高中数学集合典型例题

合集下载

高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解一、单选题1.已知集合(){}ln 2A x y x ==-,集合1,32xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =( ) A .∅B .()2,8C .()3,8D .()8,+∞2.设集合{}{lg 1},2A xx B x x =<=≤∣∣,则A B ⋃=( ) A .{02}xx <≤∣ B .{}2xx ≤∣ C .{10}x x <∣ D .R3.已知集合{}1A xy x ==-∣,{}0,1,2,3B =,则A B =( ) A .{3} B .{2,3} C .{1,2,3} D .{0,1,2,3}4.集合{}06A x Z x =∈<<,集合{}ln 1B x x =>,求A B ( ) A .{}6x e x << B .{}1,2,3e e e +++ C .{}3,4,5D .{}2,3,4,55.已知集合{}24A x N x =∈≤,{}1,B a =,B A ⊆,则实数a 的取值集合为( )A .{}0,1,2B .{}1,2C .{}0,2D .{}26.设R U =,1{|2}2x A x =<,{|1}B x x =>,则()U B A ⋂=( )A .{|0}x x <B .{}|1x x >C .{}|01x x <<D .{}|01x x <≤7.已知全集,集合{|(2)0}A x x x =+<,{|||1}B x x ,则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-⋃C .(2,1)[0,1]--D .[0,1]8.设集合{}22M x Z x =∈-<,则集合M 的真子集个数为( ) A .16B .15C .8D .79.已知函数()2ln 3y x x =-的定义域为A ,集合{}14B x x =≤≤,则()A B =R ( )A .{0,1,2,3,4}B .{1,2,3}C .[0,4]D .[1,3] 10.已知集合{|13,N}A x x x =-<<∈,则A 的子集共有( )A .3个B .4个C .8个D .16个11.若集合(){}ln 10A x x =-≤,{}2B x x =≥,则()RA B =( )A .(2,2)-B .(1,2)C .[)1,2D .(1,2] 12.已知集合{1,5,},{2,}A a B b ==,若{2,5}A B ⋂=,则a b +的值是( ) A .10B .9C .7D .413.设全集{}{}{}10,2,3,5,0,3,5,9U n N n A B =∈≤==,则()U A B =( ) A .{2,6}B .{0,9}C .{1,9}D .∅14.已知集合{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤,则UA =( )A .[-1,0)B .[-1,0]C .(-1,0)D .(-1,0]15.设集合{}2Z20A x x x =∈--≤∣,{0,1,2,3}B =,则A B =( ) A .{0,1}B .{0,1,2}C .{1,0,1,2,3}-D .{2,1,0,1,2,3}--二、填空题16.从集合{}123,,,,n U a a a a =⋅⋅⋅的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:①∅、U 都要选出;②对选出的任意两个子集A 和B ,必有A B ⊆或A B ⊇.则选法有___________种.17.集合{}{}23,12,1A B m m ==+,,且A B =,则实数m =________.18.已知集合(){}2,M x y y x ==∣,(){},0N x y y ==,则M N =______.19.已知T 是方程()22040x px q p q ++=->的解集,1379147{{1}}0A B ==,,,,,,,且T A T B T ⋂=∅⋂=,,则p q +=_____.20.若“x a >”是“39x >”的必要条件,则a 的取值范围是________.21.已知集合{}4194,A x x n n *==-+∈N ,{}6206,B y y n n *==-+∈N ,将A B 中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列{}n a ,则数列{}n a 的前n 项和的最大值为___________.22.设集合(),5P =-∞,[),Q m =+∞,若P Q =∅,则实数m 的取值范围是______. 23.设集合21|,|32A x m x m B x n x n ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,且,A B 都是集合{}|01x x ≤≤的子集,如果把b a -叫作集合{}|≤≤x a x b 的“长度”,那么集合A B 的“长度”的最小值是___________.24.已知集合{}()216,xA xB a ∞=≤=-,,若A B ⊆则实数a 的取值范围是____.25.若集合M 满足{}1,2,3,4M,则这样的集合M 有______个.三、解答题26.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.(1)若1a =,,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,求函数()f x 的值域;(2)当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π,且()f x 有意义时,①若(){}0y y f x ∈=,求正数a 的取值范围; ②当12a <<时,求()f x 的最小值N .27.已知集合A ={x |24x >},B ={x ||x -a |<2},其中a >0且a ≠1. (1)当a =2时,求A ∪B 及A ∩B ;(2)若集合C ={x |log ax <0}且C ⊆B ,求a 的取值范围.28.设全集U R =,已知集合{}1,2A =,{|03}B x x =≤≤,集合C 为不等式组10240x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集.(1)写出集合A 的所有子集; (2)求UB 和BC ⋃.29.设集合{}22,3,42A a a =++,集合{}20,7,42,2B a a a =+--,这里a 是某个正数,且7A ∈,求集合B .30.已知集合A ={}123x m x m -≤≤+, . (1)当m =1时,求A B ,(RA )B ;(2)若A B =A ,求实数m 的取值范围.试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,并完成解答.① 函数()f x B ;② 不等式2x ≤的解集为B . 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【参考答案】一、单选题 1.B 【解析】 【分析】先求出集合,A B ,然后直接求A B 即可. 【详解】集合(){}{}ln 22A x y x x x ==-=>,集合{}1,3082xB y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,()2,8A B =,故选:B . 2.C 【解析】 【分析】先化简集合A ,再求A B 【详解】lg 1lg lg10010x x x <⇔<⇔<<,即{}010|A x x =<<,所以{}|10A B x x =< 故选:C 3.C 【解析】 【分析】先由y =A ,再根据集合交集的原则即可求解. 【详解】对于集合A ,10x -≥,即1≥x ,则{}1A x x =≥, 所以{}1,2,3A B =, 故选:C 4.C 【解析】【分析】先化简出结合,A B ,然后再求交集. 【详解】由{}1,2,3,4,5A =,ln 1x > 则x e >,所以集合(),B e =+∞ 所以{}3,4,5A B = 故选:C 5.C 【解析】 【分析】化简集合A ,根据B A ⊆求实数a 的可能取值,由此可得结果. 【详解】因为集合{}24A x N x =∈≤化简可得{0,1,2}A =又{}1,B a =,B A ⊆, 所以0a =或2a =,故实数a 的取值集合为{0,2}, 故选:C. 6.B 【解析】 【分析】解不等式求得集合A 、B ,由此求得()U B A ⋂. 【详解】 11222x -<=,由于2x y =在R 上递增,所以1x <-, 即{}|1A x x =<-,{}|1UA x x =≥-,11x >⇒>,所以{}|1B x x =>,所以(){}|1UB A x x =>.故选:B 7.C【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ,再解绝对值不等式求出集合B ,阴影部分表示的集合为()A BAB ⋃,根据交集、并集、补集的定义计算可得;【详解】解:由(2)0x x +<,解得20x -<<,所以}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=, 又{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤,所以(2,1]A B =-,[1,0)A B =-, 所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A BA B ⋃=--,故选:C.8.D 【解析】 【分析】求出集合M 中的元素,再由子集的定义求解. 【详解】由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=, 因此其真子集个数为3217-=. 故选:D . 9.D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质,可知230x x ->,由此即可求出集合A ,进而求出A R,再根据交集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知,230x x ->,所以0x <或3x >, 所以{}{}03A x x x x =<>,故{}03A x x =≤≤R,所以()[]1,3R A B =. 故选:D. 10.C 【解析】 【分析】根据题意先求得集合{0,1,2}A =,再求子集的个数即可. 【详解】由{|13,N}A x x x =-<<∈,得集合{0,1,2}A = 所以集合A 的子集有32=8个, 故选: C 11.B 【解析】 【分析】分别解出集合A 和B ,再根据集合补集和交集计算方法计算即可. 【详解】(){}{}(]ln 10|0111,2A x x x x =-≤=<-≤=,{}(][)2,22,B xx ∞∞=≥=--⋃+,()2,2B =-R,∴()RAB =(1,2).故选:B. 12.C 【解析】利用交集的运算求解. 【详解】解:因为集合{1,5,},{2,}A a B b ==,且{2,5}A B ⋂=, 所以a =2,b =5, 所以a b +=7, 故选:C 13.B 【解析】 【分析】根据集合的交运算和补运算求解即可. 【详解】因为{}{}100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U n N n =∈≤=,{2,3,5}A , 则{0,1,4,6,7,8,9,10},{0,3,5,9}UA B ==,故(){0,9}U A B =.故选:B .14.C 【解析】 【分析】根据已知集合,应用集合的补运算求UA 即可.【详解】因为{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤, 所以{|10.} UA x x =-<<故选:C 15.B 【解析】 【分析】解一元二次不等式,得到集合A ,根据集合的交集运算,求得答案. 【详解】解不等式220x x --≤得:12x -≤≤ ,故{}2Z20{1,0,1,2}A x x x =∈--≤=-∣, 故{0,1,2}A B ⋂=, 故选:B二、填空题16.3323n n -⋅+【解析】分析出当一个子集只含有m 个元素时,另外一个子集可以包含()1m +,()2m +,(),1n -个元素,所以共有()()121C C C C C 22n mm n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯-种选法;再进行求和即可. 【详解】因为∅、U 都要选出;故再选出两个不同的子集,即为M ,N , 因为选出的任意两个子集A 和B ,必有A B ⊆或A B ⊇,故各个子集所包含的元素个数必须依次增加,且元素个数多的子集包含元素个数少的子集,当一个子集只含有1个元素时,另外一个子集可以包含2,3,4()1n -个元素,所以共有()()111221111C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯-种选法; 当一个子集只含有2个元素时,另外一个子集可以包含3,4,()1n -个元素,所以共有()()221232222C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯-种选法;当一个子集只含有3个元素时,另外一个子集包含4,5,()1n -个元素,所以共有()()331243333C C C C C 22n n n n n n n -----⨯+++=⨯-种选法;……当一个子集只含有m 个元素时,另外一个子集可以包含()1m +,()2m +,(),1n -个元素,所以共有()()121C C C C C 22n mm n m m n n m n m n m n ------⨯+++=⨯-种选法;……当一个子集有()2n -个元素时,另外一个子集包含()1n -个元素,所以共有()22C 22n n -⨯-种选法;当一个子集有()1n -个元素时,另外一个子集包含有n 个元素,即为U ,不合题意,舍去;故共有()()()()122122C 22C 22C 22C 22n n n mm n n n n n ----⨯-+⨯-++⨯-++⨯-()1122122C 2C 22C C C n n n n n n n n ---=⋅++⋅-+++()()122212223323nn n n n n n =+------=-⋅+. 故答案为:3323n n -⋅+ 【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目,要能通过分析,求出通项公式,再结合排列或组合的常用公式进行化简求解. 17.1或3-##3-或1 【解析】 【分析】由题意可得223m m +=,求出m ,因为{}{}23,12,1A B m m ==+,,且A B =,所以223m m +=,由223m m +=,得2230m m +-=,解得1m =或3- 故答案为:1或3-18.(){}0,0【解析】 【分析】根据题意,得到两集合均为点集,联立20y x y ⎧=⎨=⎩求解,即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标,集合(){},0N x y y ==,表示直线0y =上所有点的坐标,联立20y x y ⎧=⎨=⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩则(){}0,0MN =.故答案为:(){}0,0.19.26【解析】 【分析】由题知{}4,10T =,再结合韦达定理求解即可. 【详解】解:因为240p q ->,所以方程()22040x px q p q ++=->的解集有两个不相等的实数根,因为1379147{{1}}0A B ==,,,,,,,且T A T B T ⋂=∅⋂=,, 所以{}4,10T =所以由韦达定理得14p =-,40q = 所以26p q += 故答案为:2620.2a ≤【解析】 【分析】根据题意39x >解得:2x >,得出()()2,,a +∞⊆+∞,由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】根据题意39x >解得:2x >,由于“x a >”是“39x >”的必要条件,则()()2,,a +∞⊆+∞,2a ∴≤. 因此,实数a 的取值范围是:2a ≤. 故答案为:2a ≤.21.1472【解析】 【分析】由题意设4194n b n =-+,6206m c m =-+,根据n m b c =可得326m n -=,从而312194n n a b n ==-+,即可得出答案.【详解】设4194n b n =-+,由41940n b n =-+>,得48n ≤ 6206m c m =-+,由62060m c m =-+>,得34m ≤A B 中的元素满足n m b c =,即41946206n m -+=-+,可得326m n -=所以223m n =+,由,*m n N ∈,所以3,*n k k N =∈ 所以312194n n a b n ==-+,要使得数列{}n a 的前n 项和的最大值,即求出数列{}n a 中所以满足0n a ≥的项的和即可. 即121940n a n =-+≥,得16n ≤,则116182,2a a == 所以数列{}n a 的前n 项和的最大值为121618221614722a a a ++++=⨯= 故答案为:147222.5m ≥【解析】 【分析】由交集和空集的定义解之即可. 【详解】(),5P =-∞,[),Q m =+∞ 由P Q =∅可知,5m ≥ 故答案为:5m ≥23.16【解析】 【分析】根据“长度”定义确定集合,A B 的“长度”,由A B “长度”最小时,两集合位于集合[]0,1左右两端即可确定结果. 【详解】由题可知,A 的长度为23,B 的长度为12, ,A B 都是集合{|01}x x ≤≤的子集, 当A B 的长度的最小值时,m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端,即0,1m n ==,则|0,213|12A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 故此时1223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是:211326-=. 故答案为:1624.4a >【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求出集合A ,再根据A B ⊆列出不等式,即可的解. 【详解】解:{}(]216,4xA x ∞=≤=-,因为A B ⊆, 所以4a >. 故答案为:4a >. 25.15 【解析】 【分析】结合真子集公式可直接求解. 【详解】 因为{}1,2,3,4M,故集合M 有42115-=个.故答案为:15三、解答题26.(1)(,2-∞-(2)①2a ≥;②)21N a=【解析】 【分析】(1)当1a =时,求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-,令[)sin cos 1,1t x x =+∈-,令[)12,0m t =-∈-,()()22h m f x m m==++,利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域,即可得解;(2)①分析可知210a a --≤≤,可得出2a ≥,分1a =、1a ≠两种情况讨论,化简函数()221at ap t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值,综合可得出正实数a 的取值范围;②令[]11,1n at a a =-∈---,则1n t a +=,可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦,分析可得出101a a --<<-<法可求得N . (1)解:当1a =时,()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-,因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭,令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭,则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+,可得2sin 21x t =-, 设()()211t g t f x t +==-,其中11t -≤<,令1m t =-,则()22111221m t m t m m+++==++-, 令()22h m m m=++,其中20m -≤<,下面证明函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增,在()上单调递减,任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <,则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=,当122m m -≤<<122m m >,此时()()12h m h m <,当120m m <<,则1202m m <<,此时()()12h m h m >, 所以,函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增,在()上单调递减,则()(max 2h m h ==-因此,函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-. (2)解:因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π,则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭,设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--, ①若(){}0y y f x ∈=,必有210aa--≤≤,因为0a >,则2a ≥,当1a =时,即当1a =()110p t t t a =+==,可得1t =,合乎题意;当1a ≠2a ≥且1a ≠()min 0p t =,合乎题意. 综上所述,2a ≥;②令[]11,1n at a a =-∈---,则1n t a+=, 则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦, 令()()20qs x x q x=++>,下面证明函数()s x在(上单调递减,在)+∞上为增函数,任取1x、(2x ∈且12x x <,则120x x -<,120x x q <<, 所以,()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qs x s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以,()()12s x s x >,故函数()s x在(上单调递减, 同理可证函数()s x在)+∞上为增函数,在(,-∞上为增函数,在()上为减函数,因为12a <<,则()()2212121,2a a a +-=--+∈,且()()22121220a a a a a +---=->10a >->, 又()22212120a a a a +----=-<,1a ∴--<,101a a ∴--<<-由双勾函数的单调性可知,函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数,在()上为减函数,在(]0,1a -上为减函数,当[)1,0x a ∈--时,()((max 120n aϕϕ==-<, ()2101a a ϕ-=>-,()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦- (())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---,由双勾函数性质可得()()min 21f x a ϕ=-=,综上所述())min 21f x N a==.【点睛】关键点点睛:在求解本题第二问第2小问中,要通过不断地换元,将问题转化为双勾函数的最值,结合比较法可得出结果.27.(1)A ∪B ={x |x >0},A ∩B ={x |2<x <4}; (2){a |1<a ≤2}, 【解析】 【分析】(1)化简集合A ,B ,利用并集及交集的概念运算即得; (2)分a >1,0<a <1讨论,利用条件列出不等式即得. (1)∵A ={x |2x >4}={x |x >2},B ={x ||x -a |<2}={x |a -2<x <a +2}, ∴当a =2时,B ={x |0<x <4},所以A ∪B ={x | x >0},A ∩B ={x |2<x <4}; (2)当a >1时,C ={x |log ax <0}={x |0<x <1},因为C ⊆B ,所以2021a a -≤⎧⎨+≥⎩,解得-1≤ a ≤2,因为a >1,此时1<a ≤2,当0<a <1时,C ={x |log ax <0}={x |x >1},此时不满足C ⊆B , 综上,a 的取值范围为{a |1<a ≤2}. 28.(1)∅,{1},{2},{1,2}; (2)UB {|0x x =<或3}x >,{|13}BC x x ⋃=-≤≤.【解析】 【分析】(1)直接写出集合A 的所有子集即可; (2)直接写出UB ,求得C ,再求B C ⋃即可.(1)因为{}1,2A =,故A 的所有子集为∅,{}{}{}1,2,1,2. (2)因为{}|12C x x =-≤≤,UB ={|0,x x <或3}x >,{|13}B C x x ⋃=-≤≤.29.B ={0,7,3,1}. 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解:由题得2427a a ++=, 解得1a =或5a =-. 因为0a >,所以1a =. 当1a =时, B ={0,7,3,1}. 故集合B ={0,7,3,1}.30.(1){}|25=-≤≤A B x x ;(){}|20R A B x x =-≤< (2)1|4,12m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或【解析】 【分析】(1)利用集合的运算求解即可.(2)通过A B =A 得出A B ⊆,计算时注意讨论A 为空集的情况. (1) 选条件①:(1)当1m =时,{}|05A x x =≤≤,{}2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5RA x x x =<>或(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<选条件②:此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同,其余答案与①一致; (2)若A B A =,则A B ⊆当A =∅时,123m m ->+,解得4m <-当A ≠∅时,21123232m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩,即1412m m m ⎧⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-⎩,解得112m -≤≤-综上,实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或。

