数系的扩充和复数的概念(公开课)(课堂PPT)
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( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
(完整版)§3.1.1数系的扩充和复数的概念.ppt
作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。
②复数z=a+bi (a∈R， b∈R )中，把实数a，b分别叫做复数的实部 和虚部。 ③全体实数和虚数所组成的集合叫复数集，记作C。
二.新课学习
（2）复数的表示形式
当 b 时0，z 是实数a．
复数
当b 时0 ，z 叫做虚数．
当a 且0 b时，0 叫z 做b纯i虚数．
普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
一.复习引入
1.数系的扩充
从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。 在自然数集中，加法和乘法总可以实施。由于小数不能减 大数，要使x+4=0有解，从而引负入数_______.自然数集扩充 到整数集； 在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施。由于除法只 能解决整除问题，要使方程3x-2=0有解，为此引入 ___分__数___. 整数集扩充到有理数集；在有理数集里加、减、乘和除 (除数不为零)总可实施；要使x2-2=0有解，为此引入 __无__理__数__，有理数扩充到实数集。
2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾， 并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数 都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数 集中不成立，如x2≥0； 若x－y＞0，则x＞y等， 今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在 实数集内解决问题.
39
2.i
（2）判断下列命题是否正确：
Ｘ A.若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 Ｘ B.若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
√ C.若a为实数，则Z= a一定不是虚数
②复数z=a+bi (a∈R， b∈R )中，把实数a，b分别叫做复数的实部 和虚部。 ③全体实数和虚数所组成的集合叫复数集，记作C。
二.新课学习
（2）复数的表示形式
当 b 时0，z 是实数a．
复数
当b 时0 ，z 叫做虚数．
当a 且0 b时，0 叫z 做b纯i虚数．
普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
一.复习引入
1.数系的扩充
从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。 在自然数集中，加法和乘法总可以实施。由于小数不能减 大数，要使x+4=0有解，从而引负入数_______.自然数集扩充 到整数集； 在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施。由于除法只 能解决整除问题，要使方程3x-2=0有解，为此引入 ___分__数___. 整数集扩充到有理数集；在有理数集里加、减、乘和除 (除数不为零)总可实施；要使x2-2=0有解，为此引入 __无__理__数__，有理数扩充到实数集。
2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾， 并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数 都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数 集中不成立，如x2≥0； 若x－y＞0，则x＞y等， 今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在 实数集内解决问题.
39
2.i
（2）判断下列命题是否正确：
Ｘ A.若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 Ｘ B.若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
√ C.若a为实数，则Z= a一定不是虚数
数系的扩充和复数的概念PPT优秀课件1
3.复数的代数形式：
通常用字母 z 表示，即
z a b i (aR,bR)
实部 虚部 虚数单位
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a
当 b 0 时，这时 z a 是实数.
复数
z
a
bi
当 b 0时， z a bi 叫做虚数.
当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
例题讲解
例 1. 判断下列各数 , 哪些是实数 ?哪些 是虚数?若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 3 2i; (3) 3 1 i;
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
C．A∩ UB =Φ D．B? UB = C
课堂练习
3．“复数 a + bi ( a，b，c? R)为纯虚数”
是“a = 0”的什么条件
（ A）
A．充分但不必要条件
B．必要不充分条件
选做作业:
41. 若方程x2 m 2i x 2 mi 0至少有 一 个 实
课件_人教版数学选修数系的扩充和复数的概念-)PPT课件_优秀版
1、若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝______.
（3）
实数，则Z=a+bi为虚数 （ ）
a=c且b=d
说复明数下 的准列相数关列中概，念出那及些复实是数部实相数等、，的哪充虚些要是条部虚件数的应，应哪用满些是足纯的虚数关，并系指出式实部．和虚求部解参数时，注意考虑问题要
（三）、复数z=a+bi 的分类及满足条件
全面，当条件不满足代数形式 在i 规定下，i与实数加乘的结果形式如何？
*复数 z=a+bi（a，b为实数） a叫实部，b叫虚部
(1)复数的代数表示方法:复数通常用z表示,即z=_____________.
(1)复数的代数表示方法:复数通常用z表示,即z=_____________.
