任务二十五静定平面刚架的内力计算
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静定平面刚架的内力分析- 内力图
建筑力学
静定平面刚架的内力分析 • 内力图
1.1 刚架结构的特征和基本类型
1. 刚架结构的特征
刚架是用刚结点将若干直杆联结而成的结构。当刚架的轴线和外力都在同一 平面时，此种钢架称为平面刚架。由静力平衡条件可以求出全部约束反力和内力 的平面刚架称为静定平面刚架。
刚架在构造方面具有杆件少、内部空间大、便于使用等特点；在受力方面， 由于刚结点能承受和传递弯矩，从而使结构中弯矩的分布较均匀，峰值较小，节 约材料。因此，刚架结构在工程中是最为常见的一种结构。
2. 静定平面刚架的基本类型 静定平面刚架的基本类型有三种：悬臂刚架、简支刚架和三铰刚架，分别如 图9-4 a 、b 、c 所示。
图9-4
1.2 静定平面刚架的内力计算及内力图绘制
静定平面刚架横截面上的内力一般有轴力 FN 、剪力 FQ 和弯矩 M 等三个内力， 其内力的计算方法与静定梁基本相同。通常将刚架拆成单个杆件，求出各杆的杆 端内力，然后利用杆端内力分别作出各杆件的内力图，再将各杆件的内力图组合 在一起，即得刚架的内力图。
计算杆端内力时，杆端内力的表示方法是在内力符号后面加两个下角标。例 如，对杆 AB 的杆端内力可表示为：MAB 表示杆 AB 在 A 端的弯矩，MBA 表示杆AB 在 B 端的弯矩；FQAB 表示杆 AB 在 A 端的剪力，FQBA 表示杆 AB 在 B 端的剪力。
在作刚架的内力图时，通常将弯矩图画在杆件弯曲时受拉的一侧，而不必标 注正负号；在作剪力图和轴力图时，剪力和轴力可画在杆件的任一侧，但必须标明 正负号。下面举例说明。
图9-6
② 求各杆的杆端弯矩，作 M 图。
杆CE :
M CE
22
4
1 2
8
42
24
静定平面刚架的内力分析 • 内力图
1.1 刚架结构的特征和基本类型
1. 刚架结构的特征
刚架是用刚结点将若干直杆联结而成的结构。当刚架的轴线和外力都在同一 平面时，此种钢架称为平面刚架。由静力平衡条件可以求出全部约束反力和内力 的平面刚架称为静定平面刚架。
刚架在构造方面具有杆件少、内部空间大、便于使用等特点；在受力方面， 由于刚结点能承受和传递弯矩，从而使结构中弯矩的分布较均匀，峰值较小，节 约材料。因此，刚架结构在工程中是最为常见的一种结构。
2. 静定平面刚架的基本类型 静定平面刚架的基本类型有三种：悬臂刚架、简支刚架和三铰刚架，分别如 图9-4 a 、b 、c 所示。
图9-4
1.2 静定平面刚架的内力计算及内力图绘制
静定平面刚架横截面上的内力一般有轴力 FN 、剪力 FQ 和弯矩 M 等三个内力， 其内力的计算方法与静定梁基本相同。通常将刚架拆成单个杆件，求出各杆的杆 端内力，然后利用杆端内力分别作出各杆件的内力图，再将各杆件的内力图组合 在一起，即得刚架的内力图。
计算杆端内力时，杆端内力的表示方法是在内力符号后面加两个下角标。例 如，对杆 AB 的杆端内力可表示为：MAB 表示杆 AB 在 A 端的弯矩，MBA 表示杆AB 在 B 端的弯矩；FQAB 表示杆 AB 在 A 端的剪力，FQBA 表示杆 AB 在 B 端的剪力。
在作刚架的内力图时，通常将弯矩图画在杆件弯曲时受拉的一侧，而不必标 注正负号；在作剪力图和轴力图时，剪力和轴力可画在杆件的任一侧，但必须标明 正负号。下面举例说明。
图9-6
② 求各杆的杆端弯矩，作 M 图。
杆CE :
M CE
22
4
1 2
8
42
24
静定结构的内力计算 教程
拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图 (1)无荷载分布段(q=0), FQ图为水平线,M图为斜直线。 (2)均布荷载段(q=常数), FQ图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷 载指向相同。 (3)集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指 向与荷载相同。 (4)集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化。
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
b、求D点的内力 先求计算参数：
xD 3m
dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12 MD D 3342' Cos D 0.832
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
3、杆端内力的计算 先求出刚架的支座反力，再利用截面法求出各杆杆端内力 (1)在待求内力的截面截开，取任一部分为隔离体。 (2)画隔离体的受力图。 (3)利用隔离体的平衡条件，求出截面上的剪力、轴力和弯矩。 (4)利用结点的平衡条件校核刚结点杆端内力值。 4、刚架弯矩图的绘制
i i
与右图简支梁的支座反力：
Pb l Pa l
F
0 AY
i i
F
0 BY
i i
FAY F
0 AY
0 FBY FBY
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
分析推力H 式：
FAY l1 P 1 (l1 a1 ) H f
上式中的分子
FAY l1 P 1 (l1 a1 )
MEC=0kN•m CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线 。 利用叠加法求出中点截面弯矩MCE中=30+60=90kN•m
第3章静定梁、平面刚架受力分析
2
静
定
梁
2.1 单跨静定梁