高中数学高考总复习集合习题及详解

高中数学高考总复习集合习题及详解

高中数学高考总复习集合习题及详解一、选择题1.(09·全国Ⅱ)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则∁U (M ∪N )=( )A .{5,7}B .{2,4}C .{2,4,8}D .{1,3,5,6,7}[答案] C[解析] M ∪N ={1,3,5,6,7}, ∴∁U (M ∪N )={2,4,8},故选C.2.(2010·烟台二中)已知集合M ={y |y =x 2},N ={y |y 2=x ,x ≥0},则M ∩N =( ) A .{(0,0),(1,1)} B .{0,1} C .[0,+∞)D .[0,1][答案] C[解析] M ={y |y ≥0},N =R ,则M ∩N =[0,+∞),选C.[点评] 本题极易出现的错误是:误以为M ∩N 中的元素是两抛物线y 2=x 与y =x 2的交点,错选A .避免此类错误的关键是,先看集合M ,N 的代表元素是什么以确定集合M ∩N 中元素的属性.若代表元素为(x ,y ),则应选A.3.设集合P ={x |x =k 3+16,k ∈Z },Q ={x |x =k 6+13,k ∈Z },则( )A .P =QB .P QC .P QD .P ∩Q =∅[答案] B[解析] P :x =k 3+16=2k +16,k ∈Z ;Q :x =k 6+13=k +26,k ∈Z ,从而P 表示16的奇数倍数组成的集合,而Q 表示16的所有整数倍数组成的集合,故P Q .选B.[点评] 函数值域构成的集合关系的讨论,一般应先求出其值域.如果值域与整数有关,可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式,利用整数的性质求解或用列举法讨论.4.(文)满足M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},且M ∩{a 1,a 2,a 3}={a 1,a 2}的集合M 的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4[答案] B[解析] 集合M 必须含有元素a 1,a 2,并且不能含有元素a 3,故M ={a 1,a 2}或{a 1,a 2,a 4}.(理)(2010·湖北理,2)设集合A ={(x ,y )|x 24+y 216=1},B ={(x ,y )|y =3x },则A ∩B 的子集的个数是( )A .4B .3C .2D .1[答案] A[解析] 结合椭圆x 24+y 216=1的图形及指数函数y =3x 的图象可知,共有两个交点,故A ∩B 的子集的个数为4.5.(2010·辽宁理,1)已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(∁U B )∩A ={9},则A =( )A .{1,3}B .{3,7,9}C .{3,5,9}D .{3,9}[答案] D[解析] 由题意知,A 中有3和9,若A 中有7(或5),则∁U B 中无7(或5),即B 中有7(或5),则与A ∩B ={3}矛盾,故选D.6.(文)(2010·合肥市)集合M ={x |x 2-1=0},集合N ={x |x 2-3x +2=0},全集为U ,则图中阴影部分表示的集合是( )A .{-1,1}B .{-1}C .{1}D .∅[答案] B[解析] ∵M ={1,-1},N ={1,2},∴M ∩N ={1}, 故阴影部分表示的集合为{-1}.(理)(2010·山东省实验中学)如图,I 是全集,A 、B 、C 是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A .(∁I A ∩B )∩C B .(∁I B ∪A )∩C C .(A ∩B )∩∁I CD .(A ∩∁I B )∩C[答案] D[解析] 阴影部分在A 中,在C 中,不在B 中,故在∁I B 中,因此是A 、C 、∁I B 的交集,故选D.高考总复习含详解答案[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察,看阴影部分在哪些集合中,不在哪些集合中,注意不在集合M 中时,必在集合M 的补集中.7.已知钝角△ABC 的最长边长为2,其余两边长为a ,b ,则集合P ={(x ,y )|x =a ,y =b }所表示的平面图形的面积是( )A .2B .4C .π-2D .4π-2[答案] C[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a 2+b 2<22;②a +b >2;③0<a <2,0<b <2,于是集合P 中的点组成由条件①②③构成的图形,如图所示,则其面积为S =π×224-12×2×2=π-2,故选C.8.(文)(2010·山东滨州)集合A ={-1,0,1},B ={y |y =cos x ,x ∈A },则A ∩B =( ) A .{0}B .{1}C .{0,1}D .{-1,0,1}[答案] B[解析] ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B ={1,cos1}, ∴A ∩B ={1}.(理)P ={α|α=(-1,1)+m (1,2),m ∈R },Q ={β|β=(1,-2)+n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q =( )A .{(1,-2)}B .{(-13,-23)}C .{(1,-2)}D .{(-23,-13)}[答案] B[解析] α=(m -1,2m +1),β=(2n +1,3n -2),令a =β,得⎩⎪⎨⎪⎧ m -1=2n +12m +1=3n -2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧m =-12n =-7∴P ∩Q ={(-13,-23)}.9.若集合M ={0,1,2},N ={(x ,y )|x -2y +1≥0且x -2y -1≤0,x 、y ∈M },则N 中元素的个数为( )A .9B .6C .4D .2[答案] C[解析] N ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)},按x 、y ∈M ,逐个验证得出N .10.(文)已知集合{1,2,3,…,100}的两个子集A 、B 满足:A 与B 的元素个数相同,且A ∩B 为空集.若n ∈A 时,总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( )A .62B .66C .68D .74[答案] B[解析] 若24到49属于A ,则50至100的偶数属于B 满足要求,此时A ∪B 已有52个元素;集合A 取1到10的数时,集合B 取4到22的偶数,由于A ∩B =∅,∴4,6,8∉A ,此时A ∪B 中将增加14个元素,∴A ∪B 中元素个数最多有52+14=66个.(理)设⊕是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集.若对任意a 、b ∈A ,有a ⊕b ∈A ,则称A 对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A .自然数集B .整数集C .有理数集D .无理数集[答案] C[解析] A :自然数集对减法,除法运算不封闭, 如1-2=-1∉N,1÷2=12∉N .B :整数集对除法运算不封闭,如1÷2=12∉Z .C :有理数集对四则运算是封闭的.D :无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭. 如(2+1)+(1-2)=2,2-2=0,2×2=2,2÷2=1, 其运算结果都不属于无理数集. 二、填空题11.(文)已知集合A ={x |log 12x ≥3},B ={x |x ≥a },若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是(-∞,c ],其中的c =______.[答案] 0[解析] A ={x |0<x ≤18},∵A ⊆B ,∴a ≤0,∴c =0.(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A ={0,2,a 2},B ={1,a },若A ∪B ={0,1,2,4},则实数a 的值为________.[答案] 2[解析] ∵A ∪B ={0,1,2,4},∴a =4或a 2=4,若a =4,则a 2=16,但16∉A ∪B ,∴a 2=4,∴a =±2,又-2∉A ∪B ,∴a =2.高考总复习含详解答案12.(2010·浙江萧山中学)在集合M ={0,12,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该集合恰满足条件“对∀x ∈A ,则1x∈A ”的概率是________.[答案]331[解析] 集合M 的非空子集有25-1=31个,而满足条件“对∀x ∈A ,则1x ∈A ”的集合A 中的元素为1,2或12,且12,2要同时出现,故这样的集合有3个:{1},{12,2},{1,12,2}.因此,所求的概率为331.13.(文)(2010·江苏,1)设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a =________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ={3},∴3∈B , ∵a 2+4≥4,∴a +2=3,∴a =1.(理)A ={(x ,y )|x 2=y 2} B ={(x ,y )|x =y 2},则A ∩B =________. [答案] {(0,0),(1,1),(1,-1)}.[解析] A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x 2=y2x =y 2={(0,0),(1,1),(1,-1)}. 14.若A ={x |22x -1≤14},B ={x |log 116x ≥12},实数集R 为全集,则(∁R A )∩B =________.[答案] {x |0<x ≤14}[解析] 由22x -1≤14得,x ≤-12,由log 116x ≥12得,0<x ≤14,∴(∁R A )∩B ={x |x >-12}∩{x |0<x ≤14}={x |0<x ≤14}.三、解答题15.设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1)x +(a 2-5)=0}. (1)若A ∩B ={2},求实数a 的值; (2)若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围. [解析] (1)A ={1,2},∵A ∩B ={2},∴2∈B , ∴4+4(a +1)+(a 2-5)=0,∴a =-1或-3. (2)∵A ∪B =A ,∴B ⊆A ,由Δ=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3)=0得,a =-3. 当a =-3时,B ={2},符合题意;当a <-3时,Δ<0,B =∅,满足题意; 当a >-3时,∵B ⊆A ,∴B =A ,故⎩⎪⎨⎪⎧2(a +1)=-3a 2-5=2,无解. 综上知,a ≤-3.16.(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-x -6<0},B ={x |x 2+2x -8>0},C ={x |x 2-4ax +3a 2<0},若∁U (A ∪B )⊆C ,求实数a 的取值范围.[解析] A ={x |-2<x <3},B ={x |x <-4,或x >2},A ∪B ={x |x <-4,或x >-2}, ∁U (A ∪B )={x |-4≤x ≤-2},而C ={x |(x -a )(x -3a )<0} (1)当a >0时,C ={x |a <x <3a },显然不成立. (2)当a =0时,C =∅,不成立.(3)当a <0时,C ={x |3a <x <a },要使∁U (A ∪B )⊆C ,只需⎩⎪⎨⎪⎧3a <-4a >-2,即-2<a <-43.综上知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-2,-43. 17.(文)设集合A ={(x ,y )|y =2x -1,x ∈N *},B ={(x ,y )|y =ax 2-ax +a ,x ∈N *},问是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠∅?若存在,请求出a 的值;若不存在,说明理由.[解析] 假设A ∩B ≠∅,则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -1y =ax 2-ax +a 有正整数解,消去y 得, ax 2-(a +2)x +a +1=0(*)由Δ≥0,有(a +2)2-4a (a +1)≥0, 解得-233≤a ≤233.因a 为非零整数,∴a =±1,当a =-1时,代入(*),解得x =0或x =-1, 而x ∈N *.故a ≠-1.当a =1时,代入(*),解得x =1或x =2,符合题意. 故存在a =1,使得A ∩B ≠∅, 此时A ∩B ={(1,1),(2,3)}.(理)(2010·厦门三中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且(a -1)S n =a (a n -1)(a >0,n ∈N *). (1)求证数列{a n }是等比数列,并求a n ;(2)已知集合A ={x |x 2+a ≤(a +1)x },问是否存在实数a ,使得对于任意的n ∈N *,都有S n ∈A ?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.[解析] (1)①当n =1时,∵(a -1)S 1=a (a 1-1),∴a 1=a (a >0)高考总复习含详解答案②当n ≥2时,由(a -1)S n =a (a n -1)(a >0)得, (a -1)S n -1=a (a n -1-1)∴(a -1)a n =a (a n -a n -1),变形得:a na n -1=a (n ≥2),故{a n }是以a 1=a 为首项,公比为a 的等比数列, ∴a n =a n .(2)①当a ≥1时,A ={x |1≤x ≤a },S 2=a +a 2>a ,∴S 2∉A , 即当a ≥1时,不存在满足条件的实数a . ②0<a <1时,A ={x |a ≤x ≤1} ∵S n =a +a 2+…+a n =a1-a (1-a n ),∴S n ∈[a ,a1-a),因此对任意的n ∈N *,要使S n ∈A ,只需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1-a ≤1,解得0<a ≤12,综上得实数a 的取值范围是(0,12].。

高中集合题型和例题大全

高中集合题型和例题大全

高中集合的题型和例题有很多种,以下是一些常见的类型和示例:
1. 集合的表示方法
例题:用列举法表示下列集合:
(1){x|x是小于10的正整数}
(2){y|y是5的正整数倍}
(3){x|x是4除以3的余数}
(4){y|y是9的平方数}
2. 集合之间的关系
例题:已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},求证:A∩B=
{x|x=8k+1,k∈Z}。

3. 集合的运算
例题:已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求:
(1)A∪B;
(2)A∩B;
(3)A-B;
(4)B-A。

4. 集合的元素与集合的关系
例题:已知集合A={a,b,c,d},B={e,f},且集合C满足A∩C≠∅,B∩C≠∅,求C的可能情况。

5. 集合的子集与真子集
例题:已知集合A={1,2,3},求A的所有子集和真子集。

6. 集合的交集、并集、补集运算
例题:已知集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},求:
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(3)C∪A;
(4)C∪B。

7. 含参数的集合问题
例题:已知集合A={x|ax+b=0},若A=∅时a、b应满足什么条件?如果A≠∅时a、b 应满足什么条件?。

高中数学第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.2集合的表示方法课堂探究新人教B版必修1

高中数学第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.2集合的表示方法课堂探究新人教B版必修1

集合表示方法课堂探究探究一用列举法表示集合1.用列举法表示集合时,一般不必考虑元素间前后顺序,如{a,b}与{b,a}表示同一个集合.2.元素与元素之间必须用“,〞隔开.3.集合中元素不能重复.4.列举法也可以表示无限集.【典型例题1】用列举法表示以下集合:(1)36与60公约数构成集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0根构成集合;(3)一次函数y=x-1与y=-23x+43图象交点构成集合.思路分析:(1)要明确公约数含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.解:(1)36与60公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12};(2)方程(x-4)2(x-2)=0根是4,2,所求集合可表示为{2,4};(3)方程y=x-1与y=-23x+43可分别化为x-y=1与2x+3y=4,那么方程组解是所求集合可表示为.探究二用描述法表示集合1.使用描述法表示集合时要注意以下几点:(1)写清元素符号;(2)说明该集合中元素性质;(3)不能出现未被说明字母;(4)多层描述时,应当准确使用“且〞“或〞;(5)所有描述内容都要写在集合符号内;(6)用于描述语句力求简明、准确.2.集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1}与C={(x,y)|y=x2+1}不是一样集合.这是因为集合A代表元素是x,且x∈R;集合B代表元素是y,且y≥1;集合C代表元素是(x,y),且(x,y)表示平面直角坐标系内抛物线y=x2+1上点,所以它们是互不一样集合.3.{三角形}实际上是{x|x是三角形}简写,千万别理解成是由三个汉字组成集合,三角形构成集合不要写成{所有三角形},因为{ }本身就有“所有〞含义.【典型例题2】用描述法表示以下集合:(1)小于10所有非负整数构成集合;(2)数轴上与原点距离大于3点构成集合;(3)平面直角坐标系中第二、四象限内点构成集合;(4)方程组解构成集合;(5)集合{1,3,5,7,…}.思路分析:(1)“0≤x<10,x∈Z〞可作为集合一个特征性质;(2)要利用数轴上距离公式来表示,即|x|>3;(3),(4)注意代表元素为点坐标;(5)“x=2k-1,k∈N+〞可作为集合一个特征性质.解:(1)小于10所有非负整数构成集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};(2)数轴上与原点距离大于3点构成集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内点构成集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};(4)方程组解构成集合,用描述法表示为或;(5){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.反思用描述法表示集合之前,应先通过代表元素确定集合是“点集〞还是“数集〞.另外,二元一次方程组解,因为含有两个未知数,所以在表示时,可看成“点集〞形式进展描述.探究三含参数问题1.对于集合表示方法中含参数问题一定要注意弄清集合含义,也要清楚参数在集合中地位.2.含参数问题常用分类讨论思想来解决,在讨论参数时要做到不重不漏.【典型例题3】集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a 值,并用列举法表示集合M.解:根据集合中元素互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合一个元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.当a=1时,M={1,0},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;当a≠1,且a≠2时,a+1+a-1=3,那么a=32,M=,符合题意.综上所述,实数a值为2或32,当a=2时,M={1,2};当a=32时,M=.探究四易错辨析易错点1 认为集合中a具有一致性而致误【典型例题4】集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},C={x|x=4a+1,a∈Z}.假设m∈A,n∈B,那么有( )A.m+n∈AB.m+n∈BC.m+n∈CD.m+n不属于A,B,C中任意一个错解:C错因分析:不能正确利用集合中元素特征性质,认为三个集合中a是一致,从而由m∈A,得m=2a,a∈Z.由n∈B,得n=2a+1,a∈Z.所以得到m+n=4a+1,a∈Z.进而错误判断m+n∈C.而实际上,三个集合中a是不一致.应由m∈A,设m=2a1,a1∈Z.由n∈B,设n =2a2+1,a2∈Z.所以得到m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2∈Z,所以m+n∈B,故正确答案为B.正解:B反思在分析集合中元素关系时,一定要注意字母各自取值独立性,并要注意用不同字母来区分,否那么会引起错误.易错点2 混淆集合中代表元素而致误【典型例题5】判断命题=真假,并说明理由.错解:此命题是真命题.理由如下:∵x与61x+范围一致,∴题中命题是真命题.错因分析:误认为两个集合代表元素一样而导致错误.实际上,代表元素是x,而代表元素是61x+,因而构成两个集合元素不同.正解:此命题是假命题.理由如下:∵x∈N,且61x+∈Z,∴1+x=1,2,3,6.∴x=0,1,2,5.∴={0,1,2,5}.而={6,3,2,1},∴题中命题是假命题.反思化简集合时一定要注意该集合代表元素是什么,看清楚是数集、点集,还是其他形式,还要注意充分利用特征性质求解,两者相互兼顾,缺一不可.。

高一数学集合典型例题、经典例题

高一数学集合典型例题、经典例题

高一数学集合典型例题、经典例题例1.1.给定集合A和B,其中A={x|x-2≤2},B={y|y=-x^2,-1≤x≤2},求A∩B。

解:将B中的条件用x表示出来,得到B={y|y=-(x-1)^2-1.-1≤x≤2}。

因为A和B都是关于x的条件,所以A∩B也是关于x的条件。

将A和B的条件合并,得到A∩B={x|-x^2≤x-2≤2.-1≤x≤2},即A∩B={x|1≤x≤2}。

例1.2.给定集合A和B,其中A={2,4,a^3-2a^2-a+7},B={1,a+3,a^2-2a+2,a^3+a^2+3a+7},且A∩B={2,5},求A∪B。

解:由A∩B={2,5}可得5∈A。

将5代入a^3-2a^2-a+7=5中解得a=±1或a=2.若a=-1,则B={1,2,5,4},与已知矛盾,舍去。

若a=1,则B={1,4,1,12},也与已知矛盾,舍去。

若a=2,则B={1,5,2,25}符合题意。

因此,A∪B={1,2,4,5,25}。

例2.1.给定集合A和B,其中A={x-2<x≤5},B={x-m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,求实数m的取值范围。

解:因为XXX,所以B的最大值不大于A的最大值,即2m-1≤5,解得m≤3.又因为B的最小值不小于A的最小值,即m-1≥-2,解得m≥-1.综上所述,实数m的取值范围为-1≤m≤3.例2.2.给定集合A和B,其中A={x|x^2+x+1=0,x∈R},B={x|x≥0},且A∩B=∅,求实数a的取值范围。

解:由A∩B=∅可知,方程x^2+x+1=0没有实数解。

根据判别式Δ=b^2-4ac,得到Δ<0,即4a<1.因为a≠0,所以a<1/4.又因为当a=0时,方程x^2+x+1=0有实数解,所以a≥0.综上所述,实数a的取值范围为0≤a<1/4.例3.1.给定集合S和T,其中S={x|x>5或x<-1},T={x|a<x<a+8},且S∪T=ℝ,求实数a的取值范围。

集合典型例题(含解析)

集合典型例题(含解析)

第一章集合一、选择题1.(2012·湖南高考理科·T1)设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=( )(A){0} (B){0,1} (C){-1,1} (D){-1,0,1}【解题指南】求出集合N中所含有的元素,再与集合M求交集.【解析】选B. 由…2x x,得…2x x0-,…x(x1)0-,剟0x1,所以N=剟{x0x1},所以M I N={0,1},故选B.2.(2012·浙江高考理科·T1)设集合A={x|1<x<4},集合B ={x|x2-2x-3≤0}, 则A∩(C R B)=()(A)(1,4) (B)(3,4) (C)(1,3) (D)(1,2)∪(3,4)【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选B.集合B ={x|x2-2x-3≤0}={}13x x-≤≤,{}1,3RB x x x=<->或ð,∴A∩(C R B)=(3,4)3.(2012·江西高考理科·T1)若集合{}{}1,1,0,2A B=-=,则集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为()(A)5 (B)4 (C)3 (D)2【解题指南】将x y+的可能取值一一列出,根据元素的互异性重复元素只计一次,可得元素个数.【解析】选C.由已知得,{}|,,z z x y x A y B=+∈∈{}1,1,3=-,所以集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为3.4.(2012·新课标全国高考理科·T1)已知集合{}1,2,3,4,5A=,(){},|,,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈则B 中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10【解题指南】将x y -可能取的值列举出来,然后与集合A 合到一起,根据元素的互异性确定元素的个数.【解析】选D.由,x A y A ∈∈得0x y -=或1x y -=±或2x y -=±或3x y -=±或4x y -=±,故集合B 中所含元素的个数为10个.5. (2012·广东高考理科·T2)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4 },则=ðU M ( )(A)U (B){1,3,5} (C){3,5,6} (D){2,4,6}【解题指南】掌握补集的定义:{|,}U M x x U x M =∈∉且ð,本题易解.【解析】选C. {3,5,6}U M =ð.6.(2012·山东高考文科·T2)与(2012·山东高考理科·T2)相同 已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U (A)B ð为( ) (A ){}1,2,4 (B ){}2,3,4 (C ){}0,2,4 (D ){}0,2,3,4【解题指南】 先求集合A 关于全集U 的补集,再求它与集合B 的并集即可.【解析】选C.{}{}{}U (A)B 0,42,40,2,4==ð. 7.(2012·广东高考文科·T2)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则U M ð=( )(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){1,2,4} (D)U【解题指南】根据补集的定义:{|,}U M x x U x M =∈∉且ð求解即可.【解析】选A. {2,4,6}U M =ð.8.(2012·辽宁高考文科·T2)与(2012·辽宁高考理科·T1)相同 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U A B ⋂=痧(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【解题指南】据集合的补集概念,分别求出,痧U U A B ,然后求交集.【解析】选B. 由已知C U A={2,4,6,7,9},U B ð={0,1,3,7,9},则(U A ð)⋂(U B ð)={2,4,6,7,9}⋂{0,1,3,7,9}={7,9}.9.(2012·新课标全国高考文科·T1)已知集合A={x|x 2-x -2<0},B={x|-1<x<1},则( )(A )A B Ü (B )B A Ü (C )A=B (D )A ∩B=∅【解题指南】解不等式x 2-x -2<0得集合A ,借助数轴理清集合A 与集合B 的关系.【解析】选B. 本题考查了简单的一元二次不等式的解法和集合之间的关系,由题意可得{}|12A x x =-<<,而{}|11B x x =-<<,故B A Ü.10.(2012·安徽高考文科·T2)设集合A={3123|≤-≤-x x },集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域,则A ⋂B=( )(A )(1,2) (B )[1,2] (C )[ 1,2) (D )(1,2 ]【解题指南】先求出集合,A B ,再求交集.【解析】选D .∵{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]=+∞=B A B ,∴.11.(2012·福建高考文科·T2)已知集合{1,2,3,4}M =,{2,2}N =-,下列结论成立的是( )(A)N M ⊆ (B)M N M = (C)M N N = (D){2}M N =【解题指南】通过观察找出公共元素,即得交集,结合子集,交、并、补各种概念进行判断和计算.【解析】选D .N 中元素-2不在M 中,因此,A 错,B 错; {2}M N N =≠,因此C错,故选D .12.(2012·浙江高考文科·T1)设全集U={1,2,3,4,5,6} ,集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(ðU Q)=()(A){1,2,3,4,6} (B){1,2,3,4,5}(C){1,2,5} (D){1,2}【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选D. C U Q={}1,2,6,则P∩(CU Q)={}1,2.13.(2012·北京高考文科·T1)与(2012·北京高考理科·T1)相同已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=()(A)(-∞,-1)(B)(-1,-23)(C)(-23,3)(D)(3,+∞)【解题指南】通过解不等式先求出A,B两个集合,再取交集.【解析】选D.集合A=2{|}3x x>-,{|13}B x x x=<->或,所以{|3}A B x x=>.14.(2012·湖南高考文科·T1)设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=()(A){-1,0,1} (B){0,1} (C){1} (D){0}【解题指南】先求出集合N中的元素,再求集合M,N的交集.【解析】选B. N={0,1},∴M∩N={0,1},故选B.15. (2012·江西高考文科·T2)若全集U={x∈R|x2≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集C u A为( )(A){x∈R |0<x<2} (B){x∈R |0≤x<2}(C){x∈R |0<x≤2} (D){x∈R |0≤x≤2}【解题指南】解不等式得集合U和A,在U中对A取补集.【解析】选C.{|22}U x x =-≤≤,{|20}A x x =-≤≤,则ðU A={|02}U C A x x =<≤. 16.(2012·湖北高考文科·T1)已知集合A={x|2x -3x +2=0,x ∈R } , B={x|0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为(A) 1 (B)2 (C) 3 (D)4【解题指南】根据集合的性质,先化简集合A,B.再结合集合之间的关系求解.【解析】选D. 由题意知:A= {1,2} ,B={1,2,3,4}.又A C B ⊆⊆,则集合C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 二、填空题17.(2012·上海高考理科·T2)若集合}012|{>+=x x A ,}2|1||{<-=x x B ,则=B A .【解题指南】本题考查集合的交集运算知识,此类题的易错点是临界点的大小比较. 【解析】集合1{2+10}{|}2A x x x x =>=>-,集合{}{12}{|212}13B x x x x x x =-<=-<-<=-<<,所以1{|3}2A B x x =-<<. 【答案】1{|3}2x x -<< 18.(2012·江苏高考·T1)已知集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则A B = .【解题指南】从集合的并集的概念角度处理.【解析】{1,2,4,6}=A B .【答案】{1,2,4,6}。

