必修一函数的单调性专题讲解(经典)
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
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一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性
数学必修1专题1：抽象函数的单调性1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析(1） 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-在R 上任取21x x ，,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数（2） 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f xf -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <0)()1()()()(121212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f yx f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)()()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数2. 简短评价(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；（2） 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或xy 1=针对练习：1。
学高中数学第二章函数的单调性讲解与例题北师大版必修1
3函数的单调性(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A上是递减的．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．谈重点函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y ＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．【例1－1】下列说法不正确的有( )．①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；②函数1yx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1yx=的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但1yx=在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )．A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )．A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．谈重点函数单调区间的求解及书写12．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )．解析：来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．答案：B析规律 单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C 中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．【例2－2】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：f (x )＝22230230.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．解技巧 利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．【例2－3】(1)证明函数f (x )＝在定义域上是减函数；(2)证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数； (3)证明函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f (x 1)，f (x 2)的差f (x 1)－f (x 2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)f (x )＝的定义域为[0，＋∞)， 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝((-=＝0=>，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝在定义域[0，＋∞)上是减函数． (2)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 13＋x 1)－(x 23＋x 2)＝(x 13－x 23)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)2212213124x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． (3)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121212()(1)x x x x x x --.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴由单调函数的定义可知，函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 警误区 证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤<函数y =的单调性，而y =的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增加的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减少的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：已知函数f (x )的单调性，比较两个函数值f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，可以转化为判断a 2－a ＋1的取值范围以及a 2－a ＋1与34的大小关系．