单跨梁的内力是计算静定拱和刚架 力的基础，本节复习材料力学中梁内 力的计算方法，对梁内力图的作法要 进一步熟练和加深。
一、 梁的组成和受力性能
在横向外力作用下产生平面弯曲的直杆，叫直梁，简称梁
梁的主要内力是弯矩，主要变形是弯曲变形。梁是受弯杆件
常用的单跨梁：
悬臂梁
简支梁
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
R A 17 R B 7 kN
P=8kN q=4 kN/m
kN
取AC部分为隔离体，可计算得： M C 17 1 17 kN
取GB部分为隔离体，可计算得： M G 7 1 7 kN
r
A
17
310 160 40 40 6 0
VA=130KN
VB=310KN
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 Q C 130 KN M C 130 KN . M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
A
0
V A 1 0 5 ( ) KN V B 1 1 5 ( ) KN
A
（2）求C截面内力： 校核： Y 105 115 100 20 6 0 将x=1.5m代入曲梁轴线方程
y
4f l
2
(l x ) x
44 12
2
(12 1 . 5 ) 1 . 5 1 . 75 m
静
定
梁
2.1 单跨静定梁
单跨梁的内力是计算静定拱和刚架 力的基础，本节复习材料力学中梁内 力的计算方法，对梁内力图的作法要 进一步熟练和加深。
一、 梁的组成和受力性能
在横向外力作用下产生平面弯曲的直杆，叫直梁，简称梁
梁的主要内力是弯矩，主要变形是弯曲变形。梁是受弯杆件
常用的单跨梁：
悬臂梁
简支梁
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
R A 17 R B 7 kN
P=8kN q=4 kN/m
kN
取AC部分为隔离体，可计算得： M C 17 1 17 kN
取GB部分为隔离体，可计算得： M G 7 1 7 kN
r
A
17
310 160 40 40 6 0
VA=130KN
VB=310KN
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 Q C 130 KN M C 130 KN . M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
A
0
V A 1 0 5 ( ) KN V B 1 1 5 ( ) KN
A
（2）求C截面内力： 校核： Y 105 115 100 20 6 0 将x=1.5m代入曲梁轴线方程
y
4f l
2
(l x ) x
44 12
2
(12 1 . 5 ) 1 . 5 1 . 75 m
工程力学31 静定平面刚架的内力计算
35
F
C
XE E
B
YE
YE
A
XE
33
FP
FP a
D
F
2FPa 2FP 0
A
E0
FP 2FP
FP
C
D
F
FP
B
0 XE E
FP
2FP YE
FP
2FP
34
C
B
FRB FP FP
变形曲线
结构的变形曲线：
1. 必须符合支座的约束条件和杆件的联结条件； 2. 必须正确反映结点线位移和角位移的方向； 3. 必须正确反映杆件的弯曲方向。
静定平面刚架的内力
1
31
❖ 由多根直杆组成 ❖ 杆件之间的结点多为刚结点
2
刚结点
❖变形特点：限制相对的转动和移动 ❖受力特点：可传递弯矩、剪力和轴力
3
32
悬臂刚架 简支刚架
三铰刚架
4
3 ❖内力类型：弯矩、剪力、轴力 ❖计算方法：截面法 ❖内力的符号规定：
弯矩：取消正负规定，弯矩图画在受拉一侧。 剪力：符号规定不变。 轴力：符号规定不变。 轴力图和剪力图习惯上同号画在同侧，标明正负
（2） 作M图
10
（3） 作FQ图
由隔离体平衡条件求杆端剪力
FQAD 1.384kN
FQBE 1.384kN
FQDC
1 6.23 6 3 3.83kN
6.23
FQCD
1 6.23
6.23
6 3
1.86kN
FQCE
1 6.23
6.23
0.985kN
11
1.384 4.5
1.384
（4） 作FN图 由结点平衡条件求杆端轴力
F
C
XE E
B
YE
YE
A
XE
33
FP
FP a
D
F
2FPa 2FP 0
A
E0
FP 2FP
FP
C
D
F
FP
B
0 XE E
FP
2FP YE
FP
2FP
34
C
B
FRB FP FP
变形曲线
结构的变形曲线：
1. 必须符合支座的约束条件和杆件的联结条件； 2. 必须正确反映结点线位移和角位移的方向； 3. 必须正确反映杆件的弯曲方向。
静定平面刚架的内力
1
31
❖ 由多根直杆组成 ❖ 杆件之间的结点多为刚结点
2
刚结点
❖变形特点：限制相对的转动和移动 ❖受力特点：可传递弯矩、剪力和轴力
3
32
悬臂刚架 简支刚架
三铰刚架
4
3 ❖内力类型：弯矩、剪力、轴力 ❖计算方法：截面法 ❖内力的符号规定：
弯矩：取消正负规定，弯矩图画在受拉一侧。 剪力：符号规定不变。 轴力：符号规定不变。 轴力图和剪力图习惯上同号画在同侧，标明正负
（2） 作M图
10
（3） 作FQ图
由隔离体平衡条件求杆端剪力
FQAD 1.384kN
FQBE 1.384kN
FQDC
1 6.23 6 3 3.83kN
6.23
FQCD
1 6.23
6.23
6 3
1.86kN
FQCE
1 6.23
6.23
0.985kN
11
1.384 4.5
1.384
（4） 作FN图 由结点平衡条件求杆端轴力
静定结构内力计算全解[详细]
![静定结构内力计算全解[详细]](https://img.taocdn.com/s3/m/290a22ba7cd184254b3535d4.png)