高中数学集合练习题及答案

高中数学集合练习题及答案

高中数学集合练习题及答案一、单选题1.集合{}06A x Z x =∈<<,集合{}ln 1B x x =>,求A B ( )A .{}6x e x <<B .{}1,2,3e e e +++C .{}3,4,5D .{}2,3,4,52.已知集合{}22A x x =-≤,{}1,2,3,4,5B =,则A B =( )A .{}1,2,3,4B .{}2,3,4,5C .{}1,2,3D .{}2,3,4 3.已知集合{}11A x Z x =∈-≤≤,{}1,2B =,则A B ⋃=( )A .{}1B .{}0,1,2C .1,0,1,2D .{}1,1,2-4.已知集合{}lg 0A x x =≤,{}22320B x x x =+-≤,则A B ⋃=( ) A .122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B .{}21x x -≤≤ C .102x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D .102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 5.设{}13A x x =-<≤,{}B x x a =>,若A B ⊆,则a 的取值范围是( ) A .{}3a a ≥ B .{}1a a ≤- C .{}3a a > D .{}1a a <- 6.已知集合22{(,)|3,Z,Z}A x y x y x y =+≤∈∈,则A 中元素的个数为( ) A .9 B .8 C .5 D .47.已知集合{}14A x x =-≤≤,{}260B x N x x =∈--≤ ,则A B =( ) A .[]1,3- B .[]2,4- C .{}1,2,3 D .{}0,1,2,3 8.已知集合{|12}A x x =-≤≤,{}0B x x =>,则A B ⋃=( )A .{|2}x x ≤B .{|1}x x ≥-C .{}|1x x >D .{}0x x 9.若集合2{|60}A x x x =--+>,5{|1}3B x x =≤--,则A B 等于( ) A .()3,3- B .[2,3)- C .(2,2)- D .[2,2)- 10.已知集{}23A x x =+≥合,{}3,1,1,3B =--,则A B =( )A .{}3B .{}1,3C .{}3,1--D .{}1,1,3-11.已知集合{}2log 1M x x =<,{}21N x x =≤,则M N ⋃=( ) A .(],1-∞B .(),2-∞C .[)1,2-D .(]0,112.记2{|log (1)3}A x x =-<,N A B =,则B 的元素个数为( )A .6B .7C .8D .9 13.集合A ={x |y =log 2(x +12)},B ={y |y =x 2-2x ,x ∈[0,2]}.则A ∩B =( )A .1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .(102-,) 14.设全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}1,2,4A =,{}2,3B =,则()U A B ⋂=( ) A .{}2B .{}2,3C .{}0,3D .{}3 15.已知集合A ={1,2,3,4,5},集合B ={1,2},若集合C 满足:B C A ⊆,则集合C的个数为( )A .6个B .7个C .8个D .9个 二、填空题16.已知集合(){}ln 2|A x y x ==-,{}2430|B x x x ≤=-+,则A B ⋃=____________ 17.若全集U =R ,集合{}31A x x =-≤≤,{}32A B x x ⋃=-≤≤,则U B A =___________.18.已知{}21,,3A a =,{}22,1,1B a a =+-.若A B =,则=a ______.19.已知集合{}2,1,2A =-,}1,B a =,且B A ⊆,则实数a 的值是___________. 20.若集合(){}2381x A x ==,集合(){}23log 1B x x ==,则A B =_________. 21.已知集合A ={2,log 2m },B ={m ,n }(m ,n ∈R),且{}1A B ⋂=-,则A ∪B =___________.22.已知T 是方程()22040x px q p q ++=->的解集,1379147{{1}}0A B ==,,,,,,,且T A T B T ⋂=∅⋂=,,则p q +=_____.23.若{}231,13a a ∈--,则=a ______.24.若全集{}22,4,1U a a =-+,且{}1,2A a =+,7A =,则实数=a ______. 25.若集合234|0A x x x ,{}|10B x ax =-=,且“x B ∈”是“x A ∈”的充分非必要条件,则实数a 组成的集合是______.三、解答题26.已知集合*N M ⊆,且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a ,b ,c ,d ,使得a b c d +=+,则称集合M 是“关联的”,并称集合{,,,}a b c d 是集合M 的“关联子集”;若集合M 不存在“关联子集”,则称集合M 是“独立的”.(1)分别判断集合{2,4,6,8,10}与{1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立的”?(2)写出(1)中“关联的”集合的所有的“关联子集”;(3)已知集合{}12345,,,,M a a a a a =是“关联的”,且任取集合{},i j a a M ⊆,总存在M 的“关联子集”A ,使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<,求证:1a ,2a ,3a ,4a ,5a 是等差数列.27.设集合{}53A x x =-≤≤,{2B x x =<-或}4x >.(1)求A B ;(2)求R R ()()A B ⋃.28.集合{}30?180120?180,Z A k k k αα︒︒=︒+<<+︒∈,集合{}45?360135?360,Z B k k k ββ=-+<<+∈. (1)求A B ;(2)若全集为U ,求U ()A B ⋂.29.记E 为平面上所有点组成的集合并且A E ∈,B E ∈,说明下列集合的几何意义: (1){}5P E PA ∈<; (2){}P E PA PB ∈=.30.已知集合6|32M x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭,{|53}N x t x t =<<+. (1)当1t =-时,求M N ⋂;(2)若M N ⊆,求实数t 的取值范围.【参考答案】一、单选题1.C【解析】【分析】先化简出结合,A B ,然后再求交集.【详解】由{}1,2,3,4,5A =,ln 1x > 则x e >,所以集合(),B e =+∞所以{}3,4,5A B =故选:C2.A【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ,再根据交集的定义计算可得;【详解】 解:由22x -≤,即222x -≤-≤,解得04x ≤≤,所以{}[]220,4A x x =-≤=, 又{}1,2,3,4,5B =,所以{}1,2,3,4A B =.故选:A3.C【解析】【分析】首先用列举法表示集合A ,再根据并集的定义计算可得;【详解】 解:因为{}{}111,0,1A x Z x =∈-≤≤=-,{}1,2B =,所以{}1,0,1,2A B ⋃=-; 故选:C4.B【解析】【分析】解对数不等式以及一元二次不等式,求出集合A,B ,根据集合的并集运算求得答案.【详解】解22320x x +-≤ 可得122x -≤≤ , 故{}{}lg 001A x x x x =≤=<≤,122B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭, 所以{}21A B x x ⋃=-≤≤,故选:B .5.B【解析】【分析】根据集合的包含关系,列不等关系,解不等式即可.【详解】由题:(,)B a =+∞,A B ⊆,则1a ≤-.故选:B6.A【解析】【分析】根据x ,y 满足的关系式求得x ,y 的可能值,从而求得集合元素个数.【详解】由223x y +≤,得x ≤≤y ≤又Z x ∈,Z y ∈,所以{1,0,1}x ∈-,{1,0,1}∈-y ,易知x 与y 的任意组合均满足条件,所以A 中元素的个数为339⨯=.故选:A.7.D【解析】【分析】由题知{}0,1,2,3B =,再根据集合交集运算求解即可.【详解】解:解不等式260x x --≤得23x -≤≤,所以{}{}2600,1,2,3B x N x x =∈--≤=, 因为{}14A x x =-≤≤所以A B ={}0,1,2,3故选:D8.B【解析】【分析】进行并集的运算即可.【详解】{|12}A x x =-≤≤,{}0B x x =>,{|1}A B x x ∴⋃=≥-.故选:B .9.D【解析】【分析】解不等式化简集合A ,B ,再利用交集的定义直接求解作答.【详解】不等式260x x --+>化为:260x x +-<,解得:32x -<<,则(3,2)A =-, 不等式513x ≤--,即203x x +≤-,整理得:(2)(3)030x x x +-≤⎧⎨-≠⎩,解得23x -≤<,则[2,3)B =-,所以[2,2)A B ⋂=-.故选:D10.B【解析】【分析】化简集合A ,由交集定义直接计算可得结果.【详解】化简可得{|1}A x x =≥,又{}3,1,1,3B =--所以{1,3}A B =.故选:B.11.C【解析】【分析】求出集合M ,N ,然后进行并集的运算即可.【详解】 ∵{}02M x x =<<,{}11N x x =-≤≤,∴[1,2)M N ⋃=-.故选:C .12.B【解析】【分析】解对数不等式化简A ,求出B 可得答案.【详解】由()22log 1log 8x -<,得19x <<,即{|19}A x x =<<,所以N B A ={2,3,4,5,6,7,8}=,则B 中元素的个数为7.故选:B13.B【解析】【分析】分别解出A 、B 集合,再求交集即可.【详解】集合A :11 022x x +>⇒>-; 集合B :222(1)1,[0,2]y x x x x =-=--∈,[1,0]y ∈- 所以:1(,0]2A B -=故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算.属于基础题.正确解出A 、B 集合是本题的基础.14.D【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得{}0,3U A =,因此,(){}U 3A B ⋂=,故选:D.15.B【解析】【分析】根据集合间的关系写出所有满足条件的集合C 可得出答案.【详解】根据B C A ⊆,集合C 可写成如下形式: {}{}{}{}{}{}{}12312412512341235124512345,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 所以满足条件的集合C 的个数为7个,选项B 正确.故选:B.二、填空题16.[)1,+∞【解析】【分析】先求出集合A 、B ,再求A B .【详解】集合(){}()2|2ln ,A x y x =+∞==-,{}[]2|1,3430B x x x =≤=-+, 所以()[][)2,1,31,A B +∞⋃=∞⋃+=.故答案为:[)1,+∞17.{}12x x <≤##(]1,2【解析】【分析】由集合A ,以及集合A 与集合B 的并集确定出集合B ,以及求出集合A 的补集,再根据交集运算即可求出结果.【详解】 因为{}31A x x =-≤≤,{}32A B x x ⋃=-≤≤,所以{3U x x A =<-或}1x >,{}{}1232x x x B x ⊆<≤⊆-≤≤,所以{}12U B A x x =<≤.故答案为:{}12x x <≤.18.2【解析】【分析】根据集合A 与集合B 相等列式即可求解【详解】因为A B =所以22213a a a ⎧=+⎨-=⎩解之得:2a = 故答案为:219.1【解析】【分析】由子集定义分类讨论即可.【详解】因为B A ⊆,所以a A ∈1A ∈,当2a =-1无意义,不满足题意;当1a =12=,满足题意;当2a =11=,不满足题意.综上,实数a 的值1.故答案为:120.{1,2,33} 【解析】【分析】求解集合,根据集合的并集运算即可.【详解】(){}{}23812x A x ===,(){}231log 13,3B x x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭,则A B ={1,2,33}. 故答案为:{1,2,33}. 21.1,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】根据条件得到2log 1m =-,解出12m =,进而得到1,1,22A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 【详解】 因为{}1A B ⋂=-,所以1A -∈且1B -∈,所以2log 1m =-,解得:12m =,则1n =-,1,12B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,所以1,1,22A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 故答案为:1,1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭22.26【解析】【分析】由题知{}4,10T =,再结合韦达定理求解即可.【详解】解:因为240p q ->,所以方程()22040x px q p q ++=->的解集有两个不相等的实数根, 因为1379147{{1}}0A B ==,,,,,,,且T A T B T ⋂=∅⋂=,, 所以{}4,10T =所以由韦达定理得14p =-,40q =所以26p q +=故答案为:2623.4-【解析】【分析】结合元素与集合的关系,利用集合的互异性分类讨论即可求解.【详解】若13a -=,则4a =,此时,2113a a -=-,不合题意,舍去;若2133a -=,则4a =-或4a =,因为4a =不合题意,舍去.故4a =-.故答案为:4-.24.3【解析】【分析】根据题意21a a -+7=,结合7A =,即可求得a .【详解】因为{}22,4,1U a a =-+,且{}1,2A a =+,7A =,故可得217a a -+=,即()()320a a -+=,解得3a =或2a =-.当2a =-时,{}2,4,7U =,{}1,2A =-,不合题意,故舍去.当3a =时,满足题意.故答案为:3.25.10,1,4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】解出集合A ,根据题意,集合B 为集合A 的真子集,进而求得答案.【详解】由题意,{}1,4A =-,因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分非必要条件,所以集合B 为集合A 的真子集,若a =0,则B =∅,满足题意;若0a ≠,则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以111a a =-⇒=-或1144a a =⇒=. 故答案为:10,1,4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 三、解答题26.(1){2,4,6,8,10}是“关联的”,{1,2,3,5,8}是“独立的”;(2){2,4,6,8},{2,4,8,10},{4,6,8,10};(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据给定定义直接判断作答.(2)由(1)及所给定义直接写出“关联子集”作答.(3)写出M 的所有4元素子集,再利用反证法确定“关联子集”,然后推理作答.(1)集合{2,4,6,8,10}中,因2846+=+,所以集合{2,4,6,8,10}是“关联的”,集合{1,2,3,5,8}中,不存在某两个数的和等于另外两个数的和,所以集合{1,2,3,5,8}是“独立的”.(2)由(1)知,有2846+=+,21048+=+,41068+=+,所以{2,4,6,8,10}的“关联子集”有:{2,4,6,8},{2,4,8,10},{4,6,8,10}.(3)集合M 的4元素子集有5个,分别记为:1234521345{,,,},{,,,}A a a a a A a a a a ==, 312454123551234{,,,},{,,,},{,,,}A a a a a A a a a a A a a a a ===,因此,集合M 至多有5个“关联子集”,若21345{,,,}A a a a a =是“关联子集”,则12345{,,,}A a a a a =不是“关联子集”,否则12a a =,矛盾,若21345{,,,}A a a a a =是“关联子集”,同理可得31245{,,,}A a a a a =,41235{,,,}A a a a a =不是“关联子集”,因此,集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”,与已知矛盾,于是得21345{,,,}A a a a a =一定不是“关联子集”,同理41235{,,,}A a a a a =一定不是“关联子集”,即集合M 的“关联子集”至多为12345{,,,}A a a a a =,31245{,,,}A a a a a =,51234{,,,}A a a a a =, 若12345{,,,}A a a a a =不是“关联子集”,则集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”,与已知矛盾,若31245{,,,}A a a a a =不是“关联子集”,则集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”,与已知矛盾,若51234{,,,}A a a a a =不是“关联子集”,则集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”,与已知矛盾,因此,12345{,,,}A a a a a =,31245{,,,}A a a a a =,51234{,,,}A a a a a =都是“关联子集”, 即有25345432a a a a a a a a +=+⇔-=-,15245421a a a a a a a a +=+⇔-=-,14234321a a a a a a a a +=+⇔-=-,从而得54433221a a a a a a a a -=-=-=-,所以1a ,2a ,3a ,4a ,5a 是等差数列.【点睛】关键点睛:涉及集合新定义问题,关键是正确理解给出的定义,然后合理利用定义,结合相关的其它知识,分类讨论,进行推理判断解决.27.(1){}52x x -≤<-; (2){5x x <-或}2x ≥-.【解析】【分析】(1)根据给定条件利用交集的定义直接计算作答.(2)利用补集的定义求出R A ,R B ,再利用并集的定义求解作答. (1) 因集合{}53A x x =-≤≤,{2B x x =<-或}4x >,所以{|52}A B x x ⋂=-≤<-.(2) 依题意,R {5A x x =<-或3}x >,{}R 24B x x =-≤≤,所以{R R ()()5A B x x ⋃=<-或}2x ≥-.28.(1){}30?360120?360,Z A B k k k αα⋂=+<<+∈ (2)U ()A B ⋂ {}210?360300?360,Z k k k αα=+<<+∈ 【解析】【分析】(1)先变形集合A ,再求交集;(2)先求补集,再求交集.(1) 解:因为{}30?180120?180,Z A k k k αα︒︒=+<<︒+︒∈ {}30?360120?360210?360300?360,Z k k k k k ααα︒︒︒=︒+︒<<︒+︒+<<+︒∈或所以 {}30?360120?360,Z A B k k k αα︒︒︒⋂=+︒<<+∈; (2)解:由(1),知U B {}135?360315?360,Z k k k γγ︒︒=+≤≤︒+︒∈ 故U ()A B ⋂{}210?360300?360,Z k k k αα=+<<+∈ 29.(1)以A 为圆心,5为半径的圆内部分(2)线段AB 的垂直平分线【解析】【分析】(1)由圆的定义可得;(2)由线段垂直平分线的定义可得.(1)表示到A 点距离小于5的点组成的集合,即以A 为圆心,5为半径的圆内部分;(2)P 到,A B 距离相等,即线段AB 的垂直平分线.30.(1){}|20x x -<< (2)23,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1)解不等式得M ,再求,M N 交集(2)由题意列不等式组求解(1) 由632x >+化简得302x x <+,解得20x -<<,故{}|20M x x =-<<, 当1t =-时,{}52N x x =-<<,因此{}|20MN x x =-<<.(2) 因{}|20M x x =-<<,{}53N x t x t =<<+,M N ⊆, 所以355230t t t t +>⎧⎪≤-⎨⎪+≥⎩,经计算得235t-≤≤-,故实数t的取值范围是2 3.5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,。