1 数系的扩充和3复、数的x概-念y+(y1)i=2 i,则x=（ ），y=（
1 数系的扩充和复数的概念
），其中x，yЄR。
1 数系的扩充和复数的概念
思考: 在i 规定下，i与实数加乘的结果形式如何？
a+bi，a∈R，b∈R
（一）.复数的概念
*复数 z=a+b(i（1a，)b复为实数数）的a叫代实部数，b叫表虚部示方法:复数通常用z表示,即
z=__ _. ((11))复复数数的的代 代数数表表示示方方法法::复复_数数a_通通+_常常b_用用i_(zz表表a_示示,_b,,即即_∈zz_==R___)________________________..
3练、习掌:当握m复为数何相题实等数的，时充，要为复条数应件 用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
(3)纯虚数； 解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5≠00， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2.
(4)0.
解 当mm22－ ＋25mm－ ＋16＝5＝00， 时，复数 z 是 0， ∴m＝－3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.分别求满足下列条件的实数x，y的值. (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为__2___. 解析 由题意得mm22－ －21>m1＝，0， 解得 m＝2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)实数；
解 因为z>0，所以z为实数，
需满足m2m－＋m3－6>0， m2－2m－15＝0，
解得 m＝5.
反思 感悟
复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R) 的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和 虚部满足的方程(不等式)即可.
数系的扩充和复数的概念公开课PPT课件
3
学习目标： 1、理解复数的基本概念 2、理解复数相等的充要条件 3、理解复数的代数表示方法
4、了解数系的扩充过程
学习重点：
复数的概念，复数的代数形式表示.
学习难点：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
-
4
解方程 x2 1？0,x
-
5
平方等于-1的数用符号i来表示。
i
的
引 （1）i2 1
复数相等问题 转化 求方程组解的问题
-
16
小
结
复数
复
数
的
分
类
-
17
当堂检测
-
18
作业：
习题3.1A组 1、2.
-
19
练一练（口答）:指出下列各数的实部和虚部
1 3i
(1)i
1i
6
7
8 5i
-
9
自主学习反馈
在复数集 C a b|a i,b R 任
复 取两个数 a b与 ic d（ ia ,b ,c ,d R ) 数 abicdi ac,bd 相 等 特别地，abi0 a0,b0
作用 判断两个复数是否相等
-
入 （2）可以和实数一起进行四则
运算,原有的加法乘法运算律仍 成立
-
6
自主学习反馈
复 数
定义：把形如 a 的bi数叫做复数 （a,b 是实数）
的 概
其中i叫做虚数单位
念
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
-
7
自主学习反馈
复
数
பைடு நூலகம்
的 za b i (aR,bR)
代
实部 虚部 虚数
数系的扩充和复数的相关概念PPT教学课件
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
5．(2011·江门一模理科)已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i， a∈R，i是虚数单位}，若A⊆R，则a＝( C )
A．1
B．－1
C．±1
D. 0
6．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充 分条件是( )
A．a＝0
B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0
强光下2小时
氧
水浓 硫 酸天竺葵银边吊兰化 碳 吸 收 剂 二 氧 化 碳 释 放 剂影温响度中光、（间BB死绿密合二亡色闭在作氧）玻水（璃用化中变罩周普验浸蓝强碳围里（一）白A度浓下斯1强色7强的度特7光光32利因等年2小小实）时密素时闭主玻璃要罩检查淀粉有（检查淀粉绿：B色检阳部不不查变分变变光变淀蓝变蓝蓝蓝粉、蓝）
3．复数相等的概念
(1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别 相等，它是把复数问题转化为实数问题的主要手段．
(2)应用复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两边 的复数形式写成代数形式，即分离实部和虚部，然后列出方程求 解．
复数的基本概念
若z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( ) A．若z1＋z2＞0，则z1＞－z2 B．若 z1＋－z 1＝0，则 z1 为纯虚数 C．若 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝0 D．若 z1＜z2，则 z1－z2＜0
1 有实数解，
2
求实数 a，b.
