3空间力系正式解析
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03第三章 空间力系
m (F) = m (F ) z O xy = m (F ) +m (F ) O x O y
即
m (F) = xY − yX z
同理可得其余两式，即有：
m (F) = yZ − zY x my (F) = zX − xZ m (F) = xY − yX z
力对轴的矩的解析式
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 ⒈ 定理 力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 轴的矩。 轴的矩。这就是力对点之矩与对 通过该点轴之矩的关系。 通过该点轴之矩的关系。 ⒉ 证明
第3章 章 空 间 力 系
本章重点、 本章重点、难点
⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 常见的空间约束及约束反力。
⒉难点
空间矢量的运算， 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 图。
四、空间力偶系的合成与平衡 ⒈ 合成 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶 矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合 成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。
n i= 1
即： m = m +m +m +L m = ∑m + n 1 2 3 i
2 2 大小： m = mx ห้องสมุดไป่ตู้m2 +mz ; y
四、力对点的矩的解析求法 又由于
m (F) = r ×F O =[m (F)]xi +[m (F)]y j +[m (F)]z k O O O
=mx (F)i +my (F) j+mz (F)k
3 空间力系
例题3 例题3-6
及各尺寸， 均质长板 重为P及各尺寸，A处作用水平力 已知： 已知： F=2P。 F=2P。求：各杆内力 解：研究对象为长方板 受力如图
P a M 6 6 ∑ AB(F) =0 −F ⋅a−2⋅P=0 F = 2 M ∑ AE(F) =0 F =0 5 M F =0 ∑ AC(F) =0 4
Fz
α=7 ° 1 64 '
z
F
β =7 ° ' 17
γ =2 ° 3
空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)： 空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)
例3-2 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂 3 节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和 所构成的平面垂直于 节点 ， 其上作用有铅直载荷 。 钢丝 和 OB所构成的平面垂直于 铅直平面Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝 则沿水平轴 。已知 ，并与该平面相交于 ，而钢丝OC则沿水平轴 则沿水平轴y。 铅直平面 OD与轴 间的夹角为 ，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉 与轴z间的夹角为 ， 与轴 间的夹角为β， 力。
在三轮货车上放着一重W=1 000 kN的货物，重力 的货物， 例3-4 在三轮货车上放着一重 的货物 重力W 的 作 用 线 通 过 矩 形 底 板 上 的 点 M 。 已 知 O1O2=1 m ， O3D=1.6 m，O1E=0.4 m，EM=0.6 m，点D是线段 1O2的中 点 是线段 是线段O 试求A，B，C，各处地面的铅直反力。 各处地面的铅直反力。 点，EM⊥ O1O2。试求 试求 各处地面的铅直反力
合力偶） ⊕ 主矩 Mo (合力偶） 合力偶
3）空间任意力系的平衡方程 ）
F F F ∑ =0, ∑ =0, ∑ =0
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
第三章 空间力系
Ft tan Fa Ft tan Fr cos
第三章 空间力系
【课堂练习】图示力F作用在A点，此力在x轴、y轴、z轴 上的投影分别是多少？
第三章 空间力系
三、交于一点且互相垂直的三力的合成
力直角平行六面体法则
F＝
Fx2 Fy2 Fz2
Fx cosα＝ F
Fy cosβ＝ F
第三章 空间力系
（2）力F对各坐标轴之矩为： Mz(F )= Mz(Fx)+Mz(Fy)= -Fx· y+Fy· x= -10.98 N· m Mx(F )=Mx(Fy)+Mx(Fz)= -Fy· z-Fz· y= -105 N· m My(F)=My(Fx)+My(Fz)=Fx· z+Fz· x=53.3 N· m。
解：
（1）确定车刀刀尖为研究对象，以工件主轴为水平轴空间 直角坐标系。
第三章 空间力系
（ 2）刀尖受力分析
刀尖受到径向力Fx（沿x轴方向）、轴向力Fy（沿y轴方 向）、圆周力Fz（沿z轴方向）的作用。 （3）用力直角平行六面体法则求合力F 以三力Fx、Fy、Fz为棱边作一直角平行六面体，则此六面 体的对角线即为三力的合力F＝19.6 kN
第三章 空间力系 三、空间力系的平衡条件和平衡方程
力矢的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零。
FR' 0
，
Mo 0
Fy =0 Fy=0 Fz=0 Fz =0 Mx(F )=0 Mz(F )=0
• 空间汇交力系力系 Fx =0 • 空间平行力系力系 Fy=0 • 空间任意力系力系 Fx=0 • 空间力偶系力系
第三章 空间力系 四、空间力系平衡的平面解法
1．确定研究对象，画出受力图。
第三章空间力系
y
x
b
求图示正立方体上的力F 在x y z三个坐标轴
上的投影
z
y
x
F
思考:何时力在坐标轴上的投影为零?
