第二章习题答案与解答
第二章 习题答案
第二章 需求、供给和均衡价格2. 假定表2—1(即教材中第54页的表2—5)是需求函数Q d ＝500－100P 在一定价格范围内的需求表：表2—1某商品的需求表 价格(元) 1 2 3 4 5需求量 400 300 200 100 0(1)求出价格2元和4元之间的需求的价格弧弹性。
(2)根据给出的需求函数，求P ＝2元时的需求的价格点弹性。
(3)根据该需求函数或需求表作出几何图形，利用几何方法求出P ＝2元时的需求的价格点弹性。
它与(2)的结果相同吗？解答：(1)根据中点公式e d ＝－ΔQ ΔP ·P 1＋P 22,Q 1＋Q 22)，有e d ＝2002·2＋42,300＋1002)＝1.5(2)由于当P ＝2时，Q d ＝500－100×2＝300，所以，有e d ＝－d Q d P ·P Q ＝－(－100)·2300＝23(3)根据图2—4，在a 点即P ＝2时的需求的价格点弹性为e d ＝GB OG ＝200300＝23或者 e d ＝FO AF ＝23图2—4显然，在此利用几何方法求出的P ＝2时的需求的价格点弹性系数和(2)中根据定义公式求出的结果是相同的，都是e d ＝23。
3. 假定表2—2(即教材中第54页的表2—6)是供给函数Q s ＝－2＋2P 在一定价格范围内的供给表：表2—2某商品的供给表 价格(元) 2 3 4 5 6供给量 2 4 6 8 10(1)求出价格3元和5元之间的供给的价格弧弹性。
(2)根据给出的供给函数，求P ＝3元时的供给的价格点弹性。
(3)根据该供给函数或供给表作出几何图形，利用几何方法求出P ＝3元时的供给的价格点弹性。
它与(2)的结果相同吗？解答：(1)根据中点公式e s ＝ΔQ ΔP ·P 1＋P 22,Q 1＋Q 22)，有e s ＝42·3＋52,4＋82)＝43(2)由于当P ＝3时，Q s ＝－2＋2×3＝4，所以，e s ＝d Q d P ·P Q ＝2·34＝1.5。
广东海洋大学 第二章习题及答案
一、单选题1.两种不同的商品能够按照一定比例进行交换的原因是：A.它们都有价值（）B.它们都有效用（）C.它们都有交换价值（） C.它们都是劳动产品（）2.具体劳动和抽象劳动是：A.生产商品过程中的两次劳动（）B.生产商品的两种劳动（）C.生产商品同一劳动的两个方面（）D.生产商品的先后两次劳动（）3.商品价值的实体是：A.抽象劳动（）B.交换价值（）C.私人劳动（）D.社会劳动（）4.简单商品经济的基本矛盾是：A.使用价值与价值的矛盾（）B.私人劳动与社会劳动的矛盾（）C.具体劳动与抽象劳动的矛盾（）D.个别劳动与集体劳动的矛盾（）5.货币的本质是：A.带来剩余价值的价值（）B.商品交换的媒介物（）C.稳定地充当一般等价物的商品（）D.流通手段（）6.形成商品价值的抽象劳动的特点是：A.反映人与自然的关系（）B.反映商品生产者之间社会关系（）C.是永恒的经济范畴（）D.是商品生产特有的历史范畴（）7.商品价格变动的影响因素是：A.商品价格与本身的价值成反比例变化（）B.以交换价值为基础而变动（）C.商品价格与本身的价值成正比例变化（）D.受市场供求关系变化的影响（）二、多选题1.劳动生产率的两种表示方法是：A.单位时间生产的产品数量（）B.劳动生产力与使用价值量的比例（）C.单位产品所消耗的劳动时间（）. 社会必要劳动与个别劳动的比例（）2.货币的基本职能是：A.价值尺度（）B.贮藏手段（）C.流通手段（）D.支付手段（）3.一定时期流通过程中所需要的货币量是：A.与待实现的商品价格总额成正比（）B.与货币流通速度成反比（）C.与待实现的值品价格总额成反比（）D.与货币流通速度成正比（）4．从对价值形式发展的分析中可以看出：A.在简单价值形式中已经孕育着货币胚芽 ( )B.货币是商品生产和交换发展到一定阶段的产物( )C.货币的本质是一般等价物( )D.货币本身是商品具有使用价值和价值( )5.商品生产的内在矛盾是：A.具体劳动和抽象劳动的矛盾（）B.私人劳动和社会劳动的矛盾（）C.个别劳动时间和社会必要劳动时间的矛盾（）D.使用价值和价值的矛盾（三、名词解释1.商品使用价值2.交换价值3.价值4.具体劳动5．抽象劳动6.社会必要劳动时间7.简单劳动8.复杂劳动四、分析判断1.有使用价值的物品必定有价值；但有价值的东西不一定有使用价值。
第二章 习题参考答案(修正)
第二章 需求、供给与均衡价格(题目及习题解答)一、判断题1.需求曲线描述了:其它条件不变，市场需求量与价格之间的关系。
解答:√。
知识点：课本第14页倒数第3行。
2.以纵轴代表价格，横轴代表数量，如果两条需求曲线通过同一点，则在那一点处，较陡的那条的弹性更大。
解答：×。
知识点：(考察弹性的几何意义)课本21页公式2.6和22页6-15行。
应该是“较陡的那条的弹性更小”。
理由：图中，直线AC 、BD 分别为需求曲线1和需求曲线2,AC 比BD 陡峭。
AC 之上的E 点弹性等于|AE|/|CE|,而BD 之上的E 点弹性等于|BE|/|DE|。
不难判定，|BE|>|AE|,而|DE|<|CE|，所以|AE|/|CE|<|BE|/|DE|，即“在那一点处，较陡的那条的弹性更小”。
3.如果需求是一条倾斜的直线，则价格水平越高，需求的价格弹性（绝对值）越大。
解答：√。
知识点：两种解法。
第一种是利用弹性的几何意义，课本22页6-7行。
如左下图所示：D 点价格大于B 点，D 点弹性=|AD|/|CD|>B 点弹性=|AB| /|BC|；第二种利用21页公式2.6。
因为B 点和D 点都在同一条直线上，所以dQ/dP 都相同，而P2<P 1，Q 2>Q1。
2121E E B D P P dQ dQ dP Q dP Q =⋅<=⋅ 4.如供给是一条直线，则供给的价格弹性为常数。
解答：×。
26页2.10b 。
“供给的价格弹性不确定”。
设供给函数为P=a+b ·Q s ，则dQ s /dP=-1/b 2,5.需求曲线越陡峭，则供给的变化对价格的影响越大。
P=a 1+b 1·Q s ，需求曲线P=a 2-b 2·Q d 。
令Q *=Q s =Q d ，得P *=(a 1b 2+b 1a 2)/(b 1+b 2)。
需求曲线a 1变化而b 1不变（平行移动）。
第2章 部分习题答案
-7.2812510＝-111.010012 然后移动小数点，使其在第1，2位之间
111.01001＝1.1101001×22
e＝2
于是得到： e =Ｅ – 127
S＝1，E＝2＋127＝129=1000,0001，M＝1101001
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为
1100 0000 1110 1001 0000 0000 0000 0000
第二章 习题解答
7.若浮点数 x 的IEEE754标准32位存储格式为(8FEFC000 )16， 求其浮点数的十进制值。 【解】： 将x展开成二进制：
1000 , 1111, 1110 ,1111 ,1100,0000,0000,0000 数符：1 阶码：0001,1111 尾数：110,1111,1100,0000,0000,0000 指数e＝阶码－127＝00011111－01111111 ＝(-96)10 包括隐藏位1的尾数：
符号位为01，故运算结果未溢出。 x-y=1101
.
第5页
第二章 习题解答
20. 已知x和y，分别用带求补器的原码阵列乘法器、带求补器的补码阵 列乘法器和直接补码阵列乘法器计算x×y。
(1) x=0.10111 y=-0.器
[x]原=0.10111 [y]原=1.10011 乘积的符号位为： xf⊕yf=0⊕1=1 因符号位单独考虑，算前求补器的使能控制信号为0，经算前求补
+ [y]补 1 1. 0 0 1 0 1 1 1. 1 1 1 0 0
符号位出现“11”，表示无溢出，x-y=-0.00100
.
第3页
第二章 习题解答
13. 已知[x]补=1.1011000，[y]补=1.0100110，用变形补码计算 2[x]补+1/2[y]补=？，同时指出结果是否发生溢出。
物理化学 答案 第二章_习题解答
=
(0.3 × 48.66 +
0.7 ×12) KJ·mol-1
=
23.0KJ·mol-1
B
∑ ∑ ∑ S
2-2 已知当 NaCl 溶液在 1kg 水中含物质的量为 n（单位为 mol）的 NaCl 时，体积 V 随 n 的变化关系为：
V/m3 = 1.00138×10-3 + 1.66253×10-5n/mol +1.7738×10-3(n/mol)3/2 + 1.194×10-7(n/mol)2
求当 n 为 2mol 时 H2O 和 NaCl 的偏摩尔体积为多少？ 解：设水用“A”表示，NaCl 用“B”表示,由题意得：
1
⎜⎜⎝⎛
∂V ∂n B
⎟⎟⎠⎞ = 1.66253 ×10−5
+ 1.7738 ×10−3
×
3 2
1
× (n / mol) 2
+ 1.194 × 10−7
× 2(n / mol)
那么当 n=2 时，NaCl 的偏摩尔体积
VB
= 1.66253 × 10−5
+ 1.7738 × 10−3
×
3
×
2
1 2
mol·dm3 = 0.547mol·dm-3
bB
=
nB mA
=
wB M (1 − wB )
=
0.095 0.18 × (1 − 0.095)
mol·kg-1 = 0.583mol·kg-1
2-4 若将 25℃、101.325KPa 纯理想气体的状态定为气体的标准状态，则氧气的标准
熵 S1O =205.03J·K-1·mol-1，现改为 25℃、100Kpa 的纯理想气体作为气体的标准态，氧气
第二章 线性方程组习题答案与解答
第二章 线性方程组习题答案与解答习题二对于数字计算题，仅给出Maple 程序与答案.证明题答案仅供参考。
1.用消元法解下列方程组(1)1221231231321,22,353,22x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪--=⎪⎨-+=⎪⎪-++=-⎩ > A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]: b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,107-17-271234512245123452322,(2)3536,2228.x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-+=⎨⎪++--=⎩> A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]: b:=[2,6,8]: linsolve(A,b);(3) >A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);[],,- + 2c 1 - 32c 1c 1(4)> A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:b:=[2,3,5,-1]: linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,, + 1313c 1c 20- - + 432c 253c 1c 1 (5) > A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:b:=[1,-3,-4,-10]: linsolve(A,b,'r',c);[],,,-1-101(6)> A:=[[2,-4,5,3],[3,-6,4,2],[4,-8,17,11]]: b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2c 125c 2c 1c 2-75c 2(7)> A:=[[1,3,-2,-1],[2,6,-3,0],[3,9,-9,-5]]: b:=[3,13,8]:linsolve(A,b,'r',c);[],,, - 23c 1c 1-35(8)> A:=[[1,-1,2,-3,1],[2,-2,7,-10,5],[3,-3,3,-5,0]]: b:=[2,5,5]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,, + - + 53c 2c 353c 1c 2c 3c 1- + + c 343c 1132.当k 取何值时,下面的齐次线性方程组有非零解,并求出此非零解.> A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,k]]); E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]); k1:=solve(det(A)=0,k);A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,-3]]); b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥2-133-47-12k := E ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥100010001 := k1-3 := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥2-133-47-12-3 [],,-c 1c 1c 13. 当k 取何值时,下面的线性方程组无解?有解?,在方程组有解时,求出它的解..4.当a 取何值时,线性方程组1231231231,233,32x x x x x ax x ax x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有解时,求出它的解. 111111112330121.1320141a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1.1⎫⎪⎭123210,1,111111110131013100410011/41105/410010101/40101/4.0011/40011/41,1/4,1/4.10,1,111111110121012101410062a a x x x a a a a a a a a -==--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-≠≠--⎛⎫⎛ ⎪ +→+ ⎪ ⎪---+-⎝⎭⎝11110121.00(2)(3)2(2)(3)0,23,111111110121012100(2)(3)2003111111104/(3)01210101/(3)0011/(3)0011/(3)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎭-⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭-+≠≠≠---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+→+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭-+⎛⎫⎛ ⎪ →+→+ ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝即且时1231003/(3)0101/(3),0011/(3)3/(3),1/(3),1/(3).a a a x a x a x a ⎫⎪⎪⎪⎭+⎛⎫ ⎪→+ ⎪ ⎪+⎝⎭=+=+=+唯一解2a =时,312111111110121014100(2)(3)200001111105001410141.00000000,5,14.a a a a x c x c x c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-3,111111110121011100(2)(3)20005a a a a a =---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭时 方程组无解.5.已知向量(2,1,0,1),(1,4,2,3),αβ=-=-计算 (1)2αβ-;(2)1(3)2αβ+.> alpha:=[2,-1,0,1];beta:=[-1,4,2,3];2*alpha-beta;(1/2)*(alpha+3*beta);:= α[],,,2-101 := β[],,,-1423[],,,5-6-2-1 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,-12112356.设2(2,1,2,3),2(1,4,2,2),αβαβ+=+=--求,.αβ 求向量,.αβ解2(2,1,2,3),(1)2(1,4,2,2)(2).(1)224(4,2,4,6)(3),αβαβαβ+=⎧⎨+=--⎩⨯+= (3)(2)3(3,6,6,4),(1,2,2,4/3),(2,1,2,3)2(1,2,2,4/3)(0,3,2,1/3).(0,3,2,1/3),(1,2,2,4/3).ββααβ-===-⨯=--=--=7.已知向量123(3,2,0,1),(0,4,3,3),(1,6,5,8)ααα=-==-,而向量β满足1232()3(),βαβααβ-++=-求向量β. 解> alpha1:=[3,2,0,-1]; alpha2:=[0,4,3,3]; alpha3:=[-1,6,5,8];beta:=(1/6)*(2*alpha1-3*alpha2+alpha3);:= α1[],,,320-1 := α2[],,,0433:= α3[],,,-1658 := β⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,56-13-23-128.把向量β表示为其余向量的线性组合.(1) > beta:=[4,5,6];alpha1:=[3,-3,2]; alpha2:=[-2,1,2]; alpha3:=[1,2,-1];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a);:= β[],,456 := α1[],,3-32 := α2[],,-212:= α3[],,12-1:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥3-21-31222-1 [],,234123234.βααα=++(2)> beta:=[-1,1,3,1]; alpha1:=[1,2,1,1]; alpha2:=[1,1,1,2]; alpha3:=[-3,-2,1,-3];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a);:= β[],,,-1131:= α1[],,,1211 := α2[],,,1112 := α3[],,,-3-21-3:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥11-321-211112-3 无法表示.(3)> beta:=[1,0,-1/2]; alpha1:=[1,1,1]; alpha2:=[1,-1,-2]; alpha3:=[-1,1,2];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a,'r',c);:= β⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,10-12 := α1[],,111:= α2[],,1-1-2 := α3[],,-112:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥11-11-111-22 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,12 + 12c 1c 1取10c =得特解123121111,,0..2222x x x βαα====+9.向量β可由向量12,,,m ααα线性表示,但不能由向量组(I):121,,,m ααα-线性表示.记向量组121(II),,,,.m αααβ-试证m α不能由(I)线性表示,但可由(II)线性表示.证 如果m α可由(I)线性表示,那么12,,,m ααα就可以用(I)线性表示,又β可由向量12,,,m ααα线性表示,则β可由(I)线性表示,此与假设矛盾.故m α不能由(I)线性表示.由于β可由向量12,,,m ααα线性表示,故存在数1,,,m k k 使得1122.m m k k k βααα=+++(*)其中的0.m k ≠否则, 0,m k =将有112211.m m k k k βααα--=+++于是β可由121,,,m ααα-线性表示,与假设矛盾.故必有0.m k ≠由上面的(*),得1121211,m m m m mmk k k k k k k αβααα-=---- 即m α可由(II)线性表示.10.判定下列向量是线性相关,还是线性无关? (1)12(3,2,0),(1,2,1).αα==-123123(2)(1,1,1,1),(1,1,2,1),(3,1,0,1).(3)(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2).αααααα=-=--===-=-解 (1)线性无关.因为两个向量线性相关,必对应分量成比例. (2) 用123,,ααα做行向量组成矩阵,把矩阵用初等行变换化成阶梯形,非零行的行数如果小于向量数,则线性相关,等于行数,则线性无关.111111111121023231010232--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11110232,()2 3.0000r A -⎛⎫⎪→--=< ⎪⎪⎝⎭线性相关.(3)213112112311213017112311045112017,() 3.0023r A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-= ⎪⎪⎝⎭线性无关.11.