时间序列的平稳性检验
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接收原假设H0表明 yt 是非平稳的，而拒绝原假设则 表明 yt 是平稳序列。 在ρ =1时，原假设为真，此时（11.2.7）就是随机 游走过程(11.2.3)，它是非平稳的。 因此检验非平稳性就是检验ρ =1，或者说，就是检 验单位根。这样一来，就将对非平稳性的检验转化 为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。
由式（11.2.7）两边各减去yt-1，得到
yt – yt-1 = ρyt-1 – yt-1 + ut
即
Δyt = δyt-1 + ut （11.2.10）
（11.2.10）式中差分Δyt = yt – yt-1 ,δ = ρ – 1 。 绝大多数经济变量的时间序列相关系数ρ都取正
值且小于1，因此，假设（11.2.9）可以改写为：
yt = yt-1 + ut
（11.2.3）
（11.2.3）式成为一个纯随机游走过程。
2. 当α = μ 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + yt-1 + ut
（11.2.4）
（14.2.4）式成为一个带飘移的随机游走过程。
3. 当 α = μ + βt 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + βt + yt-1 + ut
一、利用散点图判断平稳性
利用时间序列的散点图判断平稳性，是一种最简单 的方法。首先画出该时间序列的散点图，然后观察 散点是否是围绕其均值上下波动的曲线，如果是的 话，可以判断该时间序列是一个平稳时间序列。否 则的话，该时间序列是非平稳的。
例如，时间序列{yt , t = 1,2, …},观测点在其均值水平 线上下波动，如图11.2.1所示，则可以认为该样本来 自平稳序列{yt , t = 1,2, …}。
就是带趋势项的随机游走过程。
（二）单位根检验的基本思想
在（11.2.6）式中，若α = 0，则式（11.2.6）可以
写成：
yt = ρyt-1 + ut
（11.2.7）
式（11.2.7）称为一阶自回归过程，记作AR(1),可以
证明当| ρ | <1时是平稳的，否则是非平稳的。
AR(1)过程也可以写成算符形式：
§11.2时间序列的平稳性检验 由于大多数宏观经济变量，如GDP、消费总额、 货币供应量M2等的时间序列都不是平稳的，随 着 时间的位移而持续地增长，也就是说有一种增 长 趋势的特征。但是当经济出现突发性振荡（如 石 油价格猛增、或金融危机等）后，受到冲击的 这
若呈现随机游走状态，一方面如果还是用OLS进 行回归，这时会导致伪回归（这是因为随机游走 不是有限方差，高斯-马尔可夫定理不再成立， OLS估计的参数不再是一致的）。另一方面，由 于这种冲击对变量的影响不会在短期内消失，所 以随机游走状态也可能是持久的，所以对变量的 平稳性的检验有着极其重要的意义。
（11.2.5）
（11.2.5）式成为一个带趋势项的随机游走过程。
以上三种情况，其数据生成过程都可以概括写成如
下形式：
yt = α + ρyt-1 + ut
（11.2.6）
当α = 0，ρ =1时，式（11.2.6）就是随机游走过程；
当α =μ，ρ =1时，式（11.2.6）就是带飘移项的随
机游走过程；当α =μ+ βt，ρ =1时，式（11.2.6）
(1-L) yt = α + ut
(11.2.2)
其中ut是平稳过程，α可取不同的值，L 是滞后算
子Lyt = yt-1。由于其特征方程
1- z = 0有一个单位根 z = 1，所以称(11.2.2)式为单
位根过程。根据α取值不同，单位根过程可以有以
下三种不同形式：
1.当α = 0 时，(11.2.2) 可写成
H0:δ = 0 ；H1:δ < 0 （11.2.11） 当δ = 0 时，原假设H0为真，则相应的随机过程为 是非平稳的。可以看出，非平稳性问题或单位根问
题，可以表示为ρ = 1或δ = 0 。
