信号与系统论文+傅里叶变换的分析 (2)
信号与系统第三章：傅里叶变换
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
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3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
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本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
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第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
(完整版)傅里叶变换分析
第一章 信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
【论文】傅里叶变换及应用
摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频谱特性。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换的数学表达式。
对于一个连续信号 f(t)，它的傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
其中，e^(-jωt) 是复指数函数，ω 是频率。
这个公式表示了信号 f(t) 在频域上的表示，也就是说，它将信号 f(t) 转换成了频率域上的复数函数F(ω)。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而可以分析信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个周期为 T 的正弦信号f(t) = Asin(2πft)，其中 A 是振幅，f 是频率。
对这个信号进行傅里叶变换，我们可以得到频谱F(ω)= A/2 (δ(ω-f) δ(ω+f))，其中δ(ω) 是狄拉克δ函数。
这个频谱表示了信号只包含了频率为 f 的正弦成分，而其他频率成分的能量为零。
这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率特性。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的应用。
在信号处理中，我们可以通过傅里叶变换来对信号进行滤波、频谱分析等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、频谱分析等操作。
在通信系统中，傅里叶变换可以用来对调制信号进行频谱分析、信道估计等操作。
可以说，傅里叶变换已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以对信号进行频谱分析、滤波等操作，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用，它已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
信号与系统傅里叶变换分析法
信号与系统傅里叶变换分析法傅里叶变换是信号与系统中一种非常重要的分析方法，通过傅里叶变换，我们可以将时域信号转换为频域信号，从而更加深入地理解信号的特性和系统的行为。
本文将对傅里叶变换进行详细介绍，并探讨其在信号与系统中的应用。
傅里叶变换的定义为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示信号在频域上的分布，f(t)表示信号在时域上的函数，ω为频率。
首先，我们来理解傅里叶变换的物理意义。
在信号与系统中，我们经常面对的是时变信号，即信号随时间变化。
时变信号可以看作是由多个不同频率的正弦波信号叠加而成。
傅里叶变换的作用就是将时域信号拆解为频域上的正弦波成分，从而可以分析信号的频率分布和信号的性质。
傅里叶变换的主要特性之一是线性性质。
对于任意两个信号f(t)和g(t)，以及任意的实数a和b，都有以下等式成立：F(ω)[af(t) + bg(t)] = aF(ω)f(t) + bF(ω)g(t)这个性质使得傅里叶变换成为了一个非常有用的工具，可以将复杂的信号分解为多个简单的成分进行分析。
傅里叶变换还有一个重要的性质是频率平移。
如果一个信号f(t)具有傅里叶变换F(ω)，那么f(t)的频率平移为g(t)=f(t)*e^(jω0t)，其傅里叶变换为G(ω)=F(ω-ω0)。
这个性质表明，对原始信号进行频率偏移后，其频域上的功率分布也将相应地发生变化。
在信号与系统中，傅里叶变换有着广泛的应用。
首先，傅里叶变换可以用于信号滤波。
通过将信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的分布，从而可以对信号进行频率选择性滤波，去掉我们不感兴趣的频率成分，保留我们关心的频率范围。
另外，傅里叶变换还可以用于信号的合成与分解。
通过将不同频率的正弦波信号进行合成，我们可以得到复杂的周期信号。
而通过将复杂的信号进行傅里叶变换，我们可以将其分解为多个频域上的正弦波成分，从而可以更好地理解信号的组成成分。
此外，傅里叶变换还可以用于信号的时移与频移分析。
浅谈傅里叶变换及其应用（小论文）
浅谈傅里叶变换及其应用一．由来傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
二．概要介绍1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
——（1）2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
三．计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
四．应用领域傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