∵a2－a＋1＝2133244a⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a≠时，a2－a＋1＞34，有f(a2－a＋1)＜34f⎛⎫⎪⎝⎭；当12a=时，a2－a＋1＝34，有f(a2－a＋1)＝34f⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，f(a2－a＋1)≤34f⎛⎫⎪⎝⎭.答案：f(a2－a＋1)≤34 f⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.谈重点分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．【例4】已知函数f(x)＝(3)411a x a xaxx-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝ax，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝ax，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．∴30(3)4aaa a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，，，即3,0,3.2aaa⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪≥-⎩∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，即y max ＝f (b )；最小值在左端点a 处取得，即y min ＝f (a )．若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，即y max ＝f (a )；最小值在右端点b 处取得，即y min ＝f (b )．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．以下是基本初等函数的最值： ①正比例函数y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[a ，b ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .②反比例函数y ＝kx(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b ；当k ＜0时，函数y ＝kx的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝ka .③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[m ，n ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .【例5－1】求函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域．解：函数y ＝x 2＋x －1的对称轴为12x =-，开口方向向上． ①当a ＋1＜12-，即32a <-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递减．∴当x ＝a ＋1时，y min ＝a 2＋3a ＋1；当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1. ②当12a >-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的右侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递增．∴当x ＝a 时，y min ＝a 2＋a －1；当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1.③当a ≤12-≤a ＋1，即3122a -≤≤-时， 当12x =-时，y min ＝54-；当1122a a ≤-<+，即－1＜a ≤12-时，当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1； 当11122a a +≤-≤+，即32-≤a ≤－1时， 当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1.综上可知，函数y 在区间[a ，a ＋1]上的值域为当32a <-时，[a 2＋3a ＋1，a 2＋a －1]； 当32-≤a ≤－1时，25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a≤12-时，25,314a a⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a＞12-时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．【例5－2】求f(x)＝x+的最小值．分析：求函数f(x)＝x+的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：f(x)＝x[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(-)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·1⎛⎝.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最小值．求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．又∵1＋1x1－1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.析规律利用单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．解：由题意可得2211111111aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，①，②，③由①得0＜a＜2，由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|，∴a<<，且a≠0.