专题19-平行四边形、矩形、菱形--拔高题

【例I 】如图，矩形

ABCD 的对角线相交于

O , AE 平分/BAD ，交 BC 于 E,Z CAE =

专题19平行四边形、矩形、菱形

阅读与思考

平行四边形、矩形、 菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、 对角线三个方面探讨

的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形， 矩形的特殊性由一个直角所体现，

菱形的特殊性是 由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来， 判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件

连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起， 所以讨论平行四边形、 矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 边形的背景下思考问题， 运用平行四边形、矩形、 菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定 定理与性质定理的综合运用 .

熟悉以下基本图形：

例题与求解

15 ° 那么/BOE = _

__________

D

B E

（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四个命题：

①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；

②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；

其中，正确的命题的个数是（）

A.1

B. 2

C. 3

D.4

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.

【例3】如图，菱形ABCD的边长为2 , BD = 2 , E, F分别是边AD , CD上的两个动

点且满足AE+CF= 2.

（1）判断A BEF的形状，并说明理由；

（2）设ABEF的面积为S，求S的取值范围.

B

D

（烟台中考试题）

解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（ 2）,只需求出BE 的取值范围

【例4】如图，设P 为等腰直角三角形 ACB 斜边AB 上任意一点，PE 丄AC 于点E , PF 丄BC 于点F , PG 丄EF 于点G ,延长GP 并在春延长线上取一点 D ,使得PD = PC .

求证：BC 丄 BD , BC = BD .

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：只需证明△CPBB/DPB ,关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质

【例5】在CABCD 中，/BAD 的平分线交直线 BC 于点E ,交直线DC 的延长线于点

F.

度数.

(1) (3) 在图1中证明

若

/ABC = CE = CF ;

,G 是EF 的中点 （如图2 ）,直接写出/ BDG 的度数;

若/ABC = 120 ° FG//CE , FG = CE ,分别连结 DB , DG (如图 3),求/ BDG 的

（北京市中考试

题）

解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有

3个等腰三角形； 对于（2）,用测量的方法可得/ BDG =45 °进而想到等腰直角三角形，连 CG, BD ，只需

证明ABGC^/DGF ，这对解决（3 ）,有不同的解题思路.

对于（3） 【例6】如图，A ABC 中，/ C = 90 °点M 在BC 上，且BM = AC ,点N 在AC 上, 且AN = MC , AM 与BN 相交于点 P .

求证：/ BPM = 45 °

F

A D C

B

图2 E

G F F

1.如图,

□ABCD 中，BE 丄CD , BF 丄AD ，垂足分别为 E 、F ,若CE = 2 , DF = 1,Z EBF = 60 ° 贝U □XBCD 的面积为 2.如图, □ABCD 的对角线相交于点 O ,且AD £D ，过点O 作OM 丄AC ,交AD 于 （浙江省竞赛试题） 解题思路：条件给出的是线段的等量关系， 求证的却是角度等式， 由于条件中有直角和 相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形， 解题的关键是平移 AN 或AC ,即作ME 丄AN , ME = AN ，构造平行四边形• 能力训练

点M ，若△CDM 周长为a ,那么CABCD 的周长为

第2题

C.对角线互相垂直的四边形

D.对角线相等的四边形 （浙江省中考试题） 3.如图，在 Rt △ABC 中，/B = 90 ° ZBAC = 78 ° 过 C 作 CF//AB ，连结 AF 与 BC 相 交于G ，若GF = 2AC ，则/BAG 的大小是 ______________ . （希望杯”竞赛试题） 4.如图，在菱形ABCD 中，ZB =/EAF = 60 ° ZBAE = 20。，则/CEF 的大小是 _________________

（希望杯”邀请赛试题） 5.四边形的四条边长分别是 a , b , c , d ，其中a , c 为对边，且满足 a 2 b 2 c 2 d 2 2ab 2cd ，则这个四边形一定是（ ） A •两组角分别相等的四边形 B.平行四边形

A

6.现有以下四个命题:

①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.

其中，正确的命题有（）

A.①②

B.③④

C.③

D.①②③④

7.如图，在矩形ABCD中，AB = 1 , AD = , 3 , AF平分/DAB，过点C作CE丄BD

于E,延长AF , EC交于点H，下列结论中：① AF= FH;②BO = BF;③CA = CH :④BE

=3ED.正确的是（）

A.②③

B.③④

C.①②④

D.②③④

（齐齐哈尔中考试题）

8.如图，矩形ABCD的长为a,宽为b，如果S $ 丄（S3 S4），则S4 =（

)

2

3 A. —

ab B.3ab C. -ab D.-ab