北师大版数学高一必修1第三章第5节对数函数(第3课时)

5.3 对数函数的图像和性质

1．理解并掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像．

2．根据图像掌握对数函数的性质．

3．能利用对数函数的图像和性质来比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等．

对数函数的图像和性质

定义域：______定义域：______

值域：______值域：______

过定点______，

x＝1时，y＝0

过定点______，

＝1时，y＝0

x＞1时，y＞0，

＜1时，y＜0

＞1时，y＜0，

(0，＋∞)上的______

①对数log a x的符号(x＞0，a＞0，a≠1)：

当x＜1，a＜1或x＞1，a＞1时，log a x＞0，即当真数x和底数a同．大于(或小于)1时，

对数log a x＞0，也就是为正．数，简称为“同正

．．”；

当x＜1，a＞1或x＞1，a＜1时，log a x＜0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异．”时，对数log a x＜0，即为负．数，

简称为“异负

．．”．

因此对数的符号简称为“同正异负

．．．．”．

②助记口诀：

对数增减有思路，函数图像看底数， 底数只能大于0，等于1来也不行． 底数若是大于1，图像从下往上增， 底数0到1之间，图像从上往下减． 无论函数增和减，图像都过(1,0)点．

【做一做1－1】 函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像过定点( )．

A ．(1,1)

B ．(1,0)

C ．(0,1)

D ．(0,0) 【做一做1－2】 函数y ＝log 2x －2的定义域是( )．

A ．(3，＋∞)

B ．[3，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．[4，＋∞) 【做一做1－3】 函数y ＝212

log (4)x x 的值域是________．

答案：(1)(0，＋∞) (1)(0，＋∞) (2)R (2)R (3)(1,0) (3)(1,0) (5)增函数 (5)减函数

【做一做1－1】 B

【做一做1－2】 D 使函数有意义，需log 2x －2≥0， 即log 2x ≥2＝log 24，∴x ≥4.

【做一做1－3】 [－2，＋∞) ∵4x －x 2≤4， ∴12

log (4x －x 2)≥12

log 4＝－2.

1．函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？

剖析：观察图像，注意变化规律：

(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．

(2)左右比较：(比较图像与y ＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．

画对数函数y ＝log a x 的图像时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 2．对数函数和指数函数的性质有什么区别和联系？

剖析：将对数函数和指数函数的性质对比列成表，如下表所示：

通过将对数函数与指数函数的性质进行对比，可以发现：当a ＞1或0＜a ＜1时，对数

函数与指数函数的单调性是一致的；定义域和值域恰好相反；对数函数的反函数是指数函数，所以可以利用指数函数的性质来研究对数函数．应该注意到：这两种函数都要求底数a＞0，a≠1.

题型一求定义域

【例1】求函数f(x)＝log0.1(4x－3)的定义域．

分析：x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．

反思：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：(1)要特别注意真数大于零；(2)要注意对数的底数；

(3)按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．

题型二比较大小

【例2】比较下列各组中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；

(2)log23，log0.32；

(3)log aπ，log a3.141.

分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；

(2)分别比较与0的大小；

(3)分类讨论底数a的取值范围．

反思：比较两个对数值大小的方法：①单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；②中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；③分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1的大小分类讨论，如本题(3)．

题型三对数函数的图像

【例3】作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．

分析：

反思：(1)掌握对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)的图像．

(2)由y ＝log a x 到y ＝log a (x ＋h )是平移变换，由y ＝log a x 到y ＝log a |x |是对称变换，有对称又有平移时，先对称再平移．

(3)图像与性质是对应的，由图像得性质较直观、形象． 题型四 求单调区间

【例4】 求下列函数的单调区间： (1)y ＝212

log (23)x x --；

(2)y ＝2113

3

(log )6log 2x x -+.

分析：复合函数的单调性的判断仍然用复合函数判断法，即“同增异减”，但要考虑函数的定义域．

反思：有关对数函数的复合函数的单调性问题，仍然用“同增异减”来处理，但要注意对数函数的定义域，即真数必须大于零．

答案：【例1】 解：要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧

4x －3＞0，

log 0.1(4x －3)≥0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

4x －3＞0，4x －3≤1，解得3

4

＜x ≤1.

∴函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.

【例2】 解：(1)(单调性法)因为y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 31.9＜log 32. (2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0， 所以log 23＞log 0.32.

(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141； 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141. 综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141； 当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141.

【例3】 解：作出函数y ＝log 2x 的图像，将其关于y 轴对称得到图像y ＝log 2|x |的另一