学而思初一数学春季班第8讲-目标满分班-教师版

不等式2级 含参不等式

不等式3级 不等式的应用

不等式4级

方程与不等式综合应用

春季班 第七讲 春季班 第五讲

怎么就不一样？

漫画释义

满分晋级阶梯

8

方程与不等式 综合应用

编写思路：

对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。

本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.

对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.

【引例】 已知3242

231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩

，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围.

【解析】 ⑴ 解方程组3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩得

425

15x k y k ⎧

=+

⎪⎪⎨⎪=--

⎪⎩

，

∵ 12k <<，∴ 224k <<，∴ 444224555k +<+<+，即1424

55

x <<，

同理可得116

55

y -<<-.

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题型一：方程解的取值范围

⑵ 4162224555x y k k k ⎛

⎫-=+---=+ ⎪⎝

⎭, 可得66641442555k ⨯+

<+<⨯+，即2646

255

x y <-<

. 【点评】此题是已知参数的范围，确定解的范围.

【例1】 1. 直接求未知数法：

⑴ 已知方程组321

21x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩

，m 为何值时，x y >？

⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y k

x y +=⎧⎨-=⎩

得到的、x y 的值

① 都小于1；② 都不小于1

2． 整体法：

⑶已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪

+=+⎨⎪->⎩

，则a 的取值范围是 .

⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y a

x y a +=+⎧⎨+=-⎩

的解满足0x y +>，那么a 的取值范围

是 .

⑸ 若方程组31

33x y k x y +=+⎧⎨+=⎩

的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围.

3.与绝对值非负性综合：

⑹ 已知()2

2230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 .

⑺ 如果12

x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程()2

1280ax by ax by +-+-+=的解，

求不等式组1314 >

33

x x a b

ax x +⎧

-⎪⎨⎪-<+⎩的解集.

【解析】 ⑴ 解方程组得3

5x m y m =-⎧⎨=-⎩

，∵x y >，∴35m m ->-，∴4m >.

⑵ 解方程组得2

2x k y k =+⎧⎨=-⎩

，

① 2121

x k y k =+<⎧⎨=-<⎩，解得1k <-；② 2121≥≥x k y k =+⎧⎨=-⎩，解得3≥k .

典题精练

⑶ 观察方程组3243237

0x y a x y a x y +=+⎧⎪

+=+⎨⎪->⎩

①②，不必分别求出、x y 的值，只须-①②即可得到x y -，

即()()4370a a +-+>，解得43

a >. ⑷ 两个方程相加即可得1a >-.

⑸ 两个方程相减，得：()()22222401k x y x y x y =-+⇒<-+<⇒<-<. ⑹ 4m >-.

⑺ 由非负性性质可以求得2a =，5b =，则原不等式组的解集为3x <-.

【例2】 ⑴已知方程组37

51x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩

的解为正数. 化简13a a ++-.

⑵已知关于x ，y 的方程组：3

25x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩

的解满足0x y >>，化简：3a a +-.

【解析】 ⑴ 解方程组得443x a y a =+⎧⎨=-⎩，∵00

x y >⎧⎨>⎩，∴440

30a a +>⎧⎨->⎩，解得13a -<<.

∵13a -<<，∴10

30a a +>⎧⎨-<⎩

，∴13134a a a a ++-=++-=.

⑵32121202252x y a x a a a a x y a y a -=+=+⎧⎧⇒⇒+>->⇒>⎨

⎨+==-⎩⎩

. 当23a <<时，333a a a a +-=+-=; 当3a ≥时，3323a a a a a +-=+-=-.

【点评】根据解的情况确定参数的范围，从而化简绝对值.

求解不等式中的参数，通常根据不等式的基本性质来判断并确定含参数的式子的取值范围．如例3. 有的根据不等式的解集列出方程（组），从而求解，确定不等式中参数的值.如例4 确定不等式（组）中参数的取值范围，常用的方法有：

⑴逆用不等式（组）解集确定；⑵分类讨论确定；⑶借助数轴确定.

【例3】 ⑴ 若2ax >的解集为1x <-，求24x a ->的解集.

⑵ 已知a ，b 为常数，若0ax b +>的解集是1

3

x <，求不等式0bx a -<的解集．

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题型二：求不等式中的参数