切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点

【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。

几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。

2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。

解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

九年级数学相交弦定理和切割线定理人教四年制版知识精讲

九年级数学相交弦定理和切割线定理人教四年制版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。

2. 切割线定理的使用特征。

【典型例题】[例1] 如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。

证明：作∵∴[例2]求PB解：设即3∴∴y[例3] 两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。

解：连AB ，∴∠1=∴EF CE =∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PC =2（2）若证明：（1）延长CP 解：（2）易知PM ∴ 由（1 33∴0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例5] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。

2由②—①得：018522=--r r ，291=r ，22-=r （舍）∴32)2529(6222=--=AB ，AB=24【模拟试题】一.A.A.2. MN一. 选择题：1. B2. B3. A4. A5. C二. 填空题： 1. 2或9 2.21 3. 7或1 4. 75. 2.4三. 解答题： 1. 证明：∵ CD ∥AB ∴∠1=∠2 ∵ BG 与⊙O 相切 ∴∠3=∠2 ∴∠3=∠1又 ∵GFB PFE ∠=∠∴PFE ∆∽GFB ∆∴FGPFBF EF =∴FB PF FG EF ⋅=⋅ 又由相交弦定理得FD CF FB PF ⋅=⋅ ∴FD CF FG EF ⋅=⋅∴FG FD CF EF ::=2. 解：由弦切角定理知31∠=∠，又 ∵21∠=∠∴32∠=∠∴ AC=BC由切割线定理，92==NBNA NC ∴5=-=NB NC BC ∴ AC=5 又由C ∠=∠4知NAB ∆∽NCA ∆，故NANBAC AB = ∴310564=⨯=⋅=AC NA NB AB。

切割线定理和割线定理

切割线定理和割线定理
切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明几何定理中起着至关重要的作用。

让我们来谈谈切割线定理。

切割线定理是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线被称为切割线，它将平行线分割成相似三角形。

这个定理在解决三角形相似性问题时非常有用，通过切割线定理，我们可以证明两个三角形的某些角度相等，从而推导出它们是相似的。

接下来，让我们来看看割线定理。

割线定理是指，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线被称为割线，它将圆分割成两个不相交的部分。

割线定理在解决圆的性质和相关定理时非常重要，通过割线定理，我们可以推导出圆内角和弧的关系，以及切线与半径的垂直关系等。

总的来说，切割线定理和割线定理都是几何学中基础而重要的概念，它们为我们理解几何形状和解决几何问题提供了重要的线索。

通过运用切割线定理和割线定理，我们可以更好地理解几何学知识，推导几何定理，解决几何难题。

在实际应用中，切割线定理和割线定理也有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，我们需要根据建筑物的不同形状和结构来设计合适的切割线和割线，以确保建筑物的稳固和美观。

在工程测量中，切割
线和割线也经常被用来确定地表的坡度和地势的高低，为工程施工提供重要的参考依据。

总的来说，切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。

通过深入理解和应用切割线定理和割线定理，我们可以更好地掌握几何学知识，解决实际问题，推动科学技术的发展。

希望通过本文的介绍，读者能对切割线定理和割线定理有更深入的了解，进一步探索几何学的奥秘。

圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上;这点和切点之间的线段的长度;“切线长”是切线上一条线段的长;具有数量的特征;而“切线”是一条直线;它不可以度量长度..2.切线长定理对于切线长定理;应明确1若已知圆的两条切线相交;则切线长相等；2若已知两条切线平行;则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线;连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线;切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线;平分过这点向圆引的两条切线所夹的角..3.弦切角：顶点在圆上;一边和圆相交;另一边和圆相切的角..直线AB切⊙O于P;PC、PD为弦;图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角..5.弄清和圆有关的角：圆周角;圆心角;弦切角;圆内角;圆外角..6.遇到圆的切线;可联想“角”弦切角;“线”切线的性质定理及切线长定理..7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中;AB、CD为弦;交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD;证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中;AB为直径;CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中;PT切⊙O于T;割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB;证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线;交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T;用两次切割线定理圆幂定理⊙O中;割线PB交⊙O于A;CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M;延长OP'交⊙O于N;用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线;交⊙O于两点;则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R为圆半径;因为叫做点对于⊙O的幂;所以将上述定理统称为圆幂定理..。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

对于切线长定理，应明确〔1〕假设已知圆的两条切线相交，则切线长相等；〔2〕假设已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；〔3〕经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；〔4〕经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；〔5〕圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？〔四个〕4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理一、选择题1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，假设AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝〔〕A. B. C. 5 D. 82.以下图形一定有内切圆的是〔〕3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数〔〕图1A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为〔〕A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于〔〕A. B.C. D.6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，假设CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于〔〕A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

