第六章 曲与曲面

t [0,1]
给定边界条件： x(0) P0x
x(1) P1x
x' (0) R0x
x' (1) R1x
代入上两式，可得：
P0x [0 0 0 1] Cx P1x [1 1 1 1] Cx R0x [0 0 1 0] Cx R1x [3 2 1 0] Cx
P0 0 0 0 1
矩阵表示为：
1）改进了 Bezier 特征多边形与 Bernstein 多项式次数相关的问题； 2）克服了 Bezier 曲线整体逼近的缺点； 均匀 B 样条函数的定义：
§求解：构造线性方程组，求参数 a, b, c，即构造了插值函数
§逼近：-插值的问题？ §型值点太多时→构造插值函数困难； §型值点多→误差大； -解决：选择低阶函数,在某种意义上逼近型值点→最佳逼近 §常用方法：最小二乘法 -最小二乘法：逼近的效果由各点偏差的平方和最小或加权的方差最小；
§光顺：拐点不要太多-曲线的拐点太多→视觉效果差； -平面曲线的相对光顺条件： §1）具有二阶几何连续； §2）不存在多余拐点和奇异点； §3）曲率变化较小；
if r点 有 切 线 t 0 dp 的 方 向 为r点 切 线 方 向 dt
设 弧 长 为C t 0 P c
如 选 择C为 曲 线 参 数 ， 即P(t ) P(c)
则 ：dp lim P T 单 位 切 矢 量 ， dp ＝1
dc c 0 c
dc
对 于 一 般 参 数t :
又：lim T1T2 1 0 T1T2
k lim ( lim T ) ( lim T1T2 ) dT
c0 c
c0 c
c0 T1T2
dc
又T
dp dc
p' (c) k
d2p dc2
p'' (c)
k
(
d2x dc2
)
2
(
d2 dc
y
2
)
2
(
d2z dc2
)
2
1/
2
曲率半径： 1
a3xt 3 a3yt 3
a2xt 2 a2 yt 2
a1xt a1yt
a0x a0 y
z(t) a3zt3 a2zt 2 a1zt a0z
矢量形式： P(t) a3t3 a2t 2 a1t a0
式一
令：T t3 t2 t 1
Cx a3
a2
a1
a0
T x
x' (t) [3t 2 2t 1 0] Cx
多边形的交点个数→变差缩减性； 说明 Bezier 曲线比特征多边形的波动小→Bezier 曲线比特征多边形所在的折线更光顺；
2、 B 样条曲线 目的：解决 Bezier 曲线的不足（1972 年，Gordon,Riesenfeld 扩展 Bezier 曲线）；
1)控制多边形的顶点个数决定了 Bezier 曲线的阶次,n 较大时特征多边形对曲线的控制减弱; 2)调和函数在整个区间内均不为零→不能作局部修改； 方法：用 B 样条函数代替 Bernstein 函数，从而：
2、 插值、逼近、拟合与光顺 -函数逼近的重要方法；
函数逼近问题与插值问题； 插值函数； 常用方法：线性插值，抛物线插值 线性插值：
设给定函数 f(x)在两个点的值：y1=f(x1),y2=f(x2);
要求：线性函数 y ( x) ax b 近似代替 y f ( x) ；
如 选 择 a, b ， 使 ( x1 ) y1 ,( x2 ) y2 则 ( x) 为 f(x) 的 线 性 插 值 函 数
- 形状趋于特征多边形的形状；
- 给定空间 n+1 个点的位置矢量：Pi，则 Bezier 曲线各点坐标的插值公式：
C(t)
n i0
Pi
Bi,n
(t
),
0t 1
▪ Bezier 曲线的性质： 1）端点性质：
A)端点位置矢量：Bezier 曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合； B)切矢量：Bezier 曲线的起点、终点的切线方向与其相应的特征多边形的第一条边及最后一条边的走向
第六章 曲线与曲面
一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率
§切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线 P（t）参数从 0 到 T 的弧长；
n
c
lim L(n)
n
lim
n i1
Pi1 Pi
t dP(t) dt
0 dt
