传热学第3章非稳态导热

x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
h Bi 1h
毕渥数是导热分析中的一个重要的无因次准则数， 它表征了给定导热系统内的导热热阻与其表面对 流换热热阻的对比关系。
2） 毕渥数Bi对温度分布的影响
h Bi 1 h
平壁非稳态导热第三类边界条件表达式
( x, ) 2 sin( 1 ) x 2 cos( 1 ) exp( Fo1 ) 0 1 sin 1 cos 1
所以对于 Fo0.2 时无限大平壁的非稳态导热过 程,温度场可按上式计算。
3.3 无限大平壁非稳态导热
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维 非稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。 r 2 长圆柱： Cn J 0 n exp n Fo 0 n 1 R J1 ( n ) 2 J1 ( n ) Cn Bi 2 2 n n J 0 ( n ) J1 n J ( )
§3.1 非稳态导热的基本概念

三、边界条件下Bi对温度分布的影响
t
1）边界条件对温度分布的影响
边界条件对系统温度分布 ( b) ( c) 的影响是很显著的 ,这里以一 t∞ 维非稳态导热过程（也就是大 ( a) 平板的加热或冷却过程）为例 来加以说明。 图中表示一个大平板的加 热过程，并画出在某一时刻的 三种不同边界情况的温度分布 曲线（a）、（b）、（c）
ΔΕ
ρ , c, V, t0
t t 引入过余温度：
α , t0
A 分离变量积分并代入初始条件得：n 0 cV
d A ; 0, 0 d cV
3.2 集中参数法分析导热问题
＝e 0
e 0

hA cV 物体的温度随时间的变化关系是一条负


0
n
sin( n r / R ) 2 球体： Cn exp n Fo 0 n 1 nr / R sin n n cos n Cn 2 1 n cot n Bi n sin n cos n


J0、J1分别为0阶和1阶第一类贝塞尔（Bessel）函数。
0.95 对于任意形状的物体当Bi<0.1， m
物体内部的过余温度与其表面的过余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
3.2 集中参数法分析导热问题 一、集中参数法温度场的分析解
一个集中参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
第三章 非稳态导热
主讲人：孙晴
本章知识结构
1、非稳态导热的基 本概念
2、集中参数法分析 非稳态导热
非周期性非稳态导热 第三章 非稳态导热
3、非稳态导热的正 规状况阶段（无限大 平壁的瞬态导热）
周期性非稳态导热
4、非稳态导热的非 正规状况阶段（半无 限大物体的瞬态导热）
5、多维非稳态导热
§3.1 非稳态导热的基本概念
0 t
这也是正常的第三类边界条 件
x
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（c）表示平板外环境 的换热热阻 1 h 远小于 ( c) ( b ) 平板内的导热热阻 , t ∞ 即1 / h /
Baidu Nhomakorabea(a)
t
从曲线上看，物体内部温度 变化比较大，而环境与物体 边界几乎无温差，此时可用 t tw 认为 。那么， 边界条件就变成了第一类边 界条件，即给定物体边界上 的温度。
自然指数曲线，或者无因次温度的对数 与时间的关系是一条负斜率直线。
(V ) a A (V )2 A
Bi Fo

A cV
e
e
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
t∞
( b ) ( c) (a)
t
从曲线上看，物体内部的温 度几乎是均匀的，物体的温 度场仅仅是时间的函数，与 空间坐标无关。这样的非稳 态导热系统可用集中参数法 求解。
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（b）表示平板外环境 ( b) ( c) 的换热热阻 1 h 相当于 t∞ 平板内的导热热阻 , ( a) 即 1/h /
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
这是第三类边界条件下 可能的三种温度分布。 按照传热关系式
( c) t
t∞
(b)
(a)
t tw tw t q 1h
作一个近似的分析。
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（a）表示平板外环境 的换热热阻 1/h 远大于平 板内的导热热阻 , 即 1 / h /
二、非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法
b 1 (a ) Bi A a b(1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x) a bx cx2 dx3
2 1
2.诺谟图法
26
3.3 无限大平壁非稳态导热
x, 2 sin 1 x cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1
P129图3-7
3.3 无限大平壁非稳态导热
定义无量纲的热量
Q Q0
其中Qτ为0时间内传导的热量
Q 0 c 0V 从初始时刻到平板与周围介质处于
热平衡这一过程中所传递的总传热 量（物体内能改变总量） 经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热 量： Q c (t0 t )dx c ( 0 )dx
一、非稳态导热过程及其特点
导热系统内的温度场随时间变化的导热过程为非稳 态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热） 周期性非稳态导热：物体温度随时间而做周期性的变化。 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间 不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热 平衡。
3.3 无限大平壁非稳态导热
x ( x, ) ( Bi, ) m ( )
P130图3-8
3.3 无限大平壁非稳态导热
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f ( Bi, x