求图示正立方体上的力 F 在坐标轴AB上的投影
z F
A
y
x
B
7
静力学
第四章 空间力系
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 q ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z
z Fz
F
kj Fx i
Fy
y
x
2 间接投影法(二次投影法)。
Fz F cos
Fx F sin cos
F y F sin sin
z Fz
F
Fx
x
Fxy
Fy y
求图示正立方体上的力F 在x y z三个 坐标轴上的投影
z z
F
F
y
c
Fxy q
y
x
a Fxy q
1.力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡, 只能用力偶来平衡 。 2.力偶对空间内任意一点的矩矢都等于力偶矩矢， 与矩心无关 3.力偶的可传性
作用平面内移动+可平移到与作用平面平行的任意平面上
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
30
四、空间力偶系的合成 1 空间力偶系
力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为
z
B
[M O (F )]x yFz zFy
MO(F)
F
[MO (F)]y zFx xFz
第三章空间力系
MO( F ) = [MO( F )]x i + [MO( F )]y j + [MO( F )]z k
= (yZ － zY) i + (zX － xZ) j + (xY － yX) k
而
M x ( F ) = yZ － zY M y ( F ) = zX － xZ M z ( F ) = xY － yX
Fxy
O
B
h
A Fxy
力对轴的矩等于零的情形：
① 力与轴相交( h = 0 )
② 力与轴平行( Fxy = 0 ) 一句话: 只要力与轴在同一 平面内,力对轴的矩等于零。
力对轴的矩之解析表达式
z
Z
F
设空间中有一个力 F
力作用点 A（ x，y，z ）;
F 在三轴的投影分别为 X，Y，Z ;
A(x, y, z) YY X
要使 | MO (F ) | = 0， 就有r×F =0，得：
1） r = 0 或 r 与 F 共线，即力通过矩心； 2） F = 0
力对点的矩采用行列式可得如下形式：
由： r = x i + y j + z k 和 F = X i + Y j + Z k
可得：
i jk
MO(F) r F x y z XYZ
F Fz
Fxy
y x
力对轴的矩之定义
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是一 个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的 投影对于此平面与该轴的交 点的矩的大小。逆着坐标轴 正向看，力使物体绕轴逆时 针旋转为正。
即 Mz( F ) = M O( Fxy) = ± Fxy h
z
第三章空间力系概论
cos Fx Fx2 Fy2 Fz2 cos Fy Fx2 Fy2 Fz2 cos Fz Fx2 Fy2 Fz2
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
试分别写出两个力在三个坐标轴上的投影。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面
2.力对轴的矩
M z (F) MO (Fxy) Fxy d
d
Fxy
O
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
试分别写出两个力在三个坐标轴上的投影。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面
2.力对轴的矩
M z (F) MO (Fxy) Fxy d
d
Fxy
O
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
3空间力系解析
将力分解：
FZ∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
O
d
F
Fz
A F xy
于是： mz (F ) mO (Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影 对此轴与这个平面交点的矩。
（1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。
（2）若力与轴空间垂直，则 无须投影。
注意：
①力偶不出现在投影式中 ②力偶在力矩方程中出现
是把力偶当成矢量后，将 该矢量向该轴投影（类似 力在轴上的投影）
解：
X i 0, X D 0
my
0,
m2
ZA
a
0, Z A
m2 a
mz
0, m3
YA
a
0,YA
m3 a
Yi
0, YA
YD
0, YD
YA
m3 a
Zi
0,
ZA
ZD
0,
R F1 F 2 ... F n Fi
二、空间力偶系的合成 空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩 矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空 间汇交力系的合成方法，得
空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和，即
m m1 m2 ... mn mi
2
方法二：解析式
X=Pcos600sin450=5 2N
Y=－Pcos600cos450
= － 5 2N Z= － Psin600= － 10 3N
x= －0.4m
y=0.2+0.3=0.5m
z=0.3m
mz( P ) xY yX
0.4 (5 2) 0.55 2 0.5 2N m
FZ∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
O
d
F
Fz
A F xy