由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，∴1020aa->⎧⎨+<⎩，，或1020aa-<⎧⎨+>⎩，，∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，1()yf x=与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y=具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y=的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y=有意义，需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴1030xx-≥⎧⎨+≥⎩，，或1030xx-≤⎧⎨+≤⎩，，∴x≥1，或x≤－3.∴函数y={x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则y=，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y=的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．警误区函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝23 -.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.。
高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性
高一数学（必修 1 ）专题复习一函数的单一性和奇偶性一．基础知识复习1．函数单一性的定义：I假如函数 f ( x) 对定义域内的区间内的随意 x1 , x2，当 x1 x2时都有f x1 f x2，则 f x 在 I 内是增函数；当x1 x2时都有 f x1 f x2 ，则 f x 在I 内时减函数．2．单一性的定义①的等价形式：设x1 , x2 a,b ，那么f x1 f x20 f x 在x1 x2a,b 是增函数f x1 f x20 f x 在a,b 是减函数；；x1 x2x1 x2 f x1 f x2 0 f ( x) 在a, b是减函数．3．函数单一性的应用：利用定义都是充要性命题．即若 f ( x) 在区间I 上递加（递减）且 f (x1) f ( x2 ) x1 x2( x1， x2 I )；若 f ( x) 在区间I 上递递减且 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2( x1， x2 I )．① 比较函数值的大小；② 可用来解不等式；③ 求函数的值域或最值等．4．证明或判断函数单一性的方法：议论函数单一性一定在其定义域内进行，所以要研究函数单一性一定先求函数的定义域，函数的单一区间是定义域的子集．（ 1）用定义．（2）用已知函数的单一性．（3）图象法．（ 4）假如f (x) 在区间I上是增（减）函数，那么 f (x) 在I的任一非空子区间上也是增（减）函数（5）复合函数的单一性结论：“同增异减” ．（6）奇函数在对称的单一区间内有同样的单一性，偶函数在对称的单一区间内拥有相反的单一性．（ 7）在公共定义域内，增函数f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数；增函数 f (x) 减函数 g ( x) 是增函数；减函数 f ( x) 增函数 g(x) 是减函数．（ 8 ）函数y axb(a 0, b 0) 在, b 或 b , 上单一递加；在x a ab,0 或 0，b上是单一递减．a a5 ．函数的奇偶性的定义：设y f ( x) ，x A ，如果对于任意 x A，都有f ( x) f ( x) ，则称函数 y f ( x) 为奇函数；如果对于任意x A，都有f ( x) f ( x) ，则称函数 y f ( x) 为偶函数．6．奇偶函数的性质：（ 1）函数拥有奇偶性的必需条件是其定义域对于原点对称．（ 2）f ( x)是偶函数 f ( x) 的图象对于y 轴对称； f (x)是奇函数 f ( x) 的图象关于原点对称．（ 3）f (x) 为偶函数 f ( x) f ( x) f (| x |) ．（ 4）若奇函数 f ( x) 的定义域包括0 ，则 f (0) 0 ．二．训练题目（一）选择题1．以下函数中，在区间( ,0] 上是增函数的是（）A ．y x2 4x 8 B．y log 1 ( x) C．y 21 D．y 1 x2 x2．若函数f ( x) x2 2(a 1)x 2 在区间,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是A．3, B．,3 C．,3 D．3,3．函数f (x)在递加区间是4,7 ，则 y f (x 3) 的递加区间是（）A ．2,3 B．1,10 C．1,7 D．4,104．已知函数f x 为 R 上的减函数，则知足 f 1f 1 的实数x的范围是（）xA ．1,1 B．0,1 C．1,0 0,1 D．, 1 1,5．假如奇函数 f ( x) 在区间3,7 上是增函数，且最小值为 5 ，那么在区间7, 3 上是A ．增函数且最小值为 5B ．增函数且最大值为 5C．减函数且最小值为 5 D ．减函数且最大值为 56．若函数f ( x)是定义在R上的偶函数，在( ,0] 上是减函数，且 f (2) 0 ，则使得f ( x) 0的 x 的取值范围是（）A ．,2 B．2, C．, 2 U 2, D．2,27f (x) x2 2ax与g ( x)a 在区间1, 2上都是减函数，则 a 的取值范围是．若x 1A ．1, 0 U 0,1B ．1, 0 U0,1 C．0,1 D．0,18．若函数f ( x)是定义在R上的奇函数，则函数F (x) f (x) f ( x ) 的图象对于（）A ．x轴对称B ．y轴对称C．原点对称 D ．以上均不对9．设f (x)是R上的随意函数，以下表达正确的选项是（）A ．f ( x) f ( x) 是奇函数B．f ( x) f ( x) 是奇函数C．f ( x) f ( x) 是偶函数D．f ( x) f ( x) 是偶函数10．已知f (x)是偶函数，x R ，当 x 0 时， f ( x)为增函数，若x1 0, x2 0 ，且| x1 | | x2 |，则（）A ．f ( x1) f ( x2 ) B．f ( x1) f ( x2 )C． f ( x1) f ( x2 ) D． f (x1) f ( x2 )（二）填空题1．已知f (x)是R上的奇函数，且在( 0, ) 上是增函数，则 f ( x) 在 ( ,0) 上的单一性为．2．已知奇函数 f ( x) 在0, 单一递加，且 f (3) 0 ，则不等式 xf ( x) 0 的解集是 ．3．已知偶函数 f (x) 在 [0，2] 内单一递减， 若 af ( 1) ，bf (log 1 1) ，c f (lg 0.5) ，2 4则 a 、 b 、 c 之间的大小关系是 _____________ ．4．