高中数学集合练习题附答案

高中数学集合练习题附答案

高中数学集合练习题附答案一、单选题1.已知集合{}{}0,11,A xx B x x x =≥=-≤≤∈Z ∣∣,则A B =( ) A .[]0,1B .{}1,2C .{}0,1D .[]1,22.已知集合{}1,2,3,4A =,2{|log ,}B y y x x x A ==-∈,则A B =( ) A .{}1,2B .{}1,3C .{}1,2,3D .{}1,3,43.已知集合{}1,0,1,2A =-,{}12B x x =-<<,则A B =( ) A .{}1,0,1- B .{}1,1,2-C .{}0,1D .{}1,24.已知全集,集合{|(2)0}A x x x =+<,{|||1}B x x ,则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-⋃C .(2,1)[0,1]--D .[0,1]5.已知集合{}35A x x =-≤<,{}42B x y x ==+,则()R A B ⋂=( ) A .13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B .1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C .[)3,2--D .()2,5-6.已知集合2{|13},{|4}A x x B x x =-≤<=≥,则A B =( ) A .[1,2]-B .[1,2]C .[2,3)D .[2,)+∞7.已知集合{}22A x x x =<,集合{}1B x x =<,则A B =( )A .(),2-∞B .(),1-∞C .()0,1D .()0,28.若集合{}220A x x x =--<,{}24B x x =<,则A B =( )A .AB .BC .()1,0-D .()0,29.已知集合{}(5)0A x x x =-<,{}14B x x =-,则A B ⋃=( ) A .[1,0)-B .[4,5)C .(0,4]D .[1,5)-10.已知全集{}1,2,3,4,5U =,{}2,3,4A =,{}3,5B =,则()UA B =( ) A .{}1B .{}3C .{}2,4D .{}1,2,4,511.已知集合{}220M x x x =∈-≤Z ,{}N x x a =≥,若M N ⋂有且只有2个元素,则a的取值范围是( )A .(]0,1B .[]0,1C .(]0,2D .(,1]-∞12.已知集合{}24A x x =≤,{}2,B y y x x ==∈R ,则A B =( )A .[0,2]B .[0,4]C .[2,2]-D .∅13.已知集合(){}0.2log 20A x x =->,{}24B x x =≤,则A B ⋃=( )A .[]22-,B .(]2,1-C .[)2,3-D .∅14.已知集合{}0,1,2A =,(){},,,,B x y x A y A x y A x y A =∈∈+∈-∈,则集合B 中元素的个数是( ) A .1B .4C .3D .215.全集{}0,1,2, 3,4U =----,{}{}0,1,2,0, 3, 4M N =--=--, 则()UM N =( ) A .{}0B .{}3,4--C .{}1,2--D .∅二、填空题16.已知集合{}112,,0,2x M x x x R P xx R x ⎧⎫-=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭,则集合M P 中整数的个数为______个.17.已知a 、R b ∈,若不等式20ax x b -+<的解集为112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,不等式210ax bx +-≤的解集为B ,则()R A B ⋂=______.18.已知集合{}{}35,10A x Z x B y y =∈-<<=+>∣∣,则A B 的元素个数为___________. 19.设集合(){},A x y y x ==,()3,1x B x y y x +⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则A B =______.20.已知集合{}0,1,2A =,则集合{}3,B b b a a A ==∈=______.(用列举法表示)21.已知函数()f x 满足()()2f x f x =-,当1≥x 时,()22f x x =-,若不等式()22f x a ->-的解集是集合{}13x x <<的子集,则a 的取值范围是______.22.已知集合{}2280P x x x =-->,{}Q x x a =≥,若P Q Q ⋂=,则实数a 的取值范围是___________.23.判断下列命题的真假:(1)集合{}1,2,3是集合{}1,2,3的真子集;( ) (2){}1是集合{}1,2,3的元素;( ) (3)2是集合{}1,2,3的子集;( ) (4)满足{}{}00,1,2,3A的集合A 的个数是322-个.( )24.若集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,则集合M 、N 之间的关系是______.25.若集合{}3A x x =>,集合{}B x x a =≥,且B A ,则实数a 的取值范围是______.三、解答题26.关于x 的不等式()()2220R ax a x a +--≥∈的解集为][(),12,-∞-⋃+∞.(1)求a 的值;(2)若关于x 的不等式()()2320x c a x c c a -++-<解集是集合A ,不等式()()210x x -+>的解集是集合B ,若A B ⊆,求实数c 的取值范围.27.已知集合2{|8200}A x x x =--≤,集合22{|230}B x x mx m =--≤,其中0m >. (1)若52m =,求A B ; (2)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.28.已知集合{}3A x x =≤,{}31B x a x a =-<<+. (1)当4a =时,求()A B R ; (2)若A B A =,求实数a 的取值范围.29.集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭,222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭,,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭,[]10,10D =-,分别求A B ,A C ,A D .30.集合{}30?180120?180,Z A k k k αα︒︒=︒+<<+︒∈,集合{}45?360135?360,Z B k k k ββ=-+<<+∈.(1)求A B ;(2)若全集为U ,求U()A B ⋂.【参考答案】一、单选题 1.C 【解析】 【分析】根据交集的定义和运算直接得出结果. 【详解】 由题意得,{1,0,1}B =-,又{}0A x x =≥,所以{0,1}A B =. 故选:C. 2.A 【解析】 【分析】根据对数的运算求出集合B ,再根据交集的定义可求出结果. 【详解】当1x =时,21log 11y =-=, 当2x =时,22log 21y =-=, 当3x =时,23log 3y =-, 当4x =时,24log 42y =-=, 所以2{1,2,log 3}B =, 所以A B ={1,2}. 故选:A 3.C 【解析】 【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义可得:{}0,1A B =. 故选:C. 4.C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ,再解绝对值不等式求出集合B ,阴影部分表示的集合为()A BAB ⋃,根据交集、并集、补集的定义计算可得;【详解】解:由(2)0x x +<,解得20x -<<,所以}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=, 又{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤,所以(2,1]A B =-,[1,0)A B =-, 所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A BA B ⋃=--,故选:C. 5.A 【解析】 【分析】先求出集合B ,得出其补集,再由交集运算得出答案. 【详解】由420x +≥,得21x ≥-,即集合1,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭,所以R 1,2B ∞⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.所以()R 13,2AB ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭. 故选:A 6.C 【解析】 【分析】先化简集合B ,再与集合A 取交集即可解决. 【详解】{2{|4}|2B x x x x =≥=≥或}2x ≤-则A B {|13}x x =-≤<⋂{|2x x ≥或}2x ≤-{|23}x x =≤< 故选:C 7.C 【解析】 【分析】解一元二次不等式,求得集合A ,根据集合的交集运算,求得答案. 【详解】{}22{|02}A x x x x x =<=<<,故{|01}A B x x =<<, 故选:C.8.A 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B 求的解集,交集运算即可. 【详解】集合{}{}22012A x x x x x =--<=-<<,{}22B x x =-<<,所以A B A =.故选:A . 9.D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求出集合A ,再根据并集的定义即可求解. 【详解】解:因为集合{}{}(5)005A x x x x x =-<=<<,{}14B x x =-, 所以{}{}[05141,5)A B x x x x ⋃=<<⋃-=-. 故选:D. 10.D 【解析】 【分析】利用交集和补集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得{}3A B ⋂=,所以,(){}1,2,4,5UA B ⋂=.故选:D. 11.A 【解析】 【分析】求出集合M ,根据M N ⋂有且只有2个元素即可求出a 的范围. 【详解】{}(){}{}220|200,1,2M x x x x x x =∈-≤=∈-≤=Z Z ,∵M N ⋂有且只有2个元素,∴0<a ≤1. 故选:A. 12.A 【解析】 【分析】解不等式得集合A ,求二次函数值域得集合B ,然后由集合的交集运算可得. 【详解】由24x ≤解得22x -≤≤,即{}22A x x =-≤≤, 易知20y x =≥,即{|0}B y y =≥则{|02}A B x x =≤≤. 故选:A 13.C 【解析】 【分析】解对数不等式确定集合A ,解二次不等式确定集合B ,然后由并集定义计算. 【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<,{|22}B x x =-≤≤, 所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=-. 故选:C . 14.B 【解析】 【分析】根据所给定义求出集合B ,即可判断; 【详解】解:因为{}0,1,2A =,(){},,,,B x y x A y A x y A x y A =∈∈+∈-∈,所以()()()(){}0,0,1,0,2,0,1,1B =,即集合B 中的元素有()0,0,()1,0,()2,0,()1,1共4个,故选:B . 15.C 【解析】 【分析】根据补集与交集的运算可直接求解. 【详解】 由题{}1,2UN =--,故(){}1,2U M N ⋂=--.故选:C二、填空题16.3 【解析】 【分析】分别求解对应不等式,化简集合M 、P ,根据交集的定义写出M P ,即可得到答案.【详解】{}{}{}12,21213M x x x R x x x x =-≤∈=-≤-≤=-≤≤,{}110,0,2122x x P x x R x x R x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥∈=≤∈=-<≤⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭, 则{}[]111,1M P x x ⋂=-≤≤=-,其中的整数有-1,0,1共3个, 故答案为:317.3122x x ⎧-≤≤⎨⎩或}1x =【解析】 【分析】分析可知x 的方程20ax x b -+=的两根分别为12、1,利用韦达定理求出a 、b 的值,然后解不等式210ax bx +-≤可得集合B ,利用补集和交集的定义可求得()A B R . 【详解】由题意可知,关于x 的方程20ax x b -+=的两根分别为12、1,所以11121120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩,解得2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 不等式210ax bx +-≤即为2211033x x +-≤,即2230x x +-≤,解得312x -≤≤,则312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭,因为112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,则R 12A x x ⎧=≤⎨⎩或}1x ≥,因此,()R3122A B x x ⎧⋂=-≤≤⎨⎩或}1x =.故答案为:3122x x ⎧-≤≤⎨⎩或}1x =.18.5 【解析】 【分析】直接求出集合A 、B ,再求出A B ,即可得到答案. 【详解】因为集合{}{}352,1,0,1,2,3,4A x Z x =∈-<<=--∣,集合{}{}101B y y y y =+>=>-∣∣, 所以{}0,1,2,3,4A B =, 所以A B 的元素个数为5. 故答案为:5.19.()(){}1,1,3,3--【解析】 【分析】联立方程组,求出交点坐标,即可得到答案.【详解】解方程组31y xx y x =⎧⎪+⎨=⎪-⎩,得11x y =-⎧⎨=-⎩或33x y =⎧⎨=⎩. 故答案为:()(){}1,1,3,3--.20.{0,3,6}【解析】 【分析】根据给定条件直接计算作答. 【详解】因{}0,1,2A =,而{}3,B b b a a A ==∈,所以{0,3,6}B =. 故答案为:{0,3,6}21.24a ≤≤【解析】 【分析】先由已知条件判断出函数()f x 的单调性,再把不等式()22f x a ->-转化为整式不等式,再利用子集的要求即可求得a 的取值范围. 【详解】由()()2f x f x =-可知,()f x 关于1x =对称,又()22f =-,当1≥x 时,()22f x x =-单调递减,故不等式()22f x a ->-等价于211x a --<,即122a ax <<+, 因为不等式解集是集合{}13x x <<的子集, 所以12132aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得24a ≤≤.故答案为:24a ≤≤22.()4,+∞【解析】 【分析】求出集合P ,根据P Q Q ⋂=,得Q P ⊆,列出不等式即可得解. 【详解】解:{}{22804P x x x x x =-->=>或}2x <-,因为P Q Q ⋂=,所以Q P ⊆, 所以4a >. 故答案为:()4,+∞.23. 假 假 假 真 【解析】 【分析】(1)利用真子集的定义即可判断. (2)由集合与集合的关系即可判断真假. (3)由元素与集合的关系即可判断真假.(4)由真子集的定义即可找到满足条件集合A 的个数. 【详解】(1)因为{}1,2,3的真子集有{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3∅,所以{}1,2,3不是{}1,2,3真子集,命题为假命题.(2){}1是集合,因此不是{}1,2,3的元素,命题为假命题. (3)因为2是元素,因此不是{}1,2,3的子集,命题为假命题. (4)若{}0A ,所以集合A 中至少含有两个元素且其中一个必须为0,又因为{}0,1,2,3A,所以集合A 可以从1,2,3中再选取一个元素、或者两个元素,所以满足条件的集合A 把∅和{}0,1,2,3去掉,所以满足条件集合A 的个数为322-个,命题为真命题.故答案为:假;假;假;真 .M N 【解析】 【分析】从两个集合的元素特征入手整理化简,再判定两集合的包含关系进行求解. 【详解】因为121,Z ,Z 244k k M x x k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 1+2,Z =,Z 424k k N x x k x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,若x M ∈,则21(21)244k k x +-+==, 因为Z k ∈,所以21Z k -∈,所以x ∈N ,所以M N ⊆, 又因为0N ∈,0M ∉,所以M N . 故答案为:M N .25.3a >【解析】 【分析】解不等式求得结合A ,根据B A 列不等式来求得a 的取值范围. 【详解】3x >⇔3x <-或3x >,所以{|3A x x =<-或}3x >.由于B A ,所以3a >.故答案为:3a >三、解答题26.(1)1;(2)72c --≤≤【解析】【分析】(1)由给定条件可得-1,2是方程()2220ax a x +--=的根,且0a >,再借助韦达定理计算作答.(2)求出集合B ,按集合A 是空集和不是空集分类求解作答.(1)依题意,方程()2220ax a x +--=的解为-1,2,且0a >,于是得2122a a a-⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩,解得:1a =,所以1a =.(2)由(1)知,()(){}231210A x x c x c c =-++-<,而()1,2B =-,又A B ⊆, 当A =∅时,()()2231811410c c c c c ∆=+--=++≤,解得77c --≤-+当A ≠∅时,2Δ1410311221(31)2(1)042(31)2(1)0c c c c c c c c c ⎧=++>⎪+⎪-<<⎪⎨⎪+++-≥⎪-++-≥⎪⎩,解得72c -+<≤综上得:72c --≤所以实数c的取值范围是72c --≤27.(1)15[2,]2-; (2)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】(1)利用一元二次不等式的解法化简求解集合AB 、即可求解; (2)根据x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件,由[]2,10- [],3m m -求解.(1)由28200x x --≤,得210x -≤≤.故集合{}|210A x x =-≤≤ 由22230x mx m --≤,得()(3)0x m x m +-≤,当0m >时,3m m -<,解得3m x m -≤≤,故集合{}|3B x m x m =-≤≤. 当52m =时,515[,]22B =-,故15[2,]2A B =-. (2)∵x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件,所以[]2,10- [],3m m -, 则2310m m -≤-⎧⎨≥⎩,解得103m ≥,此时经检验,符合题意, 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 28.(1){}35x x <<(2)(6,)+∞【解析】【分析】(1)求出集合A ,进而求出A 的补集,根据集合的交集运算求得答案; (2)根据A B A =,可得A B ⊆,由此列出相应的不等式组,解得答案.(1){}{}333A x x x x =≤=-≤≤,则R {|3A x x =<-或3}x > ,当4a =时,{}15B x x =-<<,(){}R =35A B x x ∴⋂<< ;(2)若A B A =,则A B ⊆,3313a a -<-⎧∴⎨+>⎩, ∴实数a 的取值范围为6a >,即(6,)a ∈+∞ .29.2,2,3k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ;2,2,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ;7557,,,333333ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.【详解】22,22,22,2,3333A B k k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂+=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ;2,2,2,2,336263A C k k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ; 分别令k =-1,0,1,即可得:[]75572,210,10,,,33333333A D k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂-=--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 30.(1){}30?360120?360,Z A B k k k αα⋂=+<<+∈ (2)U ()A B ⋂ {}210?360300?360,Z k k k αα=+<<+∈ 【解析】【分析】(1)先变形集合A ,再求交集;(2)先求补集,再求交集.(1) 解:因为{}30?180120?180,Z A k k k αα︒︒=+<<︒+︒∈ {}30?360120?360210?360300?360,Z k k k k k ααα︒︒︒=︒+︒<<︒+︒+<<+︒∈或所以 {}30?360120?360,Z A B k k k αα︒︒︒⋂=+︒<<+∈; (2)解:由(1),知U B {}135?360315?360,Z k k k γγ︒︒=+≤≤︒+︒∈ 故U ()A B ⋂{}210?360300?360,Z k k k αα=+<<+∈。

高中数学集合练习与答案

高中数学集合练习与答案

高中数学集合练习与答案一、选择题1. 已知集合{}6A x N x =∈<,{}2,xB y y x A ==∈,则A B 中元素的个数是( )A .1B .2C .3D .42.已知集合(){}|10A x x x =-≤,(){}|ln B x y x a ==-,若A B A =,则实数a 的取值范围为( ) A .(),0-∞ B .(],0-∞C .()1,+∞D .[)1,+∞ 3.已知集合,,则( )A .B .C .D .4.已知全集,集合为A .B .C .D .5. 若命题p 为:为A .B .C .D .6.下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A .0 B .1 C .2 D .37.设集合, ,则( )A .B .C .D . 8. 已知,则( )A .B .C .D .9. 下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若,则”的否命题为“若,则”B .命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题C .命题“,使得”的否定是“,都有”D .命题“若,则”的逆否命题为真命题10. 设集合,集合,则集合( ) A .B .C .D .11 已知集合,,则=( ) A .B .C .D .12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题(一)理数试题试卷】在等比数列中,“是方程的两根”是“”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件13. 设集合{|2}A x x =<, {}B x x a =,全集U R =,若UA B ⊆,则有( )A .0a =B .2a ≤C .2a ≥D .2a <14. 下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若,则”的否命题为“若,则”B .命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题C .命题“,使得”的否定是“,都有”D .命题“若,则”的逆否命题为真命题 15. 设集合,,则( )A .B .C .D .16. 已知集合2{6}A x y x x ==-++,集合{1}B x x =≥,则A B =A.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥ C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-17.已知全集U=R ,则A .B .C .D .18.集合,,,若,则的取值范围是( )A .B .C .D . 19. 设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥,则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是( )A .11x -<≤B .1x ≤C .1x >-D .11x -<<20.下列命题中的假命题是( )A .B .C .D .21. 已知全集,集合和的关系的韦恳(V enn )图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )A .1个B .2个C .3个D .无穷个22. 设,,a b c R ∈,则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A .充分条件但不是必要条件, B .必要条件但不是充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要的条件23. 已知集合{|1}A x x =<,{|1x B x e =< },则( ) A .{|1}A B x x ⋂=< B .()R A C B R ⋃=C .{|}A B x x e ⋃=<D .(){|01}R C A B x x ⋂=<< 二、填空题 1.已知下列命题:①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”;②已知,p q 为两个命题,若“p q ∨”为假命题,则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”;③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件;④“若0xy =,则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中,所有真命题的序号是__________.答案一、选择题1. 已知集合{}6A x N x =∈<,{}2,xB y y x A ==∈,则A B 中元素的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<, ∴{}0,1,2,3,4,5A =, 又{}2,xB y y x A ==∈, ∴{}1,2,4,8,16,32B =, ∴{}1,2,4AB =,有3个元素,故选:C .2.已知集合(){}|10A x x x =-≤,(){}|ln B x y x a ==-,若A B A =,则实数a 的取值范围为( ) A .(),0-∞ B .(],0-∞C .()1,+∞D .[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A 3.已知集合,,则( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】集合集合,则,故选A.4. 已知全集,集合为A .B .C .D .【解析】因为,所以或.所以.故选B.5.若命题p为:为A.B.C.D.【答案】C【解析】根据的构成方法得,为.故选C.6.下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C分析:逐一判断每个命题的真假,得到正确命题的个数.详解:对于①,由于两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,所以该命题是真命题;对于②,两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行或异面或相交,所以该命题是假命题;对于③,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,是真命题;对于④,如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,所以该命题是假命题.故答案为:C.7.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】A={x|y=log2(2﹣x)}={x|x<2},B={x|x2﹣3x+2<0}={x|1<x<2},则∁A B={x|x≤1},故选:B.8.已知,则()A.B.C.D.【解析】试题分析:因为,,所以,.选.9.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若,则”的否命题为“若,则”B.命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题C.命题“,使得”的否定是“,都有”D.命题“若,则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】“若,则”的否命题为“若,则”,错误;逆命题是“若则,互为相反数,”,正确;“,使得”的否定是“,都有”,错误;“若,则”为假命题,所以其逆否命题也为假命题,错误,故选B.10.设集合,集合,则集合()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得,,∴,∴.故选C.11已知集合,,则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题知,,则故本题答案选.12.在等比数列中,“是方程的两根”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知,则,则等比数列中,则.在常数列或中,不是所给方程的两根.则在等比数列中,“,是方程的两根”是“”的充分不必要条件.故本题答案选.13. 设集合{|2}A x x =<, {}B x x a =,全集U R =,若UA B ⊆,则有( )A .0a =B .2a ≤C .2a ≥D .2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.14. 下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若,则”的否命题为“若,则”B .命题“若,则,互为相反数”的逆命题是真命题C .命题“,使得”的否定是“,都有”D .命题“若,则”的逆否命题为真命题【答案】B 【解析】 “若,则”的否命题为“若,则”,错误;逆命题是 “若则,互为相反数,”,正确; “,使得”的否定是“,都有”,错误;“若,则”为假命题,所以其逆否命题也为假命题,错误,故选B.15. 设集合,,则( )A .B .C .D .【答案】B【解析】由题意可得:,则集合=.本题选择B 选项.16. 已知集合2{6}A x y x x ==-++,集合{1}B x x =≥,则A B =A.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-【答案】C【解析】由题意知集合2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤,所以{|13}AB x x =≤≤ ,故选C 。

