2020-2021学年度初中数学有理数的混合运算培优提升训练题2(附答案详解)

2020-2021学年度初中数学有理数的混合运算培优提升训练题2（附答案详解）

1．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S －S ＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是( ）

A ．42100－1

B ．42020－1

C ．2019413

D ．2020413

2．已知a ，b ，c 为非零的实数，则

a a

b a

c bc a ab ac bc +++的可能值的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

3．若|abc |＝－abc ，且abc ≠0，则||||b a c a b c

++＝（ ） A ．1或－3 B ．－1或－3

C ．±1或±3

D ．无法判断 4．定义一种新运算：新定义运算3()a b a a b *=?-，则34*的结果是______． 5．已知a b c d ,,,表示4个不同的正整数，满足23490a b c d +++=，其中1>d ，则a b c d +++的最大值是__________．

6．计算: 2342020133333+++++?+=____．

7．已知有理数a ，b 满足ab ＜0，a+b ＞0，7a+2b+1=﹣|b ﹣a|，则1(2)?()3

a b a b ++- 的值为_____． 8．对于正数x 规定1()1f x x =+，例如：11(3)=134f =+，115()=15615

f =+，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋1111()+()++()()2320182019f f f f +＝___________．

9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是12

，部分②的面积是14，部分③的面积是18，…，以此类推，第n 部分的面积是12

n (n 是大于1的整数).请你用“数形结合”的思想计算

12+14+18+…+12

n ＝______.

为6，第2次得到的结果为3，…，请你探索第2019次得到的结果为_______．

11．正整数n 小于100，并且满足等式[][][]236

n n n n ++=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.7]1=，这样的正整数n 有 个．

12．计算下列各题：

（1）3.587-（-5）+（-5

12）+（+7）-（+314）-（+1.587）； （2）（－1）5×{[－423÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－19

）－32}. 13．阅读理解题，阅读材料：设正整数a 可以写成

11010001000n n n n a a a a --=+++，（其中01000i a ≤<，0,1,,i n =） 若()()0213a a a a ++-++能被13整除，则a 也能被13整除，

反之，若a 能被13整除，则()()0213a a a a ++

-++也能被13整除。 比如：①30553100055=?+，因为55352134-==?，能被13整除，所以3055能被13整除

②2205259621000521000596=?+?+

因为()5962525461342+-==?，能被13整除，所以2052596能被13整除 ③3227718554892100077110008551000489=?+?+?+

因为()()48977185524031331+-+==?，能被13整除，所以2771855489能被13整除

（1）按照上面提供的方法，试判断4060698967能否被13整除，并写出过程； （2）若7位正整数307552m 能被13整除，试求m 的值.

14．﹣22+（﹣3）2﹣（﹣1）2×（

23﹣0.5）÷112

﹣（﹣1）4

数列x 1，x 2，x 3．计算|x 1|，12

2x x +，123

3x x x ++，将这三个数的最小值称为数列x 1，

x 2，x 3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，()

212+-=12，()2133

+-+=43，所以数列2，-1，3的最佳值为12

． 东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为12

；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，

最佳值的最小值为12

．根据以上材料，回答下列问题： （1）数列-4，-3，1的最佳值为

（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；

（3）将2，-9，a （a ＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a 的值．

16．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ；

②如果欲求1234n +++++的值，可令

1234...S n =+++++ ……………①

将①式右边顺序倒置，得...4321S n =+++++ ……………②

由②加上①式，得2S = ；

∴ S=_________________；

由结论求123455___________+++++=；

（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ；

②为了求23201813333++++??+的值，可令23201813333M =++++??+，则

23201933333M =+++??+，因此2019331M M -=-，所以2019312M -=， 即201923201831133332-++++??+=. 仿照以上推理，计算235115555++++??+

17．观察下列等式

111122=-?，1112323=-?，1113434

=-?， 将以上三个等式两边分别相加得：

1111111113111223342233444

++=-+-+-=-=???， （1）猜想并写出：()

11n n =+ （2）直接写出下列各式的计算结果：

①1111 (12233420162017)

++++=???? ②()

1111...1223341n n ++++=???+ （3）若()()1111...1335572121n n ++++???-+的值为1735

，求n 的值 18．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的某些规律，图①是某年某月的一份日历，图②将40个数排列成了5行8列.