➢ 杆件结构的组成和分析是两个相关的过程，应当 把受力分析与组成分析联系起来，根据结构的组 成特点确定受力分析的合理途径。
从组成的观点，静定结构的型式： ✓悬臂式、简支式（两刚片法则） ✓三铰式（三刚片法则） ✓组合式（两种方式的结合）
悬臂式 三铰式
简支式 组合式
组合式结构中:
✓基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载； ✓附属部分：后组成的以基本部分为支承的部分，不能独立 承载。
三铰拱作业：
y
100kN
1
A O
2m
20kN/m
4m 8m
2
B x
Hale Waihona Puke 2m求图示抛物线拱的1、2截面的内力。
三、三铰拱的合理拱轴线
使拱在给定荷载下只
M M 0 FH y 0 产生轴力的拱轴线，被
y M0
称为与该荷载对应的合 理拱轴
FH
三铰拱的合理拱轴线 的纵坐标与相应简支梁弯 矩图的竖标成正比。
Mik
i
FQik
Mik
i
Fiy
q Mki
k
FQki q
Mki
k
Fky
叠加法作弯矩图： 叠加法作弯矩图：
+
要点：先求出杆两端 截面弯矩值，然后在 两端弯矩纵距连线的 基础上叠加以同跨度、 同荷载简支梁的弯矩 图。
§3 静定多跨梁与静定平面刚架
一、静定多跨梁 多根梁用铰连接组成的静定体系。
AB、CD梁为基本部分 BC梁为附属部分。
2、求支座反力和内部约束力
根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构为隔离 体，应用平衡方程求出。
B
B
F
F
FBy
A FC
FAx A FAy
从组成的观点，静定结构的型式： ✓悬臂式、简支式（两刚片法则） ✓三铰式（三刚片法则） ✓组合式（两种方式的结合）
悬臂式 三铰式
简支式 组合式
组合式结构中:
✓基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载； ✓附属部分：后组成的以基本部分为支承的部分，不能独立 承载。
三铰拱作业：
y
100kN
1
A O
2m
20kN/m
4m 8m
2
B x
Hale Waihona Puke 2m求图示抛物线拱的1、2截面的内力。
三、三铰拱的合理拱轴线
使拱在给定荷载下只
M M 0 FH y 0 产生轴力的拱轴线，被
y M0
称为与该荷载对应的合 理拱轴
FH
三铰拱的合理拱轴线 的纵坐标与相应简支梁弯 矩图的竖标成正比。
Mik
i
FQik
Mik
i
Fiy
q Mki
k
FQki q
Mki
k
Fky
叠加法作弯矩图： 叠加法作弯矩图：
+
要点：先求出杆两端 截面弯矩值，然后在 两端弯矩纵距连线的 基础上叠加以同跨度、 同荷载简支梁的弯矩 图。
§3 静定多跨梁与静定平面刚架
一、静定多跨梁 多根梁用铰连接组成的静定体系。
AB、CD梁为基本部分 BC梁为附属部分。
2、求支座反力和内部约束力
根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构为隔离 体，应用平衡方程求出。
B
B
F
F
FBy
A FC
FAx A FAy
静定梁和刚架内力分析
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M
(-)
(c)
x
2.作剪力图和弯矩图：
由剪力方程可知，当 0 <x <l，时（即 AB 段上），剪力为 常数，因此剪力图为一条水平的直线；由弯矩方程可知，AB 梁段上沿着轴线方向弯矩呈线性变化，因此，弯矩图为一条斜 直线，只需求出两个端截面上
F A FQ x m m l
在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。 另外，在利用截面法求解前，通常先确定支座反力，因支 座反力并无正负规定，在求支反力前可任意假设正方向。
若结果为正，则表示支反力实际方向与假设方向相同；
上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
其中外力对横截面形心之矩正负号选取规律为： （1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，
反之取负；
（2）力偶——横截面左侧顺时针或右侧逆时针取正，反之 取负。 利用上述结论，可以不画分离体的受力图、不列平衡方 程，直接得出横截面的剪力和弯矩。这种方法称为直接法。 直接法将在以后求指定截面内力中被广泛使用。
2
求梁指定截面上的内力的方法： 剪力：梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧梁段 上所有外力在平行于截面方向投影的代数和。 其中外力正负号选取规律为： 横截面左侧梁段上向上的外力取正，横截面右侧梁段上
向下的外力取正；反之取负。
简记为左上右下取正，反之取负。
弯矩：梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧梁段
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即 上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。 此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩 正” ，相反为负。
静定梁、静定平面刚架和三铰拱的计算
举例： 3、举例：
解: 研究整体： 研究整体 ：
ql (↑) 2
∑M ∑M
B
=0
VA =
研究 AC 段：
C
=0
ql 2 HA = (→) 8f
任一截面的弯矩（参阅左下隔离体图） 任一截面的弯矩 （参阅左下隔离体图）:
M ( x) = ql ql 2 qx 2 ⋅x− ⋅y− 2 8f 2
令上式等于零，可得合理拱轴 ： 令上式等于零， 可得合理拱轴：