高一数学集合典型例题、经典例题

高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性例1.1.设集合{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则{0}例1.2.已知A ={2,4,a 3-2a 2-a +7},B ={1,a +3,a 2-2a +2,a 3+a 2+3a +7},且A ∩B ={2,5},则A ∪B =____________________________解:∵A∩B ={2,5},∴5∈A.∴a 3-2a 2-a +7=5解得a =±1或a =2.①若a =-1,则B ={1,2,5,4},则A∩B ={2,4,5},与已知矛盾,舍去. ②若a =1,则B ={1,4,1,12}不成立,舍去.③若a =2,则B ={1,5,2,25}符合题意.则A ∪B ={1,2,4,5,25}. 题型二、空集的特殊性例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-,且B A ,则实数m 的取值范围为_____________例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=,012,{}0≥=x x B ,且φ=B A ,求实数a 的取值范围。

解:①当0a =时,{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-,此时{|0}A x x ≥=Φ;②当0a ≠时,{|0}A x x ≥=Φ,A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.(1)当A =Φ时,关于x 的方程210ax x ++=无实数根,140a ∆=-<,所以14a >. (2)当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时,12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述,实数a 的取值范围为{0}a a ≥.题型三、集和的运算例3.1.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a <x <a +8},S ∪T =R ,则a 的取值范围是________________-3<a <-1例3.2.集合M={x |x =+,k ∈Z},N={x |x =k +,k ∈Z},则(C )A.M=N?????B.M ?N????C.N ?M????D.M∩N=?解:∵M 中:x =+=;N 中:x =k +=n +,k =n ∈Z ,∴N ?M .故选:C .例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,,集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ,(){}4|,-≠=x y y x N , 则()()N C M C U U 等于__{})22(,______________ 题型四、创新题例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ,且x ?A ∩B},则(A*B)*A 等于(D )A.A ∩B????B.A ∪B????C.A??????D.B解:如图,A*B 表示的是阴影部分,设A*B=C ,根据A*B 的定义可知:C*A=B ,所以(A*B)*A=B ,故答案为D 例4.2.定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集,记为()A P ,用()A n 表示有限集A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合A ,都有()A P A ∈;②存在集合A ,使得()[]3=A P n ;③用∅表示空集,若∅=B A ,则()()∅=B P A P ;④若B A ⊆,则()()B P A P ⊆;⑤若()()1=-B n A n ,则()[]()[]B P A P n ⨯=2.其中正确的命题为_①④⑤_________(填序号) 对于命题①,A A ⊆,因此()A P A ∈,命题①正确;对于命题②,若集合A 的元素个数为m ,则集合A 的子集共m 2个,若()[]3=A P n ,则 32=m ,解得N m ∉=3log 2,命题②错误;对于命题③,若∅=B A ,由于A ⊆∅,B ⊆∅,因此()A P ∈∅,()B P ∈∅,所以 ()()[]B P A P ∈∅,则()()∅=B P A P ,命题③错误;对于命题④,若B A ⊆,对集合A 的任意子集A E ⊆,即对任意()A P E ∈,则B E ⊆, 则()B P E ∈,因此()()B P A P ⊆,命题④正确;对于命题⑤,设()n B n =,则()1+=n A n ,则集合A 的子集个数为12+n ,即()[]n n A P n 2221⨯==+,集合B 的子集个数为n 2,即()[]n B P n 2=,因此()[]()[]B P A P n ⨯=2,命题⑤正确,故正确的命题为①④⑤_变式训练: 1.已知集合{}12,3,1--=m A ,集合{}2,3m B =,若B A ⊆,则实数=m 1 2.设集合M ={x |x <3},N ={x |x >-2},Q ={x |x -a ≥0},令P =M ∩N ,若P ∪Q =Q , 则实数a 的取值范围为__________________解:P =M ∩N ={x |-2<x <3},Q ={x |x ≥a },∵P ∪Q =Q ,∴P ?Q .∴a ≤-2,即实数a 的取值范围是{a |a ≤-2}3.若集合{2,3}≠⊂M ≠⊂{1,2,3,4,5,6,7,8,9},则集合M 共有__________个。

高考数学专题《集合》习题含答案解析

高考数学专题《集合》习题含答案解析
【解析】
分析:由题意首先求得 CR B ,然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解:由题意可得: CR B x | x 1 ,
结合交集的定义可得: A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8.(2017·全国高考真题(理))已知集合 A={x|x<1},B={x| 3x 1 },则(
故选:C
8.(2019·北京临川学校高二期末(文))已知集合 = { ―1,3}, = {2,2},若 ∪ = { ―1,3,2,9},则实数

的值为(
A. ± 1
B. ± 3
C. ― 1
D.3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}, = {2,2},且 ∪ = { ―1,3,2,9}, ∴ 2 = 9,因此, =± 3,
对③: {0,1, 2} 是集合, {1, 2, 0} 也是集合,由于一个集合的本身也是该集合的子集,故③正确.
对④: 0 是元素, 是不含任何元素的空集,所以 0 ,故④错误.
对⑤: 0 是元素, 是不含任何元素的空集,所以两者不能进行取交集运算,故⑤错误.
故选:C.
3.(2021·浙江高一期末)已知集合 M 0,1, 2,3, 4 , N 2, 4, 6 , P M N ,则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为(
A.16
B.18

C.14
D.8
【答案】A
【解析】
由题设,列举法写出集合 A B ,根据所得集合,加总所有元素即可.
【详解】
由题设知: A B {1, 2,3, 4, 6} ,
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .

高中数学-集合习题1

高中数学-集合习题1

课时作业(一)1.【多选题】下列说法正确的是( )A .联合国安理会常任理事国组成一个集合B .我校很喜欢足球的同学组成一个集合C .{1,2,3}是由不大于3的自然数组成的集合D .数1,0,5,12,32,64,14组成的集合中有5个元素答案 AD2.下列表示正确的是( )A .0∈N B.27∈NC .-3∉ZD .π∈Q 答案 A解析 0是自然数,即有0∈N ,故A 正确;27是不可约分数,即有27∉N ,故B 错误;-3是负整数,即有-3∈Z ,故C 错误;π是无理数,即有π∉Q ,故D 错误.3.【多选题】集合M 是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( ) A.5∈M B .0∉MC .1∉MD .-π2∈M答案 CD 解析5>1,∴5∉M ;-2<0<1,0∈M ;1=1,1∉M ;-2<-π2<1,-π2∈M .综上,A 、B不正确,C 、D 正确.4.已知集合M ={(2,-2),2,-2},则集合M 中元素的个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .6 答案 B5.若以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ,则M 中元素的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 C解析 M ={-1,2,3}.6.若2∈{1,x 2+x },则x 的值为( ) A .-2 B .1C .1或-2D .-1或2答案 C解析 由题意知x 2+x =2,即x 2+x -2=0,解得x =-2或x =1. 7.设a ,b ∈R ,集合{1,a }={0,a +b },则b -a =( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2 答案 A解析 ∵{1,a }={0,a +b },∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,a +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1.∴b -a =1.故选A. 8.下列说法:①集合N 与集合N *是同一个集合;②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素;③集合Q 中的元素都是集合N 中的元素;④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素. 其中正确的个数是________. 答案 2解析 由数集性质知①③错误,②④正确.9.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合?________;集合{(1,2)}与集合{(2,1)}是否表示同一集合?________(填“是”或“不是”). 答案 是 不是10.设集合A ={x ,y },B ={0,x 2},若集合A ,B 相等,求实数x ,y 的值. 解析 因为A ,B 相等,则x =0或y =0.(1)当x =0时,x 2=0,则B 不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当y =0时,x =x 2,解得x =0或x =1.由(1)知x =0应舍去. 综上,x =1,y =0.11.若以集合A 中的四个元素a ,b ,c ,d 为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A .梯形 B .平行四边形 C .菱形 D .矩形 答案 A解析 集合中元素具有互异性.12.【多选题】已知集合M 中的元素x 满足x =a +2b ,其中a ,b ∈Z ,则下列实数中属于集合M 的是( ) A .0 B .-1C .32-1 D.23-22答案 ABCD解析 0=0+2×0;-1=-1+2×0;32-1=-1+2×3;23-22=2×(3+22)=6+2×4,都在M 中.13.若{a ,0,1}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ,1b ,-1,则a =______,b =______,c =________.答案 -1 1 0解析 ∵-1∈{a ,0,1},∴a =-1.又0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ,1b ,-1且1b≠0,∴c =0,从而可知1b=1,∴b =1.14.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的值是________. 答案 2或415.已知x ∈N ,且6x +1∈Z ,若x 的所有取值构成集合M ,则集合M =________.答案 {0,1,2,5}解析 因为x ∈N ,且6x +1∈Z ,则x +1=1,2,3,6,即x =0,1,2,5,所以集合M ={0,1,2,5}.16.甲、乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的答案不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的分值组成的集合为________. 答案 {48,51,54,57,60}解析 ∵甲的得分为54分,∴甲答错了2道题.又∵甲和乙有两道题的答案不同,则乙答错题的个数可能为4,3,2,1,0,故乙的所有可能的分值组成的集合为{48,51,54,57,60}.1.下列每组对象,能构成集合的是( ) ①中国最美的乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于3的自然数;④援助湖北抗击新冠疫情的医护人员. A .③④ B .②③④ C .②③ D .②④答案 B解析 最美是没有标准的,不具有确定性.2.给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O 的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥2的近似值的全体.其中能够构成集合的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案 B解析 ①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O 的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准. 3.【多选题】若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以是( ) A .3.14 B .πC .-78 D.7答案 BD解析 由题意知a 应为无理数,故a 可以为π,7. 4.用符号“∈”和“∉”填空:(1)设集合A 是正整数的集合,则0________A ,2________A ;(2)设集合B 是小于11的所有实数的集合,则23________B ,22________B . 答案 (1)∉ ∉ (2)∉ ∈解析 (1)正整数是不包含0的自然数,如1,2,3,…,显然0和2都不属于A . (2)因为23=12>11,所以23不属于B ;因为22=8<11,所以22属于B . 5.下列关系中,①-43∈R ;②3∉Q ;③|-20|∉N *;④|-2|∈Q ;⑤-5∉Z ;⑥0∈N . 正确的是________. 答案 ①②⑥6.已知集合A ={1,2},集合B 表示方程x 2+ax +b =0的解组成的集合,并且A =B ,则a =________,b =________. 答案 -3 2解析 据题意,1,2是方程x 2+ax +b =0的两个根,由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧-a =1+2,b =1×2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =2.7.设x ,y ,z 是非零实数,若a =x |x |+y |y |+z |z |+xyz |xyz |,则以a 的值为元素的集合中元素的个数是________. 答案 3解析 当x ,y ,z 都是正数时,a =4;当x ,y ,z 都是负数时,a =-4;当x ,y ,z 中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时,a =0.所以以a 的值为元素的集合中有3个元素. 8.已知集合A 是由偶数组成的,集合B 是由奇数组成的,若a ∈A ,b ∈B ,则a +b ________A ;ab ________A .(填“∈”或“∉”) 答案 ∉ ∈解析 偶数+奇数=奇数;偶数·奇数=偶数.9.已知集合A 是由形如m +3n (其中m ,n ∈Z )的数组成的,判断12-3是不是集合A 中的元素?解析 是.因为12-3=2+3,此时m =2,n =1,满足集合A 中数的构成形式,所以12-3是集合A 中的元素.10.设A 为实数集,且满足条件:若a ∈A ,则11-a∈A (a ≠1).求证:(1)若2∈A ,则A 中必还有另外两个元素; (2)集合A 不可能是单元素集.证明 (1)若a ∈A ,则11-a ∈A .又因为2∈A ,所以11-2=-1∈A .因为-1∈A ,所以11-(-1)=12∈A .因为12∈A ,所以11-12=2∈A .根据集合中元素的互异性可知,A 中另外两个元素为-1,12,结论得证.(2)若A 为单元素集,则a =11-a,即a 2-a +1=0,方程无实数解.所以a ≠11-a ,所以集合A 不可能是单元素集.。

高中数学集合典型例题

高中数学集合典型例题

集 合1.集合概念 元素:互异性、无序性、确定性2.集合运算 全集U :如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集:}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集:}{A x U x x A C U ∉∈=且3.集合关系 空集A ⊆φ 子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=Y I 注:数形结合---文氏图(即韦恩图、Venn 图)、数轴典型例题1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A I2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22,{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P I 等于3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和.4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02,且{}7,3=B A I ,求a 的值.5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ,若B A ⊆,则m 的值为6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ,{}52≤≤-=x x B ,若B A ⊆,求实数m 的取值范围.7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ,{}2,12-=a A ,{}5=A C S ,求a 的值.8. 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22,试问B A ,是否相等.9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M I 成立的实数a 的取值范围.10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ⊆,求实数a 的取值范围.11. 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442,(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122,{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集,求实数a 的取值范围.12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){}05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +,是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A I Y ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.。

高中数学必修一集合习题大全含答案

高中数学必修一集合习题大全含答案

的实数 x 是否存在?若存在,求出 x ;若不存在,请说明理由。
0 , 则这样
练习二
一、选择题(每小题 5 分,计 5× 12=60 分)
1.下列集合中,结果为空集的为(

( A) x R | x2 4 0
( B) x | x 9 或 x 3
( C) ( x , y) | x 2 y 2 0 ( D) x | x 9 且 x 3
则 a 的值为
13.不等式 |x-1|>-3 的解集是

14.若集合 M { x | ax 2 2x 1 0 , x R} 只有一个元素,则实数 a 的值为
三解答题
2
21、已知全集 U={x |x -3x+2 ≥0} ,A={x||x-2|>1}
,B= x x 1 2x
0 ,求 CUA,CUB,A∩ B A ∩
设集合 M
{x| x
k
1 ,k
Z} , N
{x |x
k
1 ,k
Z} ,则()
24
42
A. M N B. M N C. N M D. M N
二、填空题 ( 每小题 4 分 , 共 16 分 )
13. 某班有学生 55 人,其中体育爱好者 43 人,音乐爱好者 34 人,还有 4 人既不爱好
体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人
《集合》
一、选择题 :( 每小题 5 分共 6 0 分 )
1. 下列命题正确的有(

( 1)很小的实数可以构成 集合;
练习一
( 2)集合 y | y
2
x
1 与集合
x, y | y
2
x
1 是同一个集合 ;

高中数学集合练习题160题,包含所有题型,附答案

高中数学集合练习题160题,包含所有题型,附答案

第一节:集合的含义与表示练习题123 已知集合2=++∈若,则a的值为_______.A a a a A{2,2},34567891011121314151617181920212223242526(2,3]B(2,3]-(2,3]D(2,3]-272{|0}a xxax=,若2∉,则实数a的取值范围是()B.C.D.(-282{|axxx-=-3,5M∈∉,则实数a的取值范围是()答案:第二节:集合间的基本关系练习题12345678910111213 B,则a14 B,则实数15 B⊆,求实数161}-,若BD.1718192021222324 A,求a25A⊆,则实数26 A⊆,则实数27R x∈28293031323334353637答案:第三节:集合的基本运算练习题1 B.2 B.为整数集,则A B=(3-D.{1,0,1,2}为整数集,则A B=()4-1,0}N=()56 {0,1,2,3,9}B=,求实数7 1}A B=,求+,{3,2,0}8 {3,5}B=,求a的取值.9 1,5,}a,{5}A B=,求10 {1,4}U M =11 R{|0P x =<12 60}x n -+=,且{2,1,4}B =13 {1,2,3,5}B =,则k=______. 14 {1,2,3,4}B =,则m=_______. 15 {0,1,2,3}B =的值为_______.16 ,{5}A B =,求17 4},{3}A B =,则实数18 ,{2,3}A B =,则19 满足{2}A B =,则实数20 ,若{3}A B =,则实数21 1,3,21}m m --,若{3}B =-22 {3}A B =,则实数a=_______23 ,若{1,2}U A =,则实数m=_______24 {0,1}U A =,则_______. 250}p +=,若{2,3}UM =26 ,且R A B =,求m 的取值范围.27 6},{|2A B x =-28 230}x -->,若R B =,求29 B =∅,求a 的取值范围.30 1}+,若{|47}A B x x =<<31 B=∅,求321}a≥-,若RB=,则33RB=,则实数的取值范围是(3a≥34 8},RS T=,则31a-≥或D.35,若A B=∅,则36B=∅,实数[2,)+∞[2,)+∞][2,)+∞[2,)+∞37{|}x x a=≤0},若M N=∅,则B.0a≥.2a<-38|2x x-≤≤||,}y x x M=∈,若N N=,则实数39B≠∅,则的取值范围为(2,3]4021}-<,若(){UN x=3-41 B≠∅,实数m的取值集合是42*R=∅,则实数2>-D.43 {1,4,5}=,求()UA B.44 {1,4,5}=,求()()U UA B.45 40}ax+=,其中A B A B=,求a的值.4640}ax+=,其中A B=∅且A B A=,47 ()UA=∅,求a的值.48 )UA B.49 {1,3,5,7,9}=,则()UA B=________50 ,则()UA B=()51 ()UA B=________.52(){4}UA B=,{1,2}B=,则UB=(∅53 ,全集U A B=,则集合()UA B中的元素共有(个545}x≤,则RB=()3,3)-55,则下列关系中与A B⊆等价的事().B A=(B B=(UB=∅(UA=∅)(2)B)(3)(4).(1)(2)(3D.(2)(3)56 2{|30}x x=+≥,241B x m=-+-,若A B=∅,且B A=,则57 B =∅,B A =,58 B A =,求59的关系是(N N = N N =603}x <<,12}M x x <>或N =∅ R M N =61 22}y b b =-+,A 、B 的关系?62且AB A =,则的值为( 或-1或06320}ax -=,满足B B =,则实数64 B A =,则实数65,则下列结论成立的是( )N M = N N = D .{2}M N =66{|1}x x >,则( )P ⊆ C .RP Q ⊆ D .RQ P ⊆67,{2,3,4}N =,则( ).{2,3}M N =D .{1,4}M N =68{|5x x =-<<,则( ) B =∅ R B = .B A ⊆69 已知集合{20}A x =-<,{|1B x x -<<)B B .AC .B =∅70{|4}x x <2{|Q x x =<Q ⊆ B .P ⊆ C RQ D .RQ P ⊆71 ,)|}x y x y -,{(3}B x y =+=,求A B . 72 1}1y=+,求AB .73 ,)|40}x y x y +=,则A B =______74,则AB =( ).{(0,0),(1,1)} 7521}x x =++,则M N =( {(0,1),(2,7)}76两个集合的关系是( 7778 {(2,5)}B =7953}x =-,)B ,则80 A C .81 M =∅,求8221)(x a -+-B =∅,则832ay a --=B =∅,则a84B =∅,则8512人,学生总数86(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =87 人,物理及格人,化学及格25人,数学物理都及格20人,物理化学都及格人,数理化都不及格10人,学生总数88 8990 91(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =92{1,2,3,4,5}N =,{2,4}UMN =,则N= )B .{1,3,5}C .{1,4,5}D .{2,3,4}93 {1,2,3,4,5}N ={2,5}UN =94 均为集合U =的子集,且{3}AB =,){9}U B A =,则.{3,7,9}{3,5,9} D .{3,9}95 3}x ≥,途中阴影部分所表示的集合为(A .{1}B .{1,2}C .{1,2,3}D .{0,1,2}96已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2,3}A =,{3,4,5}B =,图中阴影部分所表示的集合为( )A .{3}B .{1,2}C .{4,5}D .{1,2,3,4,5} 97()I M =∅N =( 98 B 中有m )()U U A B 中有n 个元素,若AB 非空,则A B 的元)m+n C .m-n 99C 为三个集合,B B C =,则一定有(.C A ⊆ A C ≠D .A =∅100 {,}a b ,{,,}B b c d =,则)()U U A B =_______101 ,2,3,4,5,6,7,8,9},集合{0,1,3,5,8}A =,集合B =)()U U A B =( A .{5,8} B .{7,9}102设全集{1,2,3,4,5,6}U =A .M N B .MN C .()()U U M N D .()()U U M N答案:BD2 2,0,}3或23D。

