物质波函数
§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
物质波
概念由来
1
基本概念
2
粒子观点
3
波动观点
4
补充资料
5
实验证明
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波 动规律的支配。
比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点 几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最 大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不 可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。
合并图册
量子力学认为物质没有确定的位置，在不测量时，它出现在哪里都有可能，一旦测量就得到它的其中一个本 征值即观测到的位置。对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表 现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动 量，位置测量越准，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根 据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期 变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。
波函数及薛定谔方程
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理 量的波动，不描述介质中运动状态（相 位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的 。
二、薛定谔方程： 是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即 一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程
物质波及其统计诠释波函数
物质波的发现
德布罗意提出
1924年，法国物理学家路易·德布罗 意提出所有微观粒子都具有波动性质 ，即物质波。
实验验证
随后，科学家们通过双缝干涉实验等 证实了微观粒子具有波动性质，证明 了德布罗意的物质波理论。
物质波的应用
粒子探测
01
物质波的干涉和衍射现象可用于探测微观粒子的位置和动量。
光学仪器
02
03
波函数是量子力学中的基本概念，是描述微观世界的
基本工具之一。
04
物质波与波函数的关系
物质波与波函数的联系
物质波描述了微观粒子在空间 中的分布和运动状态，而波函 数是描述粒子状态的数学工具。
物质波的幅度和相位可以通 过波函数来描述，波函数的 模方表示粒子在某一位置出
现的概率密度。
物质波和波函数都遵循波动方 程，如薛定谔方程，描述了粒 子在时间和空间中的行为。
03
物质波与其他物理现象的交叉研究
物质波与光学、电磁学等领域有密切的联系，未来将有更多跨学科的研
究，以探索物质波与其他物理现象的相互作用和相互启发。
物质波及其统计诠释在未来的应用前景
量子信息处理
利用物质波的干涉和衍射等性质，可以实现量子比特的控制和操 作，为量子计算和量子信息处理提供新的工具和手段。
物质波及其统计诠释波函数
目录
• 物质波的简介 • 物质波的统计诠释 • 波函数的介绍 • 物质波与波函数的关系 • 物质波及其统计诠释波函数的发
展前景
01
物质波的简介
物质波的概念
物质波
与机械波不同，物质波是微观粒子如 电子、光子等具有的波动性质。
德布罗意波长
物质波的波长λ=h/p，其中h是普朗克 常数，p是粒子的动量。
波函数及其物理意义
2
，在三维空
1.自由粒子的波函数 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中 作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
h E 对应的德布罗意波具有频率和波长： , h P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
5
2.波函数的物理意义 为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较： 1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。 用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在 衍射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值， 在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。 2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
i Et
定态波函数所描写的状态称为“定态”。 如果粒子处于定态，则有：
i Et 2 2 2 | (r , t ) | | (r )e | | (r ) |
15
粒子在空间某处出现的几率不随时间而改变 ——这是定态的一个重要性质。
在解决实际问题中，感兴趣的不是波函数本身， 而是它的模的平方。 如果粒子处于定态，求出波函数的空间部分 (x,y,z) 一般来说已完全够用了，而不必再去考虑时 间因子。因此，我们通常把 (x,y,z) 称为“振幅波函 数”，甚至干脆称为“定态波函数”。
12-4 12-5物质波及其统计诠释,波函数
质子、中子、原子、分子…也有波动性
9
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
10
波粒二象性是普遍的结论
宏观粒子也具有波动性
m大
0
例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹
h h 6.63 1034 2.21 10 m P m 0.01 300
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
33
i px
自由粒子波函数：
( x ) Ae
三维：
( r ) Ae
2 2
i px
p>0：向右
p<0：向左
i p r
概率密度： A const.
空间位置完全不确定，动量取确定值
分析: 原子线度 r ∼ 10 -10 m 若电子Ek = 10eV 则
由不确定关系有 ΔP 2Δr
2E 6 10 m /s m
ΔP Δ 6 105 m/s m 2m Δr
轨道概念不适用! 代之以电子云概念
24
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
p const.
【思考】自由粒子波函数能归一化吗？
34
5、状态叠加原理 量子力学要求：若体系具有一系列互异的可 能状态 1，2 ，则它们的线性组合
C n n
也是该体系的一个可能的状态。展开系数Cn 为 任意复常数。
若叠加中各状态间的差异无穷小， 则应该用 积分代替求和： C d
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
15-8 物质波函数
量子力学简介
一
波函数及其统计解释
1 波函数
由于微观粒子具有波粒二象性，其位 置与动量不能同时确定. 所以已无法用经典 物理方法去描述其运动状态.
