完整版三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例

三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例

C 知负整介

1. 仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 ____________ 的角叫仰 角，在水平线 ____________ 的角叫俯角(如图①).

① ②

2. 方位角

3. 方向角

相对于某一正方向的水平角(如图③)

(1) 北偏东a °即由指北方向顺时针旋转a

(2) 北偏西a °即由指北方向逆时针旋转

况°到达目标方向.

(3) 南偏西等其他方向角类似.

【思考探究】 1仰角、俯角、方位角有什么区别? 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为

到达目标方向.

何图形为背景,求解有关长度角度、面积、最值和 转化至u 三角形中，利用正軽舷理加以解决n 在解决

_

常先引入变量（如边长、角度等），然后把要解的三角形的边或角用所设变量 表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之.

以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问 题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决•在解决某些具体 问题时，常先引入变量（如边长、角度等），然后把要解的三角形的边或角用 所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之.

如右图，D 是直角△ ABC 斜边BC 上一点，AB = AD ，

记/ CAD = ，/ ABC = B .

(1)证明：sin + cos 2B = 0;

⑵若AC = 3 DC ，求B 的值.

=10，AB = 14，/ BDA = 60°，/ BCD = 135° 贝S BC 的长为

、最值和优化等问题，通常

亠一某些具体问题时, 【变式训练】 1.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD 丄CD ，AD A R

目》测量距离问题

求距离问题要注意：

(1) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则

直接解；若有未知量，贝U把未知量放在另一确定三角形中求解.

(2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

例题2•如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为

15 2海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛

1

出发，朝北偏东Otan缸2的方向作匀速直线航行，速度为10.5海里/小时.

(1) 求出发后3小时两船相距多少海里？

(2) 求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？

7?

岂》测量高度问題 测量高度问题一般是利用地面上的观测点， 通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度， 这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三 角形加以解决. 例题3, 如图，测量河对岸的塔形建筑 AB , A 为塔的顶端，B 为塔的底

端，河两岸的地面上任意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一 架测角仪（可以测量仰角、俯角和视角），再给你一把尺子（可以测量地面上两 点间距离），图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角/ ACB =，请设计 一种测量塔建筑高度 AB 的方法（其中测角仪支 架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设 字母表示）.

【变式训练】3. A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ,在A 点测得山顶C 的仰角为45°，/ BAD = 120°，又在B 点测得/ ABD = 45°，其中D 是点 C 到水平面的垂足，求山高CD.

厂

题型

D C R

测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的 函数值•如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定 理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了. 例题4， 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处（.3 - 1） n 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以 mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追 上走私船？ rfn mile 10 n

【变式训练】4•如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行•当甲船位于A i处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B i 处，此时两船相距20海里•当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 '2海里，问乙船每小时航行多少海里？

小方法突破

1 •解三角形的一般步骤

(1) 分析题意，准确理解题意

分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等.

(2) 根据题意画出示意图.

(3) 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理

等有关知识正确求解.演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答.

(4) 检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.

2.解斜三角形实际应用举例

(1) 常见几种题型

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

(2) 解题时需注意的几个问题

① 要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；

② 要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中 的隐含条件，才能顺利解决.

曾邀愉分析〉

从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算 有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能 力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换 综合考查.

3经典箱题

1. （2012江西卷）E , F 是等腰直角△ ABC 斜边AB 上的三等分点，贝U tan / ECF

2. （2012陕西卷）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距 5（3+「3）海里的两 个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发 出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20.3海里的C 点的救援船 立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？

北 &

A 16

A.27

B.3 D.