高中数学经典例题100道

高中数学经典例题100道

高中数学经典例题100道-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}⊆(2){1,2,3}={3,2,1}(3){0}∅⊂≠ (4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈=分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.说明:含元素0的集合非空.例2 列举集合{1,2,3}的所有子集.分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个.解含有个元素的子集有:; 0∅含有1个元素的子集有{1},{2},{3};含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个.说明:对于集合,我们把和叫做它的平凡子集.A A ∅例已知,,,,,则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________.分析 A 中必含有元素a ,b ,又A 是{a ,b ,c ,d}真子集,所以满足条件的A 有:{a ,b},{a ,b ,c}{a ,b ,d}.答 共3个.说明:必须考虑A 中元素受到的所有约束.例设为全集,集合、,且,则≠4 U M N U N M ⊂⊆ [ ]分析 作出4图形.答 选C .说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.点击思维例5 设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R},B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R},则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B .=...≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上x =5-4a +a 2=(2-a)2+1≥1,y =4b 2+4b +2=(2b +1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此A =B .答 选A .说明:要注意集合中谁是元素.M 与P 的关系是[ ]A .M =U PB .M =PC M PD M P ..≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除)的方法;二是利用补集的性质:M =U N =U (U P)=P ;三是利用画图的方法.答 选B .说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例7 下列命题中正确的是[ ]A .U (U A)={A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A.若∩=,则.若=,,,则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B .若=,,,=,则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.∵选择支中,中的元素,,即是集合的子集,而的子D B x A x A A ⊆集有,,,,,,,,,,,,,而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合,集合A 是其中的一个元素.∴A ∈B . 答 选D .说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意. 例8 已知集合A ={2,4,6,8,9},B ={1,2,3,5,8},又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集;若各元素都减2后,则变为B 的一个子集,求集合C .分析 逆向操作:A 中元素减2得0,2,4,6,7,则C 中元素必在其中;B 中元素加2得3,4,5,7,10,则C 中元素必在其中;所以C 中元素只能是4或7.答 C ={4}或{7}或{4,7}.说明:逆向思维能力在解题中起重要作用.例9 设S ={1,2,3,4},且M ={x ∈S|x 2-5x +p =0},若S M ={1,4},则p =________.分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于S M ={1,4},且,≠M S ⊂ ∴M ={2,3}则由韦达定理可解. 答 p =2×3=6.说明:集合问题常常与方程问题相结合.例10 已知集合S ={2,3,a 2+2a -3},A ={|a +1|,2},S A ={a+3},求a 的值.S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成”的,此外,对这类字母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222+=①+=+-②+-≠③+-≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或+=+-①+=②+-≠③+-≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪在(1)中,由①得a =0依次代入②③④检验,不合②,故舍去. 在(2)中,由①得a =-3,a =2,分别代入②③④检验,a =-3不合②,故舍去,a =2能满足②③④.故a =2符合题意.说明:分类要做到不重不漏.例年北京高考题集合==π+π,∈,=11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}=π+π,∈则k 42[ ]A .M =NB M NC M N..≠≠⊃⊂D .M 与N 没有相同元素分析 分别令k =…,-1,0,1,2,3,…得M {}N {}M N =…,-π,π,π,π,π,…,=…,π,π,π,π,π,…易见,.≠44345474423454⊂ 答 选C .说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是( ). A .过直线外一点作与该直线垂直的直线 B .过直线外一点与该直线平行的平面 C .过平面外一点与平面平行的直线 D .过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A .过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B .过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C .过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条.D .过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点A 、平面α,过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α,由于AB 、AC 为相交直线,不妨设AB 、AC 所确定的平面为β,α与β的交线为l ,则必有l AB ⊥,l AC ⊥,又由于AB 、AC 、l 都在平面β内,这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D .说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是().A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性.故选D .说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点,G 为棱BC 上的点,且1BB EF ⊥,EG FC ⊥1,求FG D 1∠.典型例题三例3 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 是1BB 的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:⊥OE 平面1ACD .分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明⊥OE 平面1ACD ,只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直.证明:连结D B 1、D A 1、BD ,在△BD B 1中, ∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点, ∴D B EO 1//. ∵⊥11A B 面D D AA 11,∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影. 又∵D A AD 11⊥,∴11DB AD ⊥.同理可证,C D D B 11⊥.又∵111D CD AD = ,1AD 、⊂C D 1面1ACD , ∴⊥D B 1平面1ACD . ∵EO D B //1, ∴⊥EO 平面1ACD .另证:连结CE AE 、,O D 1,设正方体1DB 的棱长为a ,易证CE AE =. 又∵OC AO =, ∴AC OE ⊥.在正方体1DB 中易求出:a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=, a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=,()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=.∵21221E D OE O D =+, ∴OE O D ⊥1.∵O AC O D = 1,O D 1、⊂AC 平面1ACD , ∴⊥OE 平面1ACD .说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.典型例题四例4 如图,在△ABC 中, 90=∠B ,⊥SA 平面ABC ,点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、,求证:SC MN ⊥.分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思想.欲证MN SC ⊥,可证⊥SC 面AMN ,为此须证AN SC ⊥,进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ,而已知SB AN ⊥,所以只要证BC AN ⊥即可.由于图中线线垂直、线面垂直关系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直.证明:∵⊥SA 面ABC ,⊂BC 平面ABC ,∴BC SA ⊥.∵ 90=∠B ,即BC AB ⊥,A SA BA = ,∴⊥BC 平面SAB .∵⊂AN 平面SAB .∴AN BC ⊥.又∵SB AN ⊥,B BC SB = ,∴⊥AN 平面SBC .∵⊂SC 平面SBC ,∴SC AN ⊥,又∵SC AM ⊥,A AN AM = ,∴⊥SC 平面AMN .∵⊂MN 平面AMN .∴MN SC ⊥.另证:由上面可证⊥AN 平面SBC .∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影.∵SC AM ⊥,∴SC MN ⊥.说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题,想想如何证:已知⊥SA ⊙O 所在平面,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上任意一点(C 与B A 、不重合).过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、,求证:SC AN ⊥.典型例题五例5 如图,AB 为平面α的斜线,B 为斜足,AH 垂直平面α于H 点,BC 为平面α内的直线,θ=∠ABH ,α=∠HBC ,β=∠ABC ,求证:θαβcos cos cos ⋅=.分析:本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理.证明:过H 点作HD 垂直BC 于D 点,连AD .∵α⊥AH ,∴AD 在平面α内射影为HD .∵HD BC ⊥,α⊂BC ,∴AD BC ⊥.在Rt △ABH 中有:BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有:BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有:BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得:αθβcos cos cos ⋅=.说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.若平面的斜线与平面所成角为θ,则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ,.典型例题六例6 如图,已知正方形ABCD 边长为4,⊥CG 平面ABCD ,2=CG ,F E 、分别是AD AB 、中点,求点B 到平面GEF 的距离.分析:此题是1991年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力.本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等.证明:连结AC BD 、,EF 和BD 分别交AC 于O H 、,连GH ,作GH OK ⊥于K .∵ABCD 为正方形,F E 、分别为AD AB 、的中点,∴BD EF //,H 为AO 中点.∵EF BD //,⊄BD 平面GFE ,∴//BD 平面GFE .∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离.∵AC BD ⊥,∴AC EF ⊥.∵⊥GC 面ABCD ,∴EF GC ⊥.∵C AC GC = ,∴⊥EF 平面GCH .∵⊂OK 平面GCH ,∴OK EF ⊥.又∵GH OK ⊥,H EF GH = ,∴⊥OK 平面GEF .即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离.∵正方形边长为4,2=CG , ∴24=AC ,2=HO ,23=HC .在Rt △HCG 中,2222=+=CG HC HG .在Rt △GCH 中,11112=⋅=HG GC HO OK . 说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法.由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法:延长CB交FE的延长线于M,连结GM,作MEBP⊥于P,作BH⊥于H,可得⊥BN//交MG于N,连结PN,再作PNCGBH平面GFE,BH长即为B点到平面EFG的距离.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离,可逆用体积公式.典型例题七例7如图所示,直角ABC=.SA=∆所在平面外一点S,且SCSB(1)求证:点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC;(2)若直角边BCBA=,求证:BD⊥面SAC.分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直.证明:(1)在等腰SACSD⊥.∆中,D为AC中点,∴AC取AB中点E,连DE、SE.∵BCBC⊥,∴ABED//,ABDE⊥.又ABAB⊥.SE⊥,∴AB⊥面SED,∴SD∴SD⊥面ABC(AB、AC是面ABC内两相交直线).(2)∵BCBA=,∴ACBD⊥.又∵SD⊥面ABC,∴BDSD⊥.∵D AC SD = ,∴BD ⊥面SAC .说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等.典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知:b a //,α⊥a .求证:α⊥b .分析:由线面垂直的判定定理知,只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可.证明:如图所示,在平面α内作两条相交直线m 、n .∵α⊥a ,∴m a ⊥,n a ⊥.又∵a b //,从而有m b ⊥,n b ⊥.由作图知m 、n 为α内两条相交直线.∴α⊥b .说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直.典型例题九例9 如图所示,已知平面α 平面β=EF ,A 为α、β外一点,α⊥AB 于B ,β⊥AC 于C ,α⊥CD 于D .证明:EF BD ⊥.分析:先证A 、B 、C 、D 四点共面,再证明EF ⊥平面ABCD ,从而得到EF BD ⊥.证明:∵α⊥AB ,α⊥CD ,∴CD AB //.∴A 、B 、C 、D 四点共面.∵α⊥AB ,β⊥AC ,EF =βα ,∴EF AB ⊥,EF AC ⊥.又A AC AB = ,∴EF ⊥平面ABCD .∴BD EF ⊥.说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论.即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直.本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要,仅由EF ⊥平面ABC ,就断定BD EF ⊥,则证明是无效的.典型例题十例10 平面α内有一半圆,直径AB ,过A 作SA ⊥平面α,在半圆上任取一点M ,连SM 、SB ,且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影.(1)求证:SB NH ⊥;(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.(1)证明:连AM 、BM .如上图所示,∵AB 为已知圆的直径,∴BM AM ⊥.∵SA ⊥平面α,α⊂BM ,∴MB SA ⊥.∵A SA AM = ,∴BM ⊥平面SAM .∵AN ⊂平面SAM ,∴AN BM ⊥.∵SM AN ⊥于N ,M SM BM = ,∴AN ⊥平面SMB .∵SB AH ⊥于H ,且NH 是AH 在平面SMB 的射影,∴SB NH ⊥. 解(2):由(1)知,SA ⊥平面AMB ,BM ⊥平面SAM ,AN ⊥平面SMB . ∵AH SB ⊥且HN SB ⊥,∴SB ⊥平面ANH ,∴图中共有4个线面垂直关系.(3)∵SA ⊥平面AMB ,∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形.∵BM ⊥平面SAM ,∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形.∵AN ⊥平面SMB ,∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形. ∵SB ⊥平面ANH ,∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形. 综上,图中共有11个直角三角形.(4)由SA ⊥平面AMB 知,AM SA ⊥,AB SA ⊥,BM SA ⊥.由BM ⊥平面SAM 知,AM BM ⊥,SM BM ⊥,AN BM ⊥. 由AN ⊥平面SMB 知,SM AN ⊥,SB AN ⊥,NH AN ⊥.由SB ⊥平面ANH 知,AH SB ⊥,HN SB ⊥.综上,图中共有11对互相垂直的直线.说明:为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”,当“线⊥面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线⊥面内线”且不相交时,可得到异面且垂直的一对直线.典型例题十一例11 如图所示,︒=∠90BAC .在平面α内,PA 是α的斜线,︒=∠=∠60PAC PAB .求PA 与平面α所成的角.分析:求PA 与平面α所成角,关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置.由PAC PAB ∠=∠,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定AO 位置,构造直角三角形则需用三垂线定理.解:如图所示,过P 作α⊥PO 于O .连结AO ,则AO 为AP 在面α上的射影,PAO ∠为PA 与平面α所成的角. 作AC OM ⊥,由三重线定理可得AC PM ⊥.作AB ON ⊥,同理可得AB PN ⊥.由PAC PAB ∠=∠,︒=∠=∠90PNA PMA ,PA PA =,可得PMA ∆≌PNA ∆,∴PN PM =.∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影,∴ON OM =.所以点O 在BAC ∠的平分线上.设a PA =,又︒=∠60PAM ,∴a AM 21=,︒=∠45OAM , ∴a AM AO 222==. 在POA ∆中,22cos ==∠PA AO PAO , ∴︒=∠45PAO ,即PA 与α所成角为︒45.说明:(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后,可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角,此时︒==∠60θPAC ,α=∠PAO ,︒==∠45βCAO .(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论:四面体ABC P -中,若PAC PAB ∠=∠,PBC PBA ∠=∠,则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心.典型例题十二例12 如图所示,在平面β内有ABC ∆,在平面β外有点S ,斜线AC SA ⊥,BC SB ⊥,且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等,设点S 与平面β的距离为cm 4,BC AC ⊥,且cm AB 6=.求点S 与直线AB 的距离.分析:由点S 向平面β引垂线,考查垂足D 的位置,连DB 、DA ,推得AC DA ⊥,BC DB ⊥,又︒=∠90ACB ,故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点.解:作SD ⊥平面β,垂足为D ,连DA 、DB .∵AC SA ⊥,BC DB ⊥,∴由三垂线定理的逆定理,有:AC DA ⊥,BC DB ⊥,又BC AC ⊥,∴ACBD 为矩形.又∵SB SA =,∴DB DA =,∴ACBD 为正方形,∴AB 、CD 互相垂直平分.设O 为AB 、CD 的交点,连结SO ,根据三垂线定理,有AB SO ⊥,则SO 为S 到AB 的距离.在SOD Rt ∆中,cm SD 4=,cm AB DO 321==, ∴cm SO 5=.因此,点S 到AB 的距离为cm 5.说明:由本例可得到点到直线距离的作法:(1)若点、直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求.(2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得垂足,由垂足引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离.(3)处理距离问题的基本步骤是:作、证、算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算. 典型例题十三例13 如图,ABCD 是正方形,SA 垂直于平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ,求证:SB AE ⊥,SD AG ⊥.分析:本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可.欲证SB AE ⊥,可证⊥AE 平面SBC ,为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥,进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG .证明:∵SA ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,∴BC SA ⊥.又∵ABCD 为正方形,∴AB BC ⊥.∴⊥BC 平面ASB .∵⊂AE 平面ASB ,∴AE BC ⊥.又∵⊥SC 平面AEFG ,∴AE SC ⊥.∴⊥AE 平面SBC .又∵⊂SB 平面SBC ,∴SB AE ⊥,同理可证SD AG ⊥.说明:(1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系,充分体现了数学化思想的优越性.典型例题十四例14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.已知:BAC ∠在平面α内,点α∉P ,AB PE ⊥,AC PF ⊥,α⊥PO ,垂足分别是E 、F 、O ,PF PE =.求证:CAO BAO ∠=∠.证明:∵α⊥PO ,∴OE 为PE 在α内的射影.∵PE AB ⊥,α平面⊂AB ,∴OE AB ⊥.同理可证:OF AC ⊥.又∵α⊥PO ,PF PE =,OF OE =,∴CAO BAO ∠=∠.说明:本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直线.由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:已知︒∠90ACB,S为平面ACB外一点,=∠60SCA,求SC与平面ACB所成角.SCB=︒=∠典型例题十五例15判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号.(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于α的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解:(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面,因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.①若为平行,则该命题应打“×”号;若为相交,则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这数条线的位置关系,则该命题应打“×”号.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点A垂直于直线a 的平面惟一,因此,过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内,∴该命题应打“√”号.(5)三条共点直线两两垂直,设为a ,b ,c 且a ,b ,c 共点于O ,∵b a ⊥,c a ⊥,0=c b ,且b ,c 确定一平面,设为α,则α⊥a , 同理可知b 垂直于由a ,c 确定的平面,c 垂直于由了确定的平面,∴该命题应打“√”号.说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题.解答此类问题必须作到:概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用.典型例题十六例16 如图,已知空间四边形ABCD 的边AC BC =,BD AD =,引CD BE ⊥,E 为垂足,作BE AH ⊥于H ,求证:BCD AH 平面⊥.分析:若证BCD AH 平面⊥,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可.证明:取AB 中点F ,连CF 、DF ,∵BC AC =,∴AB CF ⊥.又∵BD AD =,∴AB DF ⊥,∴CDF AB 平面⊥,又CDF CD 平面⊂,∴AB CD ⊥又BE CD ⊥,∴ABE CD 平面⊥,AH CD ⊥,又BE AH ⊥,∴BCD AH 平面⊥.典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ,那么α//a .已知:直线α⊄a ,b a 直线⊥,α⊥b .求证:α//a .分析:若证线面平行,只须设法在平面α内找到一条直线'a ,使得'//a a ,由线面平行判定定理得证.证明:(1)如图,若a 与b 相交,则由a 、b 确定平面β,设'a =αβ .αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b a b a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵. (2)如图,若a 与b 不相交,则在a 上任取一点A ,过A 作b b //',a 、'b 确定平面β,设'a =αβ .αααβααα////,,////'''''''''''a a a aa a ab a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵.典型例题十八例18 如图,已知在ABC ∆中,︒=∠60BAC ,线段ABC AD 平面⊥,DBC AH 平面⊥,H 为垂足.求证:H 不可能是DBC ∆的垂心.分析:根据本题所证结论,可采用反证法予以证明.证明:如图所示,假设H 是DBC ∆的垂心,则DC BH ⊥.∵DBC AH 平面⊥,∴AH DC ⊥,∴ABH DC 平面⊥,∴DC AB ⊥.又∵ABC DA 平面⊥,∴DA AB ⊥,∴DAC AB 平面⊥,∴AC AB ⊥,这与已知︒=∠60BAC 矛盾,∴假设不成立,故H 不可能是DBC ∆的垂心.说明:本题只要满足︒≠∠90BAC ,此题的结论总成立.不妨给予证明.典型例题十九例19 在空间,下列哪些命题是正确的( ).①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A .仅②不正确B .仅①、④正确C .仅①正确D .四个命题都正确分析:①该命题就是平行公理,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,直线a ⊥平面α,α⊂b ,α⊂c ,且A c b = ,则b a ⊥,c a ⊥,即平面α内两条直交直线b ,c 都垂直于同一条直线a ,但b ,c 的位置关系并不是平行.另外,b ,c 的位置关系也可以是异面,如果把直线b 平移到平面α外,此时与a 的位置关系仍是垂直,但此时,b ,c 的位置关系是异面.③如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,易知ABCD B A 平面//11,ABCD D A 平面//11,但11111A D A B A = ,因此该命题是错误的.④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的.综上可知①、④正确.∴应选B .典型例题二十例20 设a ,b 为异面直线,AB 为它们的公垂线(1)若a ,b 都平行于平面α,则α⊥AB ;(2)若a ,b 分别垂直于平面α、β,且c =βα ,则c AB //.分析:依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ;证明线与线的平行,由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //.图1 图2 证明:(1)如图1,在α内任取一点P ,设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ,设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ,α//b ,∴'//a a ,'//b b又∵a AB ⊥,b AB ⊥,∴'a AB ⊥,'b AB ⊥,∴α⊥AB .(2)如图2,过B 作α⊥'BB ,则a BB //',则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥,∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面.∵β⊥b ,∴c b ⊥,α⊥'BB ,∴c BB ⊥'.∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面.故AB c //.说明:由第(2)问的证明可以看出:利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造出平面,使所证线皆与该平面垂直.如题中,通过作出辅助线'BB ,构造出平面,即由相交直线b 与'BB 确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得.典型例题二十一例21 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线,求证:1//BD EF .分析:证明1//BD EF ,构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键.由于EF 是AC 和D A 1的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用. 证明:连结11C A ,由于11//C A AC ,AC EF ⊥, ∴11C A EF ⊥.又D A EF 1⊥,1111A C A D A = , ∴D C A EF 11平面⊥. ① ∵11111D C B A BB 平面⊥,111111D C B A C A 平面⊂, ∴111C A BB ⊥.∵四边形1111D C B A 为正方形, ∴1111D B C A ⊥,1111B BB D B = , ∴D D BB C A 1111平面⊥,而D D BB BD 111平面⊂,∴111BD C A ⊥. 同理11BD DC ⊥,1111C C A DC = , ∴D C A BD 111平面⊥. ② 由①、②可知:1//BD EF .典型例题二十二例22 如图,已知P 为ABC ∆外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,a PC PB PA ===,求P 点到平面ABC 的距离.分析:欲求点到平面的距离,可先过点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长.解:过P 作ABC PO 平面⊥于O 点,连AO 、BO 、CO , ∴AO PO ⊥,BO PO ⊥,CO PO ⊥ ∵a PC PB PA ===, ∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆, ∴OC OB OA ==, ∴O 为ABC ∆的外心. ∵PA 、PB 、PC 两两垂直,∴a CA BC AB 2===,ABC ∆为正三角形, ∴a AB AO 3633==,∴a AO PA PO 3322=-=. 因此点P 到平面ABC 的距离a 33. 说明:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求距离在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习过程不断总结.典型例题二十三例23 如图,已知在长方体1111D C B A ABCD -中,棱51=AA ,12=AB ,求直线11C B 和平面11BCD A 的距离.分析:求线面距离,其基本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距的有关方法求解.解:如图,∵BC C B //11,且1111BCD A C B 平面⊄,11BCD A BC 平面⊂, ∴1111//BCD A C B 平面.从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求. 过点1B 作B A E B 11⊥于E ,∵11ABB A BC 平面⊥,且B B AA E B 111平面⊂, ∴E B BC 1⊥. 又B B A BC =1 , ∴111BCD A E B 平面⊥. 即线段E B 1的长即为所求,。