例题2 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q 试确定铰E 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 的位置， 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
解：
1 研究 AE 杆： V E = q (l − x ) 2 1 1 研究 EF 杆： M B = M C = q (l − x ) x + qx 2 2 2 ∵MB + MC = ql 2 (叠加弯矩值） 8
解: (一)求支座反力 一 求支座反力 研究整体： 研究整体：
∑X =0 ∑M = 0 ∑M = 0
A B
HA = HB VB = 80kn(↑) V A = 80kn(↑)
取半刚架研究： 取半刚架研究：
∑M
C
=0
H B = 20kn(←) H A = 20kn(→)
校核: 校核 ∑ Y = 80 + 80 − 20 × 8 = 0 (二)绘内力图 二 绘内力图 (三)内力图校核 略) 内力图校核(略 三 内力图校核
拟简支梁法” 3、用“拟简支梁法”绘弯矩图
结论： 结论： 弯矩图时， 用叠加法绘 弯矩图时，先绘出控制截面 的弯矩竖标，其间若无外荷载作用， 的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线 相连；若有外荷载作用，则以上述直线为基线， 相连；若有外荷载作用，则以上述直线为基线， 再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。 再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。
建筑力学第11章静定结构的内力计算
2）联合桁架 由几个简单桁架按几何不变规律 联合组成的桁架（图 11.28（c）所示）。 3）复杂桁架 不按上述两种方式组成的其他形 式的桁架（图 11.28（d）所示）。 46
11.4.2 静定平面桁架的内力计算 （1）结点法 结点法是以桁架的结点为研究对象，适用于计 算简单桁架。当截取桁架中某一结点为隔离体后， 得到一平面汇交力系，根据平面汇交力系的平衡条 件可求得各杆内力。又因为根据平面汇交力系的平 衡条件，对于每一结点只能列出两个平衡方程，因 此每次所选研究对象（结点）上未知力的个数不应 多于两个。
13
图 11.9
14
图 11.10
15
图 11.11 静定多跨梁与简支梁的受力比较
16
11.2 静定平面刚架 11.2.1 刚架的特征 刚架是由若干根梁和柱主要用刚结点组成的结 构。当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面 内时称为平面刚架，如图 11.12（b）所示。 在刚架中，它的几何不变性主要依靠结点 刚性来维持，无需斜向支撑联系，因而可使结构内 部具有较大的净空便于使用。如图 11.12（a）所 示桁架是一几何不变体系，如果把 C 结点改为刚 结点，并去掉斜杆，则该结构即为静定平面刚架， 如图 11.12（ b）所示。
6
图 11.3
7
图 11.4
8
（3）斜梁的内力图 在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，如 图11.5所示的楼梯梁等。 当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况 的不同，可有两种表示方式。一种如图 11.6 所示 ，斜梁上的均布荷载 q按照沿水平方向分布的方式 表示，如楼梯受到的人群荷载的情况就是这样。另 一种如图 11.7所示，斜梁上的均布荷载 q′按照沿 杆轴线方向分布的方式表示，如楼梯梁的自重就是 这种情况。
11.4.2 静定平面桁架的内力计算 （1）结点法 结点法是以桁架的结点为研究对象，适用于计 算简单桁架。当截取桁架中某一结点为隔离体后， 得到一平面汇交力系，根据平面汇交力系的平衡条 件可求得各杆内力。又因为根据平面汇交力系的平 衡条件，对于每一结点只能列出两个平衡方程，因 此每次所选研究对象（结点）上未知力的个数不应 多于两个。
13
图 11.9
14
图 11.10
15
图 11.11 静定多跨梁与简支梁的受力比较
16
11.2 静定平面刚架 11.2.1 刚架的特征 刚架是由若干根梁和柱主要用刚结点组成的结 构。当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面 内时称为平面刚架，如图 11.12（b）所示。 在刚架中，它的几何不变性主要依靠结点 刚性来维持，无需斜向支撑联系，因而可使结构内 部具有较大的净空便于使用。如图 11.12（a）所 示桁架是一几何不变体系，如果把 C 结点改为刚 结点，并去掉斜杆，则该结构即为静定平面刚架， 如图 11.12（ b）所示。
6
图 11.3
7
图 11.4
8
（3）斜梁的内力图 在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，如 图11.5所示的楼梯梁等。 当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况 的不同，可有两种表示方式。一种如图 11.6 所示 ，斜梁上的均布荷载 q按照沿水平方向分布的方式 表示，如楼梯受到的人群荷载的情况就是这样。另 一种如图 11.7所示，斜梁上的均布荷载 q′按照沿 杆轴线方向分布的方式表示，如楼梯梁的自重就是 这种情况。
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
静定结构的内力—静定平面刚架(建筑力学)