五．简介离散傅里叶变换的应用。
DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
信号与系统里的傅里叶变换
信号与系统里的傅里叶变换信号与系统是电子信息类专业中的一门重要课程，而傅里叶变换作为信号与系统中的核心概念之一，具有重要的理论和实际应用价值。
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的数学工具，可以分析信号的频谱特性，并且在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的基本思想是将一个时域上的信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加，通过对信号进行频谱分析，可以得到信号的频率成分、幅度和相位信息。
在傅里叶变换中，信号在频域中的表示被称为频谱，频谱图可以直观地显示信号的频率分布情况，有助于我们理解和分析信号的性质。
傅里叶变换的数学表达式较为复杂，但是我们可以通过一些简单的例子来理解其基本原理。
假设我们有一个周期为T的周期信号，通过傅里叶变换，可以将这个信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
频率最高的分量被称为基频，其余的分量则是基频的整数倍。
通过对这些分量的幅度和相位进行适当的调整，就可以还原原始信号。
傅里叶变换不仅可以分析周期信号，还可以分析非周期信号。
对于非周期信号，我们可以将其视为周期趋于无穷大的周期信号，通过傅里叶变换可以得到其频谱信息。
在实际应用中，非周期信号更为常见，例如音频信号、图像信号等都是非周期信号。
通过傅里叶变换，我们可以将这些信号转换到频域中进行分析和处理。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频谱特性，还可以对信号进行滤波和频域处理。
滤波是指通过调整信号的频谱来实现对特定频率成分的增强或抑制。
例如，我们可以通过低通滤波器来去除高频噪声，或者通过高通滤波器来增强低频信号。
频域处理则是指在频域中对信号进行运算和处理。
例如，我们可以通过频域乘法实现信号的卷积运算，或者通过频域加法实现多个信号的叠加。
除了傅里叶变换，还有一种相关的概念叫做傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是将周期信号分解成一系列正弦和余弦波的叠加，不同的是，傅里叶级数展开是在时域上进行分析，而傅里叶变换是在频域上进行分析。
信号与系统傅里叶变换对总结
| z | 1
| z | 1
[r cos 0 n]u[n]
n
| z | r
[r sin 0 n]u[ n]
n
| z | r
te at u(t ), Re{a} 0
t n 1 e at u (t ), Re{a} 0 (n 1)!
减幅余弦
e at cos(0t )u (t )
减幅正弦
e at sin(0t )u (t )
0 (a j ) 2 +0 2
1 a t2
2
a
e
a
j
)
[n]
u[n]
单位阶跃序列
单边指数序列
nu[n], | | 1
1 1 e j
复指数序列
e
j0 n
l
2 (
0
2 l )
2 l ) ( 0 2 l )
余弦序列
cos 0 n
sin 0 n
l
sin(0t )
1
2 ( )
jk0t
周期波
k
ce
k
2
k
c ( k )
k 0
周期矩形脉冲
t T1 / 2 A, 0, T1 / 2 t T1 / 2
2 A sin(k0T1 / T0 ) ( k0 ) k k
1
单位冲激 延迟冲激
(t )
(t t0 )
sgn(t )
e jt0
2 j
正负号函数
单位阶跃
u(t )
1 ( ) j
j ( ) 1
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
傅里叶变换分解信号
傅里叶变换分解信号全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率部分的数学方法。
它是一种在信号处理领域广泛应用的技术，可以将一个复杂的信号分解为多个简单的正弦和余弦信号的叠加。
傅里叶变换的概念最初是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪提出的。
傅里叶变换在信号处理领域的应用非常广泛，例如在音频处理、图像处理、通信系统等方面都有重要的作用。
通过傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以更方便地分析信号的频率特征以及进行滤波、降噪等处理。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dtF(\omega)表示信号f(t)在频率\omega处的复数幅度，i是虚数单位。
傅里叶变换将一个信号f(t)映射到一个频率连续的函数F(\omega)，描述了信号中每个频率分量的大小和相位。
在数字信号处理领域，我们通常使用离散傅里叶变换（DFT）来处理离散信号。
DFT将信号从时域离散化为频域，通过计算信号在不同频率分量上的幅度和相位，我们可以更好地理解信号的频谱特性。
傅里叶变换可以帮助我们对信号进行频谱分析，从而可以更好地理解信号的频率成分和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为多个不同频率的正弦和余弦信号的叠加，这有助于我们更好地理解信号的频谱结构和特点。
傅里叶变换的一个重要应用是信号滤波。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以找到信号中不同频率分量的幅度，从而可以根据需要对信号进行低通滤波、高通滤波或带通滤波等处理，以实现对信号的滤波和去噪。
另一个重要的应用是信号压缩。
有时信号的频谱分量并不是均匀分布的，而是集中在某些频率上。
通过傅里叶变换，我们可以找到信号中主要的频率成分，并将次要的频率成分忽略，从而实现对信号的压缩和简化。
除了在信号处理领域的应用外，傅里叶变换在其他领域也有广泛的应用。
(完整word版)傅里叶变换在信号与系统系统中的应用.