高中数学经典例题100道

高中数学经典例题100道

例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}⊆(2){1,2,3}={3,2,1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈=分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.说明:含元素0的集合非空.例2 列举集合{1,2,3}的所有子集.分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个.解含有个元素的子集有:; 0∅含有1个元素的子集有{1},{2},{3};含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个.说明:对于集合,我们把和叫做它的平凡子集.A A ∅例已知,,,,,则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________.分析 A 中必含有元素a ,b ,又A 是{a ,b ,c ,d}真子集,所以满足条件的A 有:{a ,b},{a ,b ,c}{a ,b ,d}.答 共3个.说明:必须考虑A 中元素受到的所有约束.例设为全集,集合、,且,则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析 作出4图形. 答 选C .说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.点击思维例5 设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R},B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R},则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B .=...≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上x =5-4a +a 2=(2-a)2+1≥1,y =4b 2+4b +2=(2b +1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此A =B . 答 选A .说明:要注意集合中谁是元素.M 与P 的关系是[ ]A .M =U PB .M =PC M PD M P ..≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除)的方法;二是利用补集的性质:M =U N =U (U P)=P ;三是利用画图的方法.答 选B .说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例7 下列命题中正确的是[ ]A .U (U A)={A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A.若∩=,则.若=,,,则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B .若=,,,=,则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.∵选择支中,中的元素,,即是集合的子集,而的子D B x A x A A ⊆集有,,,,,,,,,,,,,而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合,集合A 是其中的一个元素. ∴A ∈B . 答 选D .说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意.例8 已知集合A ={2,4,6,8,9},B ={1,2,3,5,8},又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集;若各元素都减2后,则变为B 的一个子集,求集合C .分析 逆向操作:A 中元素减2得0,2,4,6,7,则C 中元素必在其中;B 中元素加2得3,4,5,7,10,则C 中元素必在其中;所以C 中元素只能是4或7.答 C ={4}或{7}或{4,7}.说明:逆向思维能力在解题中起重要作用.例9 设S ={1,2,3,4},且M ={x ∈S|x 2-5x +p =0},若S M ={1,4},则p=________.分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于S M ={1,4},且,≠M S ⊂ ∴M ={2,3}则由韦达定理可解. 答 p =2×3=6.说明:集合问题常常与方程问题相结合.例10 已知集合S ={2,3,a 2+2a -3},A ={|a +1|,2},S A ={a +3},求a的值.S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的,此外,对这类字母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222+=①+=+-②+-≠③+-≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或+=+-①+=②+-≠③+-≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中,由①得a =0依次代入②③④检验,不合②,故舍去.在(2)中,由①得a =-3,a =2,分别代入②③④检验,a =-3不合②,故舍去,a =2能满足②③④.故a =2符合题意.说明:分类要做到不重不漏.例年北京高考题集合==π+π,∈,=11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}=π+π,∈则k 42[ ]A .M =NB M NC M N..≠≠⊃⊂D .M 与N 没有相同元素分析 分别令k =…,-1,0,1,2,3,…得M {}N {}M N =…,-π,π,π,π,π,…,=…,π,π,π,π,π,…易见,.≠44345474423454⊂ 答 选C .说明:判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是().A.过直线外一点作与该直线垂直的直线B.过直线外一点与该直线平行的平面C.过平面外一点与平面平行的直线D.过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条.D.过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点A、平面α,过点A有两条直线AB、AC都垂直于α,由于AB、AC为相交直线,不妨设AB、AC所确定的平面为β,α与β的交线为l,则必有lAC⊥,又由于AB、AC、l都在平面β内,AB⊥,l这样在β内经过A点就有两条直线和直线l垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D.说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是().A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(3)、(4)D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性. 故选D . 说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点,G 为棱BC 上的点,且1BB EF ⊥,EG FC ⊥1,求FG D 1∠.典型例题三例3 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 是1BB 的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:⊥OE 平面1ACD .分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明⊥OE 平面1ACD ,只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直.证明:连结D B 1、D A 1、BD ,在△BD B 1中, ∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点, ∴D B EO 1//. ∵⊥11A B 面D D AA 11,∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影. 又∵D A AD 11⊥, ∴11DB AD ⊥.同理可证,C D D B 11⊥.又∵111D CD AD = ,1AD 、⊂C D 1面1ACD , ∴⊥D B 1平面1ACD . ∵EO D B //1, ∴⊥EO 平面1ACD .另证:连结CE AE 、,O D 1,设正方体1DB 的棱长为a ,易证CE AE =.又∵OC AO =, ∴AC OE ⊥.在正方体1DB 中易求出:a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=,a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=,()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=.∵21221E D OE O D =+, ∴OE O D ⊥1.∵O AC O D = 1,O D 1、⊂AC 平面1ACD , ∴⊥OE 平面1ACD .说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.典型例题四例4 如图,在△ABC 中,90=∠B ,⊥SA 平面ABC ,点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、,求证:SC MN ⊥.分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思想.欲证MN SC ⊥,可证⊥SC 面AMN ,为此须证AN SC ⊥,进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ,而已知SB AN ⊥,所以只要证BC AN ⊥即可.由于图中线线垂直、线面垂直关系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直.证明:∵⊥SA 面ABC ,⊂BC 平面ABC , ∴BC SA ⊥.∵90=∠B ,即BC AB ⊥,A SA BA = , ∴⊥BC 平面SAB . ∵⊂AN 平面SAB . ∴AN BC ⊥.又∵SB AN ⊥,B BC SB = , ∴⊥AN 平面SBC . ∵⊂SC 平面SBC , ∴SC AN ⊥,又∵SC AM ⊥,A AN AM = ,∴⊥SC 平面AMN . ∵⊂MN 平面AMN . ∴MN SC ⊥.另证:由上面可证⊥AN 平面SBC . ∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影. ∵SC AM ⊥, ∴SC MN ⊥.说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题,想想如何证:已知⊥SA ⊙O 所在平面,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上任意一点(C 与B A 、不重合).过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、,求证:SC AN ⊥.典型例题五例5 如图,AB 为平面α的斜线,B 为斜足,AH 垂直平面α于H 点,BC 为平面α内的直线,θ=∠ABH ,α=∠HBC ,β=∠ABC ,求证:θαβcos cos cos ⋅=. 分析:本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理.证明:过H 点作HD 垂直BC 于D 点,连AD . ∵α⊥AH ,∴AD 在平面α内射影为HD . ∵HD BC ⊥,α⊂BC , ∴AD BC ⊥.在Rt △ABH 中有:BA BH=θcos ① 在Rt △BHD 中有:BH BD=αcos ②在Rt △ABD 中有:BABD=βcos ③由①、②、③可得:αθβcos cos cos ⋅=.说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.若平面的斜线与平面所成角为θ,则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ,.典型例题六例6 如图,已知正方形ABCD 边长为4,⊥CG 平面ABCD ,2=CG ,F E 、分别是AD AB 、中点,求点B 到平面GEF 的距离.分析:此题是1991年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力.本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等.证明:连结AC BD 、,EF 和BD 分别交AC 于O H 、,连GH ,作GH OK ⊥于K .∵ABCD 为正方形,F E 、分别为AD AB 、的中点,∴BD EF //,H 为AO 中点. ∵EF BD //,⊄BD 平面GFE , ∴//BD 平面GFE .∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离. ∵AC BD ⊥,∴AC EF ⊥.∵⊥GC 面ABCD ,∴EF GC ⊥. ∵C AC GC = ,∴⊥EF 平面GCH . ∵⊂OK 平面GCH , ∴OK EF ⊥.又∵GH OK ⊥,H EF GH = , ∴⊥OK 平面GEF .即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离. ∵正方形边长为4,2=CG , ∴24=AC ,2=HO ,23=HC .在Rt △HCG 中,2222=+=CG HC HG .在Rt △GCH 中,11112=⋅=HG GC HO OK .说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法.由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法:延长CB 交FE 的延长线于M ,连结GM ,作ME BP ⊥于P ,作CG BN //交MG 于N ,连结PN ,再作PN BH ⊥于H ,可得⊥BH 平面GFE ,BH 长即为B 点到平面EFG 的距离.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离,可逆用体积公式.典型例题七例7 如图所示,直角ABC ∆所在平面外一点S ,且SC SB SA ==. (1)求证:点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ; (2)若直角边BC BA =,求证:BD ⊥面SAC .分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直. 证明:(1)在等腰SAC ∆中,D 为AC 中点,∴AC SD ⊥. 取AB 中点E ,连DE 、SE .∵BC ED //,AB BC ⊥,∴AB DE ⊥.又AB SE ⊥,∴AB ⊥面SED ,∴SD AB ⊥.∴SD ⊥面ABC (AB 、AC 是面ABC 内两相交直线). (2)∵BC BA =,∴AC BD ⊥. 又∵SD ⊥面ABC ,∴BD SD ⊥. ∵D AC SD = ,∴BD ⊥面SAC .说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等.典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 已知:b a //,α⊥a .求证:α⊥b .分析:由线面垂直的判定定理知,只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可.证明:如图所示,在平面α内作两条相交直线m 、n . ∵α⊥a ,∴m a ⊥,n a ⊥.又∵a b //,从而有m b ⊥,n b ⊥. 由作图知m 、n 为α内两条相交直线. ∴α⊥b .说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直.典型例题九例9 如图所示,已知平面α 平面β=EF ,A 为α、β外一点,α⊥AB 于B ,β⊥AC 于C ,α⊥CD 于D .证明:EF BD ⊥.分析:先证A 、B 、C 、D 四点共面,再证明EF ⊥平面ABCD ,从而得到EF BD ⊥. 证明:∵α⊥AB ,α⊥CD ,∴CD AB //.∴A 、B 、C 、D 四点共面.∵α⊥AB ,β⊥AC ,EF =βα ,∴EF AB ⊥,EF AC ⊥.又A AC AB = ,∴EF ⊥平面ABCD .∴BD EF ⊥.说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论.即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直.本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要,仅由EF ⊥平面ABC ,就断定BD EF ⊥,则证明是无效的.典型例题十例10 平面α内有一半圆,直径AB ,过A 作SA ⊥平面α,在半圆上任取一点M ,连SM 、SB ,且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影.(1)求证:SB NH ⊥;(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.(1)证明:连AM 、BM .如上图所示,∵AB 为已知圆的直径,∴BM AM ⊥.∵SA ⊥平面α,α⊂BM ,∴MB SA ⊥.∵A SA AM = ,∴BM ⊥平面SAM .∵AN ⊂平面SAM ,∴AN BM ⊥.∵SM AN ⊥于N ,M SM BM = ,∴AN ⊥平面SMB .∵SB AH ⊥于H ,且NH 是AH 在平面SMB 的射影,∴SB NH ⊥.解(2):由(1)知,SA ⊥平面AMB ,BM ⊥平面SAM ,AN ⊥平面SMB .∵AH SB ⊥且HN SB ⊥,∴SB ⊥平面ANH ,∴图中共有4个线面垂直关系.(3)∵SA ⊥平面AMB ,∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形.∵BM ⊥平面SAM ,∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形.∵AN ⊥平面SMB ,∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形.∵SB ⊥平面ANH ,∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形.综上,图中共有11个直角三角形.(4)由SA ⊥平面AMB 知,AM SA ⊥,AB SA ⊥,BM SA ⊥.由BM ⊥平面SAM 知,AM BM ⊥,SM BM ⊥,AN BM ⊥.由AN ⊥平面SMB 知,SM AN ⊥,SB AN ⊥,NH AN ⊥.由SB ⊥平面ANH 知,AH SB ⊥,HN SB ⊥.综上,图中共有11对互相垂直的直线.说明:为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”,当“线⊥面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线⊥面内线”且不相交时,可得到异面且垂直的一对直线.典型例题十一例11 如图所示,︒=∠90BAC .在平面α内,PA 是α的斜线,︒=∠=∠60PAC PAB .求PA 与平面α所成的角.分析:求PA 与平面α所成角,关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置.由PAC PAB ∠=∠,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定AO 位置,构造直角三角形则需用三垂线定理.解:如图所示,过P 作α⊥PO 于O .连结AO ,则AO 为AP 在面α上的射影,PAO ∠为PA 与平面α所成的角.作AC OM ⊥,由三重线定理可得AC PM ⊥.作AB ON ⊥,同理可得AB PN ⊥.由PAC PAB ∠=∠,︒=∠=∠90PNA PMA ,PA PA =,可得PMA ∆≌PNA ∆,∴PN PM =.∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影,∴ON OM =.所以点O 在BAC ∠的平分线上.设a PA =,又︒=∠60PAM ,∴a AM 21=,︒=∠45OAM ,∴a AM AO 222==. 在POA ∆中,22cos ==∠PA AO PAO , ∴︒=∠45PAO ,即PA 与α所成角为︒45.说明:(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后,可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角,此时︒==∠60θPAC ,α=∠PAO ,︒==∠45βCAO .(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论:四面体ABC P -中,若PAC PAB ∠=∠,PBC PBA ∠=∠,则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心.典型例题十二例12 如图所示,在平面β内有ABC ∆,在平面β外有点S ,斜线AC SA ⊥,BC SB ⊥,且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等,设点S 与平面β的距离为cm 4,BC AC ⊥,且cm AB 6=.求点S 与直线AB 的距离.分析:由点S 向平面β引垂线,考查垂足D 的位置,连DB 、DA ,推得AC DA ⊥,BC DB ⊥,又︒=∠90ACB ,故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点.解:作SD ⊥平面β,垂足为D ,连DA 、DB .∵AC SA ⊥,BC DB ⊥,∴由三垂线定理的逆定理,有:AC DA ⊥,BC DB ⊥,又BC AC ⊥,∴ACBD 为矩形.又∵SB SA =,∴DB DA =,∴ACBD 为正方形,∴AB 、CD 互相垂直平分.设O 为AB 、CD 的交点,连结SO ,根据三垂线定理,有AB SO ⊥,则SO 为S 到AB 的距离.在SOD Rt ∆中,cm SD 4=,cm AB DO 321==, ∴cm SO 5=.因此,点S 到AB 的距离为cm 5.说明:由本例可得到点到直线距离的作法:(1)若点、直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求.(2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得垂足,由垂足引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离.(3)处理距离问题的基本步骤是:作、证、算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算.典型例题十三例13 如图,ABCD 是正方形,SA 垂直于平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ,求证:SB AE ⊥,SD AG ⊥.分析:本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可.欲证SB AE ⊥,可证⊥AE 平面SBC ,为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥,进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG .证明:∵SA ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,∴BC SA ⊥.又∵ABCD 为正方形,∴AB BC ⊥.∴⊥BC 平面ASB .∵⊂AE 平面ASB ,∴AE BC ⊥.又∵⊥SC 平面AEFG ,∴AE SC ⊥.∴⊥AE 平面SBC .又∵⊂SB 平面SBC ,∴SB AE ⊥,同理可证SD AG ⊥.说明:(1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系,充分体现了数学化思想的优越性.典型例题十四例14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.已知:BAC ∠在平面α内,点α∉P ,AB PE ⊥,AC PF ⊥,α⊥PO ,垂足分别是E 、F 、O ,PF PE =.求证:CAO BAO ∠=∠.证明:∵α⊥PO ,∴OE 为PE 在α内的射影.∵PE AB ⊥,α平面⊂AB ,∴OE AB ⊥.同理可证:OF AC ⊥.又∵α⊥PO ,PF PE =,OF OE =,∴CAO BAO ∠=∠.说明:本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直线.由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:已知︒=∠90ACB ,S 为平面ACB 外一点,︒=∠=∠60SCB SCA ,求SC 与平面ACB 所成角.典型例题十五例15 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号.(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.( )(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内.( )(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( )解:(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面,因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.①若为平行,则该命题应打“×”号;若为相交,则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这数条线的位置关系,则该命题应打“×”号.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点A 垂直于直线a 的平面惟一,因此,过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内,∴该命题应打“√”号.(5)三条共点直线两两垂直,设为a ,b ,c 且a ,b ,c 共点于O ,∵b a ⊥,c a ⊥,0=c b ,且b ,c 确定一平面,设为α,则α⊥a ,同理可知b 垂直于由a ,c 确定的平面,c 垂直于由了确定的平面,∴该命题应打“√”号.说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题.解答此类问题必须作到:概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用.典型例题十六例16 如图,已知空间四边形ABCD 的边AC BC =,BD AD =,引CD BE ⊥,E 为垂足,作BE AH ⊥于H ,求证:BCD AH 平面⊥.分析:若证BCD AH 平面⊥,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可.证明:取AB 中点F ,连CF 、DF ,∵BC AC =,∴AB CF ⊥.又∵BD AD =,∴AB DF ⊥,∴CDF AB 平面⊥,又CDF CD 平面⊂,∴AB CD ⊥又BE CD ⊥,∴ABE CD 平面⊥,AH CD ⊥,又BE AH ⊥,∴BCD AH 平面⊥.典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ,那么α//a .已知:直线α⊄a ,b a 直线⊥,α⊥b .求证:α//a .分析:若证线面平行,只须设法在平面α内找到一条直线'a ,使得'//a a ,由线面平行判定定理得证.证明:(1)如图,若a 与b 相交,则由a 、b 确定平面β,设'a =αβ .αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵. (2)如图,若a 与b 不相交, 则在a 上任取一点A ,过A 作b b //',a 、'b 确定平面β,设'a =αβ .αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵. 典型例题十八例18 如图,已知在ABC ∆中,︒=∠60BAC ,线段ABC AD 平面⊥,DBC AH 平面⊥,H 为垂足.求证:H 不可能是DBC ∆的垂心.分析:根据本题所证结论,可采用反证法予以证明.证明:如图所示,假设H 是DBC ∆的垂心,则DC BH ⊥.∵DBC AH 平面⊥,∴AH DC ⊥,∴ABH DC 平面⊥,∴DC AB ⊥.又∵ABC DA 平面⊥,∴DA AB ⊥,∴DAC AB 平面⊥,∴AC AB ⊥,这与已知︒=∠60BAC 矛盾,∴假设不成立,故H 不可能是DBC ∆的垂心.说明:本题只要满足︒≠∠90BAC ,此题的结论总成立.不妨给予证明.典型例题十九例19 在空间,下列哪些命题是正确的( ).①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A .仅②不正确B .仅①、④正确C .仅①正确D .四个命题都正确分析:①该命题就是平行公理,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,直线a ⊥平面α,α⊂b ,α⊂c ,且A c b = ,则b a ⊥,c a ⊥,即平面α内两条直交直线b ,c 都垂直于同一条直线a ,但b ,c 的位置关系并不是平行.另外,b ,c 的位置关系也可以是异面,如果把直线b 平移到平面α外,此时与a 的位置关系仍是垂直,但此时,b ,c 的位置关系是异面.③如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,易知ABCD B A 平面//11,ABCD D A 平面//11,但11111A D A B A = ,因此该命题是错误的.④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的.综上可知①、④正确.∴应选B .典型例题二十例20 设a ,b 为异面直线,AB 为它们的公垂线(1)若a ,b 都平行于平面α,则α⊥AB ;(2)若a ,b 分别垂直于平面α、β,且c =βα ,则c AB //.分析:依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ;证明线与线的平行,由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //.图1 图2 证明:(1)如图1,在α内任取一点P ,设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a , 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ,α//b ,∴'//a a ,'//b b又∵a AB ⊥,b AB ⊥,∴'a AB ⊥,'b AB ⊥,∴α⊥AB .(2)如图2,过B 作α⊥'BB ,则a BB //',则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥,∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面.∵β⊥b ,∴c b ⊥,α⊥'BB ,∴c BB ⊥'.∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面.故AB c //.说明:由第(2)问的证明可以看出:利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造出平面,使所证线皆与该平面垂直.如题中,通过作出辅助线'BB ,构造出平面,即由相交直线b 与'BB 确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得. 典型例题二十一例21 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线,求证:1//BD EF .分析:证明1//BD EF ,构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键.由于EF 是AC 和D A 1的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用.证明:连结11C A ,由于11//C A AC ,AC EF ⊥,∴11C A EF ⊥.又D A EF 1⊥,1111A C A D A = ,∴D C A EF 11平面⊥. ①∵11111D C B A BB 平面⊥,111111D C B A C A 平面⊂,∴111C A BB ⊥.∵四边形1111D C B A 为正方形,∴1111D B C A ⊥,1111B BB D B = ,∴D D BB C A 1111平面⊥,而D D BB BD 111平面⊂,∴111BD C A ⊥.同理11BD DC ⊥,1111C C A DC = ,∴D C A BD 111平面⊥. ②由①、②可知:1//BD EF .典型例题二十二例22 如图,已知P 为ABC ∆外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,a PC PB PA ===,求P 点到平面ABC 的距离.分析:欲求点到平面的距离,可先过点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长. 解:过P 作ABC PO 平面⊥于O 点,连AO 、BO 、CO , ∴AO PO ⊥,BO PO ⊥,CO PO ⊥ ∵a PC PB PA ===,∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆, ∴OC OB OA ==, ∴O 为ABC ∆的外心.∵PA 、PB 、PC 两两垂直, ∴a CA BC AB 2===,ABC ∆为正三角形,∴a AB AO 3633==,∴a AO PA PO 3322=-=. 因此点P 到平面ABC 的距离a 33. 说明:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求距离在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习过程不断总结.典型例题二十三例23 如图,已知在长方体1111D C B A ABCD -中,棱51=AA ,12=AB ,求直线11C B 和平面11BCD A 的距离.分析:求线面距离,其基本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距。

