切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解

切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解

南江石 2018年4月7日星期六

圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。 弦是割线的部分线段。

公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。 公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。

几何原理 几何原理

共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线

4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点

3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点

共割线上任意一点到圆的

4个切线的长度相等，4切点共圆

共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆

圆幂定理

是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。

圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。

点对圆的幂

P 点对圆O 的幂定义为

2

2

R OP F

B

性质

点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

PB

PT

PT PA =

PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=

割线定理（切割线定理的推论）

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

PD PC PB PA ∙=∙

2222Cn Pn Am Pm -=-

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

PD PC PB PA ∙=∙

2222A Pn Cn Pm m -=-

垂径定理（相交弦定理推论）

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

PB

PC

PC PA =

PB PA PC ∙=2 222OP R PC -=

P 点在圆外，切割线定理、割线定理

2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=∙=∙=

P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理

222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=∙=∙

222OP R PB PA PC -=∙=

题目1．圆定点割线2等分

题目2．弧定点割线2等分

题目3．切线长角度割线弦长

题目4．直角三角形（BD-132）

题目5．直角三角形（AE-321）

题目6．大圆过两小圆直径线与90度

题目7．大圆过两小圆直径线与28

题目8．大圆过两小圆直径线圆心在右圆上

【解法1】圆幂法

PB PA R OP ∙=-22 22222d d d R OP =∙=-

222

2

R OP d -=

以OP 为直径作圆，以R 半径作圆，得到 2

2

R OP -以为腰作等腰直角三角形，得到高2

2

R OP -222

2

R OP d -=

题目1【解法1】

【解法2】切割线法1

PB PA PT ∙=2

2222d d d PT =∙=

PT d 2

2=

作圆切线OT

以OT 为腰作等腰直角三角形，得到高OT d

2

=

题目1【解法2】

【解法3】切割线法2

222Am Pm PB PA PT -=∙=

222Am PT Pm +=

22Am PT Pm +=

题目3【解法3】题解2

【解法4】相似三角形法

圆幂定理实质是相似三角形。

q 为OP 中点

21

2====d d PB PA OP Pq OB qA R OB qA 2

121==

题目2【解法4】

题目4分析

以BT 为直径作圆O ，直角三角形边高问题，转换为切割线问题，适用切割线公式求解，适用【解法3】求解。

222Am Pm PT -= 222Am PT Pm +=

5．小圆的直径是大圆的弦，大小圆连心线是弦的垂直平分线

6

7．直角所对的弦为圆的直径

8．圆直径相互平分，所以四边形上下两点到竖向直径的距离相等

9．垂直于弦的直径平分弦线，所以四边形外接圆垂直于连心线的直径线，过连心线题目1011．大圆圆心位于右竖线与28横线交点

题目6、7、8解题1，画横线两圆

12．大圆圆心位于右竖线与右圆交点

解题2，画公切线，自公切线中点画竖线

解题3，画公切线，自公切线中点画竖线

题目6、7、8解题4，自连心线中点画竖线，

左竖线镜像出右竖线

题目6解题5，以连心线为直径画圆，拉长左右竖线与圆相交题目7解题5-1，偏移连心线28，拉长右竖线与上横线相交

题目7解题5-2，以两圆圆心和上交点

三点作圆，拉长左竖线与圆相交

题目

题目6解题6，连线圆心与左竖线下交点，

以右竖线上交点为圆心，过交点画圆

题目7解题6，连线圆心与左竖线下交点，以右竖线上交点为圆心，过交点画圆题目8解题6，连线圆心与左竖线下交点，以右竖线上交点为圆心，过交点画圆