（1）如图①，用一个3×

2的长方形框出的6个数中，将长方形四角位置上的4个数交叉相乘，再相减，结果为12×

17-10×19=______； （2）如图②，用一个4×

3的长方形任意框出的12个数中，将长方形四角位置上的4个数交叉相乘，再相减，所得结果是多少？并说明理由。

19．计算

（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）．

（2）314+（﹣235）+534

+（﹣825）．

（3）（﹣65）×（﹣23）+（﹣65）×（173

）． （4）（﹣34）×（﹣112

）÷（﹣214）． （5）42×（﹣

23）+（﹣34）÷（﹣0.25）． （6）（﹣1）10×

3+（﹣2）3÷4﹣145×0． 20．阅读下列材料：

112(123012)3?=??-??，123(234123)3

?=??-??，134(345234)3

?=??-??， 由以上三个等式相加，可得

111122334(123012)(234123)(345234)333

?+?+?=??-??+??-??+??-??

11(123234123345234)3452033

=??+??-??+??-??=???=. 读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1223341011?+?+?+

+?（写出过程）； （2）122334(1)n n ?+?+?+

+?+=__________________________（直接写出答案）；

（3）123234345789??+??+??+

+??=_____________________（直接写出

答案）.

21．（1）类比计算

①6×

12＝1×2×3； ②6×

22＝2×3×5﹣1×2×3； ③6×

32＝3×4×7﹣2×3×5； ④6×

42＝4×5×9﹣3×4×7； ⑤ ；

（2）规律提炼

写出第n 个式子（用含字母n 的式子表示）．

（3）问题解决

求12+22+33+42+…+592+602的值．

22．观察下列两个等式：2+2＝2×2，3+3

2

＝3×

3

2

，给出定义如下：我们称使等

式a+b＝ab成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）如：数对（2，2），

（3，3

2

）都是“有趣数对”．

（1）数对（0，0），（5，5

3

）中是“有趣数对”的是；

（2）若（a，3

4

）是“有趣数对”，求a的值；

（3）请再写出一对符合条件的“有趣数对”；

（注意：不能与题目中已有的“有趣数对”重复）

（4）若（a2+a，4）是“有趣数对”求3﹣2a2﹣2a的值．

23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把个记作a?，读作“a的圈n次方”

（初步探究）

（1）直接写出计算结果：2③，（﹣1

2

）③．

（深入思考）

2④

2 111111 2

222222

??=???=?= ?

??

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣1

2

）⑩．

（3）猜想：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于多少．

(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣1

2

）9×（﹣

1

2

）⑧

24．运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效.

例如：(－1255

7

)÷(－5)

解：(－1255

7

)÷(－5)=125

5

7

×

1

5

=(125+

5

7

)×

1

5

=125×

1

5

+

5

7

×

1

5

=25+

1

7

=25

1

7

(1)计算：6÷(－3

2

+

2

3

)，A同学的计算过程如下：

原式=6×(－23)+6×32

=－6+9=3. 请你判断A 同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.

(2)请你参考例题，用运算律简便计算(请写出具体的解题过程)：

999×11845+333×(－35)－999×1835

. 25．计算：

（1）()()2018211113223?

???-+-?+-+ ???????