已知向量组123(,2,1),(2,,0),(1,1,1).a a ααα===-试求a 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?线性无关?解 向量个数等于向量维数时,如果有字母出现,可考虑用相应行列式是否等于零,判断线性相关和线性无关.1221111111202002211121021111022003(2)(3)0.2, 3.a a a a a a a a aa a a a --=-=-+--+--=-+--=+-==-=2a =-或3时线性相关,否则线性无关.12.证明定理2.4:n 个n 维向量11112122122212(,,,),(,,,),,(,,,),n n n n n nn a a a a a a a a a ααα===线性相关的充分必要条件是行列式111212122120.n n n n nna a a a a a a a a =证 方程1122n n x x x o ααα+++=相当于齐次线性方程组1112121121222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(注意j x 的系数是第j 个向量的分量,而第i 个方程的系数是各个向量的第i 个分量)而此方程组有非零解的充分必要条件是行列式1121111121122222122212120.n n n n nnnnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a ==13.证明定理2.5: 定理 n +1个n 维向量线性相关. 证明 n +1个n 维向量都有线性表示121122(,,,),1,, 1.i i i in i i in n a a a a a a i n αεεε==+++=+1n +个向量用n 个向量线性表示，根据定理“若s 个向量用t个向量线性表示，s t >，则前面s 个向量向量必定线性相关”，(11)i i n α≤≤+线性相关. 14.如果向量组1,,s αα线性无关,试证向量组12sααα+++线性无关.证法一 第一个向量组记作I,第二个向量组记作II.II 显然可用I 线性表示,又111()()i i i ααααα-=++-++,I 可用II 线性表示,I~II,(II)(I).r r s ==II 的秩等于其向量个数,故II 线性无关. 证法二. 用PPT 文件中的下例中的方法.15.已知向量组123,,ααα线性无关,设1123(1)3,m βααα=-++21233123(1),(1)(1).m m m βαααβααα=+++=--++-试问当m 为何值时,向量组123,,βββ线性无关,?线性相关?解 由13题证法二得一般结论:当s 个向量的向量组I 可用s 个线性无关向量的向量组II 表示时,向量组I 线性相关的充分必要条件是表示对应的矩阵的行列式等于零.于是考察m 满足的方程 1311110.111m m m m -+=---- 13100111m m m m ----- 2123(4)(2)(2)0.0,2, 2.m m m m m m m m =--+=-+====-当0m =或2m =或2m =-时,123,,βββ线性相关,当0m =且2m =且2m =-时, 123,,βββ线性无关.16.已知向量123,,βββ可由向量组123,,ααα: (1)试把向量组123,,ααα由向量组123,,βββ线性表示. (2)这两个向量组是否等价. 解112321233123112112223223313313112223313,(1),(2).(3)11(1)(2),2,,2211(2)(3),2,,2211(1)(3),2,.2211,2211,2211.22βαααβαααβααααββαββαββαββαββαββαββαββαββ=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩+=+=++=+=++=+=+⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩17.设n 维向量组11(1,0,0,,0),(1,1,0,,0),,(1,1,1,,1)n ααα===.试证:向量组12,,,n ααα与n 维单位向量组12,,,n εεε等价.证 已经知道12,,,n εεε线性无关,根据14题, 12,,,n ααα线性无关,1n +个n 维向量12,,,,n i αααε线性相关, 12,,,n ααα线性无关,故i ε可用12,,,n ααα线性表示, 已知12,,,n ααα可用线性表示,故两个向量组等价.18.证明:如果n 维基本单位向量组12,,,n εεε可以用n 维向量组12,,,n ααα线性表示,则向量组12,,,n ααα线性无关.证 向量组12,,,n εεε可以用n 维向量组12,,,n ααα线性表示,12,,,n ααα也可以用12,,,n εεε线性表示,二者等价,它们的秩相同, 12,,,n εεε线性无关,其秩为n ,故12,,,n ααα的秩为n ,从而12,,,n ααα线性无关.19.设向量组12,,,s ααα的秩为r ,证明: 12,,,s ααα中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大线性无关组. 证 不妨设12,,,r ααα是12,,,s ααα的一个线性无关向量组.任取i α,向量组12,,,,r i αααα线性相关,因否则, 12(,,,)s r ααα1,r ≥+与假设矛盾. 12,,,,r i αααα线性相关,而12,,,r ααα线性无关,故i α用12,,,r ααα线性表示.故12,,,r ααα是12,,,s ααα的一个极大线性无关组.20.已知向量组123(I):,,;ααα1234(II):,,,αααα和1235(III):,,,.αααα如果各向量组的秩分别为(I)(II)3,(III) 4.r r r ===证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证 (I)的秩是3,等于向量个数,表明(I)线性无关,(II)的秩是3,其部分组线性无关,说明4α是(I)的线性组合.(III)的秩是4,表明(III)线性无关,从而5α不是(I)的线性组合,结合4α是(I)的线性组合,得54αα-不是(I)的线性组合,否则5544()αααα=-+将是(I)的线性组合,矛盾.由于(I)线性无关, 54αα-又不是(I)的线性组合,故12354,,,ααααα-线性无关,从而其秩为4.21.如果向量组12,,,s ααα可以由向量组12,,,t βββ线性表示.证明1212(,,,)(,,,).s t r r αααβββ≤证 设12(,,,),t r l βββ=并且12,,,l βββ是其极大线性无关组.设12(,,,),s r m ααα=并且12,,,m ααα是其极大线性无关组.12,,,m ααα可以由向量组12,,,l βββ线性表示, 12,,,mααα线性无关,故,.m l ≤因为如果m l >,根据有关定理将有线性相关. 22.证明121212121212(1)(,,,)(,,,,,,,);(2)(,,,)(,,,,,,,).s s t t s t r r r r ααααααββββββαααβββ≤≤证 (1) 12,,,s ααα可用1212,,,,,,,)s t αααβββ线性表示,由上题得(1).(2)的证明雷同.23.判断下述命题是否正确.如果命题成立,请简述理由,否则请举出反例.(1)若存在全为零的数120,s k k k ====使得11220,s s k k k ααα+++=则向量12,,,s ααα线性无关.错误.对于全为零的数120,s k k k ====总有11220,s s k k k ααα+++=岂不任何向量组都线性无关.正确说法是若11220,s s k k k ααα+++=必有120.s k k k ====(2)如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其任一部分组也线性相关.错误 如(1,1),(2,2)线性相关,但(1,1)线性无关.正确说法是如果向量组12,,,s ααα线性无关,则其任一部分组也线性无关.(3) 如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其任一向量都可以由其余向量线性表示.错误 例如(0,0),(1,1)线性相关,(11)不能用(0,0)线性表示.正确说法是:如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其中某一向量可以由其余向量线性表示. (4) 向量组12,,,s ααα线性无关的成分必要条件是其中任一向量都不能由其余1s -个向量线性表示. 正确. 证明如下. 如果12,,,s ααα线性无关,而某一向量,不妨设可以由其余s α可以由其余1s -个向量线性表示,即存在数121,,,,s k k k -使得112211,s s s k k k αααα--=+++,于是112211(1)0,s s s k k k αααα---++++=10,-≠12,,,s ααα线性相关,矛盾.如果12,,,s ααα中任一向量都不能由其余1s -个向量线性表示,则12,,,s ααα线性无关,否则如果12,,,s ααα线性相关,则存在不全为零的数12,,,,s k k k 不妨设0s k ≠,使得1122110,s s s s k k k k αααα--++++=于是112211(/)(/)(/)0.s s s s s s k k k k k k αααα--=-+-++-=(5)如果两个向量组等价,则它们含有的向量数相同.错误.例如(1,1)和(2,2),(3,3)等价,但含有的向量数分别为1和2. (6)如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中任意r 个向量都线性无关.错误.例如向量组(1,1),(0,0)的秩为1,但(0,0)作为一个线性组,线性相关.正确说法是: 如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中存在r 个向量线性无关,并且其余向量都可以由它们线性表示. (7) 如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中任意1r +个向量都线性相关.正确. 因为如果12,,,s ααα中存在1r +个向量线性无关,12,,,s ααα的秩将大于或等于1r +.(8) 如果12(,,,)s r s ααα=,则向量组12,,,s ααα中任意部分都线性无关. 正确. 因为12(,,,)s r s ααα=表明12,,,s ααα线性无关,如果一个部分组线性相关,整个组将线性相关,矛盾. 24.把下列矩阵化为等价标准形,并且求矩阵的秩.21211211(1).42000000() 1.123123123(2)3120570152310150571231231200150150100018001001100010001r A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→ ⎝⎭.() 3.23111111(3)11230501121201001001.() 2.0011111111112032102501(4)1361202501426430220111111025010r A r A =⎪⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭---→111110250100000010000700000001111111011015/201/20100200100001000000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭10013100000100201000.() 3.00100001000000000000r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25.已知矩阵33021430.1562A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)计算A 的所有三阶子式; (2)利用(1)的结果求矩阵A 的秩.解 > D1:=det([[3,3,0],[-1,-4,3],[1,-5,6]]);D2:=det([[3,3,2],[-1,-4,0],[1,-5,-2]]);D3:=det([[3,0,2],[-1,3,0],[1,6,-2]]); D4:=det([[3,0,2],[-4,3,0],[-5,6,-2]]);:= D10:= D236 := D3-36 := D4-36(2)根据(1),() 3.r A =26.把下列矩阵化成阶梯形矩阵,求矩阵的秩.1121011210(1)206010222115252044421121002221.() 2.00000r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-= ⎪ ⎪⎝⎭2121111102111221211(2)2542925429331183311811102111020341303413066380021200212002121110203413.()00212000r A --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪----⎪⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪-- ⎪→= ⎪-⎪⎝⎭3.27.求下面向量组的一个极大无关组,并且把其余向量用此极大无关组线性表示.123(1)(1,2,5),(3,2,1),(3,10,17).ααα=-=-=-解 用向量123,,ααα为行向量组成矩阵,旁边标上向量记号,对矩阵做出等行变换,把它化成阶梯形,并且注意用旁边的向量记号表示对应的初等行变换.最后的零行给出相应的线性表示,再结合秩确定一个极大无关组.12311221332121123(1)(1,2,5),(3,2,1),(3,10,17).1251253210816331017081612508163() 2.00032r A ααααααααααααααααα=-=-=---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→--= ⎪ ⎪-+⎝⎭12331232,32.o αααααα-+==-+12,αα线性无关,并且31232ααα=-+.1234(2)(1,1,0,4),(2,1,5,6),(1,1,2,0),(3,0,7,14).αααα=-==--=解 以所给向量作为列向量组成矩阵,对于矩阵进行初等行变换,这样做不改变列向量的线性关系,即如果原来有关系112233440,k k k k αααα+++=则初等行行变换后所得列向量123,,,s αααα''''仍保持关系 112233440.k k k k αααα''''+++= 反之亦然.注意前后两个等式的系数是同样的.121312131213111003301010527052705274601402420121121312131001010101010101.00220011001100220000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是()3,r A =,并且123,,ααα线性无关, 4123.αααα=+-28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并且用此基础解系表示方程组的一般解.123412341240,(1)20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩> A:=[[1,1,-1,1],[1,-1,2,-1],[3,1,0,1]]: b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,c 1- - 3c 1c 2-2c 1c 2基础解系12(1,3,2,0),(0,1,0,1).ηη=--=-一般解1122.c c ηηη=+12341234123420,(2)24530,4817110.x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ > A:=[[1,-2,-1,-1],[2,-4,5,3],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]: linsolve(A,b);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2_t 125_t 2_t 1_t 2-75_t 2基础解系:12[2,1,0,0],[2,0,5,7].ηη==--一般解1122,c c ηηη=+12,c c 为任意常数.⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2_t 125_t 2_t 1_t 2-75_t 21234512345123451234520,20,(3)333340,455570.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪-++-=⎪⎨+--+=⎪⎪+--+=⎩> > A:=[[2,1,-1,-1,1],[1,-1,1,1,-2],[3,3,-3,-3,4],[4,5,-5,-5,7]]:b:=[0,0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,,13c 3 + - c 1c 253c 3c 1c 2c 3基础解系123(0,1,1,0,0),(0,1,0,1,0),(1,5,0,0,3),ηηη===-一般解112233c c c ηηηη=++29.判断下列线性方程组是否有解.若方程组有解,试求其解[在有无穷多解时,用基础解系表示其一般解].123124234124244,24,(1)321,33 3.x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩A:=[[2,-4,-1,0],[-1,-2,0,-1],[0,3,1,2],[3,1,0,3]]: b:=[4,4,1,-3]: rankxsh:=rank(A);rankzg:=rank([op(A),b]); linsolve(A,b);:= rankxsh 3 := rankzg 4方程无解.12341341231342434,3,(2)31,773 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩Maple 解> A:=[[2,-1,4,-3],[1,0,1,-1],[3,1,1,0],[7,0,7,-3]]: b:=[-4,-3,1,3]:linsolve(A,b,'r',c);[],,, - 3c 1- + 82c 1c 16特解:0η=[3, −8,0,6],导出组基本解系:η=(−1,2,1,0) . 一般解0.c ηηη=+12345123452345123451,3235,(3)2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩Maple 解> A:=[[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]:b:=[-1,-5,2,-7]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,,- + + + 3c 1c 25c 3 - - - 22c 12c 26c 3c 1c 2c 3特殊解0η=[−3,2,0,0,0],导出组:1η=[1, −2,1,0,0],2η=[1, −2,0,1,0],3η=[5, −6,0,0,1].1234123412341342352,22,(4)5,323 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ Maple 解> A:=[[2,3,-1,-5],[1,2,-1,1],[1,1,1,1],[3,1,2,3]]:b:=[-2,-2,5,4]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,-335030.已知线性方程组123412341213412342231,3613,3151,51012.x x x x x x x x x x k x x x x x x k +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩ 当12,k k 取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程有无穷多解的情况下,试求其一般解.Maple 解1111112311231123136102*********1504660466151012061292431123012166(2)0, 2.00220001kk k k k k --==---------------=-=-==-+-12k ≠时方程有唯一解. 12k =时,2222112311123113613024223121530486015101206129111231112310121101211024300001206129100001k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21k ≠时无解. 21k =时,12341123111205012110120300012000120000000000100088,01203.32,00012 2.000x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-⎧ ⎪⎪⎪→=-⎨ ⎪⎪= ⎪⎩⎝⎭特解0γ=(-8,3,0,2),导出组基础解系η=(0,-2,1,0),一般解0.c γγη=+c 为任意常数.31.