反角函数求导公式的证明
反三角函数基本公式大全及推导
【反三角函数基本公式大全及推导】1. 引言反三角函数是解决三角函数方程的重要工具，在数学、物理、工程等领域中应用广泛。
本文将为大家介绍反三角函数的基本公式，并对其进行全面的推导和解释。
2. 反正弦函数反正弦函数，记作$\arcsin x$，定义域为$[-1, 1]$，值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
其基本公式为：$$\arcsin x = \theta, \text{其中} \sin \theta = x, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$推导过程：根据正弦函数的定义，可以得到$y = \sin \theta$。
通过反函数的概念，可以得到$\theta = \arcsin x$。
再根据定义域和值域的限制，可以得到$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。
综合以上步骤，得到了反正弦函数的基本公式。
3. 反余弦函数反余弦函数，记作$\arccos x$，定义域为$[-1, 1]$，值域为$[0, \pi]$。
其基本公式为：$$\arccos x = \theta, \text{其中} \cos \theta = x, 0 \leq \theta \leq \pi$$推导过程：与反正弦函数类似，首先根据余弦函数的定义得到$y =\cos \theta$，然后通过反函数的概念得到$\theta = \arccos x$，最后根据定义域和值域的限制得到$0 \leq \theta \leq \pi$。
4. 反正切函数反正切函数，记作$\arctan x$，定义域为$(-\infty, \infty)$，值域为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
其基本公式为：$$\arctan x = \theta, \text{其中} \tan \theta = x, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$$推导过程：同样地，首先根据正切函数的定义得到$y = \tan\theta$，然后通过反函数的概念得到$\theta = \arctan x$，最后根据定义域和值域的限制得到$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$。
反三角函数导数公式
反三角函数导数公式
反三角函数是指反函数为三角函数的函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
反三角函数导数公式是指求反三角函数导数的公式，它们的计算较为复杂，但是对于求解一些复杂的数学问题非常有用。
下面是常见的反三角函数导数公式：
1. 反正弦函数导数公式：d/dx(arcsin x) = 1/√(1-x)
2. 反余弦函数导数公式：d/dx(arccos x) = -1/√(1-x)
3. 反正切函数导数公式：d/dx(arctan x) = 1/(1+x)
4. 反余切函数导数公式：d/dx(arccot x) = -1/(1+x)
以上公式可以通过基本微积分方法推导得出。
在实际应用中，反三角函数导数公式可以用于求解一些数学问题，如求解极限、积分等。
- 1 -。
反三角函数求导公式的证明
1 即： f '( x)
1
x0 x x0 y
'( y)
'( y)
x
f ( x) 在 I x 上也是连续的，
【例 1】 试证明下列基本导数公式
(1)(arcsin x)'
1 1 x2
1 (2)(arctan x)' 1 x2
1 (3)(log a x)'
x ln a
证 1、设 x sin y 为直接函数， y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在 I y ( , ) 上单调、 可导，且 x ' cos y 0 22
1
1
(arctan x)'
cos y
2
2
(tan y)'
1 tan y 1 x
)x
tan y 在 I y 上单调、可导且
x'
1 cos2 y
0故
证 3 (log a x)'
1 (a y )'
1 a y ln a
类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccos x)'
1 1 x2
(arctan x)'
1 1 x2
1 (ln x)'
x
二、复合函数的求导法则
如果 u (x ) 在点 x0 可导，而 y
dy dx x x0
f '(u0 )
'(x0 )
f (u) 在点 u0
( x0 ) 可导，则复合函数 y f [ ( x)] 在点 x0 可导，且导数为
证明： 因 限与无穷小的关系，有
dy dy du (sin u)' (2x)' 2cos2x dx du dx
反函数求导法则
反函数求导法则刘云（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。
关键词：反函数；基本初等函数；求导引 言除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。
1. 反函数求导定理若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有[])(1)(1x f y f'='-. 证明：因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-∆+=∆x f x x f y 等价于0)()(11≠-∆+=∆--y f y y f x ，并且当0→∆y 时有0→∆x 。