于是： mz (F ) mO (Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影 对此轴与这个平面交点的矩。
（1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。
（2）若力与轴空间垂直，则 无须投影。
注意：
①力偶不出现在投影式中 ②力偶在力矩方程中出现
是把力偶当成矢量后，将 该矢量向该轴投影（类似 力在轴上的投影）
解：
X i 0, X D 0
my
0,
m2
ZA
a
0, Z A
m2 a
mz
0, m3
YA
a
0,YA
m3 a
Yi
0, YA
YD
0, YD
YA
m3 a
Zi
0,
ZA
ZD
0,
R F1 F 2 ... F n Fi
二、空间力偶系的合成 空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩 矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空 间汇交力系的合成方法，得
空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和，即
m m1 m2 ... mn mi
2
方法二：解析式
X=Pcos600sin450=5 2N
Y=－Pcos600cos450
= － 5 2N Z= － Psin600= － 10 3N
x= －0.4m
y=0.2+0.3=0.5m
z=0.3m
mz( P ) xY yX
0.4 (5 2) 0.55 2 0.5 2N m
工程力学教学课件模块3空间力系
转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。力矩
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0
理论力学3—空间力系解析
以矩心O为原点建立坐标系，则
MO(F)
F
r xi y j zk F Fx i Fy j Fz k
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
i jk MMOO(F))(r FF) = (xxi yjy zk )z(iFxi jFy j kFzk )
M O (FF)x rFy F F=z x y z MO(F()yFz(rzFF)y )i(xi(zFyxj xzkF)z)F(jxFxi(xFFyFyy jFyzFFzxk))k
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
例3-4
已知： F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3 力对轴的矩的解析表达式
§3.3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
§3.3 空间力偶 M rBA F
§3.3 空间力偶
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
3.1 空间汇交力系
2 空间汇交力系的合成与平衡 （1）合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi 或 FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
第三章 空间力系
z
r Fz
γ
r F
β
r Fy
间接投影法 Fxy = F sin γ ;
Fx = F sin γ cos ; Fy = F sin γ sin
α
r Fx
x O
y
Fz = F cos γ ;
r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k
r Fxy
大小 F = F 2 + F 2 + F 2 ; x y z r r 方向 cos( F , i ) = Fx F
力对轴之矩的绝对值等于力在垂直于该轴的平面 上的投影对这个平面与该轴交点之矩。
r r r M z (F ) = M z ( Fxy ) + M z ( Fz ) = 0 r = M z ( Fxy ) = ± Fxy h = ±2 AΔOAB
z
r Fz
O h A
r F
r Fxy
B
正负: 迎着z轴,力使物体绕z轴逆时 针转,力矩为正;反之为负。 符合右手螺旋法则。 单位: N m 或 kN m
PAG 13
Northeastern University
§3-2
力对点的矩和力对轴的矩
例3-2 手柄ABCD的上作用一力F,已知F与xz平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。求力在三轴上的投影及对三轴之矩。 解:⑴ 定义法 力在轴上的投影
Fx = F cos α ; Fy = 0
z B a A x AB、BC、CD分别与 z轴、y轴、x轴平行 b C c
Northeastern University
第三章 空间力系
1
空间汇交力系
2 3 4 5
力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
r Fz
γ
r F
β
r Fy
间接投影法 Fxy = F sin γ ;
Fx = F sin γ cos ; Fy = F sin γ sin
α
r Fx
x O
y
Fz = F cos γ ;
r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k
r Fxy
大小 F = F 2 + F 2 + F 2 ; x y z r r 方向 cos( F , i ) = Fx F
力对轴之矩的绝对值等于力在垂直于该轴的平面 上的投影对这个平面与该轴交点之矩。
r r r M z (F ) = M z ( Fxy ) + M z ( Fz ) = 0 r = M z ( Fxy ) = ± Fxy h = ±2 AΔOAB
z
r Fz
O h A
r F
r Fxy
B
正负: 迎着z轴,力使物体绕z轴逆时 针转,力矩为正;反之为负。 符合右手螺旋法则。 单位: N m 或 kN m