) f ( Bi, Fo )
m ( ) (Bi, Fo) 0
x
x
h
x
x
x
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O ( / Bi , 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
3.3 无限大平壁非稳态导热
m 0 0 m
(x , ) (x , ) m( ) 0 m( ) 0
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f ( Bi,
x

) f ( Bi, Fo )
2 1 Fo
对于平壁中心，
m 2 sin 1 12 Fo e f Bi , Fo 0 1 sin 1 cos 1
上面两式之比：
0 x cos 1 m m 0
x f Bi ,
可见，当Fo 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以 后，虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无 关，只取决于毕渥数Bi与几何位置x/ 。
θ /θ
0
1
＝e 1 0.386 0
0.386 0 1 τ /τ
s
物体的过余温度已经降到了初始过余温度的36.8%。 4.6 0.01 工程上认为 = 4τs时导 当τ=4τs， ＝e 0
热体已达到热平衡状态。
3.2 集中参数法分析导热问题 二、集中参数法的适用范围
如何去判定一个任意的系统是否适用集中参数法 ？
2 sin 2 n n 2 Fo 2 2 c0 1 2 e J m sin cos n n n n 1 n


3.3 无限大平壁非稳态导热
Q P130 f ( Fo, Bi); Q0 2 c 0图 —3-9 每 m 2 平壁t 0 t Q0
2 a 2 x
x
3.3 无限大平壁非稳态导热
2 sin( n ) ( x, ) x 2 cos( n ) exp( Fo n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
Bi h
— 无量纲距离
3.3 无限大平壁非稳态导热
t t 导热微分方程： a 2 x
2
初始条件：
0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x , - t x h (t t )
3.3 无限大平壁非稳态导热
t ( x , ) t — 过余温度
0 , t 0 -t 0 x 0, x 0 x , - x h
解的最后形式为：
2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
3.3 无限大平壁非稳态导热 分析解的简化
2 sin( n ) ( x, ) x 2 cos( n ) exp( Fo n ) 0 n 1 n sin n cos n
若Fo≥0.2时，利用上述公式计算时，采用该级数 的第一项与采用完整的级数计算平板中心的温度 差别小于1%。因而可以简化为：
A Qc
ΔΕ
ρ , c, V, t0
α , t0
热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通 过表面与外界交换的热流量Qc
3.2 集中参数法分析导热问题
(1)温度场的计算 当物体被冷却时（t>t） dt cV A t t d 初始条件为 ： ＝0，t t 0
A Qc
§3.1 非稳态导热的基本概念

二、瞬态导热过程的两个重要阶段
两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、 正规状况阶段 初始状况阶段：环境的热影响不断向物体内 部扩展的过程，即物体大部分区域受到初始温度 分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。 正规状况阶段：环境的热影响已经扩展到整 个物体内部，即物体主要受热边界条件影响的阶 段。可以用初等函数描述。
对于直径为2r的球体
V/A=r/3 则
M = 0.33 M = 0.5
直径为2r的长圆柱体 V/A=r/2 则 对于厚度为2的大平板
V/A=δ
则
M = 1
§3.3 无限大平壁的非稳态导热 （正规状况阶段）
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁， 、 a 为已知常数； =0 时 温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低 为 t 并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。 两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。