P P(t t ) P(t )， P 弦 长
▪ 则称 Mh 为 Hermite 矩阵（常数阵），Gh 为几何矢量；
▪ X(t)=T*Mh*Ghx→P(t)=T*Mh*Gh
▪ 所以，只要给定 Gh，就可在 0≤t≤1 范围内求出 P(t)；
▪ 对于不同初始条件，Gh 不同，T，Mh 均是相同的；
4、 连续性定义
连续性条件：假定参数曲线段 pi 以参数形式进行描述： pi pi (t)
k
1
§法矢量
T : 单位切矢量，方向为曲 线的切线方向
dT dc与T垂直
与dT dc平行的单位矢量记为 N
dT
dc＝ dT
dc
N＝KN＝
1
N
KN为曲率矢量，模为 K
对于空间的参数曲线：
垂直单位切矢量 T的矢量 法矢量
KN为法矢量， N为单位法矢量
曲线某点有一束法线（ 以R点为中心向外辐射）， 在同一平面
§当 I>0 时，相应曲线有两个实拐点； §当 I＝0 时，曲线上出现一个尖点； §当 I<0 时，曲线上会出现一个二重点；
§拟合：曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
3
3、 参数曲线的代数形式和几何形式
考虑三次参数曲线的代数形式：
x(t) y(t )
- (1) 具有几何和透视投影变换不变性； ▪ 无理多项式表示的曲线： ▪ 生成曲线的离散点； ▪ 对这些离散点做透视投影变换，得到要求的曲线； ▪ 有理多项式表示的曲线： ▪ 对定义的曲线的控制点做透视投影变换； ▪ 用变换后的控制点生成要求的曲线；
- (2) 可精确的表示圆锥曲线、二次曲面，进而可统一几何造型算法； ▪ 研究内容包括：
dp
dp dp
if
0
T 1
dt
dt dt
对 于 参 数c :
dp
dp dp
T
dc
dt dt
对 比 上 两 式 ：dc
dp
dp dc T
dt dt dt dt
c t dP(t) dt dc dP(t) 0
0 dt
dt dt
c c(t)是关于参数t的单调函数
c c(t)存在反函数
4
▪ 参数连续性 1 阶参数连续性：记作 C1 连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 ) pi(ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
2 阶参数连续性：记作 C2 连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数； ▪ 几何连续性 0 阶几何连续性：记作 G0 连续性，与 0 阶参数连续性的定义相同，满足：
参数连续性
几何连续性
t [t i0 , ti1 ]
• 参数连续性（传统的、严格的连续性）
称曲线 P=P(t)在 t t0 处 n 阶参数连续，如果它在 t0 处 n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k tt0 0,1,n
记号: C n
0 阶参数连续性，记作 C0 连续性，是指曲线的几何位置连接，即 pi (ti1) p(i1) (t(i1)0 )
因子依次是 Bi,n(t); 2）在几何图形上，Bezier 曲线是 Pi 各点的凸线性组合，并且各点均落在特征多边形的凸包之中； 4）几何不变性：几何特性不随一定的坐标变换而变化的性质 Bezier 曲线的位置与形状仅与特征多边形的定点位置有关，不依赖坐标系的选择； 5）变差缩减性：如 Bezier 曲线的特征多边形是一个平面图形，则直线与曲线的交点个数 ≤ 该直线和特征
P1
R0
R1
1 0 3
1 0 2
1 1 1
1 0
C
x
0
对上述方程两端乘以 4*4 的矩阵，可得：
2 2 1 1 P0
2 2 1 1
P0
Cx
3 0
1
3 0 0
2 1 0
1
P1
0
0
R0
R1 x
令：M h
3 0
1
3 0 0
2 1 0
1 0
; Gh
0
x
P1 R0 R1
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1 阶几何连续性：记作 G1 连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例 2 阶几何连续性：记作 G2 连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例