PAG 13
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§3-2
力对点的矩和力对轴的矩
例3-2 手柄ABCD的上作用一力F,已知F与xz平面平行且与CD 的夹角为α,尺寸如图。求力在三轴上的投影及对三轴之矩。 解:⑴ 定义法 力在轴上的投影
Fx = F cos α ; Fy = 0
z B a A x AB、BC、CD分别与 z轴、y轴、x轴平行 b C c
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第三章 空间力系
1
空间汇交力系
2 3 4 5
力对点的矩和力对轴的矩 空间力偶 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩
第三章 空间力系
5° Px = − Pcos45°⋅sin60° Py = P⋅cos45°⋅cos60°
Mz (F) = xY − yX = −lF cosα(cos β − 2sin β)
例2：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
5
Fy
Fxy
y
Fx Fx
Fxy
x 10
Fy
x
例题4
已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 已知 求：力P对三个坐标轴的矩 解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
（2）空间力对点的矩 ）
z B
MO(F)
A(x,y,z)
F
O
r
h
A
x
y
MO (F)
空间的力对O点之矩取决于： 空间的力对 点之矩取决于： 点之矩取决于 (1)力矩的大小； 力矩的大小 力矩的大小； (2)力矩的转向； 力矩的转向； 力矩的转向 须用一矢量表征:力矩矢 力矩矢M ★ 须用一矢量表征 力矩矢 O(F)
所以：
F = Xi +Y j + Zk
二次投影法
z
Fz
若已知力F与z轴的夹角为γ，力F 和z轴所确定的平面与x 平面上投影， 轴的夹角为ϕ，可先将力F 在oxy平面上投影， 然后再向 x、 y 轴进行投影。 轴进行投影。 F
k i
Fx
O
γ
j
Fy
ϕ Fxy
y
x
X = F sin γ cosϕ Y = F sin γ sin ϕ Z = F cosγ
3.空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
∑X = 0 FR = ∑F = 0 ⇒∑Y = 0 Z =0 ∑
Mz (F) = xY − yX = −lF cosα(cos β − 2sin β)
例2：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
5
Fy
Fxy
y
Fx Fx
Fxy
x 10
Fy
x
例题4
已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 已知 求：力P对三个坐标轴的矩 解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
（2）空间力对点的矩 ）
z B
MO(F)
A(x,y,z)
F
O
r
h
A
x
y
MO (F)
空间的力对O点之矩取决于： 空间的力对 点之矩取决于： 点之矩取决于 (1)力矩的大小； 力矩的大小 力矩的大小； (2)力矩的转向； 力矩的转向； 力矩的转向 须用一矢量表征:力矩矢 力矩矢M ★ 须用一矢量表征 力矩矢 O(F)
所以：
F = Xi +Y j + Zk
二次投影法
z
Fz
若已知力F与z轴的夹角为γ，力F 和z轴所确定的平面与x 平面上投影， 轴的夹角为ϕ，可先将力F 在oxy平面上投影， 然后再向 x、 y 轴进行投影。 轴进行投影。 F
k i
Fx
O
γ
j
Fy
ϕ Fxy
y
x
X = F sin γ cosϕ Y = F sin γ sin ϕ Z = F cosγ
3.空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
∑X = 0 FR = ∑F = 0 ⇒∑Y = 0 Z =0 ∑
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
第三章空间力系
0 0
Fz 0
mx my
0 0
mz
0
空间汇交力系平衡方程：
设汇交点为坐标原点，则：
mx 0 my 0 mz 0
平衡方程为：
Fx Fy
0 0
Fz 0
z
F1
F2
y
O
x
Fn
3个独立方程，求解3个未知量。
FBz 4.5kN FT1 2FT2 10kN
17
3.4 重心
3.4.1重心的概念及坐标公式
物体的重力——是地球对物体的吸引力。
z
C2
P1
C P2 C1
P
Ci Pi
y
o
若将物体视为无数微元的 集合，则所有微元所受地球引 力近似构成空间平行力系。
其合力即为物体的重力。 其中心即为物体的重心。
12
空间力系平衡方程
Fx Fy
0 0
Fz 0
mx my
0 0
mz
0
空间平行力系平衡方程：
z
设各力平行 z 轴，则：
Fx 0 Fy 0
F2
y
Fn O
mz F 0
F1
x
平衡方程为：
Fz mx
0 0
xc
xi Pi P
yc
yi Pi P
zc
zi Pi P
C
V1 C1
P1
P2 P Pi
CiVi
对于均质物体，单位体积的重量为 。
3-空间力系分析
第三章 空间力系
a. FRMO，即 FRMO0,
MO
O
h= M0/FR
O 1 h F R"
FR
FR=FR'=FR" F R '
FR
O
O1
•
F R'
O
b. FR//M O ——力螺旋
FR
FR
M0
O
M0
O
FR
hM0 / F
F
F' h
第三章 空间力系
力螺旋 是由一力和一力偶组成的力系，其中的 力垂直于力偶的作用面
xC
Vi xi Vi
V
xdV V
,
yC
Vi yi Vi
ydV
V
V
zC
Vi zi Vi
zdV
V
V
第三章 空间力系
3、确定物体重心的方法
分割法 若一个物体由几个简单的部分组合而成，而 这些部分的重心是已知的，那么整个物体的 重心即可用公式求出