河北联合大学本科毕业设计（论文）2011年 5月24日题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学姓名刘帅学号 200710050113主要内容、基本要求、主要参考资料等主要内容傅里叶变换是一种重要的变换,且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。
本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调,抽样等方面中的应用。
分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍.基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波,带通滤波。
用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。
通过抽样实现连续信号离散化,简化计算.另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。
参考资料[1］《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版［2］《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社[3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电子工业出版社[4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业出版社[5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社[6］《信号与系统》乐正友著清华大学出版社[7］《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社［8］《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社［9] http：//baike.baidu。
com/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换[10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社[11］A．V．Oppenheim，A。
S。
Willsky with S。
H.Nawab.Siganals and systems（Second edition).Prentice-Hall，1997.中译：刘树棠.信号与系统。
02-第二章 序列的Z变换与傅里叶变换
信号用序列表示 系统用差分方程描述
3
时域与频域分析
连续时间信 号与系统 时间域
傅里叶变换 推 广 拉普拉斯变换
频率域
(复频域 )
离散时间信 号与系统
傅里叶变换 推 广 Z变换
4
时间域
频率域
(复频域 )
本章主要内容
序列的Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质
解： X ( z )
n
x ( n) z
n
n
b z a n z n
n n n 0
1
z z z (2 z a b) z a z b ( z a)( z b)
讨论： 极点为z1= a和z2= b 零点为z1= 0和z2= (a+b)/2
变换收敛的所有z值的集合组成的区域。
根据级数理论，式(2.1)收敛 的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即
n
| x(n)z
n
|＜
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
10
2.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域
解：利用ln(1+ x)，且|x|＜1的幂级数公式
1 2 1 3 (1)n1 n (1)n1 n ln(1 x) x x x x x 2 3 n n n 1
(1＜x ≤1)
展开X(z)得
(1)n1 n n X ( z ) ln(1 az ) a z n n 1
傅里叶变换详细解释
傅里叶变换详细解释
傅里叶变换是数学中的一种重要分析工具，用于将一个函数表示为一系列复指数的加权和。
它得名于法国数学家约瑟夫·傅
里叶。
简单来说，傅里叶变换可以将一个函数或信号从时域（即时间域）转换到频域（即频率域），从而揭示出了信号中不同频率分量的强弱情况。
傅里叶变换的数学表示如下：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−jωt) dt
其中，F(ω)表示频率为ω的复指数分量的权重，f(t)表示输入
函数或信号，e^(−jωt)表示复指数函数。
傅里叶变换将输入函
数或信号f(t)与复指数函数相乘，并对结果进行积分，得到频
率域的表示。
傅里叶变换可以将任意复数函数f(t)分解为多个复指数函数的