若函数 f ( x) a x b 2 在 0,上为增函数， 则实数 a 、b 的范围是． 5．已知 yf ( x) 为奇函数，若 f (3)f (2) 1 ，则 f ( 2)f ( 3)．6．设函数 f (x)(x1)( xa)为奇函数，则 a．x7．已知函数 f ( x) ax 2 bx c , x 2a3,1 是偶函数 ,则 a b．8．已知 f ( x)ax 7 bx 5 cx 3dx 5 ，此中 a, b, c, d 为常数，若 f ( 7)7 ，则f (7) _______．9．已知函数 f ( x) 是定义在 ,上的偶函数，当x,0 时， f ( x) x x 4 ，则当 x0, 时， f ( x)．10．定义在 ( 1,1) 上的函数 f ( x)x m是奇函数， 则常数 m ____ ，n_____ ．x2nx 1（三）解答题1．写出以下函数的单一区间（ 1）y x 2 x 1（ 2）y2x 1（3）yx 3 x3x 22．判断以下各函数的奇偶性：（ 1） f ( x) 2( x 1) 3 6x(x 2) 2 （ 2） f (x)x 21 x 21（ 3） f ( x)1 x 2x 2 x (x0)x 2 2（4） f ( x)x( x 0)x 23．利用单一性的定义： （ 1）证明函数 f ( x)x 3 1 在（ -∞， +∞）上是减函数．ax（ 2）议论函数f ( x)x 2 1 （ a 0 ）在（－ 1，1）上的单一性．4．（ 1）已知奇函数f ( x) 在定义域 ( 1,1) 内单一递减，且 f (1 m) f (1 m2 ) 0，求m的取值范围．（ 2）设定义在2,2上的偶函数f ( x)在区间0,2上单一递减，若f (1 m) f (m)，务实数 m 的取值范围．5 f (x)x2 1 ax，此中a 0 1 f ( x)在区间0,．设函数．求证：当 a ≥时，函数上是单一函数．6a 0，f ( x)a 是R 1 2 f (x)在(0, )．设e x 上的偶函数．（）求 a 的值；（）证明a e x上为增函数．7 ．已知函数f ( x)的定义域是x 0 的一切实数，对定义域内的任意x1, x2都有f (x1 x2 ) f (x1) f ( x2 ) ，且当x 1时f ( x) 0, f (2) 1 ，（ 1）求证：f (x)是偶函数；（ 2）f ( x)在(0,) 上是增函数；（ 3）解不等式f (2 x21) 2。
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
必修一导数的单调性专题讲解(经典)
必修一导数的单调性专题讲解(经典)引言在高中数学中，导数是一个非常重要的概念，掌握导数的基本概念和求法对于我们后续研究数学和工程等学科都有很大的帮助。
其中，本篇文档将着重讲解导数的单调性。
一阶导数的单调性对于一个函数$f(x)$，它的一阶导数为$f'(x)$。
如果$f'(x)>0$，则称函数$f(x)$单调递增；如果$f'(x)<0$，则称函数$f(x)$单调递减。
需要注意的是，函数$f(x)$在某个区间内单调递增或单调递减并不能保证函数在整个定义域内单调递增或单调递减。
此外，当$f'(x)=0$时，函数在该点上的单调性无法确定。
二阶导数的单调性对于一个函数$f(x)$，它的二阶导数为$f''(x)$。
如果$f''(x)>0$，则称函数$f(x)$在该点上取极小值；如果$f''(x)<0$，则称函数$f(x)$在该点上取极大值。
需要注意的是，当$f''(x)=0$时，函数在该点上的极值无法确定。
此外，如果$f''(x)$在某个区间内恒大于（或恒小于）$0$，则$f(x)$在该区间内的单调性与$f'(x)$的单调性相同。
必备技能要想熟练掌握导数的单调性，需要掌握函数的求导方法和二阶导数的求法。
在此基础上，就可以通过对导数符号的分析来确定函数的单调性。
结论导数的单调性是高中数学中比较重要和常出现的考点，掌握好导数的单调性对我们后续研究物理、工程等学科都有着很重要的帮助。
必修一函数的单调性讲义
变式练习 2：判断函数 f(x)＝ x 4 在(0，＋∞)上的单调性。 x
2
注意：定义法证明单调性的等价形式，设 x1、x2∈[ a ， b ]，x1≠x2，则
（1）(x1－x2)×[f(x1)－f(x2)]＞0
f (x1 ) f (x2 ) ＞0 f(x)在[ a ， b ]是增函数； x1 x2
意两个自变量的值 x1、x2 ，当． x．1．＜．x．2． 时．，．都．有．f．(．x．1．)．＞．f．(．x．2．)．，．那么就说 f(x)
在区间 D 上是减函数。
y y f (x)
f (x1 )
图 f (x2 ) 象
上 升
O x1
x2 x
y
图
f (x1)y f (x) f (x2 )
象 下
(2a 1)x 7a 1, x
f(x)＝
a
x
,
x
1
1
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实
数 a 的取值范围是____________。
【解析】：
1 4
,
1 2
变式练习 3：函数 f (x) ax 1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是（ ） x2
降
O x1
xx 2
如果 y＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这个区间叫做 y＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间 D，必须在定义域 I 内，即 D I，一个函数在不同区间上的单
调性可以不同。 （2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则 x1＜x2 f(x1)＜f(x2)。 （3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在 D 上是增函数，则图象在 D 上从 左到右呈上升趋势；f(x)在 D 上是减函数，则图象在 D 上从左到右呈下降趋势。 （4）函数单调性受区间限制。如函数 f(x)＝ 1 分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的单调性讲义 新人教A版必修一第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的． [基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． [尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。
必修一函数的单调性题型归纳
必修一函数的单调性题型归纳函数的单调性与最值函数单调性的性质可以分为增函数和减函数。
对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，则函数为减函数。