常见几何体重心
三角形
yC
C
h
yC
1 3
h
第三章 空间力系
力矩矢在坐标 轴上的投影
M OF xyF zzF y M OFyzFxxFz
M OF zxF yyF x
第三章 空间力系
2、力对轴的矩
h
Mz F MO Fxy
Fxyh 2AOA'B'
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量
第三章 空间力系
力对轴的矩为零的情形 （1）当力与轴相交时 （2）当力与轴平行时
k ri rc
y
(G r C G ir i) k 0
a. FRMO，即 FRMO0,
MO
O
h= M0/FR
O 1 h F R"
FR
FR=FR'=FR" F R '
FR
O
O1
•
F R'
O
b. FR//M O ——力螺旋
FR
FR
M0
O
M0
O
FR
hM0 / F
F
F' h
第三章 空间力系
力螺旋 是由一力和一力偶组成的力系，其中的 力垂直于力偶的作用面
xC
Vi xi Vi
V
xdV V
,
yC
Vi yi Vi
ydV
V
V
zC
Vi zi Vi
zdV
V
V
第三章 空间力系
3、确定物体重心的方法
分割法 若一个物体由几个简单的部分组合而成，而 这些部分的重心是已知的，那么整个物体的 重心即可用公式求出
常见几何体重心
三角形
yC
C
h
yC
1 3
h
第三章 空间力系
力矩矢在坐标 轴上的投影
M OF xyF zzF y M OFyzFxxFz
M OF zxF yyF x
第三章 空间力系
2、力对轴的矩
h
Mz F MO Fxy
Fxyh 2AOA'B'
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量
第三章 空间力系
力对轴的矩为零的情形 （1）当力与轴相交时 （2）当力与轴平行时
k ri rc
y
(G r C G ir i) k 0
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∑my(F)=0
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
图4.1
本章内容
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.2 力对轴之矩 4.3 空间力系的平衡方程 4.4 重心
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影 4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为α、β、γ，
则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ （4-1） Fz=±Fcosγ
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
（4-2）
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd （4-5）
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ
图4.3图4.4来自4.2 力对轴之矩图4.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图4.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1N· m
图4.5
图4.6
图4.7
图4.8
4.3 空间力系的平衡方程 4.3.1 空间一般力系的平衡方程
mz(P)=0
【例4.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力P=2000N， 方向如图4.8所示。图中C点在xOy平面内，试求力P对三 个坐标轴之矩。 【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。将Pxy沿x、y轴 方向分解为Px和Py两个力，然后即可方便地求出P对z轴之 矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为
如图4.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是式（4.6）中的
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间平行力系 的平衡方程为 ∑Fz=0
∑mx(F)=0 （4-7）
4 空间力系
本章提要
本章主要研究力在空间直角坐标轴上的投 影、力对轴之矩、各种空间力系的平衡方程及 应用、重心的概念及计算。
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点， 则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图4.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图4.6 （b))；反之，取负号（图4.6(c)）。
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0 （4-6）
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
4.3.2 空间平行力系的平衡方程
【例4.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图4.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求 此力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（4.5)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m 力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(4.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