设有三维向量2123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,,).T T T T αλαλαλβλλ=+=+=+=问λ为何值时(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式是唯一的. (2) (1)β可由123,,ααα线性表示,但表达式不是唯一的. (3) (β不能由123,,ααα线性表示. 解 对应线性方程组的系数行列式212111111111(3)111111111111(3)00(3)0,0, 3.00λλλλλλλλλλλλλ++=++++=+=+===-0λ≠且3λ≠-时(1)成立.0λ=时对应线性方程组的增广矩阵1110111011100000.11100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时出现情形(2).3λ=-时对应线性方程组的增广矩阵2110211012131213.11290009--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭此时(3)成立. 32.证明:线性方程组121232343454515,,,,x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充分必要条件是510.i i a ==∑证设方程有解,各个方程相加得510.i i a ==∑设条件510.i i a ==∑满足.对于增广矩阵进行行初等变换令112233445123423434411000110000110001100001100011000011000111000100000010001010010010100011000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-+++⎛⎫⎪-++ ⎪⎪→-+⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令5x c =得112342234334445,,,,.x a a a a c x a a a c x a a c x a c x c =++++=+++=++=+=前四个方程显然满足,而第五个方程51123412345()().x x c a a a a c a a a a a -=-++++=-+++=33.证明:如果线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵()ij n n A a ⨯=与矩阵1221121222212120n n n n nn n na a ab a a a b C a a a b bb b ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，则此线性方程组有解.证 设系数矩阵A 的秩为r ,前不妨设r 个列向量线性无关,C 的前r 列也线性无关,C 的秩为r ,故C 的最后一列的列下列可以用前r个列向量线性表示,于是向量12(,,,)T n b b b 可以用A 的前r 个向量线性表示,从而可以用C 的列向量线性表示,即方程组有解. 34.设齐次方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵()ij n n A a ⨯=的秩为1n -.试证此方程的一般解为12,()i i in A Ac c A η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数其中(1)ij A j n ≤≤是ij a 的代数余子式,且至少有一个0.ij A ≠ 证 由于系数矩阵的秩为1,r -故系数行列式为0.由于系数矩阵的秩为1r -,必存在一个1n -阶代数余子式不等于0.由于至少有一个0,ij A ≠112(,,,).T i i in A A A o η=≠再证1η是齐次方程组的一个解.把1η代入第k 个方程得10,nkj ij ki j a A D δ===∑D 为系数行列式,其值为0. 35.设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1)证明:若1234,,,a a a a 两两不等,则此线性方程组无解.(2)设1324,(0),a a k a a k k ====-≠且已知12,ββ是该方程的两个解,其中12(1,1,1),(1,1,1)T T ββ=-=-.求此方程组的全部解.(1)增广矩阵为范德蒙行列式,当1234,,,a a a a 两两不等时其值非0,故增广矩阵的秩等于4,但系数矩阵的秩最大为3,故方程组无解. (2)当1324,(0)a a k a a k k ====-≠时,方程组的增广矩阵为232323232323233111110000100010********0000,()() 2.kk k k k k k k k kk k k k kkk k k k k k k k r A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭≠==12(1,1,1),(1,1,1)T T ββ=-=-是解，表明方程有一个特解01(1,1,1),ηβ==-基础解系含有321n r -=-=个解向量21(1,1,1)(1,1,1)(2,0,2)2(1,0,1),T T ηββ'=-=---=-=-取基础解系(1,0,1).η=-一般解0.c γηη=+。
普通化学习题与解答(第二章)
第二章 化学反应的基本原理和大气污染1、是非题（对的在括号内填“+”号，错的填“-”号）（1）r S ∆ 为正值的反应均是自发反应。
（-） （2）某一给定反应达到平衡后，若平衡条件不变，分离除去某生成物，待达到新的平衡，则各反应物和生成物的分压或浓度分别保持原有定值。
（-）（3）对反应系统122()()()(),(298.15)131.3r m C s H O g CO g H g H K kJ mol θ-+=+∆= 。
由于化学方程式两边物质的化学计量数（绝对值）的总和相等，所以增加总压力对平衡无影响。
（-） （4）上述（3）中反应达到平衡后，若升高温度，则正反应速率v （正）增加，逆反应速率v （逆）减小，结果平衡向右移动。
（-）（5）反应的级数取决于反应方程式中反应物的化学计量数（绝对值）。
（-） （6）催化剂能改变反应历程，降低反应的活化能，但不能改变反应的rmG θ∆。
（+）（7）在常温常压下，空气中的N 2 和O 2 能长期存在而不化合生成NO 。
且热力学计算表明22()()2()N g O g NO g +=的(298.15)0r m G K θ∆ ，则N 2 和O 2混合气必定也是动力学稳定系统。
（+）（8）已知4CCl 不会与2H O 反应，但422()2()()4()CCl l H O l CO g HCl aq +=+的1(298.15)379.93r m G K kJ mol θ-∆=- ，则必定是热力学不稳定而动力学稳定的系统。
（+）2、选择题（将所有正确答案的标号填入空格内）（1）真实气体行为接近理想气体性质的外部条件是 （b ）（a ）低温高压 （b ）高温低压 （c ）低温低压 （d ）高温高压 （2）某温度时，反应22()()2()H g Br g HBr g +=的标准平衡常数2410K θ-=⨯，则反应2211()()()22HBr g H g Br g =+的标准平衡常数K θ等于 （b ）（a ）21410-⨯ （b （c ）2410-⨯ （3）升高温度可以增加反应速率，最主要是因为 （b ）（a ）增加了分子总数（b ）增加了活化分子的百分数 （c ）降低了反应的活化能 （d ）促使平衡向吸热方向移动(4)已知汽车尾气无害化反应221()()()()2NO g CO g N g CO g +=+的(298.15)0r m H K θ∆≤，要有利于取得有毒气体NO 和CO 的最大转化率，可采取的措施是 ( c) （a ）低温低压 （b ）高温高压 （c ）低温高压 （d ）高温低压（5）温度升高而一定增大的量是 (bc )（a ） r m G θ∆ （b ）吸热反应的平衡常数K θ（c ）液体的饱和蒸气压 （d ）反应的速率常数k（6）一个化学反应达到平衡时，下列说法中正确的是 ( a) （a ）各物质的浓度或分压不随时间而变化（b ）r m G θ∆=0（c ）正、逆反应的速率常数相等（d ）如果寻找到该反应的高效催化剂，可提高其平衡转化率3、填空题（1）对于反应： 1223()3()2();(298)92.2r m N g H g NH g H K kJ mol θ-+=∆=-若升高温度(约升高100 K)，则下列各项将如何变化(填写：不变，基本不变，增大或减小。
第二章课后习题及答案
第二章心理辅导的理论基础一、理论测试题（一）单项选择题1．（）是根据操作性条件反射原理，强调行为的改变是依据行为后果而定的。
A •强化法B •系统脱敏法C.代币法D •来访者中心疗法2•在对学生进行心理辅导时，常使用的“强化法”属于（）。
A •行为改变技术B •认知改变法C.运动改变法D •精神分析法3•在心理辅导的行为演练中，系统脱敏法是由（）首创。
A .皮亚杰B •沃尔帕C艾利斯D •罗杰斯4•心理辅导老师帮李晓明建立焦虑等级，让他想象引起焦虑的情境，然后逐渐减少焦虑等级，直至完全放松，以缓解其考试焦虑，这种方法是（）。
A •强化法B •系统脱敏法C.理性一情绪疗法D •来访者中心疗法5 •行为塑造法是根据（）的操作条件反射研究结果而设计的培育和养成新反应或行为模式的一项行为治疗技术，是操作条件作用法强化原则的有力应用之一。
A .皮亚杰B •斯金纳C.艾利斯D .奥苏贝尔6．（）就是运用代币并编制一套相应的激励系统来对符合要求的目标行为的表现进行肯定和奖励。
A .强化法B .理性一情绪疗法C.代币法D .来访者中心疗法7.李老师通过奖励小红花来表扬学生的行为，这种心理辅导方法属于（）。
A .系统脱敏法B •代币法C.行为塑造法D .来访者中心疗法8.晓红是韩老师班上的学生，她孤僻、羞涩，当她主动与同学交谈或请教老师时，韩老师就给予肯定或激励。
这种心理辅导方法是（）。
A .强化法B •系统脱敏法C.来访者中心法D .理性一情绪疗法9.（）不是行为改变的基本方法。
A .强化法B .代币法C.自我控制法D .演练法10.小伟过分害怕狗，通过让他看狗的照片，谈论狗，远看狗到近看狗、摸狗、抱狗，消除对狗的惧怕反应，这是行为训练的（）。
A .全身松弛训练B .系统脱敏法C.行为塑造法D .肯定性训练11.当一位胆小的学生敢于主动向教师提问时，教师教师耐心解答并给予表扬和鼓励。
的这种做法属于行为改变方法中的（）。
(完整版)第二章习题解答
第二章 热力学第二定律思考题答案一、是非题1 × 2√ 3× 4× 5× 6× 7× 8√ 9√ 10× 11× 12× 13× 14× 15× 16× 17× 18× 二、选择题1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．D 9．A 10．A 11．A习 题1. 2mol 理想气体由500kPa ，323K 加热到1000kPa ，373K 。
试计算此气体的熵变。
（已知该气体的C V ,m =25R ） 解：由于实际过程不可逆，要求此过程的熵变，设计定压可逆与定温可逆两途径实现此过程，如下图所示：1212,,,ln ln 1121212121p pR T T C dp p RT T T dT C Vdp TTdT C TVdpdH T pdV Vdp pdV dH T pdV dpV dH TpdVdU T Q S m p p p T T m p p p T T m p rm -=-=-=-=+--=+-=+==∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰δ11212,1212,64.65001000ln 2323373ln 272ln ln )(ln ln -⋅=⨯-⨯=-+=-=∆K J kPakPa R mol K K R mol p pnR T T R C n p p nR T T nC S m V m p2. 在20℃时，有1molN 2和1molHe 分别放在一容器的两边，当将中间隔板抽去以后，两种气体自动混合。
在此过程中系统的温度不变，与环境没有热交换，试求此混合过程的△S ，并与实际过程的热温商比较之。
解：分别考虑假设N 2由V A 定温可逆膨胀至2V A ，同理He 由V A 定温可逆膨胀至2V A△S 1 = n (N 2)R ln2 △S 2 = n (He)R ln2所以系统的 △S = △S 1+△S 2 = n (N 2) R ln2 + n (He) R ln2= 2×1mol×8.314 J ·mol -1·K -1×ln2 = 11.52J.K -1而实际过程系统没有与环境交换热和功，则 TQ= 0 即 △S >TQ 3. 1 mol 双原子理想气体，温度为298.15 K ，压强为p θ，分别进行：(1)绝热可逆膨胀至体积增加1倍；(2)绝热自由膨胀至体积增加1倍。
第二章 习题解答(11.27)
练习2.1答案详解一、选择题.1. 以下结论正确的是( ).（A ）所有的零矩阵相等； (B ) 零矩阵必定是方阵； (C ) 所有的3阶方阵必是同型矩阵； (D ) 不是同型矩阵也可能相等. 解：（A ）零矩阵的阶数可以不同，故（A ）不正确；(B ) 按定义，零矩阵是元素全部为零的矩阵，未必是方阵，故（B ）不正确； (C) 按定义，若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则这两个矩阵同型，故（C ）不正确；(D )按定义，不同型的矩阵或者行数不相等，或者列数不相等地，或者两者都不相等，故（D ）不正确.故选（C ）. 二、填空题.2. 某企业生产3种产品，每种产品在2014年和2015年各季度的产值（单位：万元）如下表：试作矩阵A 和B 分别表示三种产品在2014年和2015年各季度的产量.答案：181215192730263515181413A，161817152530283713201815B . 3. 已知1422y A x -⎫⎛=⎪-⎝⎭，132y B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B A =，则x = ，y = . 解：由定义，两个矩阵相等，当且仅当对应元素相等. 由B A =，得 423y y x -=⎧⎨-=⎩解这两个个方程，得24y x =⎧⎨=⎩.三、问答题.4. 下列矩阵哪些是方阵？哪些是三角矩阵？若是方阵，其主对角元素是什么？102100312A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， 314702260001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，135013002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.答案：A 和C 均为方阵；C 为三角阵，且为三阶上三角矩阵，A 的主对角元素为1,0,2.C 的主对角元素为1,1,2.练习2.2答案详解一、选择题.1. 设矩阵A 为3行5列，矩阵B 为5行4列，矩阵C 为4行6列，则矩阵ABC 为( ).(A) 3行4列； (B) 3行6列； (C) 5行4列； (D) 5行6列. 解：由题设，A 是35⨯矩阵，B 是54⨯矩阵，B 是46⨯矩阵，则由矩阵乘法的定义和运算规律，知AB 是34⨯矩阵，从而()ABC AB C =是36⨯矩阵. 故选（B ）. 2. 设三阶矩阵A 的行列式2A =，则2A -= ( ).（A ）2-； （B ）4-； （C ）16-； （D ） 8. 解：由数乘矩阵的定义和行列式的性质，有 332(2)(2)216A A -=-=-⋅=-. 故选（C ）.3. 设A 为二阶矩阵，且1-=A ，则A A = ( ).（A ） 0； （B ） 1-； （C ） 1； （D ） 2. 解：由数乘矩阵的定义和行列式的性质，有 233(1)1A A AA A ===-=-.故选（B ）.4. 对任意的n 阶方阵A 、B ，总有 ( ).（A ）B A B A +=+； （B ）T T T B A AB =)(； （C ）2222)(B AB A B A +-=-；（D ）BA AB =.解：（A ）不正确. 例子. 设1000,0001A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10000,0,0001A B ====，但100010000101A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10 1.01A B +== （B ）因()TTTAB B A =，故（B ）不正确. （C ）因矩阵乘法不满足交换律，故2()()()()()A B A B A B A B A A B B-=--=---2222()()A BA BA B A BA AB B =---=--+222A AB B ≠-+.故（C ）不正确.（D ）因,AB A B BA B A ==，故AB BA =. 所以选（D ）.5. 以下结论正确的是( ).（A ）若方阵A 的行列式0A =, 则0A =； (B ) 若20A = 则0A =；(C ) 若A 为对称矩阵, 则2A 也是对称矩阵；(D ) 对n 阶矩阵,A B , 有22()()A B A B A B +-=-.解：（A ）不正确. 例子, 设1111A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，而11011A ==--. (B ) 设122,341αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2(1,2,4)312(2)34101T αβ⎛⎫⎪=-=⨯+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，记22283(1,2,4)361201124T A βα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 从而 22()()()()00T T T T T T A βαβαβαβαβαβα====⋅⋅=故（B ）不正确.(C ) 因A 对称, 故T A A =. 从而222()()T T A A A ==. 故（C ）正确. (D ) 因矩阵乘法不满足交换律，故22()()()()()()A B A B A B A A B B A BA AB B +-=+-+=+-+2222A BA AB B A B =+--≠-.故（D ）不正确.从而选（C ）. 二、填空题.6. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，则=AB ． 答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛8743.7. 若A ,B 为3阶方阵，且2,2A B ==,则2A -= ,1TA B -= ．解：由数乘矩阵的定义和行列式的性质，有 332(2)(2)216A A -=-=-⋅=-， 11111212TTT A BA B AB B A ---====⋅=． 8. 设1023A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，2111B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB = ．解：1021[1(3)][2(1)11]92311AB A B ===⋅-⋅⋅--⋅=--.三、计算题.9. 对§2.1练习题2中的矩阵A 和B ，（1）计算A B 与B A ，并说明其经济意义；（2）计算1()2A B ，并说明其经济意义.解： §2.1练习题2中的矩阵为181215192730263515181413A，161817152530283713201815B .于是人 （1） 343032345260547228383228AB, 262420222242B A,A B 的经济意义表示三种产品2014年和2015年两年各季度的产量的和；B A 的经济意义表示三种产品2015年比2014年各季度产量的增加量. （2）171516171()26302736214191614A B ，其经济意义表示三种产品2014年和2015年两年各季度的平均产量.10. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=43110412A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204131210131B ，用两种方法求()TAB . 解：(1) 13121400121134131402AB ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 所以620()75.86TAB ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭11. 设()1 1 12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求(1)A ，(2)nA .解： (1)记11,21αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1(1,1)32T βα⎛⎫== ⎪⎝⎭()1111 1222T A αβ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (2) ()()()()()()n T n T T T T T n A αβαβαβαβαβαβ==个1()()()()T T TT Tn αβαβαβαβαβ-=个111()()3T n T n n A αβαββααβ---===111322n -⎛⎫= ⎪⎝⎭.12. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4523A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3547B .求A ，B ，TA ，AB . 答案：21012=-=A ；12021=-=B ；2==A A T；2==B A AB .练习2.3答案详解一、选择题.1. 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是( ).(A )()T T TA B A B +=+；(B ) 111()A B A B ---+=+；(C ) 111()AB B A ---=；(D ) ()T T TAB B A =.答案：B. 2. 设2011A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =( ).（A ）1120-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B )1012-⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (C ) 2101⎛⎫⎪-⎝⎭； (D ) 1120-⎛⎫⎪⎝⎭. 解：1111(1)(1)1A +=-⋅-=-，1212(1)11A +=-⋅=-， 2121(1)00A +=-⋅=，2222(1)22A +=-⋅=.所以1121*12221012A A A A A -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 故选（B ）. 3. 设A 为3阶方阵，*A 为A 的伴随阵，A = 3，则*A = ( ).（A ）31； （B ）3； （C ）6； （D ）9. 解：1*3139.n A A --===故选（D ）4. 设A 为(2)n n ≥阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，则*A 等于( ). （A ）1a -； （B ）a ； （C ）1n a -； （D ）n a . 解：1*1.n n A A a --==故选（D ）二、填空题.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654032001A ，则A = ；=-1*)(A ．解：(1)10023018.456A ==(2)因180A =≠|, 故由AA *= A *A =|A |E , 有**11()()A A A A E A A==，所以 *110011()23018456A A A -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设234(,,,)A αγγγ=，234(,,,)B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，已知4A =，1B =，则||A B += . 解：根据分块矩阵的加法和行列式的性质，得234234234(,,,)(,,,)(,2,2,2)A B αγγγβγγγαβγγγ+=+=+ 332342342342,,,2(,,,,,,)αβγγγαγγγβγγγ=+=+332()2(41)40.A B =+=+= 三、计算题.7. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4031A ，求A 的伴随阵*A ．解：1111(1)44A +=-⋅=，1212(1)00A +=-⋅=， 2121(1)33A +=-⋅=-，2222(1)(1)1A +=-⋅-=-.所以1121*12224301A A A A A -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 8. 判断方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4031A 是否可逆，若可逆，试用伴随矩阵方法求出逆矩阵． 解：因04||≠-=A ，故A 可逆. 由上题结果，*4301A -⎛⎫=⎪-⎝⎭. 所以 1*1A A A -=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=410431.9. 若Ａ为4阶方阵，2=A ，求*123)21(A A --. 解：11**1331313()222222222A A A A A A A A A -*-***-=-=⋅-=⋅- 41*44441311111()()()2.222222A A A A A -***-=-=-=-=-=-⋅= 10.设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1223A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110P ，矩阵B 满足关系式 P A PB *=，计算行列式B 的值.解：由已知，32011,12111A P ==-==-，所以21*21(1)1A A--==-=-，对P A PB *=两边取行列式，得*P B A P =，所以**1A P B A P===-.四、证明题.11.设矩阵A 可逆，证明*11()A A A --=.证明：因为**AA A A A E ==，矩阵A 可逆，所以0A ≠，故**A A A A E A A==，又因为11AA-=，所以*11()A A A --=. 12. 设方阵A 满足254A A E O -+=，证明A 及3A E -都可逆，并求1-A 及1(3)A E --．证明：由254A A E O -+=得(5)4A A E E -=-，(5)4A E A E -=-，从而有 (5)4E A AE -=，(5)4E A A E -=，则A 可逆，且11(5)4A E A -=-． 由254A A E O -+=得232620A A A E E --+-=，即(3)2(3)20A A E A E E ----= 或 (3)(3)220A E A A E E ---⋅-= 即(2)(3)20A E A E E ---= 或 (3)(2)20A E A E E ---= 从而(2)(3)2A E A E E --= , (2)(3)2A E A E E --=，则3A E -可逆，且11(3)(2)2A E A E --=-.练习2.4答案详解一、选择题.1. 下列矩阵是初等矩阵的是( ).（A ）2011010⎛⎫ ⎪0 ⎪ ⎪0⎝⎭； （B ）1001100⎛⎫ ⎪0 ⎪ ⎪0⎝⎭； （C ）1011210⎛⎫⎪⎪0 ⎪ ⎪00⎝⎭； （D ）111410⎛⎫ ⎪0- ⎪ ⎪00⎝⎭. 答案：D.本题题有误，应改成1. 下列矩阵不是初等矩阵的是( ).（A ）2011010⎛⎫ ⎪0 ⎪ ⎪0⎝⎭； （B ）1001100⎛⎫ ⎪0 ⎪ ⎪0⎝⎭； （C ）1011210⎛⎫⎪⎪0 ⎪ ⎪00⎝⎭； （D ）111410⎛⎫ ⎪0- ⎪ ⎪00⎝⎭.2. 设矩阵400020003A ⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，则1A -等于( ).（A ） 100310021004⎫⎛⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（B ） 100410021003⎫⎛⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； （C ） 100310041002⎫⎛⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； （D ） 100210031004⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 答案：B. 二、填空题.3. 设11,01A -⎛⎫=⎪⎝⎭则1(2)A -= . 解：1111(1)11A +=-⋅=，1212(1)00A +=-⋅=，2121(1)(1)1A +=-⋅-=，2222(1)1A +=-⋅=.所以1121*12221101A A A A A ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而 11*11111111122(2).011222102A A A A --⎛⎫⎪⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭4. 设123456789A ⎫⎛⎪ =⎪ ⎪⎝⎭，001010100P ⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，100001010Q ⎫⎛⎪ =⎪ ⎪⎝⎭，则100100P AQ = .解：矩阵P 是一个互换第一、三行的初等矩阵，所以它的100次方就意味着将后面的矩阵的第一、三行互换100次；矩阵Q 是一个互换第二、三列的初等矩阵，所以它的100次方就意味着将前面的矩阵的第二、三列互换100次. 所以 100100123456789PAQ A A ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭.三、计算题.5. 设21112112144622436979B --⎛⎫⎪-⎪= ⎪--⎪-⎝⎭，将矩阵B 化为行最简阶梯形矩阵，并指出在矩阵变换过程中哪些矩阵是行阶梯形矩阵．解： 1231221112112144622436979r r r B ↔⨯--⎛⎫⎪-⎪=→ ⎪--⎪-⎝⎭111214211122311236979B -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪--⎪-⎝⎭23314122311214022200553603343r r r r r r B ----⎛⎫ ⎪- ⎪→= ⎪--- ⎪--⎝⎭232421235311214011100002600013r r r r r B ⨯+--⎛⎫⎪- ⎪→= ⎪- ⎪-⎝⎭34434211214011100001300000r r r r B ↔--⎛⎫ ⎪-⎪→= ⎪- ⎪⎝⎭1223510104011030001300000r r r r B ---⎛⎫⎪-⎪→= ⎪-⎪⎝⎭其中45,B B 是行阶梯形矩阵，5B 已是行最简形矩阵．6. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，求1A -．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100343010122001321),(E A 121323~r r rr --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1036200125200013212123~r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111100012520011201313225~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111100563020231001 231()2(1)~r r ⨯-⨯-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11110025323010231001，所以A 可逆，且113235322111A --⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭． 7. 矩阵X ，使B AX =，其中A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，253143B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．解：解法1 因A 可逆，则AX B =，用1A -左乘上式，有11A AX AB --= ，即有1X A B -=．由题6中已经求出113235322111A --⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以113225323533123224313111X A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭． 解法2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1226209152052321~343431312252321),(121323r r rr B A21312322331()225(1)102141003210032~02519~02046~01023001130011300113r r r r r r r r r r ⨯--+--⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 可见E A r~，所以1322313X A B -⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭．练习2.5答案详解一、填空题.1. 设矩阵500031021A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A .答案：1005011023⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 二、计算题.2. 设1000101001001201,1210104111011120A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，求AB ． 解：把,A B 分块成12311000101001001201,1210104111011120B E E O A B B B A E ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 则1112131010120124331131B E AB A B B A B ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪==⎪⎪++-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 3. 求矩阵1000120000410020A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪⎝⎭的逆矩阵.解：A 可分块成121000120000410020A O A OA ⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中11012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，24120A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 求得11101122A -⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，1210212A -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭，故11000110022100020012A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭．练习2.6答案详解一、选择题.1. 已知A 有一个r 阶子式不等于零，则r (A )= ( ). (A) r ; (B) 1r +; (C) r ≤ ; (D) r ≥. 答案：D.2. 设A 是n 阶方阵，若()r A r =，则( ).（A ）A 中所有r 阶子式都不为零； （B ） A 中所有r 阶子式都为零； （C ）A 中至少有一个1+r 阶子式不为零；（D ）A 中至少有一个r 阶子式不为零. 答案：D.3. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4444333322221111A 的秩()r A =( ). (A)1； (B)2； (C)3； (D)4.解：11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()1r A =. 故选（A ）. 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为 ( ).（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111； (B )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111； (C ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 ； (D ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111. 解：两个同型矩阵A 、B 等价的充要条件是：()().r A r B =显然，第二个矩阵的秩为2，而其余矩阵的秩者为1. 故选（B ）.5. 设三阶矩阵A 的秩为3，则其伴随矩阵*A 的秩为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3. 解：若A 为n 阶矩阵，则*,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩故本题的*()3r A =，故选（D ）. 二、填空题.6. 设矩阵103100030000A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩为 .答案： ()2r A =.7. 设A 为34⨯阶矩阵，秩()2r AB =，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102010102B ，则()r A = .解：因为20120101001040201002B ===≠-，所以B 可逆，从而()()2r A r AB ==.三、计算题.8. 求矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩． 解：易见A 的一个二阶子式121023=-≠，又A 的三阶子式只有A ，且123123235011104710111A =-=--=--，故()2r A =．9. 求矩阵123501211156-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的秩． 解：对A 施行初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵123512351235012101210121115601210000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以()2r A =．10. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=544744104421311024121A 的秩． 解：对A 施行初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=544744104421311024121A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→--3120108182001311024121141342r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→--0008182001311024121342421r r r r ，由于有3个非零行，因此()3r A =．11. 若12421110A λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，为使矩阵A 的秩最小，求λ.解：12411021014,110021rA λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭要使得矩阵A 的秩有最小秩，则219144λλ-=⇒=. 12. 已知矩阵1123223141011523554a A =⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭的秩为3，求a 的值.解：r 11231123112322314001122001122,10115011120111223554000630000630r a a a a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6302a a -=⇒=当时矩阵的秩为3.13. 设矩阵121231041a A a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b .解：12112112123100712207122,410720012a a a A a aa b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为矩阵A 的秩为 2，所以10,201,2a b a b --=-=⇒=-=. 四、证明题.14. 设A 是一个n 阶矩阵, 且2A A =, 证明: ()().r A r A E n +-= 证明：因为2A A =，所以()0A A E -=，从而()()r A r A E n +-≤ ① 利用不等式()()()r A B r A r B +≤+，得()()()[()]r A r A E r A r E A +-=+--()()[()()]r A r E A r A E A =+-≥+-()r E n == ②由①、 ②，得()()r A r A E n +-=.