跨间荷载，叠加法绘V图（先绘连接M1-M2的直线对应的FS1图，再叠加简支梁FS2图） 3) 关于 N 图的绘制：
对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，根据已知FS ，利用投影方程，求杆件轴力值。
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、FS图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右
【例1】试求作图示刚架的内力图。
FP
A
B
FP
FP
4
C
l
l
l/2
l/2 D
FP 4
FP
A
B
FPl
A
4
l/2
FP
FP
4
C
l/2 D
l
l
FP
4
B
C
D
FPl
4
M图
解： (1) 求支反力 (2)求作M图
MCB(求)
FPl
C
4
FPl
B
4
MBC(求)
A
B
FP FP/4
C FP/4
D
FS图
A
B
FP/4
FP
C
D
或杆下为负；其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
只有两杆相交组成的刚结点，称为简单刚结点。当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的 杆端弯矩坐标 应绘在结点的同一侧(同在内侧或同在外侧)，且数值相等。作M图时，可 充分利用这一特性。
【说明4】脱离体法是求内力的最基本方法，不要忘记。
绘制刚架内力图的要点总结如下:
(4)绘制杆件的轴力图，在只有横向垂直于杆件轴线荷载的情况下，只需 求出杆件一端的轴力，轴力图即可画出。 (5)必须进行内力图的校核。通常取刚架的一部分或一结点为分离体，按 已绘制的内力图画出分离体的受力图，验算该受力图上各内力是否满足 平衡方程
对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，根据已知FS ，利用投影方程，求杆件轴力值。
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、FS图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右
【例1】试求作图示刚架的内力图。
FP
A
B
FP
FP
4
C
l
l
l/2
l/2 D
FP 4
FP
A
B
FPl
A
4
l/2
FP
FP
4
C
l/2 D
l
l
FP
4
B
C
D
FPl
4
M图
解： (1) 求支反力 (2)求作M图
MCB(求)
FPl
C
4
FPl
B
4
MBC(求)
A
B
FP FP/4
C FP/4
D
FS图
A
B
FP/4
FP
C
D
或杆下为负；其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
只有两杆相交组成的刚结点，称为简单刚结点。当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的 杆端弯矩坐标 应绘在结点的同一侧(同在内侧或同在外侧)，且数值相等。作M图时，可 充分利用这一特性。
【说明4】脱离体法是求内力的最基本方法，不要忘记。
绘制刚架内力图的要点总结如下:
(4)绘制杆件的轴力图，在只有横向垂直于杆件轴线荷载的情况下，只需 求出杆件一端的轴力，轴力图即可画出。 (5)必须进行内力图的校核。通常取刚架的一部分或一结点为分离体，按 已绘制的内力图画出分离体的受力图，验算该受力图上各内力是否满足 平衡方程
静定结构的内力计算—静定平面刚架的内力计算(工程力学课件)
变体系的组成规则连接附属部分。
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
三、静定平面刚架内力分析步骤
方法:
➢ 求支座反力 ➢ 拆成单个直杆,求出每个杆两端的内力
及各控制截面的内力 ➢ 按与单跨梁相同的方法画内力图.
求反力，分段，定点，连线
关于分段：
E D
（1）分成AC、CB两段 （2）AC分成AD、DC两段
CB分成CE、EB两段
【例 4】画刚架的弯矩图 注意画图时的分段！
只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作 用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。
【例 5】画刚架的弯矩图
A
C B
D
三根杆连接的刚结点 处有力偶！
E
刚节点 力矩平衡
静定平面刚架的内力计算
一、平面刚架的特点
由梁和柱组成，梁和柱用刚结点相连接。
1 8
ql2
l
1 ql2 8
梁
刚架
弯矩分布均匀 可利用空间大
刚结点特征：
受力特征——刚结点能承 受并能传递弯矩，内力分 布均匀。
变形特征——变形前后各杆 端之间的夹角保持不变。
1 ql2 8
A A α
α
几何特三个约束，依靠刚结点可用
较少的杆件便能保持其几何不
变性；具有较大的净空。
二、静定平面刚架分类
（1）简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础 相连组成的刚架；
（2）悬臂刚架——用固定端与地基相连，如车站站台； （3）三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连。 （4）组合刚架——主从刚架。在上述基本部分上，据几何不
【例1】画图示简支刚架的弯矩图 MCB=24 MBC=0
MCA=24 MAC=0
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
三、静定平面刚架内力分析步骤
方法:
➢ 求支座反力 ➢ 拆成单个直杆,求出每个杆两端的内力
及各控制截面的内力 ➢ 按与单跨梁相同的方法画内力图.