从而我们可以将检验时间序列 yt 的非平稳性的问题 简化成在模型（11.2.7）中，检验回归参数ρ = 1是 否成立，或者在模型（11.2.10）中，检验回归参数 δ = 0是否成立。按照以前参数检验的做法，我们可 以分别用两个t检验进行：
图11.2.1 y 的散点图
二、利用样本自相关函数进行稳定性判断 不同时间序列具有不同形式的自相关函数,因此可以 从时间序列的自相关函数的图形来判断时间序列的 稳定性。
在实际应用中，采用样本自相关函数来判断时间 序列是否为平稳过程。 一般地，由样本数据计算出样本自相关函数
T k
( yt y)(ytk y)
ˆ k t1
T
(
yt
y
)2
t 1
（11.2.1）
当k逐渐增大时，迅速衰减，则认为该序列是平稳的；
如果它衰减非常缓慢，则认为该序列是非平稳的。
三、单位根检验（Dickey-Fuller — DF检验）
（一）单位根过程
单位根过程是较随机游走更为一般的非平稳过程，
假定有增长趋势的变量 yt 的数据生成过程可写成：
ˆ 1 T Vˆ (ˆ )
或
T
ˆ Vˆ (ˆ)
（11.2.12）
（11.2.12）式中 Vˆ (ˆ ) 和 Vˆ (ˆ)分别为参数估计量
ˆ 和 ˆ 的方差估计值。
但是，这里的问题是（11.2.12）式中的统计量Tρ和 Tδ 不服从t分布，而是一个非标准的非对称的分布， 它具有Dickey-Fuller(1979)提出的分布（简称DF分布） ，相应的检验就是我们下面要介绍的著名的Dickey -Fuller（简称DF）检验。
（1-ρL）yt = ut
(11.2.8)
yt平稳的条件是特征方程1-ρz = 0 根的绝对值大于1。
显然，此方程仅有一个根 z = 1/ρ，由 | z | >1, 知平
稳性要求 | ρ | < 1 。
因此，检验 yt 的平稳性的原假设和备择假设为 H0: | ρ| ≥ 1 ；H1: | ρ | <1 （11.2.9）
（三）DF检验 (Dickey-Fuller Test) 1.DF检验 DF检验的具体作法是用传统方法计算出的参数的T— 统计量，不与t 分布临界值比较而是改成DF分布临界 值表。
DF检验的具体做法如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一步：对式
Δyt = δyt-1 + ut
由式（11.2.7）两边各减去yt-1，得到
yt – yt-1 = ρyt-1 – yt-1 + ut
即
Δyt = δyt-1 + ut （11.2.10）
（11.2.10）式中差分Δyt = yt – yt-1 ,δ = ρ – 1 。 绝大多数经济变量的时间序列相关系数ρ都取正
值且小于1，因此，假设（11.2.9）可以改写为：
yt = yt-1 + ut
（11.2.3）
（11.2.3）式成为一个纯随机游走过程。
2. 当α = μ 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + yt-1 + ut
（11.2.4）
（14.2.4）式成为一个带飘移的随机游走过程。
3. 当 α = μ + βt 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + βt + yt-1 + ut
一、利用散点图判断平稳性
利用时间序列的散点图判断平稳性，是一种最简单 的方法。首先画出该时间序列的散点图，然后观察 散点是否是围绕其均值上下波动的曲线，如果是的 话，可以判断该时间序列是一个平稳时间序列。否 则的话，该时间序列是非平稳的。
例如，时间序列{yt , t = 1,2, …},观测点在其均值水平 线上下波动，如图11.2.1所示，则可以认为该样本来 自平稳序列{yt , t = 1,2, …}。
就是带趋势项的随机游走过程。
（二）单位根检验的基本思想
在（11.2.6）式中，若α = 0，则式（11.2.6）可以
写成：
yt = ρyt-1 + ut
（11.2.7）
式（11.2.7）称为一阶自回归过程，记作AR(1),可以
证明当| ρ | <1时是平稳的，否则是非平稳的。