第2章 综合练习答案详解一、基本题.1. 设方阵A 满足A A =2，则以下正确的是( ).（A ）0=A ；(B) E A =； (C)0=A 或E A =； (D) 以上等式都不成立. 解：因为零因子存在，即由0AB =推不出0A =或0B =. 于是由A A =2得到()0A A E -=，故同样推不出0A =或0A E -=. 从而选取（D ）.2. 设A 是p s ⨯矩阵，C 是m n ⨯矩阵，如果TAB C 有意义，则B 是( )矩阵.(A )p n ⨯； (B )p m ⨯； (C )s m ⨯ ； (D )m s ⨯.解：因为A 是p s ⨯矩阵，C 是m n ⨯矩阵，且TAB C 有意义，所以T B 必是s m ⨯矩阵，从而B 是m s ⨯矩阵. 故选（D ）.3. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是( ).（A ）(2)2T TA A =；（B ）11(3)3A A --=；（C ）111[(())][()]T T T A A ---=； （D ）1()TA A -=.解：根据逆矩阵的性质，正确的选项是（A ）.4．设,A B 均为n 阶矩阵，且A 可逆，则下列结论正确的是( ). （A ）若0AB ≠，则B 可逆 ； （B ）若0AB =，则0B =； （C ）若0AB ≠，则B 不可逆； （D ）若AB BA =，则B E =.解：（A ）不正确. 例子, 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2100B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21000AB ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，但2100B ⎛⎫= ⎪⎝⎭不可逆.（C ）不正确. 例子, 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21010AB ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，但2110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆.（C ）不正确. 例子, 2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4005B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB BA =，但B E ≠.（B ）正确. 因为A 可逆，0AB =两边左乘以1A -，得110A AB A --=，即0B =.故选（B ）.5. 设3=A ，2=B ，则有( ).（A ）23=TAB ； （B ） 23⨯=T AB ； （C ） 23=T AB ； （D ） 32=T AB . 解：32T T AB A B A B ===⨯. 故选（B ）.6. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有 ( ).（A ）||||||B A B A +=+； (B ) BA AB =；(C ) ||||BA AB =； (D ) 111)(---+=+A B B A . 答案：（C ）.7. 设,A B 为n 阶方阵，满足22A B =，则必有( ).（A ）A B =； (B )A B =-； (C )A B =； (D )22A B =.解：例子. 设1010,0101A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 则22A B =，但A B ≠±，A B ≠. 故（A ）、（B ）、（C ）都不正确. 故用排除法，只有（D ）正确.事实上，由22A B =两边取行列式，得22A B =，所以22A B =. 故选（D ）.8. 设A 是n 阶方阵，k 为常数，则下式中成立的是( ). （A ）()A k kA nT= ； （B ） ()TTA k kA 1=； （C ）()A k kA T= ； （D ） ()Ak kA T=. 解：因A 是n 阶方阵，k 为常数，所以()T T kA kA =, ().TT T n T n nkA kA k A k A k A ====故选（A ）.9. 已知二阶矩阵a b A c d ⎫⎛=⎪⎝⎭的行列式1A =-, 则()1*A -=( ).(A )a b c d --⎫⎛⎪--⎝⎭； (B )a b c d ⎫⎛⎪ ⎝⎭； (C )d b c a -⎫⎛⎪ -⎝⎭； (D )db c a -⎫⎛⎪ -⎝⎭. 解：因为**AA A A A E ==，矩阵A 可逆，所以0A ≠，故**A A A A E A A==，所以*111().1a b a b A A c d c d A ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭故选（A ）. 10. 设A 为n 阶可逆矩阵，0k ≠为常数，则*()kA =( ). （A ） *kA ； (B ) 1*n k A -； (C )*n k A ； (D ) n k A .解：因A 为n 阶可逆矩阵，0k ≠为常数，所以kA 可逆，且1*1()()kA kA kA-=，从而 *11*1*111()()n n n kA kA kA k A A k A A k A k k A---==⋅=⋅⋅=. 故选（B ）.11. 已知02111334A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪0⎝⎭，14123130B -⎛⎫⎪=0 ⎪ ⎪-⎝⎭，求2AB BA -及TA B ．解：116129352422152211218241134124335871419AB BA ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0131413113210232651341303228TA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-0=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 12. 计算下列矩阵的乘积.（1）31,2,321；（2）321231；(3)211251034034-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭； (4) 212113512541-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(5) ()111213112321222323132333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解：（1）()31,2,321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13223110=⨯+⨯+⨯=. （2）()321231⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭313233212223111213⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭369246123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. （3）211251034034-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭1519103-⎛⎫⎪-⎝⎭. （4）212113512541-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭511⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （5）111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()111122133121222233131232333,,a x a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++123x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++.13. 设1*A BA A B E -=-， *222264368A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵，试求矩阵B ．解：1*A BA AB E -=-,在等式两边左乘A ，右乘1A -，得11*11AA BAA AA BA AEA ----=-1B A EBA E -→=-1B A BA E -→=-1B A A B E -→-=()1B A A E E -→-=*1B A A E E A ⎛⎫→⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭()*B A E E →-= ()1*B A E -→=-, 而*122254367A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1*1122210301B A E ---⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭.14. 设n 阶方阵A 满足2460A A E --=，试证A 及A E +均可逆，并求1A -及1()A E -+．证明：246A A E O --=246A A E ⇒-=(4)6A A E E ⇒-=1[(4)]6A A E E ⇒-= 所以A 可逆，且11(4)6AA E -=-；又246A A E O --=()(5)A E A E E ⇒+-=，所以A E +可逆，且1()5A E A E -+=-．15. 把下列矩阵化为行阶梯形.(1) 310211211344⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭； (2) 321312131370518---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 解：(1) 310211211344⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎝⎭12r r ↔−−−→112131021344--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 21313r r r r --−−−→112104650465--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭32r r -−−−→ 112104650000---⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2) 321322131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12r r -−−−→134412131370518--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭21312,7r r r r --−−−−−→13441071195021332715------⎛⎫ ⎪⎝⎭323r r -−−−→1344107119500----⎛⎫⎪⎝⎭. 16. 利用初等变换将下列矩阵化为行最简形.(1) 201312240131-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； (2) 23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭．解：(1) 201312240131-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12r r ↔−−−→122420130131-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭212r r -−−−→122404350131-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎝⎭23r r ↔−−−→122401310435-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭324r r +−−−→1224013100159-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3115r −−−→1224013130015⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭122r r -−−−→1086013130015⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭13238,3,r r r r +-−−−−−→610054010530015⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭； (2) 23137120243283023743--⎛⎫⎪--⎪ ⎪-⎪-⎝⎭12r r ↔−−−→12024231373283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭213141232r r r r r r ---−−−→1202401111088912077811--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭324287r r r r --−−−→12024011110001400014--⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭12432r r r r +-−−−→1020201111000140000-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭233(1)r r r -⨯-−−−→10202011030001400000-⎛⎫⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭． 17. 利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵.(1) 123134144A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； (2) 211112310-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭． 解：（1）123100(,)134010144001A E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2131r r r r --−−−→123100011110021101⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 322r r -−−−→12310011110001121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭23133r r r r ++−−−→120463010011001121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭122r r -−−−→100441010011001121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭, 所以1441011121A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭；（2） 211100112010310001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12r r ↔−−−→112010211100310001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭213123r r r r ++−−−→112010015120026031-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12322r rr r --−−−→103110015120004211----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 13(1)1()4r r --−−−→103110015120111001244⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭132335r r r r --−−−→113100244335010244111001244⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭， 所以1211112310--⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭21316354211-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 18. 求下列矩阵方程的解.(1) 223121*********X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；(2)设110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX X A =+，求X .(3)021123213231334X ⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪--⎝⎭； (4)010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解：(1)矩阵方程记为AX B =.11011~1011722312r--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭21312~r r r r+-110110112604314--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12324~r r r r -+1011701126007728---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭22312(,)1101110117A B ⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭23(1)7~r r ÷-÷101170112600114---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭1323~r r r r ++100030101200014-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1031214X A B --⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）2AX X A =+(2)A E X A ⇒-=，(2,)A E A -=110110011011101101---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭123(1)(1)(1)~r r r ÷-÷-÷-110110011011101101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3231~r r r r +-110110011011002220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭23123122~r r r r r --÷100011010101001110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1011(2)101110X A E A --⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）矩阵方程记为XA B =，可推出TTT A XB . 因为02312(,)2132313431T TA B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 10024~010*******r -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ,所以, 124()1714T T TX A B --⎛⎫⎪==- ⎪⎪-⎝⎭，从而1211474X BA ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （4）对矩阵方程010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的观察可见，矩阵010100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是一个互换第一、二行的初等矩阵，其逆矩阵也是它本身，所以用它左乘就意味着将后面的矩阵的第一、二行互换；矩阵100001010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是一个互换第二、三列的初等矩阵，其逆矩阵也是它本身，所以用它右乘就意味着将前面的矩阵的第二、三列互换. 