此外，函数的单调性还有以下性质：函数f(x)与函数-f(x)的单调性相反；当f(x)恒为正或恒为负时，函数f(x1)-f(x2)0，函数kf(x)与函数f(x)具有相同的单调性（如果k0，则函数f(x)与函数f(-x)具有相同的单调性。
对于复合函数，判断其单调性需要使用同增异减的方法。
在证明单调性时，可以使用定义法证明单调性的等价形式：设x1,x2∈[a,b],x1≠x2，那么(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0，当且仅当f(x)在[a,b]上是增函数；(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0，当且仅当f(x)在[a,b]上是减函数。
例1：证明函数f(x)=x^2在R上是增函数。
解：对于任意x1,x2∈R，且x10，(f(x1)-f(x2))=(x1^2-x2^2)=(x1+x2)(x1-x2)>0，因此f(x)在R上是增函数。
例2：求函数f(x)=2x/(1-x)在(-1,+∞)内的单调性。
解：当x∈(-1,1)时，f(x)为增函数；当x>1时，f(x)为减函数。
因此，f(x)在(-1,+∞)内的单调性为：增-减。
例3：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2-x)的单调区间。
解：令u=2-x，则x=2-u，代入y=f(2-x)得y=f(u)，即y=f(2-x)=f(u)。
因为y=f(x)在(2,6)上单增，所以u=2-x∈(2,4]。
因此，y=f(2-x)在[2,4)上为增函数，在(4,6)上为减函数，单调区间为：增-减。
上的增函数，且f(3)>1，解不等式f(x)>2的解集．题型二、比较函数值的大小例4、已知函数y=f(x)在[0.+∞)上是减函数，试比较f(1)与f(a-a+1)的大小。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
第三节 函数的单调性(必修1第三章)
第三节函数的单调性知识清单1．函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为I ，区间ID ⊆（1）如果D x x ∈∀21，，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在区间D 上单调递增．特别地，当函数)(x f 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）如果D x x ∈∀21，，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么称函数)(x f 在区间D 上单调递减.特别的，当函数)(x f 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数函数.（3）如果函数)(x f y =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2．函数单调性的证明步骤（1）取值，D x x ∈∀21，，且21x x <；（2）作差，)()(21x f x f -，然后通过因式分解、配方等进行化简（也可作商）；（3）定号，判断出)(1x f 与)(2x f 的大小关系；（4）下结论，根据函数的单调性的定义得出相应的结论.3．复合函数的单调性（同增异减）)(x g u =)(u f y =))((x g f y =增增增增减减减增减减减增4．函数的最大值与最小值一般的，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）I x ∈∀，都有M x f ≤)(；（2）I x ∈∃0，使得Mx f =)(0那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（最小值同理）题型训练题型一求函数的单调区间1．已知xx x f 2)(+=，当0>x 时，)(x f 的单调递减区间是（）A ．)2(∞+，B ．)2(∞+，C ．)20(，D ．)20(，2．函数11)(-+=x x f 的单调递减区间为（）A ．)1(∞+-，B ．)1(--∞，C ．)1(，-∞D ．)1(∞+，3．已知函数212)(++=x x x f ，则函数)(x f 的单调增区间是（）A ．)(∞+-∞，B ．)2(--∞，C ．)2()2(∞+---∞，， D ．)2(--∞，，)2(∞+-，4．函数452+-=x x y 的单调递增区间是（）A ．)25(∞+，B ．)425(，C ．)4(∞+，D ．251(，，)4(∞+，5．函数2-=x x y 的单调递增区间为，函数432--=x x y 的单调递减区间为6．函数232--=x x y 的单调递减区间为，函数542--=x x y 的单调递增区间为题型二根据函数的单调性求参数7．若函数32)(2-+=x ax x f 在区间)4(，-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是（）A ．)41(∞+-，B ．)41[∞+-，C ．)041[，-D ．]041[，-8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤---=)1()1(5)(2x xa x ax x x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．03<≤-a B ．23-≤≤-a C ．2-≤a D ．0<a 9．若函数3)1()(+-=x m x f 在R 上单调递增，则m 的范围是10．函数3)(2--=ax x x f 在区间]31[，-上是单调函数，则a 的取值范围是11．函数43)(2+-=mx x x f 在上，)2[∞+单调递增，则m 的范围是12．函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0)2(01)12()(2x x a x x a x a x f ，，在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是题型三判断与证明函数的单调性（定义法证明单调性）13．下列函数中，在)0(∞+，上为增函数的是（）A ．xx f -=3)(B ．xx x f 3)(2-=C ．11)(+-=x x f D ．xx f -=)(14．定义在R 上的函数)(x f 对任意两不相等的实数b a ,都有0)()(>--ba b f a f ，则必有（）A ．函数)(x f 在R 上先增后减B ．函数)(x f 是R 上的增函数C ．函数)(x f 在R 上先减后增D ．函数)(x f 是R 上的减函数15．已知函数24)(++=xx x f ，判断函数)(x f 在)2[∞+，的单调性，并证明.16．