用波函数来描述微观粒子的运动.
第十五章
量子物理
1
1924年，德布罗意提出了实物粒子的波粒二像性。 既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数— — 波函数
Ш.波函数的归一性
在整个空间，一个粒子出现的概率总和必须为1 2 归一化条件 r , t dV 1
3 若 A r d r A
2
则
( 全空间)
1 A r d 3 r 1 A
2
Hale Waihona Puke Ⅳ.波函数的连续性1 A
归一化因子
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数 是连续的 以上要求称为波函数的标准化条件
解：利用归一化条件
( x 0, x a) (0 x a )
( x )
2
2
dx
a
0
A2 a 2 A sin dx 1 a 2
2 x
A
2 a
0 2 2 x a sin a
( x 0, x a) (0 x a )
15-8
(1) 奥地利物理学家薛定谔（E．Schrö dinger，1887－ 1961）1925年提出用波函数Ψ(r, t)描述粒子运动状态。
机械波 y ( x,t ) A cos 2 π (t
x
)
y( x, t ) Ae
( x ,t )
i2π( t )
x
物质波文档
物质波物质波是一种波动现象，它是在量子力学中描述微观粒子行为的重要概念。
物质波的存在由法国物理学家路易斯·德布罗意在1924年提出的德布罗意假说首次引入。
该假说认为，微观粒子（如电子、中子等）不仅具有粒子性质，还具有波动性质。
这项理论在随后的实验证据中被证实，并成为量子力学的基础之一。
德布罗意假说德布罗意假说是德布罗意在他1924年的博士论文中提出的。
他认为，微观粒子具有波动性质，且其波长由德布罗意波长公式确定：λ = h / p其中，λ表示波长，h表示普朗克常数，p表示粒子的动量。
这个公式表明，粒子的波长与其动量成反比，即动量越大，波长越短。
德布罗意假说的一个重要推论是，粒子的能量也具有波动性质。
能量波长的表达式为：λ = h / E其中，E表示粒子的能量。
根据这个公式，能量越高，波长越短。
实验验证德布罗意的假说并不是凭空提出的，而是经过实验证据的支持。
其中最有名的实验证据是戴维逊-革末尔实验，该实验于1927年进行。
实验使用一束电子束通过一块晶体，在屏幕上形成干涉图样。
这个实验结果清晰地显示出电子具有波动特性，验证了德布罗意的假说。
除了电子，其他微观粒子，如中子、质子等也被发现具有波动性质。
这些实验证据进一步支持了德布罗意的假说，并将其固定在量子力学的基础理论中。
物质波的性质物质波与光波的行为有很多相似之处，但也有一些独特的性质。
以下是一些与物质波相关的性质：波粒二象性物质波既具有粒子性质，又具有波动性质，这种性质被称为波粒二象性。
它意味着微观粒子的行为无法简单地用传统的经典物理学概念来描述，而需要借助量子力学的框架。
干涉和衍射与光波类似，物质波也会表现出干涉和衍射的现象。
干涉是指两个或多个波相遇并叠加产生干涉图样的现象。
衍射是指波通过障碍物或孔径时产生弯曲的现象。
粒子在空间中表现出驻波性质当物质波在空间中来回传播时，会形成驻波，即波节点和波腹的分布。
这个性质与在弦上产生的驻波类似，但在微观尺度上发生。
物质波的波函数
物质波的波函数从深入的物理学角度，我们经常会遇到波函数的提及。
在细微的物理系统中，物质被描述为波，可以用波函数（wave function）表示。
函数是指将函数概念用于描述物质波的解析法，可以用它来描述物质的性质和行为。
这种方法建立在量子力学的基础之上，该理论通过考虑物质的波形特性，建立了特定场合下物质波作用的基本规律。
物质波的基本定义：物质波是指一种振动或波荡的运动，它在物质的某一空间区域中以振动的形式传播而传播。
物质波的波函数描述了物质波的特性和行为，这是一种多变量的函数，可以用波函数表示。
波函数由一些普遍存在的数学实体组成，这些实体可以描述某些特定运动状态的物质波，比如平衡态、静止状态和运动状态。
它们可以用来描述物质波的空间模式、位置和运动轨迹。
此外，还可以计算波的波长和频率，从而得出某一特定物质波的特性及其作用于一定领域的效果。
波函数以实数形式表示，即Ψ（x,t），其中t表示时间，x表示物质波的空间模式。
它可以用来描述一个粒子的空间分布和运动轨迹，也可以用来描述物质波的映射关系，即两个粒子在空间上的位置关系。
波函数有多种形式，比如坐标变换、四元数等，但该函数的基本特征是一致的：它是空间局域的，即它只在有限的位置上有定义，它的定义域是有限的；它的变化是按照一定的空间分布模式发生的；它的变化是连续的，而且其值可以任意改变。
此外，物质波的波函数还可以用来描述一些量子力学系统的性质和行为。
量子力学是主要用于描述微观粒子系统，如原子核、元素和原子，以及一些更高级的原子分子或化合物系统的物理学理论。