圆补充定理(圆幂-割线-公共弦)及习题

圆补充定理及习题（20151218)板块一：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥，∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如图). 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅AD B1：如图，圆中两条弦AB,CD 相交于圆内一点P ，已知PA=PB=4，PC=14PD,求CD 的长2：E 是圆内两弦AB 和CD 的交点,直线EF//CB,交AD 的延长线于F ，切圆于G 。

求证(1) EFA DFE ∆∆ (2)EF=FG3：两圆相交于A,B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点,从P 引两圆的切线PC,PD ，求证PC=PD4.如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM>MC.连接DE ，DE 求EM 的长．板块二：两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦.如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点,∴12O O 垂直平分AB练习1：如图1，半径为5的两个等圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，公共弦AB=8．由点O 1向⊙O 2作切线O 1C ，切点为C,则O 1C 的长为图1 图2练习2：如图2，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ．已知两圆的半径r 1=10，r 2=17，圆心距O 1O 2=21，公共弦AB 等于（）A ．2B ．16C ．6D ．17练习3：已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm,公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是 cm ．分析:此题综合运用了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况．注意此题应考虑两种情况（图3和图4）．练习4：如图5,⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，它们的半径分别为2和 ,公共弦AB 长为2,若圆心O 1、O 2在AB 的同侧，则∠O 1AO 2= 度．B A O1O2． C A B ．． 1o 2o 图4图5 图3 2板块三：圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1）公切线长:12Rt O O C ∆中,221AB CO =(2）外公切线长:2CO 是半径之差；内公切线长:2CO 是半径之和。

相交弦定理和切割线定理

相交弦定理和切割线定理
相交弦定理也称为割线定理，是圆的性质之一，它表明一个圆上的两个相交弦的长度乘积等于这两个弦所夹的两个弧的长度乘积。

具体地说，设两条相交弦AB和CD在圆O上相交于点E，则有：
\[AE \cdot BE = CE \cdot DE\]
切割线定理，又称为弦切线定理，是圆的性质之一。

它表明如果有一条切割线与一条给定的直径相交于一点E，那么这点E
将把切割线分成两段，其中一段的长度是另一段的长度的平方。

具体地说，如果切线与圆的切点为A，圆的中心为O，则有：\[AE^2 = BE \cdot CE\]
相交弦定理和切割线定理都是在圆的几何性质中应用较广的定理，常用于证明和解决与圆相关的问题。

与圆有关的角及相交弦定理割线定理切割线定理及应用

与圆有关的角及相交弦定理割线定理切割线定理及应用1. 圆与角的关系1.1 圆心角大家好，今天我们来聊聊圆和角的那些事儿。

首先，得说说圆心角。

这玩意儿其实就是从圆心出发，两条半径之间夹的角。

想象一下，你在圆的中心，拿着两根手指，分别指向圆的边缘，嘿，这两根手指之间的角就是圆心角！它的大小跟你指的两点的位置有关系，记住，圆心角越大，弧的长度也越长。

想想看，你的手指在画圈，越大的弧，手指就得移动得越多，明白了吗？1.2 外角与内角接下来说说外角和内角的故事。

外角啊，就是圆的外面某点引出的线和一条弦形成的角。

这可有意思了！我们知道，外角的度数等于相应的两个内角之和，嘿，感觉就像在玩拼图，拼出角的关系，真是妙不可言。

而内角呢，就是指向圆内的那些角，两个内角的和又和外角有着不可思议的联系。

这样一来，圆和角之间的关系，简直就像亲密无间的小伙伴，互相依赖，互相影响。

2. 相交弦定理2.1 定理概述说到这里，咱们不能不提相交弦定理。

这是个简单又实用的定理，像是数学界的小帮手。

它告诉我们，如果两条弦在圆内相交了，那么它们分开的那两段的长度乘积是相等的。

就是说，A、B、C、D四个点，如果A、C和B、D分别是两条弦的端点，那么就有AC乘BD等于AD乘BC。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们举个例子，假设你在一个圆里划了两条线，把它们看成是两把利剑，剑交叉的地方就是相交点，你的“剑”一旦相交，长度的乘积就会保留一个神秘的平衡。

2.2 应用实例这条定理可不是白说的，生活中随处可见。

比如，你在绘图时，需要找出某些点的位置，哎呀，使用相交弦定理就能轻松搞定。

你想想看，约上几个朋友，找个圆圈，随便画几条线，看看他们如何交汇，之后根据长度计算，嘿，这就是数学和生活的完美结合，谁说数学无趣？3. 割线定理与切割线定理3.1 割线定理接着来看看割线定理。