解析：根据复数相等的充要条件有21x＝－－1＝3－y y ，
解得x＝52 ，
(3)
y＝4
将(3)代入(2)，得 5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且 a，b∈R，
所以有5＋4a＝9 6＋b＝8
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点在复 平面上构成怎样的图形？
图示
第十四页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
课题：复数的有关概念
课堂小结： 一. 数学知识： (1)复数相等
(2)复平面
(3)复数的模
(2) 不相等的实数可以比较大小；
(3) 实数可以用数轴上的点表示； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
……
第六页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
复数的有关概念
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
第七页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
问题一： 对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)，
练习: P69,4,5
P70,4,5
第三十七页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
三、复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2|
平行四边形OABC是
菱形
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
C z2
z2-z1
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
象限的问题
的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
第十九页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
满 足 |z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样 的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
z x y 5 22
(3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点在复 平面上构成怎样的图形？
图示
第十四页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
课题：复数的有关概念
课堂小结： 一. 数学知识： (1)复数相等
(2)复平面
(3)复数的模
(2) 不相等的实数可以比较大小；
(3) 实数可以用数轴上的点表示； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
……
第六页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
复数的有关概念
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
第七页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
问题一： 对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)，
练习: P69,4,5
P70,4,5
第三十七页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
三、复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2|
平行四边形OABC是
菱形
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
C z2
z2-z1
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
象限的问题
的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
第十九页，编辑于星期日：十二点 二十七分。
满 足 |z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样 的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
z x y 5 22
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都可以写成 aba i,bR的形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
Caba i,b R
8
2020/8/16
新知
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 通常用字 ,母z表示.全体复数所成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示.
复数的代数形式：
2
2020/8/16
学习目标：
1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的有关概念以及符号表示； 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念
4
学习重点：
理解虚数单位i引进的必要性及复数的 有关概念
学习难点：
复数的有关概念及应用
5
1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹
第一次开始讨论负数开平方的问题，当时
数 z 是纯虚数．
19
2020/8/16
变式1：实 m 取 数什么 m 2 5 值 m 6 时 m 2 3 m ， i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
解： 1 m 2 3 m 0 ,解 m 0 的 或 3
2 m 2 3 m 0 ,解 m 0 且 的 m 3
3m2
15
2020/8/16
问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
思考a (ab ,b,c ,di cR ) di ba
c d
若abi0(a、 bR) ba
0 0
16
2020/8/16
口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
7
3. x1,1y8 7
例1：
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10，即m1时，复数z 是实数．
（2）当m10，即m1时，复数z 是虚数．
（3）当m 10，且 m 10，m 即m 1 m 1 0 10 时0 ，复
5m60 ,解的 m2
m23m0
4m2
5m60 ,解的 m3
m23m0
20
例2: 已知 ( x y ) y 1 i 2 x 3 y ( 2 y 1 ) i 其中
x, yR, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 3y
y 1 2y 1
得 x4,y2
21
2020/8/16
变式2：
已 x 是 知实 y 是 数 纯 ， 虚 x y 数 3 x i,求 ， x 与 y满
解： 设 y bi b R , 且 b 0
x y 3 x i x bi 3 x i
x 0
b
3
x
x 0,b 3
x 22 0 , y 3 i
数系的扩充
0,1,2,3 自然数（正整数与零）
引入负整数
整数
R
解方程x+3=1
引入分数
Q
解方程3 x=5
有理数
Z
引入无理数
实数
N
解方程x2=2
可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种
运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集
中得到了保留。
问 题1：
一元二次方程 x2 10，有没有实数根？
类比每一次数系的扩充过程，我们能否引 进一个新数，将实数集进行扩充，使得在 新的数集中，该问题能得到解决呢？
11
2020/8/16
问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和
虚数 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
复数 z实 虚数 数 bb 00,当a0时为纯虚
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2020/8/16
问 题 4：
你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？
虚数集 复 数 集 C
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家引
入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且
满足：
(1) i21 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.
7
2020/8/16
问 题 2：
把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，
你得到什么样的数？
把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，
法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数．1777年 瑞士数学家
欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，
并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表
示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯
系统地使用了i这个符号，于是使之通行于
世。
6
2020/8/16
zabi (aR,bR)
实虚 部9 部
2020/8/16
小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部？
实数
- 2 1 i， 3-9 2i. - 3i, 2 .
3
2
虚数
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
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2020/8/16
自主学习
• 对于复数a+bi(a,b∈R), • 当且仅当＿＿＿b=＿0 ＿时,它是实数; • 当且仅当＿a=＿0且＿b＿=0＿时,它是实数0; • 当＿＿＿＿b≠0＿＿＿时, 叫做虚数; • 当＿＿a=＿0且＿b＿≠0＿＿时, 叫做纯虚数;
纯虚数集
实数集R
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练习:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数
或纯虚数）
1 4i 23
2
0
1 2
0
-3 0
4 3
6
虚数 实数
虚数
纯虚 数
i2
-1 0
实数
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问 题 5：
若复数 a+ b= ic+ dib (ca ,d , ,R) a,b,c,d应满足什么条件呢？
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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预习自测答案：
1. 实部分别是0， ：2 ， 2，2，0,0；
2
虚部分别是0： ,0，1 ,1， 3,1. 3
2. 2 7,0.618,0,i2是实数；
2i,i,i 1 3 ,5i 8,39 2i, 2 2i是虚数；
7
2i,i,i1 3 是纯虚数 .