求反力，分段，定点，连线
关于分段：
E D
（1）分成AC、CB两段 （2）AC分成AD、DC两段
CB分成CE、EB两段
【例 4】画刚架的弯矩图 注意画图时的分段！
只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作 用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。
【例 5】画刚架的弯矩图
A
C B
D
三根杆连接的刚结点 处有力偶！
E
刚节点 力矩平衡
静定平面刚架的内力计算
一、平面刚架的特点
由梁和柱组成，梁和柱用刚结点相连接。
1 8
ql2
l
1 ql2 8
梁
刚架
弯矩分布均匀 可利用空间大
刚结点特征：
受力特征——刚结点能承 受并能传递弯矩，内力分 布均匀。
变形特征——变形前后各杆 端之间的夹角保持不变。
1 ql2 8
A A α
α
几何特三个约束，依靠刚结点可用
较少的杆件便能保持其几何不
变性；具有较大的净空。
二、静定平面刚架分类
（1）简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础 相连组成的刚架；
（2）悬臂刚架——用固定端与地基相连，如车站站台； （3）三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连。 （4）组合刚架——主从刚架。在上述基本部分上，据几何不
【例1】画图示简支刚架的弯矩图 MCB=24 MBC=0
MCA=24 MAC=0
静定结构的内力分析—静定平面刚架(建筑力学)
静定平面刚架的类型
1.刚架的概念及特点
（1）概念：多个杆件组成，包含刚结点 （2）特点：通过刚结点，不同杆件之间不但可以传递力 还可以传递弯矩
①力学计算复杂； ②结构内力分布均匀，节省材料； ③杆件数目较少，节省空间。
静定平面刚架的类型
2.刚架的类型
悬臂刚架（图a）：部分杆件一端刚结点，一端悬臂 简支刚架（图b）：其支座类似于简支梁
分别绘制BE的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。 （4）DE杆件内力图
取DE为隔离体，受力分析如图所示。 直接绘制DE的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。
YD’ MD’
XD’
YE’ DE受力图 ME’ XE’
ME XE
YE
3.5kN
—
1.5kN
+
XB
YB BE受力图
轴力图
1.5kN
—
剪力图 轴力图
8.5kN +
例题分析
求作图示刚架内力图。
解：（1）求约束反力（略） （2）AD杆件内力图 取AD为隔离体，受力分析如图所示。
X 0, X A X D 0， 得 X D 1.5kN() Y 0, YA YD 0， 得 YD 8.5kN() MD 0, X A 5 M D 0， 得 M D 7.5kNm(左)
分别绘制AD的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。
MD XD
YD
XA
YA AD受力图
8.5kN
—
1.5kN
—
7.5kNm
轴力图
剪力图
弯矩图
例题分析
（3）BE杆件内力图 取BE为隔离体，受力分析如图所示。
X 0, X B X E 0，得 X E 1.5kN() Y 0, YB YE 0， 得 YE 3.5kN() MD 0, X B 5 M E 0， 得 M E 4.5kNm(右)
1.刚架的概念及特点
（1）概念：多个杆件组成，包含刚结点 （2）特点：通过刚结点，不同杆件之间不但可以传递力 还可以传递弯矩
①力学计算复杂； ②结构内力分布均匀，节省材料； ③杆件数目较少，节省空间。
静定平面刚架的类型
2.刚架的类型
悬臂刚架（图a）：部分杆件一端刚结点，一端悬臂 简支刚架（图b）：其支座类似于简支梁
分别绘制BE的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。 （4）DE杆件内力图
取DE为隔离体，受力分析如图所示。 直接绘制DE的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。
YD’ MD’
XD’
YE’ DE受力图 ME’ XE’
ME XE
YE
3.5kN
—
1.5kN
+
XB
YB BE受力图
轴力图
1.5kN
—
剪力图 轴力图
8.5kN +
例题分析
求作图示刚架内力图。
解：（1）求约束反力（略） （2）AD杆件内力图 取AD为隔离体，受力分析如图所示。
X 0, X A X D 0， 得 X D 1.5kN() Y 0, YA YD 0， 得 YD 8.5kN() MD 0, X A 5 M D 0， 得 M D 7.5kNm(左)