（2）()()()()322019234221-?-+-÷---

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

设S=1+4+42+43+…+42019，表示出4S，然后求解即可．【详解】

解：设S=1+4+42+43+ (42019)

则4S=4+42+43+ (42020)

因此4S-S=42020-1，

所以S=

2020

41

3

．

故选：D．

【点睛】

本题考查了乘方，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．

2．A

【解析】

解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；

②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；

设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；

设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；

③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；

设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；

设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；

④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣

1+1+1+1=2．

综上所述：a ab ac bc a ab ac bc

+++的可能值的个数为4． 故选A ．

点睛：本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．

3．A

【解析】

【分析】

利用绝对值的代数意义判断得到a ，b ，c 中负数有一个或三个，即可得到原式的值．

【详解】

∵|abc|=-abc ，且abc≠0，

∴abc 中负数有一个或三个，

则原式=1或-3，

故选A ．

【点睛】

本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．-3

【解析】

【分析】

原式利用题中新定义计算方式进行运算即可.

【详解】

解：33

343(34)3(1)3*=?-=?-=-，故答案为-3.

【点睛】

本题考查基本的知识迁移能力，运用新定义，求解代数式;解答的关键在于灵活运用所学知识.

5．70

【解析】

【分析】

要使a+b+c+d最大，则d应尽可能小，根据已知，得到d=2，进一步确定c尽可能小，则c=1，由四个数不相同，则b取3，从而计算出a，即可得到结论．

【详解】

∵d＞1，d为正整数，要使a+b+c+d最大，则d应尽可能小，∴d=2，同样的道理，c应尽可能小．

∵c为正整数，∴c=1，∴a+b2+13+24=90，∴a+b2=73．同理，b尽可能小，a尽可能大．

∵a、b、c、d表示4个不同的正整数，∴b=3，∴a=64，∴a+b+c+d=64+3+1+2=70．故a+b+c+d 的最大值是70．

故答案为：70．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算．解题的关键是根据已知依次确定d、c、b的取值．

6．

2021 31

2

-

【解析】

【分析】

设原式=S，两边乘以3变形后，相减求出S即可．【详解】

设S=1+3+32+33+…+3n，

两边乘以3得：3S=3+32+33+…+3n+1，

两式相减得：3S-S=3n+1-1，

即S=

1

31

2

n+-

，

则原式=

2021

31

2

-

．

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，对于有规律的式子的运算，通过观察，可以寻找简便方法进行运算.．

7．﹣23

（9a+1）2或0． 【解析】

【分析】

由ab ＜0可得a 、b 异号，由a +b ＞0可得，正数的绝对值较大，再分两类讨

论：①a ＞0，b ＜0；②a ＜0，b ＞0，在这两种情况下对7a +2b +1=﹣|b ﹣a |进行化简，最后计算出所求式子的值即可．

【详解】

∵ab ＜0，a +b ＞0，∴a 、b 异号，且正数绝对值较大，

①当a ＞0，b ＜0时，b ﹣a ＜0，|b ﹣a |=a ﹣b ，

∴7a +2b +1=﹣（a ﹣b ）=b ﹣a ，

∴b =﹣1﹣8a ，

∴（2a +b +

13）·（a ﹣b ）=（2a ﹣1﹣8a +13）·[a ﹣（﹣1﹣8a ）]=（﹣6a ﹣23）·（9a +1）=﹣23

（9a +1）2； ②当a ＜0，b ＞0时，b ﹣a ＞0，|b ﹣a |=b ﹣a ，

∴7a +2b +1=﹣（b ﹣a ）=a ﹣b ，

∴2a +b =﹣

13

， ∴（2a +b +13

）·（a ﹣b ）=0． 故答案为﹣23（9a +1）2或0． 【点睛】

本题关键在于分类讨论，结合有理数的运算法则去绝对值对式子进行化简．

8．120182

【解析】

【分析】

根据所给()11f x x =

+计算每一个值，再把所有的数值相加即可. 【详解】

解：f(2019)＋f(2018)＋…＋f(2)＋f(1)＋1111+++2320182019f f f f ????????+ ? ? ? ?????????