5、重新参数化、有理参数多项式曲线 重新参数化
目的：改变生成曲线的参数间隔，不改变曲线的形状与位置； 最简单的形式：曲线的走向变 重新参数化的一般形式：1）端点位置矢量不变；2）切矢量：重新参数化后的曲线与原来的曲线的几何 系数之间存在一定的比例关系； 参数曲线的截断 参数曲线的分割：参数曲线被分割成具有任意长度的 n 条新的参数曲线，求第 i 条曲线的几何系数；参 数曲线被等分成 n 段曲线，即参数变量的间隔相等； 参数曲线的复合：把几条参数曲线段连接在一起，形成一条复合的参数曲线；构造新曲线的几何系数 B 有理参数多项式曲线 ▪ 目的：为更方便地控制曲线的形状； ▪ 原理：基于齐次坐标的概念，产生了用有理参数多项式构造曲线、曲面； ▪ 有理参数的优点：
BT决定的平面 化直平面
§挠率
平面曲线 密切平面就是曲线所在 平面 副法矢量不变 dB 0 dc
非平面曲线 B不是常数 dB 反映曲线的钮挠性质 挠率 dc
设曲线R点的弧参数 C，R邻域内取曲线上点 Q, 参数C C
为R, Q处密切平面的夹角
c为弧长RQ
c
平均挠率
定理：曲线的平面曲线 的充要条件：曲线上任 意点处的挠率等于 0
一致； C)曲率：Bezier 曲线在端点处的 r 阶导数，只与（r+1）个相邻点有关，与更远的点无关； D)r 阶导函数的差分表示：N 次 Bezier 曲线的 r 阶导函数可用差分公式表示为： 2）对称性：Bezier 曲线及其特征多边形在起点处的几何性质与终点处相同； 若保持原 Bezier 曲线的全部定点位置不变，仅把次序颠倒，形成新的顶点； 则新 Bezier 曲线形状不变，只是走向相反； 3）凸包性：1）说明当 t 在 0 与 1 区间变化时，对某个 t 值，C（t）是特征多边形各项点 Pi 的加权平均，权
曲线P P(t)可以用弧长参数表示 P P(c)
明确概念： dp ：单位切矢量 dc dp ：切矢量 dt 如果切矢量是弦长的 n 倍 曲线过顶点或回转 如果切矢量远小于弦长 曲线过于平坦
§曲率：曲线的弯曲变化率；
T1T2 ,
T
T1T2
c
T1T2 c
T1T2
T T1T2 c T1T2
法平面（通过该点与 T垂直的平面）
平行N的法线
主法线（通过曲率中心 与R点的法线）
N为单位主法线矢量
设B T N 垂直于T和N的法线 副法线
其中B为单位副法线矢量
T , N , B组成互相垂直的直角坐 标系，下列关系成立：
B T N, T N B, N B T
通过定点 R
TN决定的平面 密切平面 NB决定的平面 法平面
(x)
y1
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
点斜式
x x2 x1 x2
y1
x x1 x2 x1
y2
两点式
2
抛物线插值（二次插值）： §设已知 f(x)在三个互异点 x1,x2,x3 的函数值为 y1,y2,y3;
§要求：构造函数 ( x) ax 2 bx c 使该函数在节点 Xi 处与 f(x)在该点处的值相等；
- 参数多项式曲线的代数形式与几何形式； - 参数多项式曲线的矩阵表示； - 参数多项式曲线的生成；
5
二、 常用的参数曲线
1、 Bezier 曲线
▪ 定义：
- 一种以逼近为基础的参数曲线；
- 由一组折线集，或 Bezier 特征多边形定义；
- 曲线的起点、终点与多边形起点、终点重合；
- 多边形的第一个边与最后一个边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向；
例：平面Βιβλιοθήκη Baidu的三次参数曲线段：
x a0 a1t a2t 2 a3t 3 y b0 b1t b2t 2 b3t 3
§相应拐点方程：
0 t 1
pt 2 2qt 2r 0，式中, ( p, q, r ) (a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 )
§若 p≠0，则可以构造表达式： I (q / p)2 2r / p