量子力学说到底是一种波动理论，它是基于物质波的波函数的，可以用它来描述粒子的运动和变化以及一些量子力学系统的性质和行为。
研究者通过分析物质波的波函数，构建出量子力学的基本模型。
另外，物质波的波函数还可以用来研究空间的相关性，即多个物质波之间的关联性。
量子力学和相关性研究已经形成了一个实质性的科学研究领域，研究者通过研究物质波的波函数来探索它们之间的相关性，也因此构建出复杂的量子力学模型。
物质波波函数的物理意义
物质波波函数的物理意义
物质波函数是量子力学中重要的一个概念，当物体处于量子力学效应的影响下时，其状态是由这个物质波函数确定的。
其物理意义主要表示的是物体的可能态，也就是说，物质波函数告诉我们物体可能处于何种状态。
另外，物质波函数还可以应用到物理量的确定上，包括物体的位置、速度等物理量。
物质波函数的定义是波函数由粒子的能量级别和调和关系式推导而来，可以用来描述由量子力学定义的物理量。
该函数对粒子的能量级别有一定要求，即每一个能级都有一个由它描述的函数，因此，在变量或参数变化时，能级也会相应变化，每一个能级所对应的函数也会相应变化。
物质波函数可以用来求解物理量，包括粒子的位置、速度和其他参数，它们都是由物质波函数的变化来求解的。
例如，当应用物质波函数求解粒子的位置，可以得出粒子在时间长度T内的平均位置R(T)，而粒子的期望位置X的平均位置P(x)则可以由R(T)中的求解得出。
另外，物质波函数还可以应用于量子力学效应的研究中，如量子隧穿、粒子衰变等，它们可以用来确定物体在某个时间段内是否发生引力、电磁场使其发生改变。
总之，物质波函数不仅可以用来确定物体的能级，也可以求解粒子的位置、速度等物理性质，还可以用来研究量子力学效应的关系；这也是它受欢迎的原因所在。
物质波的公式
物质波的公式物质波，这玩意儿听起来好像挺玄乎，但其实没那么可怕。
咱们先来说说啥是物质波。
简单来讲，物质波就是一种描述微观粒子波动性的概念。
说到微观粒子，大家可能首先想到的是电子、质子、中子这些小家伙。
就拿电子来说吧，你可能觉得它就是个小圆球，在原子里乖乖地转圈圈。
但实际上，它还具有波动性呢！物质波的公式是λ=h/p ，这里的λ是物质波的波长，h 是普朗克常量，p 是粒子的动量。
咱们来举个例子感受一下这个公式的神奇。
想象一下，你在一个特别高级的实验室里（别担心，这只是想象，不用真的去），有一台超级厉害的电子显微镜。
通过这台显微镜，你能观察到电子的运动。
假设一个电子以一定的速度在飞，咱们就能根据它的速度和质量算出它的动量 p 。
然后呢，再用普朗克常量 h 去除以这个动量，就能得到物质波的波长λ啦。
我还记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙举起手说：“老师，这物质波看不见摸不着的，有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“这用处可大啦！比如说在半导体制造中，咱们要精确控制电子的行为，就得考虑物质波的特性。
还有那些超级厉害的量子计算机，也离不开对物质波的研究呢。
”那物质波的发现对咱们的生活到底有啥影响呢？比如说，现在越来越厉害的电子设备，像手机、电脑，它们能变得越来越小、性能越来越强，这背后都有物质波的功劳。
还有医疗领域的一些高级设备，也是基于对物质波的深入理解才研发出来的。
再往深了说，物质波的概念让我们对世界的认识有了巨大的改变。
以前我们觉得世界就是由实实在在的东西组成的，可物质波告诉我们，微观世界里的粒子还有着神秘的波动性。
这就像是打开了一扇通往未知世界的大门，让我们不断地去探索、去发现。
总之，物质波的公式虽然看起来简单，但它背后蕴含的道理可深着呢！咱们得好好琢磨琢磨，说不定哪天就能靠着对它更深入的理解，让咱们的生活变得更加美好。
不知道通过我这一通说，您对物质波的公式是不是有了那么一点点更清晰的认识呢？。
大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程
0.091
例：试求在一维无限深势阱中n=1粒子概率密度的最大值的位置。
解：一维无限深势阱中n=1粒子的概率密度为
1(x)
2
2 a
sin2
a
x
n (x)
d 1(x) 2
dx
4
a2
sin
a
x
cos
a
x0
2 sin n x
aa
因为粒子在阱内，则
sin
a
x
0
cos
a
x
0
a
x
2
由此解得最大值得位置为
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
例：作一维运动的粒子被束缚在 0 x的 a范围内。已知其波函数
移动原子
六、一维简谐振子
微观领域中分子的振
动、晶格的振动、，都
可以近似地用简谐振子模
型来描述 。
一维简谐振子的经典模型
一维简谐振子的势函数：
U (x) 1 kx2 1 m2x2