因此[]y y f y y f y f y ∆-∆+='--→∆-)()(lim )(1101)()(lim 0x f x x f x x -∆+∆=→∆ )(1)()(lim 10x f xx f x x f x '=∆-∆+=→∆. 2.基本初等函数的导数和微分公式：0)(='C0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax xdx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin ='xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -='xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan ='xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -='xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec ='xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -='xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广(1)多个函数线性组合的导函数∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，其中),,3,2,1(n i c i =为常数。
反三角函数的导数
反三角函数的导数反三角函数的导数是求反三角函数的导数。
反三角函数是指与三角函数相反的函数，常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
首先，我们来求反正弦函数的导数。
反正弦函数是正弦函数的反函数，记为y = arcsin(x)，其中-1 ≤ x ≤ 1，-π/2 ≤ y ≤ π/2。
导数的定义是函数在某一点处的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
设y = arcsin(x)，则有x = sin(y)。
对y求导，可以使用隐函数求导法。
两边关于y求导，得到1 = cos(y) *dy/dx，即dy/dx = 1/cos(y)。
由三角函数的基本关系sin²(y) + cos²(y) = 1，可以得到cos(y) = √(1 - sin²(y))。
代入上式，可得dy/dx = 1/√(1 - x²)。
注意，这个导数只在定义域内有效，在定义域外是没有意义的。
接下来，我们来求反余弦函数的导数。
反余弦函数是余弦函数的反函数，记为y = arccos(x)，其中-1 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ π。
同样使用隐函数求导法。
设y = arccos(x)，则有x = cos(y)。
对y求导，得到1 = -sin(y) * dy/dx，即dy/dx = -1/sin(y)。
由三角函数的基本关系sin²(y) + cos²(y) = 1，可以得到sin(y) = √(1 - cos²(y))。
代入上式，可得dy/dx = -1/√(1 - x²)。
同样地，在定义域内有效，在定义域外没有意义。
最后，我们来求反正切函数的导数。
反正切函数是正切函数的反函数，记为y = arctan(x)，其中-\( \infty \) <x < \( \infty \)，-\( \frac{\pi}{2} \) < y <\( \frac{\pi}{2} \)。
反三角函数的求导公式表
反三角函数的求导公式表
反三角函数的求导公式如下：
1. 对于反正弦函数arcsin(x)，其导数为1 / √(1 x^2)。
2. 对于反余弦函数arccos(x)，其导数为-1 / √(1 x^2)。
3. 对于反正切函数arctan(x)，其导数为1 / (1 + x^2)。
4. 对于反余切函数arccot(x)，其导数为-1 / (1 + x^2)。
5. 对于反正割函数arcsec(x)，其导数为1 / (|x| √(x^2 1))。
6. 对于反余割函数arccsc(x)，其导数为-1 / (|x| √(x^2 1))。
这些公式可以帮助我们求解反三角函数的导数，这在微积分和
相关数学领域中经常会遇到。
需要注意的是，在应用这些公式时，
我们需要谨慎处理分母为0的情况，以及在定义域范围内的特殊点。
另外，这些公式是通过基本的微积分技巧推导得出的，对于深入理解和应用这些公式是非常重要的。
反函数求导公式范文
反函数求导公式范文首先，让我们来定义反函数的概念。
如果函数f是一个一一对应函数，即对于每个x值，都有唯一的y值与之对应，那么它的逆函数记作f^(-1)。
如果f在一些区间上是可导的，那么它的逆函数在对应的区间上也是可导的。
接下来，我们将推导求反函数的导数的公式。
假设函数f在一个区间上可导，并且存在反函数f^(-1)。
对于一个点x=f^(-1)(y)，我们希望求出它的导数(dy/dx)。
根据导数的定义，我们可以得到以下等式：f'(f^(-1)(y))*f^(-1)'(y)=1(1)我们将上式改写为：f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))这个公式表明，如果我们已知函数f在一些点上的导数，那么反函数在对应的点上的导数可以通过该点的函数值和导数值来求得。
下面，让我们通过几个例子来说明如何使用反函数求导公式。
例子1：设函数f(x)=2x+1，求其反函数在点x=3处的导数。
首先，我们求出函数f在点x=3处的导数。
由于f(x)=2x+1，所以f'(x)=2、因此，f在点x=3处的导数为2然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。
根据公式，反函数在点y=f(3)=7处的导数为：f^(-1)'(7)=1/f'(f^(-1)(7))=1/f'(3)=1/2因此，反函数在点x=7处的导数为1/2例子2：设函数f(x) = sin(x)，求其反函数在点x=π/2处的导数。
首先，我们求出函数f在点x=π/2处的导数。
由于f(x) = sin(x)，所以f'(x) = cos(x)。
因此，f在点x=π/2处的导数为cos(π/2) = 0。
然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。
根据公式，反函数在点y=f(π/2)=1处的导数为：f^(-1)'(1)=1/f'(f^(-1)(1))=1/f'(π/2)=1/0由于0的倒数不存在，所以反函数在点x=1处的导数无定义。
反函数的求导
反函数的求导