所以11010143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭201100210143001134120010102--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：将矩阵方程010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭记为AXB C =，则010100(,)100010001001A E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12~r r ↔100010010100001001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故1010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100100(,)001010010001B E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭23~r r ↔100100010001001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故1100001010B -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，所以11010143100210100201001134001120010102X A CB ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪==-=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19. 设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且2AX E A X +=+，求X ．解：2AX E A X +=+2AX X A E ⇒-=-()()()A E X A E A E ⇒-=-+，因001100010~010100001A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A E -为可逆矩阵，所以1201()()()030102X A E A E A E A E -⎛⎫⎪=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭．二、综合题.20 . 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101A ，求所有与A 相乘可换的矩阵．解：显然与A 可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X ，并令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d cb aX ， 又 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d b c a b a AX ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=d d c b b a XA ，由可交换条件AXXA ，可得 0b =,d a = (其中c d a ,,为任意常数)，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0.21. 设2()35f x x x =-+，2133A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，证明：()0f A =．证明：计算得2751512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则有210217500()35350133151200f A E A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()f A O =．22. 设A 为n 阶方阵，证明：(1) 若20A =, 则1()E A E A --=+； (2) 若0kA =, , 则121()k E A E A A A ---=++++．证明：(1)因为2A O =，所以22()()E A E A E A A A E A E O E -+=+--=-=-=，所以1()E A E A --=+；（2）因为kA O =，所以，21()()k E A E A A A --++++2121()()k k k E A A A A A A A --=++++-++++k E A E =-=，所以121()k E A E A A A ---=++++．23. 证明：如果A 为可逆对称阵，则1A -也是对称阵. 证明：因为A 为可逆对称阵，即有11,TA A AAA A E --===, 对第二式取转置，11()()T T T AA A A E --==，即11()()T T T T A A A A E --==，注意到,T A A =上式成为11()()T TA A A A E --== 所以11()TA A --=，即1-A 为对称矩阵. 24. 设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，求5A . 解：由1P AP D -=，得1A PDP -=，所以5151111151()A PDP PDP PDP PDP PDP PDP PD P -------===51141014110211------⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14141033110321133⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭ 14112843443313211111233⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.教材上答案错误，以此为准.25. 已知()111,2,3,1,,23αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，令TA αβ=，求n A (n Z +∈).解：计算：111(1,,)23233T βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，1112311122(1,,)2123333312T A αβ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭. 所以 ()()()()()()n T n T T T T T n A αβαβαβαβαβαβ==个1()()()()T T T T T n αβαβαβαβαβ-=个111111123233332133312T n n T n n A αβαβ----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭. 26. 设111222333A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解：解法一：对矩阵A 的观察可得，11112222(1,1,1)3333A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若记(1,2,3),α=(1,1,1)β=，则T A αβ=，且1(1,1,1)263T βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 所以100()()()()()()T n T T T T T A αβαβαβαβαβαβ==100个99()()()()T T T T T αβαβαβαβαβ=个999999991116666222333T T A αβαβ⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭. 解法二：直接计算，211111166611122222212121262226333333181818333A AA A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3226666A A A AA A A ===⋅= 432236666A A A AA A A ===⋅= ........................................................... 100999911166222333AA ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.27．设3阶矩阵A,B 满足关系式BA A BA A +=-61，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,求B . 解：BA A BA A +=-61⇒11116A BAA AA BAA ----=+⇒16A B E B -=+⇒16AA B A AB -=+ ⇒6B A AB =+⇒1116A B A AB A A ----= ⇒ 11)(6---=E A B ,()11300200040030,007006A A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而，()-111002300100020.30011006A E B -⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪-== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭则，所以 28. 设A 为3阶矩阵，且1||2A =，求1*(3)2A A --的值． 解：1*3111().24n A A--===11*111(3)22233A A A A A A A-*-**-=-=- 331111116(2)(2).1334272A A *=-=⋅-⋅=- 29. 确定参数λ，使矩阵2112121212λλλ----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩最小.解：222211211212103321203224λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭22222112112033033032103(1)(2)1λλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---+-⎝⎭⎝⎭可见，当1λ=时矩阵的秩最小为2.30. 已知A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 111111, 讨论A 的秩.解：211111111110111111011x x x A x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111101101100(1)(1)00(1)(2)x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-+--+⎝⎭⎝⎭所以当3)(21=-≠A r x 时，和; 当2)(2=-=A r x 时，; 当1)(1==A r x 时，.31. 试写出矩阵1001010200130000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三种分块形式. 解：(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=210000310020101001O O D E A ， 其中100010,001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,3D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1(0,0,0),O =()1120⨯=O ；(2) ()10010102,,00130000A F b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0321,000100010001b F ； (3) ()12310010102,,,00130000A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0321,0100,0010,0001321b a a a .。
第二章习题解答及参考答案
2 I λz Is = 0 π d
∫
∞
0
J1 (ψ ) ψ ψdψ
2 2 2 2
∞J ( ∞J ( ψ J ( I (r ) ψ J (ψ ) ψ ) ψ ) 1 ψ ) 故： F (r0 ) = i 0 = ∫ 1 ψdψ / ∫ 1 ψ dψ = ∫ 1 dψ dψ / ∫0 0 0 0 Is ψ ψ ψ ψ
第二章 标量衍射理论
部分习题解答及参考答案
[2-1] 在基尔霍夫衍射公式（2-2-16）或（2-2-20）中，同时对光场及其法向导数施加了边 界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林 函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面 S1 上为 0,这时就不必同时对光场及其法 向导数施加边界条件。例如，可以选择 G 同时由观察点 P0 及其对衍射屏的镜对称点 P0 各
1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) U ( x0 , y0 ) = e e F {t (x1 , y1 )} iλ z k 1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) 2 = [a sinc (af x , af y ) − b 2sinc (bf x ,bf y )] e e iλ z
解：方形环带的透过率函数为：
当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其透过此环带的光场 U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) ，故观察 面上的光场分布为：
x y x y t ( x1 , y1 ) = rect 1 , 1 − rect 1 , 1 a a b b
按极值条件，令 x J 0 (x ) − 2 J1 (x ) x = 0 = 0, εx J 0 (εx ) − 2 J1 (εx ) x = 0 = 0 求得：
电磁场原理习题与解答(第2章)
由
所以： 第二步 单独作用产生的电场强度为，如图（c）所示。
第三步 将和在空洞中产生的场进行叠加，即 注： 2-7半径为 a介电常数为ε的介质球内，已知极化强度 （k为常数）。 试求：（1）极化电荷体密度和面密度 ；
（2）自由电荷体密度 ； （3）介质球内、外的电场强度。 解：(1) ，
（2） 因为是均匀介质，有
的电场与方位角无关，这样处取的元电荷，它产生的电场与点电荷产生
的场相同，为：
z
y
l/2
图2-2长直线电荷周围的电场
l/2
P
其两个分量：
（1）
（2）
又
所以：
（3）
式（3）分别代入式（1）（2）得：
；
（4）
又
（5）
式（5）代入式（4）得：
由于对称性，在z方向 分量互相抵消，故有
（2）建立如图所示的坐标系
应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。
2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示， 试写出电位和电场的表达式。 解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电 位公式得：
又，
题图2-4
2-5解， (1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U0后将ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ源拆去，各极 板带电情况如图（1）所示
解：设导电平板的面积为S。两平行板间的间隔为d=1cm。显然， 绝缘导电片的厚度。平板间的电压为。
（1） 忽略边缘效应，未插入绝缘导电片时
插入导电片后
所以，导电片中吸收的能量为
这部分能量使绝缘导电片中的正、负电荷分离，在导电片进入极板间 时，做机械工。
第二章参考答案
记 α = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kr αr , β = br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs , γ = cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt . 则 α ∈ U ∩ W, β ∈ U, γ ∈ W , 以及 α + β + γ = 0. 于是 γ = −α − β ∈ U , 从而 γ ∈ U ∩ W ; 从而存在适当的数 d1 , d2 , · · · , dr , 使得 γ = d1 α1 + d2 α2 + · · · + dr αr , 即 d1 α1 + d2 α2 + · · · + dr αr − cr+1 γr+1 − cr+2 γr+2 − · · · − ct γt = 0. 由于 (2) 是 W 的一组基, 故有 d1 = d2 = · · · = dr = cr+1 = cr+2 = · · · = ct = 0. 同理, 由 于 (1) 是 U 的一组基, 由 (4) 又得, k1 = k2 = · · · = kr = br+1 = br+2 = · · · = bs = 0. 因此, (3) 确是线性无关的向量组. 再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ . 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1 , k2 , ..., kr , br+1 , br+2 , ..., bs 及 l1 , l2 , ..., lr , cr+1 , cr+2 , ..., ct 使 β = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kr αr + br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs , γ = l1 α1 + l2 α2 + · · · + lr αr + cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt , 因此 α = (k1 + l1 )α1 + (k2 + l2 )α2 + · · · + (kr + lr )αr +br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs +cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt . 即 α 是向量组 (3) 的线性组合. 所以, (3) 是 U + W 的一组基. （2）设 dim V = n. 则显然子空间的真包含的链 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V 的长度 m ≤ n. 另一方面, 设 α1 , · · · , αn 是 V 的一组基，则 0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2 ) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm ) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn ) = V 显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。 4. 证明多子空间直和的判定定理：设 W1 , W2 , · · · , Ws 是线性空间 V 的子空间, 则下列 命题等价: (1) W1 +W2 +· · ·+Ws 是直和即 dim (W1 +W2 +· · ·+Ws ) = dim W1 +dim W2 +· · ·+dim Ws ; ∑ (2) Wj ∩ k=j Wk = 0, 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ s; (3) 任意向量 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 的分解式唯一; (4) 零向量的分解式唯一. ∑ 证明：(1) ⇒ (2) 对 s 做归纳，将 k=j Wk 看做一个子空间即可。 (2) ⇒ (3) 设 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 有两个分解 α = α1 + α2 + · · · + αs 以及 α = β1 + β2 + · · · + βs ，其中 αi , βi ∈ Wi , ∀i. 则 αi − βi = ∑ ∑ (βj − αj ) ∈ Wj
分析化学第二章习题及答案
(2)方程式说明,k值增大也对分离有利,但k值太大会延长分离时间,增加分析成 本.