2
2
k m,
m —— 振子质量， —— 固有频率，x —— 位移
相应的定态薛定谔方程为 ：
2 d2 1 m 2 x2 E
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2
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a A2 sin2 x dx A2a 1
0
a
2
A
2 a
0
2
2 a
sin2 x
a
(x 0, x a) (0 x a)
15-8 量子力学简介
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学，并建立 了量子力学的近似方法 .
t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
2 dV dV dV dxdydz
2 dxdydz 1 波函数归一化条件 V
如果波函数不是归一化函数， 2 仍然和几率 成比例，称为相对几率密度
3 、波函数的标准条件：单值、有限和连续
Ⅰ.波函数的单值性
dV
1
归一化条件
若
A r 2d3r A
则
1 A
Ar2d Nhomakorabea3
r
1
( 全空间)
Ⅳ.波函数的连续性
1 归一化因子
A
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数 是连续的
以上要求称为波函数的标准化条件
物质波与经典波的本质区别
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。 2 可测量，具有物理意义
波函数物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般 是不可测量的。
波函数模的平方 2 可测量，具有物理意义
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
（2）归一化波函数模的平方表征了t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率(几率）密度
2 ( x, y,z,t )
1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
第十五章 量子物理
10
15-8 量子力学简介
一 波函数及其统计解释
1 波函数 由于微观粒子具有波粒二象性，其位 置与动量不能同时确定. 所以已无法用经典 物理方法去描述其运动状态. 用波函数来描述微观粒子的运动.
第十五章 量子物理
1
1924年，德布罗意提出了实物粒子的波粒二像性。 既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数— — 波函数
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
2、物质波是概率波。 等价 C
对于经典波
A CA E C2E
例：求波函数归一化常数和概率密度。
0
x
i Et
Ae
sin
a
x
解：利用归一化条件
( x0,xa) (0 xa)
( x ) 2 dx
(1) 奥地利物理学家薛定谔（E．Schrödinger，1887－
1961）1925年提出用波函数Ψ(r, t)描述粒子运动状态。
机械波 y(x,t) Acos2π(t x )
i2π( t x )
y(x,t) Ae
只取实部
( x,t ) 0 区别于经典波动
i2π( t x )
——0为待定常数
(І) 若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
(r,
t)
i(
0e
pr E
t)
波函数的物理意义是什么？
i ( Et px )
自由粒子的物质波波函数 ( x ,t ) 0e
1926年，德国物理学玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一 定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间 分布却服从一定的统计规律。
2 ( x, y,z,t )
根据波函数统计解释, 一个粒子在t时刻， 在空间中任意一点出现的概率（概率密度） 是确定的。
Ⅱ.波函数的有限性
根据波函数统计解释,在空间任何有限体积 元中找到粒子的概率必须为有限值.
Ш.波函数的归一性
在整个空间，一个粒子出现的概率总和必须为1
r,
t
2
(x,t) 0e
i2π( t x )
(x,t) 0e
按德布罗意假设：能量E、动量 p 的“自由粒子”
沿x方向运动时, 对应的物质波应为“单色平面波”：
考虑到微观粒子的波粒二象性 可将波函数改写为:
E h
h
p
i (Et px)
(x, t) 0e