分别绘制AD的轴力图、剪力图及弯矩图如图所示。
MD XD
YD
XA
YA AD受力图
8.5kN
—
1.5kN
—
7.5kNm
轴力图
剪力图
弯矩图
例题分析
（3）BE杆件内力图 取BE为隔离体，受力分析如图所示。
X 0, X B X E 0，得 X E 1.5kN() Y 0, YB YE 0， 得 YE 3.5kN() MD 0, X B 5 M E 0， 得 M E 4.5kNm(右)
《建筑力学》 李前程 第六章 静定结构的内力计算
F sB Lqa, M B Lmqa22
BC 段
qa2 F sB RqaF3qa, M B R2 F sC LF sC=3qa
M Cqa2qa1.5a2qaa2.5qa2
M图 qa2
F= 2qa q
B
C
a
a
qa 3qa
2.5qa 2
0.5qa2
23
第二节 内力方程·内力图
2qa2
[例题 7] 用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
Ax
B D
x
x q2x
2m
M (x) qx
(0x2 m )
22
AD段
6
F s ( x ) F A q 1 x .5 4 3 x ( 2 m x 6 m )
M (x ) F A x q x 2 x 1.5 x 4 q 2 2x (2 m x 6 m )
-
4m
2m
M(kN.m)图
DB段 F s(x ) F B 3 .5(0 x 2 m )
《建筑力学》 李前程 第六章 静定 结构的内力计算
第六章 静定结构的内力计算
第一节 杆件的内力·截面法 第二节 内力方程·内力图 第三节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第四节 静定平面刚架 第五节 静定多跨梁 第六节 三拱桥 第七节 静定平面桁架 第八节 各种结构形式及悬索的受力特点
2
第六章 静定结构的内力计算
+
4
M (x ) F B x(0 x 2 m )
6.04
7
x=4.83m
18
第二节 内力方程·内力图
四、作梁内力图的简便方法
不列剪力和弯矩方程，简便法画出剪力图和弯矩图的基本步骤： 1.正确计算出约束力，将梁分段； 2.按照梁段上外力情况,判断各段内力图的大致形状； 3.计算剪力、弯矩在各段的极值(控制截面)； 4.用光滑曲线连接，标注大小,正负。
BC 段
qa2 F sB RqaF3qa, M B R2 F sC LF sC=3qa
M Cqa2qa1.5a2qaa2.5qa2
M图 qa2
F= 2qa q
B
C
a
a
qa 3qa
2.5qa 2
0.5qa2
23
第二节 内力方程·内力图
2qa2
[例题 7] 用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
Ax
B D
x
x q2x
2m
M (x) qx
(0x2 m )
22
AD段
6
F s ( x ) F A q 1 x .5 4 3 x ( 2 m x 6 m )
M (x ) F A x q x 2 x 1.5 x 4 q 2 2x (2 m x 6 m )
-
4m
2m
M(kN.m)图
DB段 F s(x ) F B 3 .5(0 x 2 m )
《建筑力学》 李前程 第六章 静定 结构的内力计算
第六章 静定结构的内力计算
第一节 杆件的内力·截面法 第二节 内力方程·内力图 第三节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第四节 静定平面刚架 第五节 静定多跨梁 第六节 三拱桥 第七节 静定平面桁架 第八节 各种结构形式及悬索的受力特点
2
第六章 静定结构的内力计算
+
4
M (x ) F B x(0 x 2 m )
6.04
7
x=4.83m
18
第二节 内力方程·内力图
四、作梁内力图的简便方法
不列剪力和弯矩方程，简便法画出剪力图和弯矩图的基本步骤： 1.正确计算出约束力，将梁分段； 2.按照梁段上外力情况,判断各段内力图的大致形状； 3.计算剪力、弯矩在各段的极值(控制截面)； 4.用光滑曲线连接，标注大小,正负。
静定刚架内力计算共47页
静定刚架内力计算
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 பைடு நூலகம்落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 பைடு நூலகம்落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静定刚架内力计算
得 XB=20kN
4m
2m
5m
然后先由A.B支座开始
作弯矩图.