已知函数x x x f +=3)(，判断函数)(x f 在R 上的单调性，并证明.题型四复合函数的单调性（同增异减，注意定义域）17．已知函数)(x f y =在R 上是减函数，则)3(-=x f y 的单调递减区间是（）A ．)(∞+-∞，B ．)3(∞+，C ．)3(∞+-，D ．)3(，-∞18．已知函数)(x f y =是R 上的减函数，则)2(2x x f y -=的单调递增区间为（）A ．)(∞+-∞，B ．)1(--∞，C ．)1(，-∞D ．)1(∞+，19．已知函数()f x 是定义在区间)13(，-上的减函数，则)1(2x f -的单调递增区间为20．函数11)(2-=x x f 的单调递减区间是题型五单调性的应用21．已知)(x f 对任意的)(,2121x x x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，若)3()(2+>-a f a a f ，则实数a 的取值范围是（）A ．)31(，-B ．)13(，-C ．)3()1(∞+--∞，， D ．)1()3(∞+--∞，， 22．已知函数⎩⎨⎧<+-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f <-，则实数a 的取值范围是（）A ．)21(，-B ．)12(，-C ．)2()1(∞+--∞，， D ．)1()2(∞+--∞，， 23．已知函数)(x f 是定义在区间]22[，-上的减函数，且有0)21()1(>---m f m f ，则实数m 的取值范围是24．已知函数)(x f 是定义在)0(∞+，上的增函数，满足)()()(y f x f xy f +=，1)3(=f .（1）求)1(f 与)3(f 的值；（2）若2)8()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围题型六抽象函数的单调性25．已知)(x f 的定义域为R ，对于任意实数y x ，都有)()()(y f x f y x f +=+，1)2(=f 且当0>x 时，0)(>x f .（1）求)0(f ，)2(-f 与)4(f 的值；（2）证明)(x f 在R 上为增函数；（3）解关于x 的不等式2)1()32(-->+x f x f .26．已知定义域为)0(∞+，的函数)(x f 对任意)0(∞+∈，，y x 都有)()()(y f x f xy f +=，1)3(-=f 且当1>x 时，0)(<x f .（1）求)9(f 与)3(f 的值；（2）证明函数)(x f 在)0(∞+，上为减函数；（3）解不等式)1(2)6(-<+x f x f .27．已知函数)(x f 对任意的实数y x ，都有1)()()(-+=+y f x f y x f ，且当0>x 时，1)(>x f .（1）证明)(x f 在R 上为增函数；（2）若关于x 的不等式)()5(2m f a ax x f <+-的解集为{}23<<-x x ，求m 的值.28．已知)(x f 的定义域为R ，对于任意实数y x ，都有)()()(y f x f y x f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求)0(f 的值；（2）证明0)(>x f ；（3）证明)(x f 在R 上为增函数.综合训练1．函数322-+=x x y 的单调递减区间是（）A ．]3(--∞，B ．]1(--∞，C ．)1[∞+-，D ．)1[∞+，2．函数x x y )3(-=的递增区间是（）A ．)23(∞+，B ．)23(，-∞C ．)230(，D ．)30(，3．若函数)(x f 在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是（）A ．)2()(a f a f >B ．)()(2a f a f <C ．)()(2a f a a f <+D ．)()1(22a f a f <+4．若函数⎩⎨⎧≤->--=222)1()(2x ax x x a x a x f ，，在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为5．若定义在R 上的二次函数b ax ax x f +-=4)(2在区间]20[，上是增函数，且)0()(f m f ≥，则实数m 的取值范围是6．已知函数1)3()(2+-+=x a ax x f 在区间)1[∞+-，上单调递减，则a 的取值范围是7．已知函数)21(21)(≠++=a x ax x f .（1）当2=a 时，证明函数在)2(∞+-，上是增函数；（2）讨论函数在)2(∞+-，上的单调性．8．已知定义在区间)0(∞+，上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f ．（1）求)1(f 的值；（2）证明：)(x f 为单调递减函数；（3）若1)31(=f ，解不等式：2)63(->-x f ．第三节函数的单调性参考答案题型一求函数的单调区间1-4C ，B ，D ，C5.（1）（1，2）（2）（1-，+∞），（23，4）6.（1）)2,(-∞，),2(+∞（2）（2-，0），（2，+∞）题型二根据函数的单调性求参数7-8D ，B9.1>m 10.2-≤a 或6≥a 11.34≤m 12.21≤≤a 题型三判断与证明函数的单调性13-14C ，D15-16略题型四复合函数的单调性17-18B ，C19.（0，2）20.（0，1），（1，+∞）题型五单调性的应用21-22A ，D23.)32,21[-24.略题型六抽象函数的单调性25-28略综合训练1-5A ，C ，D ，4≥a ，40≤≤m 6.03≤≤-a 7.（1）略（2）当21>a 时，函数)(x f 在)2(∞+-，上单调递增，当21<a 时，函数)(x f 在（)2(∞+-，上单调递减．8.（1）0)1(=f （2）略（3）（2，5）。
(完整版)必修一函数的单调性专题讲解(经典)
高一升高二个辅资料第三课时第二次课、基本知识1定义：对于函数 y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值 x-\, x 2，当 x-\ x 2时，都有f(xj f (X 2)(或f(xj f (X 2))，那么就说函数 y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。
重点2 .证明方法和步骤：(1) 取值: 设X i ,X 2是给定区间上任意两个值，且 X i X 2 ；(2) 作差:f (X i )f (X 2)；(3) 变形: (如因式分解、配方等)； (4) 宀口定号：即 f (X i ) f (X 2)或 f (X i )f (X 2)；(5) 根据定义下结论。