AR(1)过程也可以写成算符形式：
§11.2时间序列的平稳性检验 由于大多数宏观经济变量，如GDP、消费总额、 货币供应量M2等的时间序列都不是平稳的，随 着 时间的位移而持续地增长，也就是说有一种增 长 趋势的特征。但是当经济出现突发性振荡（如 石 油价格猛增、或金融危机等）后，受到冲击的 这
若呈现随机游走状态，一方面如果还是用OLS进 行回归，这时会导致伪回归（这是因为随机游走 不是有限方差，高斯-马尔可夫定理不再成立， OLS估计的参数不再是一致的）。另一方面，由 于这种冲击对变量的影响不会在短期内消失，所 以随机游走状态也可能是持久的，所以对变量的 平稳性的检验有着极其重要的意义。
（11.2.5）
（11.2.5）式成为一个带趋势项的随机游走过程。
以上三种情况，其数据生成过程都可以概括写成如
下形式：
yt = α + ρyt-1 + ut
（11.2.6）
当α = 0，ρ =1时，式（11.2.6）就是随机游走过程；
当α =μ，ρ =1时，式（11.2.6）就是带飘移项的随
机游走过程；当α =μ+ βt，ρ =1时，式（11.2.6）
(1-L) yt = α + ut
(11.2.2)
其中ut是平稳过程，α可取不同的值，L 是滞后算
子Lyt = yt-1。由于其特征方程
1- z = 0有一个单位根 z = 1，所以称(11.2.2)式为单
位根过程。根据α取值不同，单位根过程可以有以
下三种不同形式：
1.当α = 0 时，(11.2.2) 可写成
H0:δ = 0 ；H1:δ < 0 （11.2.11） 当δ = 0 时，原假设H0为真，则相应的随机过程为 是非平稳的。可以看出，非平稳性问题或单位根问
题，可以表示为ρ = 1或δ = 0 。
从而我们可以将检验时间序列 yt 的非平稳性的问题 简化成在模型（11.2.7）中，检验回归参数ρ = 1是 否成立，或者在模型（11.2.10）中，检验回归参数 δ = 0是否成立。按照以前参数检验的做法，我们可 以分别用两个t检验进行：
图11.2.1 y 的散点图
二、利用样本自相关函数进行稳定性判断 不同时间序列具有不同形式的自相关函数,因此可以 从时间序列的自相关函数的图形来判断时间序列的 稳定性。
在实际应用中，采用样本自相关函数来判断时间 序列是否为平稳过程。 一般地，由样本数据计算出样本自相关函数
T k
( yt y)(ytk y)
ˆ k t1
T
(
yt
y
)2
t 1
（11.2.1）
当k逐渐增大时，迅速衰减，则认为该序列是平稳的；
如果它衰减非常缓慢，则认为该序列是非平稳的。
三、单位根检验（Dickey-Fuller — DF检验）
（一）单位根过程
单位根过程是较随机游走更为一般的非平稳过程，
假定有增长趋势的变量 yt 的数据生成过程可写成：
ˆ 1 T Vˆ (ˆ )
或
T
ˆ Vˆ (ˆ)
（11.2.12）
（11.2.12）式中 Vˆ (ˆ ) 和 Vˆ (ˆ)分别为参数估计量
ˆ 和 ˆ 的方差估计值。
但是，这里的问题是（11.2.12）式中的统计量Tρ和 Tδ 不服从t分布，而是一个非标准的非对称的分布， 它具有Dickey-Fuller(1979)提出的分布（简称DF分布） ，相应的检验就是我们下面要介绍的著名的Dickey -Fuller（简称DF）检验。
（1-ρL）yt = ut
(11.2.8)
yt平稳的条件是特征方程1-ρz = 0 根的绝对值大于1。
显然，此方程仅有一个根 z = 1/ρ，由 | z | >1, 知平
稳性要求 | ρ | < 1 。
因此，检验 yt 的平稳性的原假设和备择假设为 H0: | ρ| ≥ 1 ；H1: | ρ | <1 （11.2.9）
（三）DF检验 (Dickey-Fuller Test) 1.DF检验 DF检验的具体作法是用传统方法计算出的参数的T— 统计量，不与t 分布临界值比较而是改成DF分布临界 值表。
DF检验的具体做法如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一步：对式
Δyt = δyt-1 + ut