P3z=-P3cosγ=-2.89kN
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
图4.1
本章内容
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.2 力对轴之矩 4.3 空间力系的平衡方程 4.4 重心
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影 4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为α、β、γ，
则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ （4-1） Fz=±Fcosγ
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
（4-2）
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd （4-5）
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、 z轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ
图4.3图4.4来自4.2 力对轴之矩图4.5(a)表示一可以绕z轴（门框）转动的门。如 果力F作用在垂直于z轴的平面内（图4.5(b)），则门 就能绕z轴转动，其转动效应可以由力F对O点（z轴 与平面的交点）之矩来度量。在这种情况下力对轴 之矩即为平面上力对点之矩。如果将力F对z轴之矩 用mz(F)表示，则
mx(P) =mx(Pxy）+mx（Pz)=mx(Pz)=84.8N· m my(P) =my(Pxy）+my(Pz)=my(Pz)=70.7N· m mz(P) =mz(Px)+mz(Py)+mz(Pz)= 38.1N· m
图4.5
图4.6
图4.7
图4.8
4.3 空间力系的平衡方程 4.3.1 空间一般力系的平衡方程
mz(P)=0
【例4.3】托架OC套在转轴z上，在C点作用一力P=2000N， 方向如图4.8所示。图中C点在xOy平面内，试求力P对三 个坐标轴之矩。 【解】首先将力P分解为两个分力Pz和Pxy。将Pxy沿x、y轴 方向分解为Px和Py两个力，然后即可方便地求出P对z轴之 矩。 根据以上分析，力P对三个坐标轴之矩分别为
如图4.9所示，一物体受空间平行力系作用，取z 轴与各力平行，则各力对z轴之矩都等于零；又由于 各力都垂直于xOy坐标平面，所以各力在x和y轴上的 投影都等于零。于是式（4.6）中的
∑Fx=0,∑Fy=0,∑mz(F)=0 都成为恒等式而可以舍弃。因此空间平行力系 的平衡方程为 ∑Fz=0
∑mx(F)=0 （4-7）
4 空间力系
本章提要
本章主要研究力在空间直角坐标轴上的投 影、力对轴之矩、各种空间力系的平衡方程及 应用、重心的概念及计算。
空间力系就是指各力的作用线不在同一平面内 的力系。
在空间力系中，若各力的作用线汇交于一点， 则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平行力 系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不完全 平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
上式表明：力对某轴之矩等于此力在垂直于该 轴平面上的分力对该轴与此平面的交点之矩。 从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取 正号；反之，取负号（图4.6(a)）。也可用右手法则 来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方 向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号（图4.6 （b))；反之，取负号（图4.6(c)）。
空间一般力系的平衡方程列举如下： ∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0 ∑mx(F)=0 ∑my(F)=0 ∑mz(F)=0 （4-6）
上式表明空间一般力系平衡的必要和充分条件 是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分 别等于零，同时各力对这三个轴之矩的代数和也分 别等于零。
4.3.2 空间平行力系的平衡方程
【例4.2】手柄ABCD在平面xAy上，在D处作用一铅垂力 P=100N(图4.7)，AB=20cm，BC=40cm,CD=15cm，试求 此力对x、y、z轴之矩。 【解】由式（4.5)可得力P对x轴之矩为
mx(P)=-P(AB+CD)= -35N· m 力P对y轴之矩为 my(P)=-P×BC=-40N· m 力P对z轴之矩为
(1) 当力与轴平行时（Fxy=0）或与轴相交（d=0） 时，即力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。
(2) 当力沿着作用线移动时，它对轴之矩不变。 与平面力系情况类似，在空间力系中也有合力 矩定理。如以R表示一空间力系F1、F2、…、Fn的合 力，则合力矩定理可以表示为 mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+…+mz(Fn)=∑mz(F) 即空间力系的合力对某轴之矩等于力系中各分 力对该轴之矩的代数和。
于是可得
P2x=0 P2y=-P2yzcos45°=-0.707kN P2z=P2yzsin45°= 0.707kN 设力P3与z轴的夹角为γ，它在xOy面上的投影与x轴 的夹角为φ，则由式(4.2)可得 P3x=P3sinγcosφ= 2.89kN P3y=P3sinγsinφ= 2.89kN
P3z=-P3cosγ=-2.89kN