3•常见函数的单调性■ ■-1 -'.时，订述在R 上是增函数；k<0时m 在R 上是减函数(2)代直)(k > 00寸)，『仗)在(一a, 0), (0, +8)上是增函数,4•复合函数的单调性：复合函数y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”在函数f(x)、g(x)公共定义域内,5. 函数的单调性的应用:判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析第一章 函数的基本性质之单调性(k<0时)，總述在(一汽0), ( 0, +8)上是减函数,(3)二次函数的单调性：对函数2f (x) ax bx c (a 0),当a 0时函数f(x)在对称轴x 当a 0时函数f (x)在对称轴x b 2a 的左侧单调减小，右侧单调增加; b 2a的左侧单调增加，右侧单调减小;增函数f(x)增函数g(x)是增函数; 减函数f (x)减函数g (x)是减函数; 增函数f(x)减函数g(x)是增函数;减函数f(x)增函数g(x)是减函数.例1:证明函数f(x)二一在(0 , +8 )上是减函数。
例2 :证明1上- L :在定义域上是增函数。
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第一章 函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当
21x x <时，都有
))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
重点 2．证明方法和步骤：
（1） 取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）；
（4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。
3．常见函数的单调性
时，
在R 上是增函数；k<0时，
在R 上是减函数
（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，
（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，
（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ，
当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b
x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；
4．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
)(u f y = 增 ↗ 减 ↘ )(x g u = 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y =
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 5．函数的单调性的应用：
判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例题分析
例1：证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数。
例2：证明在定义域上是增函数。
例3：证明函数f(x)=x3的单调性。
例4：讨论函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．例5：讨论函数f(x)＝的单调性．
例6：讨论函数
1
()(0)
f x x x
x
=+≠的单调性
例7：求函数的单调区间。
习题：求函数的单调
区间。
例8：设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断函数y ＝[f(x)]2
.的单调性
例9：若f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
(x －1)2
x≥0
x ＋1 x ＜0，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
例10：对于任意x ＞0，不等式x 2
+2x-a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围。
例11：若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m 的值为
习题：若函数,在上是增函数，则实数m 的范围为;
例12：若定义在R 上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。
习题：若定义在上的单调减函数f(x)满足，求a 的取值范围。
针对性训练
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝－x 2
的单调减区间为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞) 2．若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么( ) A ．k<0 B ．k>0 C ．k≠0 D．无法确定 3．下列函数在指定区间上为单调函数的是( ) A ．y ＝2
x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
B ．y ＝2
x －1，x∈(1，＋∞)
C ．y ＝x 2
，x∈R D ．y ＝|x|，x∈R
4．已知函数f(x)＝x 2
＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( ) A ．f(－1)<f(1)<f(2) B ．f(1)<f(－1)<f(2) C ．f(2)<f(－1)<f(1) D ．f(1)<f(2)<f(－1) 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是________． 6．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则f(a 2
＋1)与f(a)的大小是________． 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝x ＋2
x ＋1的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
8．定义在(－1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)＜f(a)，求实数a 的取值范围．
9．(10分)函数f(x)＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上单调，求a 的取值范围．。