这是个相对简单的小定理，割线就是从圆外发出的线，切到了圆的两点。

如果你把这条线想象成一条长长的直路，路的两端正好切到圆边，割线的长度和圆心到割线的距离都有很大的关系。

巧用切割线定理解决相应线段问题

巧用切割线定理解决相应线段问题ʏ朱萌禛切割线定理是圆中的重要定理之一,是圆中处理线段比例关系的一个重要工具㊂在解决圆中的一些相应线段问题时,根据条件综合切割线定理来处理往往可以达到非常好的效果㊂下面结合实例,就利用切割线定理处理线段长问题㊁圆半径问题㊁线段相等问题加以剖析㊂1.线段长问题例1 如图1所示,A D 为☉O 的直径,图1A B 为☉O 的切线,割线B MN 交A D 的延长线于C ,且B M =MN =N C ,若A B =2㊂求:(1)B C 的长;(2)☉O 的半径r ㊂解析:(1)设B M =MN =N C =x ,由切割线定理可得A B 2=B M ㊃B N ,即22=x (x +x ),解得x =2,所以B C =3x =32㊂(2)在R tәA B C 中,A C =B C 2-A B 2=14,由割线定理可得C D ㊃C A =C N ㊃C M ,所以C D =C N ㊃C M C A =2147㊂所以r =12(A C -C D )=1214-2147æèçöø÷=51414㊂点评:圆中求线段长的问题,利用成比例的线段是解决这类问题的方法之一㊂本题以切线作为突破口,利用切割线定理及割线定理找出线段的关系,问题就迎刃而解㊂2.圆半径问题图2例2 如图2所示,A B 切☉O 于点A ,D 为☉O 内一点,且O D =2,连接B D 交☉O 于点C ,B C =C D =3,A B =6,求☉O 的半径㊂解析:延长B D 交☉O 于点E ,两方延长O D 分别交☉O 于点F ㊁G ,设☉O 的半径为r ,因为B A 切☉O 于点A ,所以由切割线定理可得A B 2=B C ㊃B E ㊂因为A B =6,B C =3,所以B E =12,那么E D =6㊂由相交弦定理可得F D ㊃D G =E D ㊃D C ,又F D =r -O D ,D G =r +O D ,所以(r -O D )(r +O D )=6ˑ3,而O D =2,所以r 2-22=18,解得r =22㊂点评:本题中有切线,但没有完整的割线与相交弦,则通过构造辅助线补全图形,构造出符合定理的条件,这要求我们应熟练定理的基本图形,在此基础上方可补全图形㊂3.线段相等问题图3例3 如图3所示,已知A B 切圆O 于B点,过点A 作圆O 的割线A D 交圆O 于点F ,过点F 作F E ʊA B 交圆于点E ,连接A E 交圆O于点C ,连接D C 延长交A B 于点M ,求证:A M =B M ㊂证明:因为B M 为圆O 的切线,由切割线定理可得B M 2=M C ㊃MD ㊂又因为F E ʊA B ,所以øM A C =øE ㊂又øE =øD ,在әA M C 与әDM A 中,øA M C =øDM A ,øM A C =øD ,所以әA M C ʐәDM A ,所以A M M C =DMM A,所以A M 2=M C ㊃MD ,所以A M =B M ㊂点评:要证明线段相等,而且其中涉及的线段为切线,可以借助切割线定理,构成成比例的线段,利用相交弦定理㊁切割线定理及相似三角形的边成比例来证明㊂小结:从上述几个例子我们可以发现,利用切割线定理解决相应线段问题的着眼点首先是切线,与切线㊁割线相联系,利用切割线定理得出线段成比例,再结合题设已知的线段,利用圆中比例线段相关的知识,就可以将要求的问题解决㊂作者单位:郑州外国语新枫杨学校高二国际部1班74基础数学我的学习发现自主招生 2020年7 8月。

九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首知识精讲试题

九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

【同步教育信息】一. 本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理〔一〕弦切角：1. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

满足三个条件：〔1〕顶点在圆上；〔2〕一边和圆相交；〔3〕一边和圆相切。

判断以下图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上〞的条件；图B中，缺少“一边和圆相交〞的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切〞的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上〞和“一边和圆相切〞两个条件。

所以，图中的∠BAC都不是弦切角。

2. 分类〔以圆心的位置分〕：〔1〕圆心在角的外部；〔2〕圆心在角的一边上；〔3〕圆心在角的内部。

3. 弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论2：在同圆或者等圆中，假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

〔二〕相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图1〔1〕，在⊙O中，AB、CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD。

〔三〕割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图1〔3〕，有PA·PB＝PC·PD。

〔四〕切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图1〔4〕，有PA2＝PC·PD。

当点P从圆内运动到圆上、圆外时〔从图1〔1〕到图1〔3〕〕，总有PA·PB＝PC·PD，图1〔2〕中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。