设原函数为y=f()，则其反函数在y点的导数与f'()互为倒数（即原函数，前提要f'()存在且不为0）。
1、求反函数先判断反函数是否存在，严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同，再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，例如求y=^2的反函数，反函数是正负根号，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域。
2、反函数的求导怎么求导，把其中一个的自变量与因变量反写，若与另一形式相同，且定义域相同，则二者互为反函数如果y=f()的导数为y'=f'()那么反函数=g(y)在点b=f(a)可导且g'(b)=1、f'(a)。
3、求反函数有什么实际意义，“反函数的概念”，是函数概念的进一步深化，反映了函数概念中两个变量既相互对立，又相互统一、相互依存的辩证关系。
原函数与反函数的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法。
常见的反导公式
常见的反导公式反导公式在数学学习中可是个重要的角色呢。
咱就先从简单的说起，比如反三角函数的反导公式。
就拿反正弦函数来说，它的反导公式是：若$y = arcsinx$，则其导数为$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
这公式看着可能有点抽象，不过别担心，咱来举个例子好好理解一下。
我之前教过一个学生，叫小明。
这孩子啊，脑子挺灵活，就是遇到这种抽象的公式容易犯迷糊。
有一次上课，我就专门讲这个反正弦函数的反导公式。
我在黑板上写下公式，然后问大家：“同学们，能理解不？”大部分同学都沉默着，小明更是一脸茫然。
我就说：“来，小明，你看啊，假如我们有个问题，已知一个角度的正弦值是$x$，现在要通过反正弦函数求出这个角度，那这个变化的过程中，变化率就是这个反导公式给我们算出来的。
”小明还是皱着眉头。
我接着给他举例子：“假设一个直角三角形，其中一个锐角的正弦值是 0.5，那这个角不就是 30 度嘛。
那从 0.5 怎么通过反正弦函数求出30 度的变化过程，这个变化率就是咱们这个反导公式算出来的。
”小明眼睛一亮，好像有点明白了。
咱再说说反余弦函数，它的反导公式是$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
还有反正切函数，其反导公式是$\frac{1}{1 + x^2}$。
在实际解题的时候，这些反导公式可太有用啦。
比如在求曲线某一点的切线斜率时，如果涉及到反三角函数，那这些反导公式就能派上大用场。
就像上次考试，有一道题是这样的：已知函数$y = arcsin(2x)$，求在$x = 0.2$处的导数。
这时候就得用上反导公式啦。
先把 2x 看成一个整体，根据链式法则，先对反正弦函数求导，再对 2x 求导，最后就能得出答案。
其实啊，学习这些反导公式就像搭积木，一块一块积累，最后就能搭出漂亮的“知识城堡”。
可别被它们一开始的样子吓到，多琢磨琢磨，多做几道题，就会发现它们也没那么难。
希望大家在学习反导公式的时候，都能像小明后来那样，一点一点搞明白，把这些公式都变成自己解题的有力武器！。
反三角函数求导公式证明
反三角函数求导公式证明
反三角函数指三角函数的反函数，由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。
接下来给大家分享反三角函数的导数公式及推导过程。
反三角函数的导数公式
d/dx(arcsinx)=1/√(1-x^2);x≠±1
d/dx(arccosx)=-[1/√(1-x^2)];x≠±1
d/dx(arctanx)=1/(1+x^2);x≠±i
d/dx(arccotx)=-[1/(1+x^2)];x≠±i
反三角函数的导数公式推导过程
反三角函数的导数公式推导过程是利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元
比如说，对于正弦函数y=sinx，都知道导数dy/dx=cosx
那么dx/dy=1/cosx
而cosx=√(1-(sinx)^2)=√(1-y^2)，所以dx/dy=√(1-y^2)
y=sinx 可知x=arcsiny，而dx/dy=1/√(1-y^2)，所以arcsiny的导数就是1/√(1-y^2)
再换下元arcsinx的导数就是1/√(1-x^2)
反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。
反三角函数求导公式的证明
反三角函数求导公式的证明§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且)(1)(y x f ϕ'=' (1)证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知0)()(≠-∆+=∆x f x x f y于是y xx y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y)(11lim lim00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 1112113122x x arctgx x a x a x '=-'=+'=证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -='证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)tgy x = 在 I y 上单调、可导且0cos 12>='y x 故2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='='证3a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='='类似地，我们可以证明下列导数公式：(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1111122二、复合函数的求导法则如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==证明：因)(lim00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y用0≠∆x 去除上式两边得：x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆αx u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α)()(00x u f ϕ'⋅'=即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且dx du du dy dx dy ⋅= (2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。
