高中数学新人教A版选修1-1学案附答案第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中3.3.3函数的最大小值与导数

高中数学新人教A 版选修1-1学案附答案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数

学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值

如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．

思考：若函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，

b ]上的最大值吗？

[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．

(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．

( )

(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．

( ) (4)函数f (x )＝1

x

在区间[－1,1]上有最值．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．函数f (x )＝x 3

－3x 2

＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4

C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]

3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π的最大值是( ) 【导学号：97792160】

A ．π－1 B.π

2

－1 C ．π D ．π＋1

C [y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

求函数的最值

(1)f (x )＝2x 3

－3x 2

－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2

)，x ∈[2,5]．

[解] (1)f ′(x )＝6x 2

－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2， 又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8， 所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12. 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2

， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x

x ) ＝－e x (x 2

＋2x －3) ＝－e x

(x ＋3)(x －1)．

∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x

(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2

；

x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.

[规律方法] 求函数在闭区间上最值的步骤 第一步 求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0 第二步 确定在闭区间上方程f ′(x )＝0的根 第三步 求极值、端点值，确定最值． 1．求下列各函数的最值．

(1)f (x )＝－x 3

＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2

－54x

(x ＜0)．

[解] (1)f ′(x )＝3－3x 2

＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x －3

(－3， －1) －1 (－1， 1) 1 (1,3) 3 f ′(x )

－ 0 ＋ 0 － f (x )

↘

极小值

↗

极大值

↘

－18

所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54

x

2.

令f ′(x )＝0，得x ＝－3.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x (－∞，－3)

－3 (－3,0) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )

↘

极小值

↗

所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.

含参数的函数的最值问题

已知a 是实数，函数f (x )＝x 2

(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值.

【导学号：97792161】

[思路探究] 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值． [解] f ′(x )＝3x 2

－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.

当2a

3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .

当2a

3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a

3

＜2，即0＜a ＜3时，

f (x )在⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤2a 3

，2上单调递增，

从而f (x )max ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

8－4a ，0＜a ≤2

，

0，2＜a ＜3，