数系的扩充和复数的概念(公开课)(课堂PPT)

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3. x1,1y8 7
例1：
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10，即m1时，复数z 是实数．
（2）当m10，即m1时，复数z 是虚数．
（3）当m 10，且 m 10，m 即m 1 m 1 0 10 时0 ，复
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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预习自测答案：
1. 实部分别是0， ：2 ， 2，2，0,0；
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虚部分别是0： ,0，1 ,1， 3,1. 3
2. 2 7,0.618,0,i2是实数；
2i,i,i 1 3 ,5i 8,39 2i, 2 2i是虚数；
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2i,i,i1 3 是纯虚数 .
5m60 ,解的 m2
m23m0
4m2
5m60 ,解的 m3
m23m0
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例2: 已知 ( x y ) y 1 i 2 x 3 y ( 2 y 1 ) i 其中
x, yR, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 3y
y 1 2y 1
得 x4,y2
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变式2：
已 x 是 知实 y 是 数 纯 ， 虚 x y 数 3 x i,求 ， x 与 y满
解： 设 y bi b R , 且 b 0
x y 3 x i x bi 3 x i
x 0
b
3
x
x 0,b 3
x 22 0 , y 3 i
数系的扩充
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问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和
虚数 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
复数 z实 虚数 数 bb 00,当a0时为纯虚
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问 题 4：
你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？
虚数集 复 数 集 C
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学习目标：
1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的有关概念以及符号表示； 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念
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学习重点：
理解虚数单位i引进的必要性及复数的 有关概念
学习难点：
复数的有关概念及应用
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1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹
第一次开始讨论负数开平方的问题，当时
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问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
思考a (ab ,b,c ,di cR ) di ba
c d
若abi0(a、 bR) ba
0 0
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口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家引
入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且
满足：
(1) i21 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.
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问 题 2：
把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，
你得到什么样的数？
把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，
法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数．1777年 瑞士数学家
欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，
并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表
示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯
系统地使用了i这个符号，于是使之通行于
世。
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zabi (aR,bR)
实虚 部9 部
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小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部？
实数
- 2 1 i， 3-9 2i. - 3i, 2 .
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虚数
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
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自主学习
• 对于复数a+bi(a,b∈R), • 当且仅当＿＿＿b=＿0 ＿时,它是实数; • 当且仅当＿a=＿0且＿b＿=0＿时,它是实数0; • 当＿＿＿＿b≠0＿＿＿时, 叫做虚数; • 当＿＿a=＿0且＿b＿≠0＿＿时, 叫做纯虚数;
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
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复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
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一、教材第106页，A组1、2
0,1,2,3 自然数（正整数与零）
引入负整数
整数
R
解方程x+3=1
引入分数
Q
解方程3 x=5
有理数
Z
引入无理数
实数
N
解方程x2=2
可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种
运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集
中得到了保留。
问 题1：
一元二次方程 x2 10，有没有实数根？
类比每一次数系的扩充过程，我们能否引 进一个新数，将实数集进行扩充，使得在 新的数集中，该问题能得到解决呢？
由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运
算的结果都可以写成 aba i,bR的形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
Caba i,b R
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新知
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 通常用字 ,母z表示.全体复数所成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示.
ห้องสมุดไป่ตู้
复数的代数形式：
纯虚数集
实数集R
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练习:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数
或纯虚数）
1 4i 23
2
0
1 2
0
-3 0
4 3
6
虚数 实数
虚数
纯虚 数
i2
-1 0
实数
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问 题 5：
若复数 a+ b= ic+ dib (ca ,d , ,R) a,b,c,d应满足什么条件呢？
数 z 是纯虚数．
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变式1：实 m 取 数什么 m 2 5 值 m 6 时 m 2 3 m ， i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
解： 1 m 2 3 m 0 ,解 m 0 的 或 3
2 m 2 3 m 0 ,解 m 0 且 的 m 3
3m2