反三角函数导数公式及推导过程
反三角函数导数公式及推导过程反三角函数导数公式及推导过程：反三角函数即为三角函数的反函数，将x和y的位置互换，此时y为自变量（即角度），x为y的函数，在将其化为x为自变量，y为x的函数的形式，得到的即是反三角函数。
反三角函数导数公式及推导过程反函数求导方法:若F(X),G(X)互为反函数,则: F'(X)*G'(X)=1E.G.:y=arcsinx x=sinyy'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)其余依此类推反正弦函数正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
反余切函数余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
反函数、复合函数的求导法则
类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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结束
复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
dy dx
=
dy du
du dx
，或 y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x 2 ) 3 ]
三角函数反函数的导数
三角函数反函数的导数三角函数的反函数是指反正弦、反余弦和反正切函数，分别记为sin<sup>-1</sup>(x)、cos<sup>-1</sup>(x)和tan<sup>-1</sup>(x)。
这些函数的导数在微积分中具有重要的应用，特别是在求解许多复杂问题时。
1. 反正弦函数（sin<sup>-1</sup>(x)）的导数：反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
其导数可以通过链式法则得到。
首先，取y = sin<sup>-1</sup>(x)，那么sin(y) = x。
对上式求导，得到cos(y) * dy/dx = 1解得 dy/dx = 1/cos(y)。
利用三角恒等式cos<sup>2</sup>(y) + sin<sup>2</sup>(y) = 1，替换cos(y)的平方，得到：dy/dx = 1/√(1 - sin<sup>2</sup>(y)) = 1/√(1 -x<sup>2</sup>)所以，sin<sup>-1</sup>(x)的导数是1/√(1 - x<sup>2</sup>)。
2. 反余弦函数（cos<sup>-1</sup>(x)）的导数：反余弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[0,π]。
其导数也可以通过链式法则得到。
取y = cos<sup>-1</sup>(x)，那么cos(y) = x。
对上式求导，得到-sin(y) * dy/dx = 1解得 dy/dx = -1/sin(y)。
利用三角恒等式sin<sup>2</sup>(y) + cos<sup>2</sup>(y) = 1，替换sin(y)的平方，得到：dy/dx = -1/√(1 - cos<sup>2</sup>(y)) = -1/√(1 -x<sup>2</sup>)所以，cos<sup>-1</sup>(x)的导数是-1/√(1 - x<sup>2</sup>)。
二、反函数的求导法则
1 = 1 = 1 = 12. (tan y)′ sec2 y 1+ tan2 y 1+ x (arccot x)′=− 1 2 . 类似地有: 1+ x (arctanx)′ =
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三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y且其导数为
(1) (C)′=0, (2) (xµ)′=µ xµ−1, (3) (sin x)′=cos x, (4) (cos x)′=−sin x, (5) (tan x)′=sec2x, (6) (cot x)′=−csc2x, (7) (sec x)′=sec x⋅tan x, (8) (csc x)′=−csc x⋅cot x, (9) (a x)′=a x ln a, (10) (e x)′=ex,
(11) (loga x)′= 1 , xln a (12) (ln x)′= 1 , x (13) (arcsinx)′= 1 , (arcsinx 1−x2 (14) (arccosx)′=− 1 , 1−x2 (15) (arctanx)′= 1 2 , 1+x (16) (arccotx)′=− 1 2 . 1+x
详细证明 下页
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
dy 例7 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx
解
函数 y =sin
2x 2x 是由 y=sin u , u = 复合而成的, 2 2 1+ x 1+ x
sin1 例11 y =e x ．
dy , 求 . dx
1 dy sin1 sin 1)′=esin1 ⋅cos 1 ⋅(1)′ x 解 =(e x )′ =e x ⋅(sin x x dx x 1 ⋅esin1 ⋅cos 1 x =− 2 . x x