(3)提高柱选择性,可以提高分离度,分离效果越好,因此可以通过选择合适的 固定相,增大不同组分的分配系数差异,从而实现分离.
11.对担体和固定液的要求分别是什么?
答:对担体的要求; (1)表面化学惰性,即表面没有吸附性或吸附性很弱,更不能与被测物质起化学 反应. (2)多孔性,即表面积大,使固定液与试样的接触面积较大.
(2) 分子扩散项 B/u 由于试样组分被载气带入色谱柱后，是以“塞子”的形式存 在于柱的很小一段空间中，在“塞子”的前后 ( 纵向 ) 存在着浓差而形成浓度梯 度，因此使运动着的分子产生纵向扩散。而 B=2rDg r 是因载体填充在柱内而引起气体扩散路径弯曲的因数 ( 弯曲因子 ) ， D g 为组 分在气相中的扩散系数。分子扩散项与 D g 的大小成正比，而 D g 与组分及载气 的性质有关：相对分子质量大的组分，其 D g 小 , 反比于载气密度的平方根或载 气相对分子质量的平方根，所以采用相对分子质量较大的载气 ( 如氮气 ) ，可使 B 项降低， D g 随柱温增高而增加，但反比于柱压。弯曲因子 r 为与填充物有关 的因素。 (3) 传质项系数 Cu C 包括气相传质阻力系数 C g 和液相传质阻力系数 C 1 两项。 所谓气相传质过程是指试样组分从移动到相表面的过程，在这一过程中试样组分 将在两相间进行质量交换，即进行浓度分配。这种过程若进行缓慢，表示气相传 质阻力大，就引起色谱峰扩张。对于填充柱： 液相传质过程是指试样组分从固定相的气液界面移动到液相内部，并发生质量交 换，达到分配平衡，然后以返回气液界面 的传质过程。这个过程也需要一定时 间，在此时间，组分的其它分子仍随载气不断地向柱口运动，这也造成峰形的扩 张。液相传质阻力系数 C 1 为：
运筹学习题答案(第二章)
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运筹学教程
第二章习题解答
minW b1y1 b2y2 bmym
m
aijyi
cj
( j 1,2,,n1)
对偶问题： stim1 aijyi cj
( j n1 1,n1 2,,n)
i1 yi 0
(i 1,,m1)
yi无约束（ j m1 1,,m）
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第二章习题解答
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max W 2 y 1 4 y 2 3 y 3
(1) 对偶问题：
3 y1 4 y 2 2 y 3 60
st
2 y1 y1 3
y2 y2
2 2
y3 y3
40 80
y 1 , y 2 , y 3 0
max Z x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 2
st
x1 2 x1
x
2
x
2
x
3
x
1 3
2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
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Cj－Zj
32 2 0 0 0
┆ ┆ ┆ ┆┆ ┆ ┆ ┆ ┆
0 X4 5/4 0 0 (d) (l) -1/4 -1/4
3 X1 25/4 1 0 (e) 0 3/4 (i)
2 X2 5/2 0 1 (f) 0 (h) 1/2
Cj－Zj
0 (k) (g) 0 -5/4 (j)
2 电磁场与电磁波第二章习题答案
第二章 习题解答2.5试求半径为a ，带电量为Q 的均匀带电球体的电场。
解：以带电球体的球心为球心，以r 为半径，作一高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =Q ，及D E ε= 得，错误！未找到引用源。
r ≤a 时， 由S D dS ∙⎰ =224433Qr a ππ⨯，得34Qr D a π= 304Qr E a πε= 错误！未找到引用源。
r>a 时，由S D dS ∙⎰ =Q ，得34Qr D r π= 304Qr E rπε= 2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为a 和b （a<b ），内外导体间为空气。
设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S ρ和2S ρ，求： 错误！未找到引用源。
空间各处的电场强度；错误！未找到引用源。
两导体间的电压；错误！未找到引用源。
要使ρ>b 区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？解：错误！未找到引用源。
以圆柱的轴为轴做一个半径为r 的圆柱高斯面，由高斯定理S D dS ∙⎰ =q及D E ε= 得，当0<r<a 时，由S D dS ∙⎰ =q=0，得D =0，E =0当a ≤r ≤b 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯D =1S r e r ρ ，10S r aE e rρε= 当b<r 时，由S D dS ∙⎰ =q,得D r l π⨯2⨯= 1S ρa l π⨯2⨯+2S ρb l π⨯2⨯D =12s s r a b e r ρρ+ ，E =120s s r a b e rρρε+ Equation.DSMT4 11ab 00ln b b s s a a a a a E dr dr r b ρρεε∅===⎰⎰ Equation.DSMT4 ρ>0的区域外电场强度为0，即：E =120s s r a b e rρρε+ =0，得1S ρ=2s b a ρ- 2.9 一个半径为a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q 的电荷，已知内部的电场为4()r r E a a= ，计算： = 2 \* GB2 ⑵球的外表面的电荷分布；布；= 4 \* GB2 ⑷球心的电位。
第二章8086习题答案
微机原理第二章习题与分析解答1．单项选择题（1）8086工作最大方式时应将引脚MN/MX接（）A．负电源 B.正电源 C.地 D.浮空分析：8086规定工作在最小方式下MN/MX接+5V，工作在最大方式下MN/MX 接地。
答案：C（2）8086能寻址内存储器的最大地址范围为（）A．64KB分析：8086有A0~A1920条地址总线，220=1MB。
答案：B|（3）在总线周期，8086CPU与外设需交换（）A．地址信息 B.数据信息 C.控制信息、B、C分析在总线周期，CPU必须发出地址信息的控制信息以后，才能实现与外设进行交换数据。
答案：D（4）8086用哪种引脚信号来确定是访问内存还是访问外设（）A．RD IO分析：引脚信号M/IO是Memory or Input Output的缩写，当M/IO=0时，用以访问外设；当M/IO=1，用以访问外设。
答案：C（5）在8086指令系统中，下列哪种寻址方式不能表示存储器操作数（）A．基址变址寻址B.寄存器寻址C.直接寻址 D.寄存器间接寻址"分析：8086指令系统共有七种寻址方式，只有立即寻址方式和寄存器寻址方式不是表示存储器操作数的。
答案：B（6）当CPU时钟频率为5MHz，则其总线周期（）A．0．8 s μs分析：时钟周期T=1/ƒ=200ns,而一个总路线周期通常由4个T状态组成，有4╳T=4╳200ns=μs.答案：A（7）8086工作在最大方式下，总路线控制器使用芯片（）A．8282 B.8286分析：在最大方式下，系统中主要控制信号是由总路线控制器产生，而只有芯片8288才有这方面的功能。
答案：D…（8）取指令物理地址=（）A．（DS）╳10H+偏移地址 B.（ES）╳10H+偏移地址C．（SS）╳10H+（SP） D.（CS）╳10H+（IP）分析：每当8086CPU取指令时，总是根据CS：IP的所指的存贮单元去取指答案：D（9）一个数据的有效地址是2140H、（DS）=1016H，则该数据所在内存单元的物理地址为（）Ａ.１２３００H分析：存贮器操作数的物理地址计算方法为：（DS）╳10H+有效地址，即1016H ╳10H+2140H=122A0H答案：B（10）在8086中用一个总路线周期访问内存，最多能读/写（）字节。
第二章课后习题答案
1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。
（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。
（2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。
求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。
（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。
求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。
（4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。
（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响.解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P得: Pe=6以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略)(2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略)(3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p ,代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5(4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时,均衡数量Qe= 20 ,且当Qe=20 时,有Pd=Ps=Pe=6 ，也可以这样来理解静态分析:在外生变量包括需求函数的参数(50,-5) 以及供给函数中的参数(-10,5)给定的条件下,求出的内生变量分别为P= 6 ，Qe =20依此类推,以上所描素的关于静态分析的基本要点,在(2)及其图和(3)及其图中的每一个单独的均衡点上都得到了体现。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
逻辑学导论2 第二章习题参考答案
《逻辑学导论（2）》第二章习题解答一、请将下述命题符号化，如果是复合命题，请根据其中所含的主联结词，指出是何种复合命题：1．阳光和红霞是好朋友。
【解】：p。
这是一个简单命题，应作为一个整体看待。
2．贝多芬和莫扎特是伟大的作曲家。
【解】：设p表示“贝多芬是伟大的作曲家”，q表示“莫扎特是伟大的作曲家”，则上述命题可表示为：p∧q。
这是一个联言命题。
3．说西红柿是蔬菜是假的。
【解】：设p表示“西红柿是蔬菜”，则上述命题可表示为：⌝p。
这是一个负命题。
4．大连队将获得今年的甲A冠军，否则，冠军就是国安队。
