矩阵位移法-第一讲.
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10.1 概述 力法和位移法都是传统的结构力学基本方法， 适合于手算计算。 电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计 算机编程。 杆件结构的矩阵分析——杆有限元法 1) 把结构分解为有限个较小的单元，即进 行所谓离散化。 分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩 阵——单元分析。
2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
根据结点处的变形协调
1 2 3 4
2① 2② 2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
① ① ② ② F2 k21 1 k22 k22 2 k23 3
e
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。 为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量 4个结点
1 2 3 4
u1 u2 1 v1 , 2 v2 1 2
F1 Fx1 Fx 2 F 2 F F1 F , F y1 Fy 2 2 M M F3 1 2 F4
e
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F k
e e
e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F TF
e
e
杆端位移
T
e
e
T
1
T
T
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
F e k e e
F2 F F
① 2
② 2
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
① ① ① ① F2① k21 1 k22 2 ② ② ② ② F2② k22 2 k23 3
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。
这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。 而连续化的问题仅仅适用于手算计算
10－2 单元刚度矩阵
12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e Fsj 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l
e
6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e M sj 2 vi i 2 v j j l l l l
加权残数 高斯1795 伽辽金1909 Biezenokoch 1923
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
定向连续单元
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差
Varga 1962
Argyris 1949 Turner 1956
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
e F F xj Fe Fe e Fi F yj j M e M j
e xi e yi e i
i
e kii e k k e ji
j
e i kij j kwenku.baidu.com jj
e u xj u xi e e e e i v yi j v yj e e i j
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是： 计算每一个单元的力和位移的关系
根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差 Richardson 1910 Liebman 1918
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件：
F
x
0
F
y
0
M 0
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② 矩阵形式 Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e k e e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
e Fi e kii F e k e j ji e ie kij e ke jj j
2) 把各单元又集合成原来的结构，这就要各单 元满足原结构的集合条件。——整体分析。
根据结点处的变形协调
1 2 3 4
2① 2② 2
1① 1 3③ 3
代入F2
得到以位移表示的结点2的平衡方程
① ① ② ② F2 k21 1 k22 k22 2 k23 3
e
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
10-4 结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。 为了很好的统计未知量并建立各个结点之间 的联系关系，需要对单元和结点进行编号
自顶向下，逐步求精。
确定位移分量和力分量 4个结点
1 2 3 4
u1 u2 1 v1 , 2 v2 1 2
F1 Fx1 Fx 2 F 2 F F1 F , F y1 Fy 2 2 M M F3 1 2 F4
e
写出力和位移的关系
这称为单元的刚度方程
F k
e e
e
需要将单元在局部坐标 下的刚度距阵变换到整 体坐标下的刚度距阵
10－3 单元刚度距阵的坐标变换
杆端力的变换
写成矩阵形式
F TF
e
e
杆端位移
T
e
e
T
1
T
T
局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：
F e k e e
F2 F F
① 2
② 2
F2 F2① F2②
求杆端力向量F
Fi k k e Fj k k
e e e ii i e e ji i e ij e jj e j e j
① ① ① ① F2① k21 1 k22 2 ② ② ② ② F2② k22 2 k23 3
有限元简介
人类思维的局限性难以 把握越来越复杂的事物！
离散化的思想
1. 把整个系统分割成独立的“成分”或者“单 元”。
2. 然后把这些独立的“成分”重新组装还原 为原系统，研究原系统的性质。
这种普通的方法常常被工程师、科学家、 甚至是经济学家使用。
两种思维方式
使用有限数量的定义明确的“成分”建立模 型——离散化 在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或 者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限 个单元） 随着计算机的发展，离散化的处理 问题可以比较容易的解答，即使单 元的数量非常多。 而连续化的问题仅仅适用于手算计算
10－2 单元刚度矩阵
12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e Fsj 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l
e
6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e M sj 2 vi i 2 v j j l l l l
加权残数 高斯1795 伽辽金1909 Biezenokoch 1923
Hrenikoff 1941 McHenry 1943 Newmark 1949
定向连续单元
精确的连续 测试函数
柯朗 1943
变分有限差
Varga 1962
Argyris 1949 Turner 1956
现在的有限元方法
第十章 矩阵位移法
e F F xj Fe Fe e Fi F yj j M e M j
e xi e yi e i
i
e kii e k k e ji
j
e i kij j kwenku.baidu.com jj
e u xj u xi e e e e i v yi j v yj e e i j
过度的简化实际情况
工程师和数学家都在为能够解 决现实中连续化的问题而努力
工程师处理结构问题的一个标准方法是： 计算每一个单元的力和位移的关系
根据结构在“结点”或者“连接处”的局部 平衡方程建立总体平衡方程
测试函数
有限差 Richardson 1910 Liebman 1918
变分法
瑞雷法1870 李兹法1909 结构类比替代法
考虑结构各个结点处的平衡条件
2结点处的平衡条件：
F
x
0
F
y
0
M 0
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② 矩阵形式 Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
① ② Fx 2 Fx 2 Fx 2 ① ② Fy 2 Fy 2 Fy 2 M M ① M ② 2 2 2
代入上面两个整体坐标和局部坐标 下杆端力和位移的转换公式：
TF e k eT e
两边同时左乘T-1
F e T 1k eT e F e k e e
由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我 们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。
e Fi e kii F e k e j ji e ie kij e ke jj j