北师大版数学中考专题复习 动态几何

中考专题复习------动态几何

图形的运动变化问题。 【典型例题】

例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ⋂

的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB

于D ，求CD 的长。

分析：连接OM 交CD 于E ，

∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ⋂

中点

∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =

3

∴

CE CD =

=3

23，

例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的

过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）

（2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E

DC 为⊙O 切线

（2）若∠ABC 为直角

则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BC

DC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线

DC AB BE =

=1212

例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。

（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；

（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？

分析：（1）∵AB 为半圆直径

∴∠ACB ＝90°

∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10

∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝x

NF AB

CP CM =

NF x

10

48

48

=

-

.

.

NF x

=-

10

25

12

S ND NF

=

·

=-

=-+

=--

x x

x x

x x

()

()

10

25

12

25

12

10

25

12

24

5

2

2

当

x=

12

5时，水池面积最大。

例4. 正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。

分析：△BPQ≌△BCQ

BP＝BC＝6

连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）

∴△BPC为等边三角形∴∠PBC＝60°，

又∵∠∠＝°QBC PBC

=

1

2

30

∴在Rt△BEN中，BN＝3

∴BE=23

例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是。

分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1

过B作BM⊥x轴于M

则BM＝3，OM＝3

又∵AC与CB为入射光线与反射光线

∴∠AOC＝∠BCM

∴△AOC∽△BMC

∴AO

BM

OC

CM

=

∴1

33

=

-

OC

OC

∴OC=

3

4

∴AC=

5

4

同理：BC = 15

4

∴AC BC

+==

20

4

5

例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：（1）AD⊥MN

BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

又∵∠ACB＝90°

∴∠DCA＋∠ECB＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

∵AC＝BC

∴△ADC≌△CEB

∴DC＝BE

AD＝CE

∴DE＝DC＋CE

＝BE＋AD

（2）与（1）同理

△ADC≌△CEB

∴CD＝BE

AD＝CE

∵DE＝CE－CD

＝AD－BE

（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时

与（1）（2）同理可知

CE＝AD，BE＝CD

∵DE＝CD－CE

＝BE－AD

例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如

图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG

绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中

两三角板的重叠部分（如图②）。

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积