【解】：设p表示“大连队将获得今年的甲A冠军”，q表示“国安队将获得今年的甲A冠军”，则上述命题可表示为：p∨ q。
这是一个选言命题。
5．尽管并非所有的人都是自私的，但仍然有不少人很自私。
【解】：设p表示“所有的人都是自私的”，q表示“有不少人很自私”，则上述命题可表示为：⌝p∧q。
这是一个联言命题。
6．如果我们再不降低生育率，那我们就会连坐下来的空间都没有了。
【解】：设p表示“我们再不降低生育率”，q表示“我们连坐下来的空间都没有了”，则上述命题可表示为：p→q。
这是一个假言命题。
7．即使我们提高税收，财政赤字仍不会减少，除非我们削减政府开支。
【解】：设p表示“我们提高税收”，q表示“财政赤字会减少”，r表示“我们削减政府开支”，则上述命题可表示为：⌝r→⌝(p→q)。
这是一个假言命题。
8．钱不是万能的，但没有钱是万万不行的。
【解】：设p表示“钱不是万能的”，q表示“没有钱是万万不行的”，则上述命题可表示为：p∧q。
这是一个联言命题。
9．如果你是草，羊会站在你的身上，践踏你，啃食你，不管你是它的亲人还是朋友；如果你是参天大树，羊会仰望你，赞美你，无论你是残疾还是孩子。
【解】：设p1表示“你是草”，q1表示“羊会站在你的身上践踏你”，r1表示“羊会站在你的身上啃食你”，s1表示“你是它的亲人”，t1表示“你是它的朋友”，则上述命题的前半部分可表示为：p1→⌝(s1∨t1→⌝q1∨⌝r1)。
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第二章习题及解答1. 简述网络信息资源的特点。
（1）分散性分布；（2）共享性与开放性；（3）数字化存储；（4）网络化传输。
2. 试比较全文搜索引擎、分类检索、元搜索引擎三种搜索引擎的不同之处。
全文搜索引擎是目前主流的搜索引擎，有计算机索引程序在互联网上自动检索网站网页，建立起数据库，收录网页较多，用户按搜索词进行检索，返回排序的结果。
以谷歌、百度、必应等为代表。
分类检索，将人工搜集或用户提交的网站网页内容，将其网址分配到相关分类主题目录，形成分类树形结构索引。
用户不需用关键词检索，只要根据网站提供的主题分类目录，层层点击进入，便可查到所需的网络信息资源。
典型代表有Yahoo、新浪分类目录搜索、淘宝网的类目等。
分类检索用于目标模糊、主题较宽泛、某专业网站或网页的查找，要求查准时选用；元搜索引擎不是一种独立的搜索引擎，没有自己的计算机索引程序和索引数据库，是架构在许多其他搜索引擎之上的搜索引擎。
在接受用户查询请求时，可以同时在其他多个搜索引擎中进行搜索，并将其他搜索引擎的检索结果经过处理后返回给用户。
3. 简述搜索引擎的工作原理。
搜索引擎的基本工作原理包括如下三个过程：首先，抓取，在互联网中发现、搜集网页信息；第二，建立索引，对信息进行提取和组织建立索引库；第三，搜索词处理和排序，由检索器根据用户输入的查询关键字，在索引库中快速检出文档，进行文档与查询的相关度评价，对将要输出的结果进行排序，并将查询结果返回给用户。
4．简述常用的关键词高级检索功能。
常用的关键词高级检索功能应用包括：使用检索表达式搜索、使用高级搜索页、元词搜索。
使用检索表达式搜索分别有空格、双引号、使用加号、通配符、使用布尔检索等。
有时我们为了限制搜索范围、搜索时间、过滤关键字等，需要用到高级搜索页。
大多数搜索引擎都支持“元词”（metawords）功能。
依据这类功能，用户把元词放在关键词的前面，这样就可以告诉搜索引擎你想要检索的内容具有哪些明确的特征。
5. 简述基于大数据信息检索的特点。
基于大数据的信息检索具有以下特点：智能化、个性化、可视化。
6. 简述大数据的特征。
大数据的特征可用4V来概括：第一，Volume（海量的数据规模）；第二，Variety（多样的数据类型）；第三，Value（价值密度低）；第四，Velocity（快速的数据流转）。
7. 简述大数据的总体三层架构。
大数据的总体架构包括三层：数据存储、数据处理和数据分析。
类型复杂和海量由数据存储层解决，快速和时效性要求由数据处理层解决，价值由数据分析层解决。
8. 数据分析主要关注的两个内容是什么？数据分析主要关注两个内容：一是数据建模，在该数据模型下需要支持各种分析方法和分析策略；二是根据业务目标和业务需求建立的KPI指标体系，对应指标体系的分析模型和分析方法。
解决这两个问题基本解决数据分析的问题。
9. 简述数据挖掘。
数据挖掘是面对海量数据时对数据价值进行提炼的关键环节，它没有什么预先设定好的主题，主要是在现有数据上面进行基于各种算法的计算，从而起到预测（Predict）的效果，实现一些高级别数据分析的需求。
比较典型算法有用于聚类的Kmeans、用于统计学习的SVM 和用于分类的NaiveBayes，主要使用的工具有Hadoop的Mahout等。
10. 简述大数据思维。
大数据时代的变革绝不限于技术层面，本质上，它为我们观察世界提供了一种全新思维。
（1）从样本思维转向总体思维。
在大数据时代，人们可以获得并分析更多的数据，而不再依赖于采样。
（2）从精确思维转向容错思维。
当拥有海量即时数据时，绝对的精准不再是追求的主要目标，适当忽略微观层面上的精确度，容许一定程度的错误与混杂。
（3）从因果思维转向相关思维。
在大数据时代，人们可以通过大数据技术挖掘出事物之间隐蔽的相关关系，获得更多的认知与洞见。
11. 简述大数据的价值。
（1）对大量消费者提供产品或服务的企业可以利用大数据进行精准营销；做小而美模式的中小微企业可以利用大数据做服务转型。
（2）在投资者眼里，大数据是资产。
（3）通过“加工处理”可以实现大数据的“增值”。
12. 数据化管理的四个层次是什么？（1）业务指导管理。
业务指导管理的范畴包括销售、人力资源、生产、财务、客服等业务单元。
通过数据收集、数据监控、数据追踪等手段透视业务，通过数据分析、数据挖掘等方式搭建业务管理模型来提升业务。
主要管理模块有目标及预测管理、利润及费用管理等。
（2）营运分析管理。
简单来讲，营运分析管理是对人、货、场、财的分析管理。
包括绩效考核管理、库存分析管理、供应链分析管理、客流分析管理、资金分析管理、客户关系管理（CRM）等。
业务指导管理和营运分析管理的区别在于前者侧重于追踪和监控，后者侧重于分析和管理。
（3）经营策略管理。
经营策略管理指通过对各经营环节进行对应的数据分析来达到制定和修改策略的目的，数据化的策略管理是企业测量合理化的一个保证。
包括消费者购买行为分析、会员顾客策略、商品定价策略、品牌定位策略、竞争对手策略管理、资源分配策略等。
（4）战略规划管理。
战略规划管理是通过企业内部和外部数据，制定企业的长远规划的过程。
包括宏观经济分析、行业环境分析、经营环境分析、内部资源分析、企业竞争力分析、战略目标规划管理、战略可操作性评估等。
13. 数据化管理的流程有哪些步骤并应该注意哪些事项。
（1）分析需求。
分析需求包括收集需求、分析需求、明确需求三个部分。
（2）收集数据。
收集数据是根据使用者的需求，通过各种方法来获取相关数据的一个过程。
在收集过程中需要不断地问自己，数据来源是否可靠？收集数据的方法是否有瑕疵？收集的数据是否有缺失？（3）整理数据。
整理数据是对收集到的数据进行预处理。
使之变成可供进一步分析的标准格式的过程。
（4）分析数据。
分析数据是指在业务逻辑的基础上，运用最简单有效的分析方法和最合理的分析工具对数据进行处理的一个过程。
（5）数据可视化。
数据可视化是将分析结果用简单且视觉效果好的方式展示出来，一般运用文字、表格、图表和信息图等方式进行展示。
WORD、EXCEL、PPT、水晶易表等都可以作为数据可视化的展示工具。
需要注意的事项：数据图表主要作用是传递信息，不要用它们来炫技，不要舍本逐末般过分追求图表的漂亮程度。
不要试图在一张图中表达所有信息，不要让图表太沉重。
数据可视化是以业务逻辑为主线串起来的，不要随意的堆砌图表。
不要试图用图表去欺骗人，否则你的结果会很惨。
（6）应用模块开发。
对于那些标准化程度比较高的数据以及使用频率比较高的分析文件，可以开发成一种固定的模板格式，这样的好处是标准化、程序化，并且会大大节约时间。
（7）分析报告。
分析报告是数据分析师的产品，可以用WORD、EXCEL、PPT作为报告的载体。
写数据分析报告就犹如写议论文，数据分析报告必须要有明确的论点，有严谨的论证过程和令人信服的论据。
写数据分析报告的注意事项：不要试图面面俱到，一定要有重点，可以聚焦在关键业务以及受众的关注重点上。
不要写成记叙文，要写成议论文，要有论点、论据、论证。
其次需要注意的是同一主题下的论点不能太多，建议最好不要超过三个。
报告需要有逻辑性。
一是报告各部分内容之间的逻辑性；二是某一个内容的逻辑性。
前者可以利用业务间的逻辑来串联，后者一般遵照发现问题、解读问题、解决问题的逻辑。
数据分析报告要有很强的可读性，尽量图表化，千言万语不如一张图。
不要回避“不良结论”，有时候做数据分析也是一个良心工程。
报告中务必注明数据来源、数据单位、特殊指标的计算方法等，尽量少用或者不用专业性强的术语。
（8）模板应用。
14. 微信公众号的营销策略有哪些？阶段性策略：微信一开始建立平台，吸引所有商家和企业进驻，达到吸引关注、引入流量的目的，在功能上设置上不断进行技术的开发和追赶，从免费短信和语音，到“查看附近的人”“扫一扫”“摇一摇”，再到朋友圈以及微支付等，都采取了开发的姿态广泛迎合受众要求，随着微信逐渐进入平稳发展时期，腾讯开始对微信营销热潮进行收缩。
微信公众号平台一开始的“广招客源”到现在限制和打压订阅号，反映出了微信的阶段性营销策略。
微信的订阅号比服务号更有可能被用作为第三方的营销工具，这不仅会造成微信的流量流失，还会因为过度的资讯泛滥影响腾讯最为看重的用户体验。
因此，在微信公众平台的流量趋于稳定之后，迫切需要做的就是收缩第三方营销规模，净化平台环境。
专一社交策略：腾讯公司从创立之初就一直坚持“一切以用户价值为依归”，采取“哈客策略”以积分兑换等方式为用户返利，鼓励用户使用其旗下应用。
随着企业经营模式的日趋成熟，腾讯公司已经将“哈客模式”融入到企业运营的思维和理念之中，即以受众体验一切行动的最高宗旨，而不单单是具体实利反馈。
社交是腾讯的立根之本，以社交为平台，延伸商业触角是最佳途径。
腾讯采取一系列措施都是希望将微信公众平台“去媒体化”，坚守“专一社交”的阵地，淡化微信公众号的媒体和营销氛围，使得用户始终留在微信上，作为一个社交平台，继而可以保证微信再移动端的入口地位。
多元经营策略：微信归类在腾讯产品的通信类别之下，仍然以社交为核心属性，但2013年微信升级为5.0版本时，新增了微信支付、游戏中心；在“扫一扫”中增添了条形码、封面、街景、翻译的扫描功能；折叠了订阅号的推送，限制了服务类账户的推送次数；在聊天功能之外，SNS和移动电商也同时成为微信运营的重点。
由此看出微信在不断进行多元经营的尝试，构建庞大的移动商业生态圈，包括移动游戏、电子商务、020商业模式以及其他基于地理位置的服务等。
15. 假如你是某茶品公司的营销人员，如何通过微信公众号进行营销？在公众号里面做营销，要符合公众号的特性，就是内容导向的特性，因此，很少会用到赤裸裸的硬广告。
有效的做法是通过内容将你的产品和企业文化潜移默化地影响到用户。
所以内容十分重要。
而内容主要分为图文、视频、直播。
对于茶品来说，这三种方式都适用。
可以围绕茶文化、茶道、不同茶的特点等等生产一些列内容，既有知识性和趣味性，又推广了茶品。
另外，还可以线上线下结合，开展一些可以互动的活动，比如晒茶道可以得礼品，写品茶心得可以获赠礼物等等，从而提升粉丝的活跃度和购买欲。