=

1111232018201920202019323420192020

++?+++?+ =(1201920202020+)+(1201820192019+)+…+12

=2018×1+12

=120182

. 故答案为：120182. 【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用()11f x x

=+计算，并能找出f(n)和f(

1n

)之间的关系. 9．1﹣n 12 【解析】

【分析】 观察图形可知：阴影的部分的面积为

12n ，那么所求的式子其实就是正方形的面积－阴影部分的面积．

【详解】

观察图形，可得阴影部分的面积=

11112482n ++++=112n -． 故答案为：112n

-

． 【点睛】

本题考查了有理数的混合运算．看懂图形的构成是解答本题的关键．

10．8.

【解析】

【分析】

根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2019次得到的结果．

【详解】

解：先根据图示的程序计算，6→3→8→4→2→1→6→3→8→4→2→1→…，

由上可知每6次一循环．

∵2019÷6=336…3，

∴第2019次得到的结果为8．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了代数式的求值，解决此类题的关键是通过计算发现循环的规律，再进一步探索，有一定难度，注意规律的总结．

11．16

【解析】

【分析】 由[][][]236n n n n ++=，以及若x 不是整数，则[]x x <知，[],[],[]223366

n n n n n n ===，可得n 是6的倍数，因此小于100的这样的正整数有100[

]166

=个. 【详解】 解：∵[][][]236

n n n n ++=, 若x 不是整数，则[]x x <，故 [][][]236n n n n ++<， ∴[],[],[]223366

n

n n n n n ===， ∴n 是6的倍数，

∴小于100的这样的正整数有100[

]166=个， 故答案为：16

【点睛】

本题考查取整计算，难度较大，解题关键是理解题意.

12．（1）原式=5

14

；（2）原式＝3. 【解析】

【分析】

（1）运用加法的运算律，把小数与小数相加，整数与整数相加，分数与分数相加； （2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，再按有理数的混合运算法则计算.

【详解】

（1）原式=3.587+5-5

12+7-314

-1.587 =（3.587-1.587）+（5+7）+（-512-314） =2+12-834

=514

. （2）原式＝-1×{[-143÷4+0.5]÷（-19

）-9} ＝-1×[（-23）÷（-19）-9] ＝-1×（6-9）

＝-1×（-3）

＝3.

13．（1）能被13整除，过程见解析；（2）m=7

【解析】

【分析】

（1）由题意按照题干的方法，将4060698967代入判断4060698967能否被13整除，并写出过程即可；

（2）分析正整数307552m 能被13整除，可知()52375m +-也能被13整除以此进行分析运算即可.

【详解】

解：（1）由题意可得：

324060698967410006010006981000967=?+?+?+

又967606984()()3251325+-+==?能被13整除

4060698967∴能被13整除

（2）307552m 能被13整除

且23075523100075100052m m =?+?+

()52375m ∴+-也能被13整除

即：5210375m ?++-

448m =+

能被13整除，其中09m ≤≤，且是整数

7m ∴=

【点睛】

本题为材料阅读题型，考查有理数的运算相关，理解材料并根据材料方法进行代入分析是解题的关键.

14．2

【解析】

【分析】

先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

【详解】

﹣22+（﹣3）2﹣（﹣1）2×（

23﹣0.5）÷112﹣（﹣1）4 ＝﹣4+9﹣1×16÷112

﹣1 ＝﹣4+9﹣2﹣1

＝2．

【点睛】

此题考查有理数的运算，注意运算顺序的正确性.

