运筹学目标规划

第四章 目标规划
•目标规划的数学模型 •目标规划的图解法 •目标规划的单纯形法 •灵敏度分析 •目标规划实例
4.1 目标规划的数学模型
一、引例
产品
甲
资源
设备/台时
3
原料A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元
3
这是一个单目标的 规划问题,模型为：
最优方案： x1* 2, x2* 6 最优值： z* 36
优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比 Pj+1对应的目标有绝对的优先性。 另一种差别是相对的．这些目标具有相同的优先因 子，它们的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
4、目标函数
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出 现，显然其构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能 够尽可能的小，因此目标函数应该是一个与偏差 有关的函数：
3x1 2x2 d2 d2 18
2、绝对约束和目标约束
绝对约束：决策过程中决策变量必须满足的约束， 也称为硬约束。
目标约束：决策过程中决策值和目标值可能出现 偏差的约束，也称软约束。
目标约束是目标规划特有的约束。
如，例中的 x1 4与2 x2 12是绝对约束.
3
x1 x2 d1 d1
目标规划是实现目标管理的有效工具，它根 据企业制订的经营目标以及这些经营目标的轻重 缓急，考虑到现有资源情况，确定一个满意方案， 使得工作结果达到规定目标或使差距最小。弥补 了线性规划的不足。
目标规划问题在经济活动、科学研究和工程 设计上经常遇到。
例如设计导弹，既要射程远，又要省燃料， 还要精度高。
确定一个新橡胶配方往往同时考察八、九个 指标，如强度、硬度、变形、伸长等。
又比如选一个新厂址，除要考虑运输费用、造 价、燃料费，还要考虑污染等社会因素。
二、目标规划的数学模型
1、偏差变量 d , d 产生原因：对于企业给定的目标值，可能在实际 的决策过程中会出现达不到或者超出的情况，但 是具体的数值事先没有办法知道，因此是一个变 量，把这种变量记做目标的偏差变量。 其中d+为正偏差变量， d-为负偏差变量。 注意：由于在实际决策中，不可能同时出现正负 两个偏差量，所以应该有一个变量的值为0，即：
min z f (d , d )
在这里，目标函数的构造根据实际决策与目标的 情况，具有下面的3种基本形式。
3x1 2x2 d2 d2 18
（1）要求决策值恰好能够达到目标值，即正负 偏差都尽可能的小，构造形式为：
min z f (d , d )
（2）要求决策值不超过目标值，即正偏差尽可 能的小，其构造形式为：
x1 4
2x2 12
变量在决策过程中对目标的作用为目标约束
x1 x2 d1 d1 0
3x1 2x2
d
2
d
2
18
3x1 5x2 d3 d3 32
x1 x2 d1 d1 0
3x1 2x2
d
2
d
2
18
3x1 5x2 d3 d3 32
d d 0, d 0, d 0
如：在上例中,利润的目标值为32，决策值 3x1 5x2，
可能目标值会达不到，所以加上一个负偏差变量 d3-≥0，把目标函数变成
3x1 5x2 d3 32
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去 一个正偏差变量d3+≥0，把目标函数变成
3x1 5x2 d3 32
综合考虑后，得到结果
3x1 5x2 d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
可以用同样的方式来处理其它提出的决策要求：
（1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量.
要求 x1 x2，既 x1 x2 0，
0是目标值， x1 x2 是决策值，则
x1 x2 d1 d1 0
（2）尽可能利用设备台时，不希望加班. 目标值是现拥有的18台时，决策值 3x1 2x2，
已
资源量
2
18
0
4
2
12
5
max z 3x1 5x2
3 x1 2 x2 18
s.t.
x1
4 2 x2 12
x1 0, x2 0
产品
甲
A/吨
1
原料B/吨
0
单位赢利/万元 3
已
资源量
2
18
0
4
2
12
5
但在实际计划时，往往会提出一些其它的目标要求，如
（1）由市场信息，在生产计划期内，甲产品的销 量有下降趋势，作计划目标要求甲产品的产量不 大于乙产品的产量；
x1
2 x2
d
2
d
2
0 18
3
x1
5 x2
d
3
d
3
32
是目标约束.
硬约束是指不含偏差变量的约束，软约束是指含 偏差变量的约束。但是问题不同时，软硬约束也 会发生变化，要因地制宜.
3、优先因子与权系数
不同目标的主次轻重有两种差别。
一种差别是绝对的，可用优先因子Pj来表示。 只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上， 才能考虑较低级优先因子对应的目标；在考虑低级 优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高 级优先因子对应的目标。
p3（3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这
个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
解：给各个目标约束制订偏差变量：
（1）产量偏差变量 d1 , d1 0 （2）台时偏差变量 d2 , d2 0 （3）利润偏差变量 d3 , d3 0
约束条件中，首先是资源的利用不可能超过现有 资源量，所以为绝对约束
min z f (d )
（3）要求决策值可以超过目标值，即负偏差尽 可能的小，其构造形式为：
min z f (d )
例. 生产计划问题：
产品
甲
已
资源量
资源
设备/台时
3
2
18
原料A/吨
1
0
4
原料B/吨
0
2
12
单位赢利/万元 3
5
并要求
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
p（2 2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产； （3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这 个利润指标.
类似这样的多目标决策问题就是目标规划问题.
目标规划是由线性规划演变而来的。1961年 美国的查恩斯和库珀提出了目标规划的有关概念 和模型，以后这种模型得到不断完善和改进。
线性规划是研究资源的有效分配和利用的， 其模型的特点是在满足一组约束条件的情况下寻 求某一线性目标的极值。