高中数学集合习题附详解

高中数学集合习题附详解

高中数学集合习题附详解一、单选题1.集合,2k M x x k π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,,2P x x k k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,则M 、P 之间的关系为( ) A .M P =B .M P ⊆C .P M ⊆D .M P ⋂=∅2.已知集合{}13A x N x =∈≤≤,{}2650B x x x =-+<,则A B =( )A .∅B .{}1,2,3C .(]1,3D .{}2,33.已如集合{}2A x x =>,{}35B x x =-<<,则A B =( ) A .{}25x x <<B .{}32x x -<<C .{}35x x -<<D .{}3x x <-4.已知集合{}0,1,2A =,{},B ab a A b A =∈∈,则集合B 中元素个数为( ) A .2B .3C .4D .55.集合{}13A x x =-<<,集合{}2B x x =<,则A B =( ) A .()2,2-B .()1,3-C .()2,3-D .()1,2-6.已知复数a 、b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =,则a b +的值为( )A .2B .1C .0D .-17.已知R 为实数集,集合{}{}2340,ln(1)A x x x B x y x =--≤==-,则R A B ⋃=( )A .{}14x x <≤B .{}11x x -≤≤C .{}1x x ≥-D .{}4x x ≤8.集合{}2{}|5,8,3100x x A B x =--≤=,则A B ⋂=R( )A .{}5B .{}8C .{}2,5,8-D .{}5-9.下列关系中正确的是( )A .{}0=∅B .{}0∅⊆C .{}(){}0,10,1⊆D .(){}(){},,a b b a =10.已知集合{}2,3,4A =,{}28120B x Z x x =∈-+<,则A B 中元素的个数是( )A .4B .5C .6D .711.已知集合{}{}{}21,2,20,1A B xx mx A B ==+-=⋂=∣,则B =( ) A .{}1,1-B .{}2,1-C .{}1,2D .{}1,1,2-12.已知集合{}82A xx =-<<∣,{}1B x x =≤-,则()R A B ⋂=( ) A .{}1x x <- B .{}12x x -<< C .{}8x x >- D .{}28x x <≤13.设全集2,1,0,1,2U ,{}2,1,2A =--,{}2,1,0,1B =--,则()U A B =( )A .{}2,1-B .{}0,1C .{}1,0,1-D .{}2,1,0,1--14.设集合{}260A x x x =--≤,{}15B x x =≤<,则A B =( )A .{}23x x -<<B .{}13x x ≤≤C .{}13x x ≤<D .{}23x x -≤≤ 15.下面给出的四类对象中,构成集合的是( )A .某班视力较好的同学B .长寿的人C .π的近似值D .倒数等于它本身的数二、填空题16.网络流行词“新四大发明’’是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况,随机调查了100名学生,其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名,使用过移动支付的学生共有80名,使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名,则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.17.已知集合{}2|210A x ax x =+-=,若集合A 中只有一个元素,则实数a 的取值的集合是______ 18.集合(){},A x y y a x ==,(){},B x y y x a ==+,C AB =,且集合C 为单元素集合,则实数a 的取值范围是________.19.已知集合A 与B 的关系如下图,则图中所示的阴影部分用集合表示为________.(要求用集合A 与B 的符号关系表示)20.已知集合{}22A x x =-≤≤,若集合{}B x x a =≤满足A B ⊆,则实数a 的取值范围____________. 21.设集合(){},A x y y x ==,()3,1x B x y y x +⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则A B =______.22.已知(],0A =-∞,[),B a =+∞,且A B R =,则实数a 的取值范围为______.23.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω的取值范围为______.24.若a ∈R ,集合A ={1,a ,a +2},B ={1,3,5},且A =B ,则a =___________.25.若{}0,1,2U =,{}220,M x x x x =-=∈R ,则M =______.三、解答题26.已知函数()23f x x x =+-A ,函数2()1g x x =+在[1,2]-的值域为B .(1)求A B ,A B ;(2)若{}|9C x m x m =<<+且()R C A ⊆,求实数m 的取值范围.27.已知函数()f x =A ,函数()g x 的定义域为集合B ,(1)当0a =时,求A B ;(2)设命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,p q 是的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.28.已知不等式()x a x a <210-++的解集为M . (1)若2∈M ,求实数a 的取值范围; (2)当M 为空集时,求不等式1x a-<2的解集.29.在①A B B ⋃=;②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件;③A B =∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题:已知集合{}11A x a x a =-≤≤+,{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时,求A B ; (2)若______,求实数a 的取值范围.30.已知a ∈R ,集合(){}222log log 2A x R x x =∈≥,集合()(){}10B x R x x a =∈--<. (1)求集合A ; (2)若RB A ⊆,求a 的取值范围.【参考答案】一、单选题 1.C 【解析】 【分析】用列举法表示集合M 、P ,即可判断两集合的关系; 【详解】解:因为335,,2,,,,0,,,,2,,222222k M x x k Z ππππππππππ⎧⎫⎧⎫==∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 5335,,,,,,,,2222222P x x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫==+∈=---⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,所以P M ⊆, 故选:C 2.D 【解析】 【分析】本题考查集合的交集,易错点在于集合A 元素是自然数,集合B 的元素是实数. 【详解】∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=,{}{}265015B x x x x x =-+<=<<,∴{}2,3A B ⋂=.故选:D . 3.A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求A B . 【详解】{|2}{|35}{|25}A B x x x x x x ⋂=>⋂-<<=<<.故选:A 4.C 【解析】 【分析】由列举法列出集合B 的所有元素,即可判断; 【详解】解:因为{}0,1,2A =,a A b A ∈∈,,所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =, 故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=,即集合B 中含有4个元素; 故选:C5.D 【解析】 【分析】解不等式可求得集合B ,由交集定义可得结果. 【详解】{}{}222B x x x x =<=-<<,{}()121,2A B x x ∴⋂=-<<=-.故选:D. 6.D 【解析】 【分析】 由集合的性质可知a b ,22a a b b ⎧=⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩,且0ab ≠,进而求解即可. 【详解】由题意,22a a b b ⎧=⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩, 因为0ab ≠,解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212b a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以1a b +=-, 故选:D. 7.D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ,再根据对数型函数的定义域求出集合B ,最后根据补集、并集的定义计算可得; 【详解】解:由2340x x --≤,即410x x ,解得14x -≤≤,即{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤,又(){}{}ln 11B x y x x x ==-=,所以{}|1RB x x =≤,所以{}4R A B x x ⋃=≤;故选:D 8.B 【解析】 【分析】先求出集合B ,进而求出集合B 的补集,根据集合的交集运算,即可求出A B ⋂R.【详解】因为{}()(){}{}2310052025x x x x x B x x x ===--≤-+≤-≤≤,所以{5B x x =>R 或}2x <-, 所以{}8A B =R故选:B. 9.B 【解析】 【分析】明确∅和{}0的含义,可判断A,B;说明{}0,1是数集,而(){}0,1是点集,判断C; 当在ab 时(){}(){},,a b b a =不成立,判断D;【详解】对于A, {}0是单元素集合,元素为0,而∅是空集,二者不相等,故A 错误; 对于B ,空集为任何一个集合的子集,故{}0∅⊆正确;对于C ,{}0,1 的元素为0,1,而(){}0,1的元素为点()0,1,二者没有包含关系,故错误; 对于D, (,),(,)a b b a 当a b 表示不同的点,故(){}(){},,,a b b a 在ab 时不相等,故错误,故选:B 10.A 【解析】 【分析】求出集合B ,再根据并集的定义即可求出答案. 【详解】{}()(){}{}{}28120260263,4,5B x Z x x x Z x x x Z x =∈-+<=∈--<=∈<<=,所以{}2,3,4,5A B ⋃=.所以A B 中元素的个数是4. 故选:A. 11.B 【解析】 【分析】根据交集性质求解即可. 【详解】因为{}1A B ⋂=,所以1B ∈, 所以120m +-=,解得1m =.所以{}{}2|202,1B x x x =+-==-,满足{}1A B ⋂=.故选:B 12.B 【解析】 【分析】根据补集的运算,求得{}R |1B x x =>-,结合交集的概念及运算,即可求解. 【详解】由题意,集合{}1B x x =≤-,可得{}R |1B x x =>-又由{}82A xx =-<<∣,所以(){}R 12A B x x ⋂=-<<. 故选:B. 13.B 【解析】 【分析】 先求UA ,再求()UA B ⋂即可. 【详解】UA ={0,1},()U A B ={0,1}.故选:B. 14.B 【解析】 【分析】先求出集合A 的解集,然后进行交集运算即可. 【详解】因为{}23A x x =-≤≤,{}15B x x =≤<,所以{}13A B x x ⋂=≤≤. 故选:B. 15.D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合; 对于B ,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合;对于C ,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位, 不是明确的定义,故不能构成集合;对于D ,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合; 故选:D.二、填空题16.710##0.7 【解析】 【分析】利用韦恩图,根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数,将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意,将使用过移动支付、共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示,所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=. 故答案为:710. 17.{}0,1-【解析】 【分析】分0a =和0a ≠两种情况保证方程2210ax x 只有一个解或重根,求出a 的值即可. 【详解】当0a =时,2210ax x 只有一个解12x =, 则集合2{|210}A x ax x =+-=有且只有一个元素,符合题意; 当0a ≠时,若集合A 中只有一个元素, 则一元二次方程2210ax x 有二重根, 即440a ∆=+=,即 1.a =-综上,0a =或1-,故实数a 的取值的集合为{}0,1.- 故答案为:{}0,1.-18.[1,1]-【解析】 【分析】由题意可得集合A ,B 表示的曲线有一个交点,可得a x x a =+有一个根,当0a =时,符合题意,当0a ≠时,1x x a =+,分别作出y x =与1xy a=+的图象,根图象求解即可 【详解】因为C A B =,且集合C 为单元素集合, 所以集合A ,B 表示的曲线有一个交点, 所以a x x a =+有一个根 当0a =时,符合题意, 当0a ≠时,1x x a =+,分别作出y x =与1xy a=+的图象, 由图象可知11a ≥或11a≤-时,两函数图象只有一个交点, 解得01a <≤或10a -≤<, 综上,实数a 的取值范围是[1,1]-,故答案为:[1,1]-19.()A BAB ⋃【解析】 【分析】由集合的交并补运算求解即可. 【详解】设全集为A B ,则阴影部分表示集合A 与B 交集的补集,即()A BAB ⋃故答案为:()A BAB ⋃20.[2,+∞) 【解析】 【分析】根据A B ⊆结合数轴即可求解. 【详解】∵{}22A x x =-≤≤≠∅,A B ⊆, ∴A 与B 的关系如图:∴a ≥2.故答案为:[2,+∞).21.()(){}1,1,3,3--【解析】 【分析】联立方程组,求出交点坐标,即可得到答案. 【详解】解方程组31y xx y x =⎧⎪+⎨=⎪-⎩,得11x y =-⎧⎨=-⎩或33x y =⎧⎨=⎩. 故答案为:()(){}1,1,3,3--.22.0a ≤【解析】 【分析】根据并集的运算结果列出不等式,即可得解. 【详解】解:因为A B R =, 所以0a ≤. 故答案为:0a ≤.23.9[1,]8【解析】 【分析】由()()sin()04f x x πωω=+>的单调递减区间包含2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可计算ω 的取值范围. 【详解】()()sin()04f x x πωω=+> 在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 令(),42x k k Z ππωπ+=+∈ 得14ππωω=+k x 令(),4x k k Z πωππ+=+∈得234k x ππωω=+ 23,+,4344k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤∴⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦442334k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪∴⎨⎪≤+⎪⎩419382k k ωω⎧≥+⎪∴⎨≤+⎪⎩ 93110041082420k k k k Z k ω>∴<+<+∴-<<∈∴=ω∴∈9[1,]8故答案为:9[1,]824.3【解析】【分析】根据集合相等的概念得到方程组,解之即可求出结果.【详解】∵A B =,∴325a a =⎧⎨+=⎩,解得3a =, 或523a a =⎧⎨+=⎩,无解 所以3a =.故答案为:3.25.{}1【解析】【分析】解一元二次方程求出集合M ,进而根据补集的概念即可求出结果.【详解】 因为{}{}220,0,2M x x x x =-=∈=R ,且{}0,1,2U =, 则{}1M =,故答案为:{}1.三、解答题26.(1)[][]1,3,2,5A B A B ⋂=⋃=-(2)11m ≤-或3m ≥.【解析】【分析】(1)根据函数的定义域求得集合A ,根据函数的值域求得集合B ,由此求得A B ,A B ;(2)先求得R A ,然后根据()R C A ⊆列不等式从而求得m 的取值范围. (1) []20232,330x x A x +≥⎧⇒-≤≤⇒=-⎨-≥⎩, 2()1g x x =+开口向上,对称轴为y 轴,所以最大值为()25g =,最小值为()01g =, 所以[]1,5B =,所以[][]1,3,2,5A B A B ⋂=⋃=-.(2)由(1)得()()R ,23,A =-∞-⋃+∞,由于()R C A ⊆,所以92m +≤-或3m ≥,解得11m ≤-或3m ≥.27.(1)1{|03A B x x ⋂=-<≤或1}x =; (2)1a ≥或43a ≤-. 【解析】【分析】(1)求解分式不等式和一元二次不等式,解得集合,A B ,再求交集即可; (2)根据p q 是的充分不必要条件可知A 是B 的真子集,列不等式求a 的取值范围即可.(1)要使得()f x 有意义,则1031x x -≥+,得(1)(31)0310x x x -+≥⎧⎨+≠⎩,解得:113x ≤-<, 所以1|13A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭;当0a =时,()g x =()g x 有意义,则20x x -≥,解得:1x ≥或0x ≤, 所以{|1B x x =≥或0}x ≤, 故1{|03A B x x ⋂=-<≤或1}x =. (2)以为22(21)0x a x a a -+++≥,即[]()(1)0x a x a --+≥,解得:1x a ≥+或x a ≤, 所以{|1B x x a =≥+或}x a ≤,由题意可知A 是B 的真子集,所以1a ≥或113a +≤-(等号不同时成立), 得1a ≥或43a ≤-. 28.(1)a >2(2)(-∞,1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由已知2∈M 可得,2满足已知不等式,代入即可求解;(2)由M 为空集,可求得a ,然后代入解分式不等式即可求解.(1)由已知2∈M 可得,4-2(a +1)+a <0,解得a >2,所以实数a 的取值范围为()2,+∞;(2)当M 为空集,则()a a -∆=≤2410+,即()a -≤210;所以10a -=,即1a =∴1x a -<2,即11x -<2, ∴231x x -->0,解得x >32或x <1. ∴此不等式的解集为(-∞,1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 29.(1){}|13A B x x ⋃=-≤≤(2)条件选择见解析,()(),24,-∞-+∞【解析】【分析】(1)化简集合A 与B 之后求二者的并集(2)先判断集合A 与B 的关系,再求a 的取值范围(1)当2a =时,集合{}|13A x x =≤≤,{}|13B x x =-≤≤, 所以{}|13A B x x ⋃=-≤≤;(2)若选择①A ∪B =B ,则A B ⊆,因为{}|11A x a x a =-≤≤+,所以A ≠∅,又{}|13B x x =-≤≤, 所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得02a ≤≤, 所以实数a 的取值范围是[]0,2.若选择②,“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件,则A B , 因为{}|11A x a x a =-≤≤+,所以A ≠∅, 又{}|13B x x =-≤≤,所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得02a ≤≤, 所以实数a 的取值范围是[]0,2.若选择③,A B =∅,因为{}|11A x a x a =-≤≤+,{}|13B x x =-≤≤, 所以13a ->或11a +<-,解得4a >或2a <-,所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞.30.(1)[)2,A =+∞(2)(],2a ∈-∞【解析】【分析】(1)根据对数函数的单调解不等式即可; (2)先求()R ,2A =-∞,再分类讨论并满足R B A ⊆可得答案. (1) ()()2222222log log 2log log 220x x x x x x ≥⇒≥⇒≥> 解得2x ≥,故[)2,A =+∞(2)由(1)()R ,2A =-∞当1a =时,B =∅,满足题意; 当1a >时,()1,B a =,只需2a ≤; 当1a <时,(),1B a =,满足题意. 综上所述,(],2a ∈-∞.。

高中数学集合难题

高中数学集合难题

高中数学集合难题集合在高中数学中是一个重要的概念,它是数学中的一个基础部分,也是解决问题的关键。

本文将介绍一些高中数学中的集合难题,帮助学生更好地理解和应用集合概念。

问题1:设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合B={5,6,7,8,9,10,11,12,13},求A∪B和A∩B。

解析:A∪B表示集合A和集合B的并集,即包含了A和B中所有的元素,不重复计算。

而A∩B表示集合A和集合B的交集,即A和B中共有的元素。

对于本题,集合A中的元素为{1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合B中的元素为{5,6,7,8,9,10,11,12,13}。

所以A∪B的结果为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13},A∩B的结果为{5,6,7,8,9}。

问题2:设集合A={x | -3 ≤ x ≤ 3, x∈Z},集合B={x | -1 ≤ x ≤ 4, x∈Z},求A∪B和A∩B。

解析:题目中的集合A和集合B都是由条件表达式定义的集合。

集合A表示满足-3 ≤ x ≤ 3的整数集合,集合B表示满足-1 ≤x ≤ 4的整数集合。

要求A∪B,即找出满足条件-3 ≤ x ≤ 3或-1 ≤ x ≤ 4的整数集合。

可以将两个条件合并为-3 ≤ x ≤ 4,所以A∪B的结果为{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}。

要求A∩B,即找出同时满足条件-3 ≤ x ≤ 3和-1 ≤ x ≤ 4的整数集合。

可以将两个条件合并为-1 ≤ x ≤ 3,所以A∩B的结果为{-1,0,1,2,3}。

问题3:集合A={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j},集合B={c, d, e, f, g},集合C={f, g, h, i, j},求(A∩B)∪C。

解析:首先求A∩B,即集合A和集合B的交集。

集合A中的元素为{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j},集合B中的元素为{c, d, e, f, g}。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

--
-- 集 合
1.集合概念 元素:互异性、无序性、确定性
2.集合运算 全集U:如U =R
交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=⋃或
补集:}{A x U x x A C U ∉∈=且
3.集合关系 空集A ⊆φ 子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈
B A B B A B
A A
B A ⊆⇔=⊆⇔= 注:数形结合---文氏图(即韦恩图、Ve nn 图)、数轴
典型例题
1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A
2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22,{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于
3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和.
4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02,且{}7,3=B A ,求a 的值.
5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ,若B A ⊆,则m 的值为
6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ,{}52≤≤-=x x B ,若B A ⊆,求实数m 的取值范围.
7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ,{}2,12-=a A ,{}5=A C S ,求a 的值.
8. 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22,试问B A ,是否相等.
9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围.
10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ⊆,求实数a 的取值范围.
11. 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442,(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122,{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集,求实数a 的取值范围.
12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){}
05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +,是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.。

相关文档
最新文档