加权和，每个复指数函数的频率和权重由变换结果F(ω)确定。
所以，傅里叶变换可以将时域的函数转换为频域的复数表示。
傅里叶变换的应用非常广泛，尤其在信号处理、图像处理和通信领域中发挥着重要作用。
它可以帮助我们理解和分析信号的频域特性，如频率分量的强度、相位关系和频谱形状。
此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波、频率分析、谱估计、图像压缩等方面。
总之，傅里叶变换通过将函数或信号从时域转换到频域，使我
们能够更好地理解和处理信号的频率特性，并在许多应用中发挥着重要的作用。
傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
4.1 信号取样与取样信号的傅里叶变换 4.1.1 时域取样 （1）信号取样的一般问题 取样就是从一个连续时间信号 中按照一定的时间间隔提取一系列离散样本值的过程；通过取样得到离散信号称为取样信号，记为 。 完成这种取样过程的取样系统模型： 图4－1 连续信号的取样模型
举例：解释为什么满足上述条件是信号不失真。 设输入信号 （4－25）
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只要系统具有如图4－13所示的幅度频率特性和相位频率特性，则该系统对于 来说，就是无失真传输系统 图 4－13 实际应用中的无失真传输系统的频 率特性
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二、无失真传输的时域条件 对式（4－21）作傅里叶变换，可得出无失真传输系统的时域条件： （4－24）
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4.1.2 频域取样 频域取样的数学模型为 （4－7） 对式两端取傅里叶反变换，得： 此式表明，若连续信号的频谱 被间隔为 频域冲击序列在频域中取样，则在时域等效于连续 时限信号 以 为周期等幅度的重复。
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式中： （4－12） 由式（4－3）有 （4－13）
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（1）幅频特性为一常数，即： （4－22） （2）相频特性是一条过原点的负斜率的直线，即 ； （4－23） 图 4－12 无失真传输系统的幅频特性和相频特性
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上述定理表明：为了能够从取样信号 中恢复原信号 ，取样过程必须满足两个条件： （1）连续信号 必须是带限的，其频谱函数在 各处为零； （2）取样间隔 不能过大，必知某系统
求激励为 时的零状态响应。
解：根据定义可求出
4.3 时分复用 图4－9给出了一个时分复用通信系统和三路信号时分复用的例子。 图4－9 时分复用系统原理图
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需要说明的几个问题： （1）多路取样器取样周期T的确定 （4－18） （2）确定多路取样器取样周期T时的最大传送路数可按下式确定最大传输的信号路数: (4－19) 式中 是取样脉冲的宽度（完成一次取样所需要的时间）。
傅里叶变换信号与系统
傅里叶变换信号与系统
傅里叶变换在信号与系统领域中被广泛使用。
它是对信号进行频谱分析和频率域处理的最常用方法之一。
傅里叶变换最早是由法国数学家傅里叶所提出的，因此得名为“傅里叶变换”。
傅里叶变换可以将时域信号（即时域波形）变换为频域信号（即频谱图）。
在频域中，我们可以看到信号在哪些频率上具有能量，以及能量的大小。
这使得我们能够更深入地了解信号的性质，进而进行更加准确的信号处理。
此外，傅里叶变换还可以将时域中的卷积运算转换为频域中的乘法，进一步简化了信号处理的过程。
傅里叶变换有两种形式：离散傅里叶变换（DFT）和连续傅里叶变换（CTFT）。
离散傅里叶变换适用于离散信号，如数字信号，而连续傅里叶变换则适用于连续信号，如模拟信号。
虽然DFT是离散的，但我们可以通过对离散信号进行零填充来获得高分辨率的DFT结果。
另外，快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的DFT实现方式，它只需要
O(nlogn)的计算量即可完成DFT计算。
傅里叶变换广泛应用于数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理等众多领域。
例如，在音频处理中，我们可以将音频信号的频域信息用于音频特效制作、音调调整、降噪等处理。
在通信系统中，我们可以使用傅里叶变换来进行调制解调、信道均衡、信号匹配等处理。
总之，傅里叶变换是一种十分重要的信号处理方法。
它为我们提供了在频率域上对信号进行深入理解的能力，并简化了信号处理的步骤。
在日常的信号处理中，熟练掌握傅里叶变换是非常有必要的。
如何理解傅里叶变换
如何理解傅里叶变换