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反三角函数求导公式的证明
§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可
导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可
导的，而且
)(1
)(y x f ϕ'=' (1)
证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆
由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y
于是
y x
x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y
)(11lim lim
00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11
1211312
2
x x arctgx x a x a x '=-'=+'=
证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数
函数 y x sin =在
)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0
因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=
' 注意到，当)2,2(π
π-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -=
'
证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)
tgy x = 在 I y 上单调、可导且
0cos 12>='y x 故
2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=
'
证3
a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=
'
类似地，我们可以证明下列导数公式：
(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1
11112
2
二、复合函数的求导法则
如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为
)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
证明：因)(lim
00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y
用0≠∆x 去除上式两边得：
x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0
由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：
00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00
==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α
x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α
)()(00x u f ϕ'⋅'=
即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：
若u x =ϕ()在开区间I x 可导，
y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且
dx du du dy dx dy ⋅= (2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：
弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。
【例2】}])([{x f y φϕ=，求 dy dx
引入中间变量， 设 v
x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =() 变量关系是 y u v x ---，由锁链规则有：
dy dx dy du du dv dv dx =⋅⋅
(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。
还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。
【例3】求y x =sin 2的导数dy
dx 。
解：设 u x =2，则y u =sin ，u x =2，由锁链规则有：
dy dx dy du du dx u x u x =⋅='⋅'=⋅=(sin )()(cos )cos 2222
【例4】 设 y tg
x =ln 2，求dy dx 。
由锁链规则有 dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=21cos 112⋅⋅=v u
(基本初等函数求导)212cos 1212⋅⋅=x x tg ( 消中间变量) x sin 1
=
由上例，不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。
然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。
请看下面的演示过程：
)2(2cos 121)2(21)2ln (2
'⋅⋅='⋅='=x x x tg x tg x tg x tg dx dy
x
x x tg x x x tg sin 122cos 21)(212cos 1
2122=⋅⋅='⋅⋅⋅= 【例5】证明幂函数的导数公式 1)(-⋅='μμμx x ，(μ为实数)。
证明：设y x e x
==⋅μμln
1
ln ln 1)ln (-⋅=⋅⋅='⋅='μμμμμμx x
e x e y x x。