右半边∑Y=0
YB=0→YA=0
整体：∑MA＝0 3qa×a/2－XB×a＝0
4.会恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构的内力。如何选取 视具体情况（结构情况、荷载情况）而定。当不知如何下手时
，宜考察结构的几何组成。
§4.1 刚架的组成特征
一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，
变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
A
XA
K XK
2m 2m
4m
YG
YK
M E 22+224X A 4X K +YK 40
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§4.3 刚架内力计算
• 计算步骤：
①求支座反力。简单刚架可由三个整体平衡方程求出支座反力，三 铰刚架及主从刚架等，一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。
②求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷
2 右半边
a
MC=0.5qa2+2aXB
qa
－aYB=0 (2)
解方程(1).(2)可得
XB=0.5qa YB=1.5qa 3 再由整体平衡
qa/X2 A
X=0 解得 XA=－0.5qa YA Y=0 解得 YA=0.5qa
2 绘制弯矩图
qa2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
A
a
MDC=264kkNN.m（下拉）
1m
MDA NDA
8QkNDC=－6kAN NDC=0
C
QDA=8kN NDB MDB
刚架的内力计算
C
ABBC
m
TBC= -Fa
F
C
MCB= 0
F
TCB= -Fa
AB、BC段受弯扭组合变形。
7
l/2
3ql / 2
3ql2/8
平衡！
ql2/2 ql2/8
3ql2/8
6
例 题3
试分析刚架的AB、BC段是受何种组合变形。
y
a
A
B
x
z
m
F Mz =2Fa
MBA=Fa TBA=2Fa
Mz =Fa
Mx=2Fa A
B Mx=2Fa
MAB=2Fa F
F Mx=2Fa
Mz =Fa
TAB=2Fa
B
MBC=2Fa
3
例 题 1-1
试画出刚架的内力图。
B"
C
B
B'
ql
q2l
MBC=ql2/2 FSBC＝－ql/2 FNBC=0
2
ql
A ql
ql
FNBA= ql/2
FNCB=0
FSCB＝－ql/2
2ql
MBA=ql2/2
2
BFSBA=0
B'
MCB=0
FNAB= ql/2
MAB=0
ql
A
FSA1-2
A MAC MAB
• 求内力的方法： 截面法
2
作静定平面刚架内力图的步骤
（1）求支座处的约束力； （2）计算各杆杆端弯矩、杆端剪力、杆端轴力，
逐杆画出弯矩图、剪力图、轴力图。 — 弯矩图画在受拉边，图上不标正、负号； — 剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧，但要 标上正、负号，正、负号规定与梁一致。 （3）校核。可取刚结点或刚架中任意部分为研究 对象，验算是否满足平衡条件。
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（2）计算支座反力
对悬臂刚架，可不必先求支座反力
三、各杆的杆端内力
对悬臂刚架，可不必先求支座反力 （3）计算杆端内力（A B C D 均为控制点)
三、各杆的杆端内力
取BC杆为脱离体图（b)，利用平衡方程
(b)
三、各杆的杆端内力
取BD杆为脱离体，利用平衡方程
(c)
三、各杆的杆端内力
取CBD杆为脱离体，列平衡方程
AB杆B端的弯矩。
3. 内力正负号规定： 弯矩M — 不规定正负方向，弯矩图画在杆件受拉纤维一边，可
不注名正符号。 剪力Q — 规定同材力（可以画在任意一侧，但必须注名正负号 ）。 轴力N — 规定同材力。
三、各杆的杆端内力
4、计算步骤
反力
杆端内力
M图
校核
Q图
N图
[例1] 计算图示悬臂刚架的内力，并作内力。 解：1.计算支座反力 （1）画受力图
悬臂刚架
简支刚架
三铰刚架等
二、 静定平面刚架的计算步骤
计算支座反力
求解静定平面刚架的支座反力时，悬臂式刚架可先不求支座 反力；简支式刚架、三铰式刚架，一般应先求支座反力，再进行
内力计算。
三、各杆的杆端内力
1. 计算方法：截面法、隔离体、平衡方程。 2. 内力表示方法：内力符号双脚标，两个字母表示两个杆端,第一 个字母表示杆端力是哪一端的，如MAB为AB杆A端的弯矩，MBA 为
（ d）
三、各杆的杆端内力
(4)画内力图（弯矩图，剪力图，轴力图）
弯矩图
剪力图
轴力图
三、各杆的杆端内力
(5)校核
取B结点进行校核内力，弯矩，剪力，轴力均满足平衡条件
M
0
X 0
Y 0
模块三
项目九
结构力学
静定平面杆系的内力与位移计算 静定平面刚架的内力计算
任务二十五
教学重点 刚架的特点、静定平面刚架的计算。
教学难点 刚架的特点、静定平面刚架的计算。
模块三 项目九
结构力学 静定平面杆系的内力与位移计算
静定平面刚架的内力计算
Hale Waihona Puke 任务二十五 教学内容一、刚架的特点（组成及类型） 二、静定平面刚架的计算步骤
变形特点：在刚结点处各杆不能发生相对转动，各杆件可以产生
弯曲、剪切、轴向变形。
受力特点： 轴力Ｎ 静定平面刚架的内力有 剪力Ｑ 弯矩Ｍ
静定平面刚架是用两个刚片或三个刚片的 规律组成的几何不变体，可统称为简单刚架。
一、刚架的特点（组成及类型）
2. 静定平面刚架的类型
悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架等
三、各杆的杆端内力
一、刚架的特点（组成及类型）
1. 刚架：由梁柱相互刚结（或部分铰接）组成，主要由刚结点
维持的几何不变的体系。
优点：刚度大，整体性好，内力较均匀，杆件较，内部空间较 大，所以在工程中得到广泛应用。
各杆轴线和外力作用线在同一平面内的刚架称平面刚架。
刚结点
刚架
一、刚架的特点（组成及类型）