傅里叶变换是一种数学工具，用于分析信号和数据。
通过傅里叶变换，我们可以将一个复杂的信号分解成许多简单的正弦和余弦函数的组合。
这种方法可以帮助我们理解信号的频率成分，进而对信号进行处理和分析。
傅里叶变换的核心思想是将一个信号在频域上进行分解，从而揭示信号中包含的不同频率成分。
这种频域分析方法在许多领域都有广泛的应用，如通信、图像处理、音频处理等。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解信号的特性。
在信号处理中，傅里叶变换可以帮助我们找到信号的频率成分，从而进行滤波、降噪、解调等操作。
通过对信号在频域上的分析，我们可以更好地理解信号的结构和特性，进而设计出更有效的处理方法。
除了在信号处理领域，傅里叶变换还在数学、物理学等领域有着重要的应用。
在数学中，傅里叶变换被广泛应用于解微分方程、求积分等问题。
在物理学中，傅里叶变换可以帮助我们理解波动现象、光学现象等。
总的来说，傅里叶变换是一种强大的分析工具，可以帮助我们理解信号和数据的特性，从而进行更有效的处理和分析。
通过对信号在频域上的分解，我们可以揭示信号的频率成分，进而更好地理解和
处理信号。
傅里叶变换的应用不仅局限于信号处理领域，还涉及到数学、物理学等多个领域，具有广泛的应用前景。
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信号变换与处理
论文
——单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
专业：电气工程与自动化系
姓名：刘俊鹏
学号：B11040416
对信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系的探讨
On Relationship between Single Side LaplaceTransformation and Fourier Transformation
摘要：
在传统的信号与系统理论中，单边拉氏变换和傅氏变换关系存在瑕疵。
文中给出的单边拉氏变换和傅氏变换关系的理论克服了传统理论的瑕疵。
Abstract：
In traditional theory of signal and system，the relationship between single side Laplace transformation
and Fouriertransform ation exists faults．The theory from this paper overcomes these faults．
关键词：拉普拉斯变换；傅里叶变换；单极点；重极点
Key words：La place tran sform ation；Fourier transform ation；simple pole；heavy pole
引言：
设 f(t)为有始信号，则 (S)的单边拉氏变换凡与f(t)的傅氏变换()之间有一定联系。
这种联系依据f(t)的拉氏变换(S)的收敛横坐标的值不同而分成三种情况：
(1)>0，拉氏变换存在而傅氏变换不存在；
(2)<0,(S)=()；
(3) =0，(S)≠()，但(S)与()都存在，且有一定的关系。
传统的理论
在上述第(3)种情况下，即：当=O时，()与(S)之间关系的推导和表述存在瑕疵，理论上不严谨。
当=0时，如何严谨地推导和表述(S)与()之间的关系便是笔者所做的工作。
正文：
1 =0时，(S)与()之间关系的传统理论
=0时，(S)与()之间关系分为三种情况。
(1)第一种情况
设位于S平面的轴上的极点都是单极点，共有N个，其余极点都在轴左侧半平面上，则可写为：
右边第一项(S)的极点都位于S平面上轴左侧半平面上，右边第二项表示有N个单极点位于轴上。
上式的拉氏反变换为：
再作傅氏变换：
(2)第二种情况
设S平面的轴上有一个n重极点，其余极点都在轴左侧半平面上，则可写为：
注意到拉氏变换公式:
公式(4)的拉氏反变换为：
注意到傅氏变换公式：
公式(5)的傅氏变换为：
(3)第三种情况
设S平面的轴上N个极点，它们分别是重极点，其余极点都在轴左侧半平面上，则可写为:
式(7)右边第一项的极点都位于S平面上轴左侧半平面上。
其拉氏反变换为：
2 对传统理论的改进
我们认为,上述推导从第二种情况开始便出现瑕疵。
设S平面的轴上有一个n重极点，其余极点都在轴左侧半平面上，公式(4)的正确写法为：
即：
拉氏反变换后为：
再作傅氏变换：
再看第三种情况：
设S平面的轴上有N个极点，它们分别是重极点，其余极点都在．轴左侧半平面上，公式(7)的一般形式应修改为：
上式的拉氏反变换为：
再作傅氏变换：
即：
3 结语
传统理论在的情况下，与之间关系的理论存在瑕疵。
尽管这种瑕疵并不影响计算结果，但从数学的角度看，理论是不完善的。
本文所提出的单边拉氏变换与傅氏变换的转换关系在理论上更严谨。
由于笔者水
平有限，本文参考借鉴了一些资料，自主性和创新性有很大不足，希望老师指正。
参考文献
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清华大学出版社．1994．。