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
23
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
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一、教材第106页，A组1、2
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
Caba i,b R
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新知
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 通常用字 ,母z表示.全体复数所成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示.
复数的代数形式：
2
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学习目标：
1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的有关概念以及符号表示； 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念
4
学习重点：
理解虚数单位i引进的必要性及复数的 有关概念
学习难点：
复数的有关概念及应用
5
1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹
第一次开始讨论负数开平方的问题，当时
数 z 是纯虚数．
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变式1：实 m 取 数什么 m 2 5 值 m 6 时 m 2 3 m ， i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
解： 1 m 2 3 m 0 ,解 m 0 的 或 3
2 m 2 3 m 0 ,解 m 0 且 的 m 3
3m2
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问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
思考a (ab ,b,c ,di cR ) di ba
c d
若abi0(a、 bR) ba
0 0
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口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
7
3. x1,1y8 7
例1：
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10，即m1时，复数z 是实数．
（2）当m10，即m1时，复数z 是虚数．
（3）当m 10，且 m 10，m 即m 1 m 1 0 10 时0 ，复
5m60 ,解的 m2
m23m0
4m2
5m60 ,解的 m3
m23m0
20
例2: 已知 ( x y ) y 1 i 2 x 3 y ( 2 y 1 ) i 其中
x, yR, 求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 3y
y 1 2y 1
得 x4,y2
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变式2：
已 x 是 知实 y 是 数 纯 ， 虚 x y 数 3 x i,求 ， x 与 y满
解： 设 y bi b R , 且 b 0
x y 3 x i x bi 3 x i
x 0
b
3
x
x 0,b 3
x 22 0 , y 3 i
数系的扩充
0,1,2,3 自然数（正整数与零）
引入负整数
整数
R
解方程x+3=1
引入分数
Q
解方程3 x=5
有理数
Z
引入无理数
实数
N
解方程x2=2
可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种
运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集
中得到了保留。
问 题1：
一元二次方程 x2 10，有没有实数根？
类比每一次数系的扩充过程，我们能否引 进一个新数，将实数集进行扩充，使得在 新的数集中，该问题能得到解决呢？
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问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和
虚数 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
复数 z实 虚数 数 bb 00,当a0时为纯虚
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问 题 4：
你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？
虚数集 复 数 集 C
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家引
入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且
满足：
(1) i21 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.
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问 题 2：
把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，
你得到什么样的数？
把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，
法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数．1777年 瑞士数学家
欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，
并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表
示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯
系统地使用了i这个符号，于是使之通行于
世。
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zabi (aR,bR)
实虚 部9 部
2020/8/16
小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部？
实数
- 2 1 i， 3-9 2i. - 3i, 2 .
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虚数
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
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自主学习
• 对于复数a+bi(a,b∈R), • 当且仅当＿＿＿b=＿0 ＿时,它是实数; • 当且仅当＿a=＿0且＿b＿=0＿时,它是实数0; • 当＿＿＿＿b≠0＿＿＿时, 叫做虚数; • 当＿＿a=＿0且＿b＿≠0＿＿时, 叫做纯虚数;
纯虚数集
实数集R
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练习:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数
或纯虚数）
1 4i 23
2
0
1 2
0
-3 0
4 3
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虚数 实数
虚数
纯虚 数
i2
-1 0
实数
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问 题 5：
若复数 a+ b= ic+ dib (ca ,d , ,R) a,b,c,d应满足什么条件呢？
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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预习自测答案：
1. 实部分别是0， ：2 ， 2，2，0,0；
2
虚部分别是0： ,0，1 ,1， 3,1. 3
2. 2 7,0.618,0,i2是实数；
2i,i,i 1 3 ,5i 8,39 2i, 2 2i是虚数；
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2i,i,i1 3 是纯虚数 .
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
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复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
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一、教材第106页，A组1、2