15．（1）3；（2）

12

；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10． 【解析】

【分析】 （1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；

（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|?3＋2|＝1，由此得出答案即可； （3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a 的数值即可．

【详解】

（1）因为|?4|＝4，-4-3

2＝3.5，-4-31

2+＝3，

所以数列?4，?3，1的最佳值为3．故答案为：3；

（2）对于数列?4，?3，2，因为|?4|＝4，

43

2

--

＝

7

2

，

432

||

2

--＋

＝

5

2

，

所以数列?4，?3，2的最佳值为5

2

；

对于数列?4，2，?3，因为|?4|＝4，||

4

2

2

-＋

＝1，

432

||

2

--＋

＝

5

2

，

所以数列?4，2，?3的最佳值为1；

对于数列2，?4，?3，因为|2|＝2，2

2

4

-

＝1，

432

||

2

--＋

＝

5

2

，

所以数列2，?4，?3的最佳值为1；

对于数列2，?3，?4，因为|2|＝2，2

2

3

-

＝

1

2

，

432

||

2

--＋

＝

5

2

，

所以数列2，?3，?4的最佳值为1 2

∴数列的最佳值的最小值为2

2

3

-

＝

1

2

，

数列可以为：?3，2，?4或2，?3，?4．

故答案为：1

2

，?3，2，?4或2，?3，?4．

（3）当2

2

a

＋

＝1，则a＝0或?4，不合题意；

当

9

2

a

-＋

＝1，则a＝11或7；

当a＝7时，数列为?9，7，2，因为|?9|＝9，

97

2

-＋

＝1，

972

2

-+

＋

＝0，

所以数列2，?3，?4的最佳值为0，不符合题意；

当

97

2

a

-+

＋

＝1，则a＝4或10．

∴a ＝11或4或10．

【点睛】

此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键．

16．（1）①1，18，n ；②()1n n +，()

12n n +，1540；（2）①2，182，2n ；②

522351

51155554-++++??+=. 【解析】

【分析】

(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差都为1，从而可得常数为1；根据此规律，如果n a (n 为正整数)=n ，据此即可求得答案；

②观察可得2S =n(n+1)，从而求得 S ；根据上面得到的式子进行计算即可求得

123455+++++的值；

(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得n a (n 为正整数)=2n ，据此即可得答案；

②根据推理进行计算即可求得235115555++++??+的值.

【详解】

(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1；根据此规律，如果n a (n 为正整数)表示这个数列的第n 项，那么

18a =18，n a =n ，

故答案为：1，18，n ；

②令S 1234...n =+++++ ，①

将①式右边顺序倒置，得S n ...4321=+++++，②

②+①，得2S =()()()1n)111n n n n 个（+++++

++=n(1+n)，

∴ S=()12

n n +；

123455+++++=()

555512

?+=1540， 故答案为：()n 1n +，()

n 1n 2+，1540；

(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果n a (n 为正整数)表示这个数列的第n 项，那么18a =218，n a =2n ，

故答案为：2，182，n 2；

②令2351M 15555=++++??+，

则23525M 5555=+++??+，

525M M 51∴-=-，

524M 51∴=-，

5251M 4

-∴= ， 即522351

51155554-++++??+=. 【点睛】

本题考查了阅读理解题，根据题目的内容以及问题的求解方法进行求解，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键.

17．（1）

111n n -+；（2）①20162017；②1

n n +；（3）17n =. 【解析】

【分析】

（1）观察已知等式，得出拆项规律，写出答案即可；

（2）①原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；

②原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；

（3）根据（2）的结论，先找出规律，然后把代数式的值代入计算，即可得到结果．

【详解】

解：（1）∵111122=-?，1112323=-?，1113434

=-?， ∴()11111

n n n n =-++； 故答案为：

111

n n -+； （2）①1111 (12233420162017)

++++???? =11111111 (2233420162017)

-+-+-++- =112017

- =20162017； ②()

1111...1223341n n ++++???+ =11111111...223341n n -

+-+-++-+ =111n -

+ =1

n n +； 故答案为：①

20162017；②1n n +. （3）()()1111...1335572121n n ++++???-+ =

11111111111(1)()()...()23235257221

21n n -+-+---+++ =11111111(1...)2335572121

n n -+-+-++-+- =11(1)221

n -+ =21

n n +； ∴17=2135n n +， 解得：17n =；

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找出题目中的规律是解本题的关键． 18．（1）14；（2）48.