y2-x-7y-6=(x-2y+A)(x+y+B),求A、B的值.

思路点拨等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应项系数对应相等,从而可以通过比较对应项系数来解.

解:A=-3,B=2 提示:展开比较对应项的系数,得到关于A、B的等式.

【例5】是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除?如果存在,求出p、q•的值,否则请说明理由.

思路点拨由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),•根据“被除式＝除式×商式”，运用待定系数法求出p、q的值，所谓p、q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解.

解:提示:假设存在满足题设条件的p、q值,设(x4+px2+q)=(x2+2x+5)(x2+mx+n),•

即x 4+px 2+q=x 4+(m+2)x 3+(5+n+2m)x 2+(2n+5m)x+5n,得

20522505m n m p n m n q +=⎧⎪++=⎪⎨

+=⎪⎪=⎩ 解得25625

m n p q =-⎧⎪=⎪

⎨=⎪⎪=⎩ 故存在常数p,q 且p=6,q=25,使x 4+px 2+q 能被x 2+2x+5整除.

学力训练

一、基础夯实

1. (2003年河北省中考题)如图,是某住宅的平面结构示意图,图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计,单位:米),房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,•如果他选用地砖的价格是a 元/米2,则买砖至少需要_______元(用含a 、x 、y 的代数式表示).

4x

2y

4y

y

2x

x 卫生

间

厨房

客厅

卧室

2.若2x+5y -3=0,则4x ·32y =_______. (2002年绍兴市竞赛题)

3.满足(x -1)200>3300的x 的最小正整数为_______. (2003年武汉市选拨赛试题)

4.a 、b 、c 、d 都是正数,且a 2=2,b 3=3,c 4=4,d 5=5,则a 、b 、c 、d•中,•最大的一个是__________. (“英才杯”竞赛题)

5. (2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)化简4322(2)

2(2)

n n n ++-得( ).

A.2n+1-

18 B.-2n+1 C. 78 D. 74