当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB＝PC·PD，此时PA ＝PB ，所以PA 2＝PC ·PD 。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-园幂定理

园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k 的关系，建立x 或k 的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F ∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

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例2：已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB-上的一点，AB=8.5cm,OP=3cm,-PA=6cm,求圆的半径。-D
例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，-OP⊥PC,PC交⊙O于C.-求证：PC2=PA·PB-D
例4、如图，过A作⊙O的两条割线分别交⊙O于B,G-和D,E。已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC 求AB,BD。
1.填空题-C-A-1如图，-弦AB和CD相交于-G-⊙0内一点G,则有GCXGD=-GBXGA-2已知：图，弦AB与CD相交-于P且PCPD,AP=3,PB=1,-CD=--2√3-3如图，弦AB垂直宇子O直径 N于Q,-MN:QN卡5：1AB8,则MN=
4⊙O中，弦CD把AB分成4cm和-3cm两部分，CD被AB分为3：1两-部分，则这两部分长分别是cm和m.
C-B-点P从圆内移动到远外-D-A-PA·PB=PCPD-PA-PB=PC·PD-点C、D重合为一点-会什么结论？-0
切割线定理：-从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，-这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于-切线长的平 -PC切⊙O于点C点-CD-=>PA·PB=PC2
C-思考：从这几个定理的结论里-0-大家能发现什么特征？-B-AB交CD于点-结论都为乘积式-=>PA-P =PC·PD-几条线段都是从同一点出发-PC切⊙O于点C点都是通过三角形相似来证明-=>PA·PB=PC2 都隐含着三角形相似-我们学过的定理中还有结论-为乘积式的吗？-割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B>PAPB=PC·PD
思考-B-A-P-A,-c-C-D-交点P在圆外-交点P在圆上-交点P在圆内-成立-.p2-?
已知：点P为⊙O外一点，割线PBA、PDC分别-交⊙O于A、B和C、D如下图-求证：PAPB=PCPD-证：-连接AC、BD,-.四边形ABDC为-⊙O的内接四边形-∴.∠PDB=∠PAC,-又∠P=∠P-.△P D~△PCA-割线定理：-PD:PA=PB:PC-从圆外一点引圆的两-.PA.PB=PC.PD-条割线，这点到每一条割线与圆的交点的两条-线段的乘积相等

交叉弦定理切割线定理

交叉弦定理切割线定理交叉弦定理和切割线定理是几何学中重要的定理，它们帮助我们理解和解决与圆相关的问题。

下面我将为大家解释这两个定理，并通过一个故事来展示它们的实际应用。

交叉弦定理是指当两条弦在圆内相交时，它们的交点到圆心的线段相乘相等。

换句话说，如果两条弦AB和CD在圆内相交于点E，那么AE × EB = CE × ED。

切割线定理是指当一个切割线与一条弦相交时，它们的交点到圆心的线段的平方等于这条弦两个部分的乘积。

换句话说，如果一条切割线与一条弦AB相交于点C，那么OC² = AC × BC，其中O是圆心。

现在，让我们通过一个故事来看看这两个定理是如何应用的。

在一个小村庄里，有一座美丽的湖泊。

湖的中心有一个小岛，岛上有一座古老的寺庙。

这座寺庙被一条圆形的围墙所环绕，寺庙的僧侣们相信这个圆形的围墙代表了无限的宇宙。

有一天，一个年轻的数学爱好者来到了这座寺庙。

他对围墙上的一条弦产生了兴趣。

他想知道这条弦在围墙上的位置，是否与另一条弦相交。

于是他开始测量弦的长度，并用这条弦将围墙分成了两个部分。

然后，他发现了一个奇迹。

当他将这两条弦的交点连接起来时，他发现这条线段的长度乘以与圆心的距离等于另一条线段的长度乘以与圆心的距离。

他非常兴奋，并称之为交叉弦定理。

接下来，这个年轻人想知道这条弦是否与围墙的切割线相交。

于是他找到了一条切割线，并将其与这条弦相交。

然后，他测量了交点到圆心的距离，并计算了这个距离的平方。

惊奇的是，他发现这个距离的平方等于这条弦的两个部分的乘积。

他非常兴奋，并称之为切割线定理。

这个年轻人的发现引起了围墙上的其他人的兴趣。

他们纷纷前来探究这些定理，并将它们应用于各种实际问题。

有些人利用交叉弦定理解决了围墙上的测量问题，有些人利用切割线定理计算了围墙上某些区域的面积。

这些定理不仅解决了他们的问题，还让他们对数学产生了更深的兴趣。

通过这个故事，我们可以看到交叉弦定理和切割线定理在解决实际问题中的重要性。

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