2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：中档大题规范练(三)(含答案解析)

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2018年高考数学理二轮复习专项精练：中档大题规范练二含答案精品

(二)立体几何与空间向量1．(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A —PB —C 的余弦值．(1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，AP ，DP ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD .因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD . 以点F 为坐标原点，F A →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz . 由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，1，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，1，0，所以PC →＝⎝⎛⎭⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)，P A →＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ·P A →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.易知A —PB —C 为钝二面角，所以二面角A －PB －C 的余弦值为－33.2.(2017·泉州质检)如图，在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，∠CBD ＝60°，BD ＝2BC ＝4，点E 在CD 上，DE ＝2EC . (1)求证：AC ⊥BE ；(2)若二面角E —BA —D 的余弦值为155，求三棱锥A —BCD 的体积．(1)证明取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，EO . 因为AB ＝AD ，BO ＝OD ，所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD .又BE ⊂平面BCD ，所以AO ⊥BE . 在△BCD 中，BD ＝2BC ，DE ＝2EC ，所以BD BC ＝DEEC＝2，由角平分线定理，得∠CBE ＝∠DBE . 又BC ＝BO ＝2，所以BE ⊥CO ，又因为AO ∩CO ＝O ，AO ⊂平面ACO ，CO ⊂平面ACO ，所以BE ⊥平面ACO ，又AC ⊂平面ACO ，所以AC ⊥BE .(2)解在△BCD 中，BD ＝2BC ＝4，∠CBD ＝60°，由余弦定理，得CD ＝23，所以BC 2＋CD 2＝BD 2，即∠BCD ＝90°，所以∠EBD ＝∠EDB ＝30°，BE ＝DE ，所以EO ⊥BD ，结合(1)知，OE ，OD ，OA 两两垂直，以O 为原点，分别以OE →，OD →，OA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，设AO ＝t (t >0)，则A (0,0，t )，B (0，－2,0)，E ⎝⎛⎭⎫233，0，0，所以BA →＝(0,2，t )，BE →＝⎝⎛⎭⎫233，2，0，设n ＝(x ，y ，z )是平面ABE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋tz ＝0，233x ＋2y ＝0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－2t y ，令y ＝－1，得n ＝⎝⎛⎭⎫3，－1，2t . 因为OE ⊥平面ABD ，所以m ＝(1,0,0)是平面ABD 的一个法向量．又因为二面角E —BA —D 的余弦值为155，所以|cos 〈m ，n 〉|＝33＋1＋4t2＝155，解得t ＝2或t ＝－2(舍去)．又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A —BCD 的高，故V A —BCD ＝13·AO ·S △BCD＝13×2×12×2×23＝433.3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．解以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为 B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， P (0,0,2)．(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)．因为PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)，又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.4.(2017届锦州质检)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若二面角M —BQ —C 的大小为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴QD ∥BC 且QD ＝BC ， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ .∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面P AD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解 ∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面P AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ， ∴PQ ，QA ，QB 两两垂直，如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，设M (x ，y ，z )，则PM →＝(x ，y ，z －3)， MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →，∴⎩⎨⎧x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t 1＋t，y ＝3t 1＋t ，z ＝31＋t ，在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t . ∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t )． ∵二面角M —BQ —C 为30°，∴cos 30°＝n·m |n||m |＝t 3＋0＋t 2＝32，∴t ＝3.5．(2017届北京市朝阳区模拟)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，点F ，G 分别为线段CD ，BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使∠A 1DC ＝60°.点Q 为线段A 1B 上的一点，如图2.(1)求证：A 1F ⊥BE ；(2)线段A 1B 上是否存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE ？若存在，求出A 1Q 的长，若不存在，请说明理由；(3)当A 1Q →＝34A 1B →时，求直线GQ 与平面A 1DE 所成角的大小．(1)证明因为A 1D ＝DC ，∠A 1DC ＝60°，所以△A 1DC 为等边三角形．又因为点F 为线段CD 的中点，所以A 1F ⊥DC .由题可知ED ⊥A 1D ，ED ⊥DC ， A 1D ∩DC ＝D ，A 1D ，DC ⊂平面A 1DC ，所以ED ⊥平面A 1DC .因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以ED ⊥A 1F . 又ED ∩DC ＝D ，ED ，DC ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE .(2)解由(1)知，A 1F ⊥平面BCDE ，FG ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，则F (0,0,0)，D (0，－1,0)，C (0,1,0)，E (1，－1，0)，A 1(0,0，3)，B (2,1,0)．设平面A 1DE 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，A 1D →＝(0，－1，－3)， DE →＝(1,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，x ＝0.令z ＝1，则y ＝－3，所以n ＝(0，－3，1)．假设在线段A 1B 上存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE . 设A 1Q →＝λA 1B →，λ∈(0,1)．又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝(2λ，λ，－3λ)．所以Q (2λ，λ，3－3λ)．则FQ →＝(2λ，λ，3－3λ)．所以FQ →·n ＝－3λ＋3－3λ＝0，解得λ＝12.所以在线段A 1B 上存在中点Q ，使FQ ∥平面A 1DE ，且A 1Q ＝ 2.(3)解因为A 1Q →＝34A 1B →，又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝⎝⎛⎭⎫32，34，－334.所以Q ⎝⎛⎭⎫32，34，34.又因为G ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以GQ →＝⎝⎛⎭⎫0，34，34. 因为n ＝(0，－3，1)，设直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为θ，则sin θ＝|GQ →·n ||GQ →||n |＝⎪⎪⎪⎪0－334＋342×234＝12.所以直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为30°.。

2018年4月2018届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(全解全析)

12．B 【解析】作出函数 f ( x) 在 [0, 6] 上的图象如下图，
4
y0 (
4
且一周期内至多有三个根满足 f 2 ( x) a f ( x) 1 0 ，故在 [0, 6] 内最多有 9 个不等实根，③正确；由函数 f ( x) 的图象可知，当方程 f 2 ( x) a f ( x) 1 0 在 [0, 6] 内的根的个数为偶数时，根的个数
y y0 k PM ( x y 4 k PM
2 4 4 2 2 y0 y y0 y0 0 ，其解为 y y0 和 ) ，与抛物线方程联立消去 x，得 y k k 4 PM PM
y0 ，则 M (
(4 y0 k PM ) 2 4 (4 y0 k PN ) 2 4 , y ) N ( , y 0) ，则由题意，得 0 ，同理可得 2 2 4k PM k PM 4k PN k PN
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y0 ) k PM k PN 1 1 1 ，化简得 y0 2( 1) 4 , ∴ x0 4 ，∴直线 PQ 的斜率为 2 2 (4 y0 k PM ) (4 y0 k PN ) kPN kPM 2 2 4k PM 4k PN y0 1 3 ，故选 D． x0 2 2
2
2
在区间 [0, ] 上单调递减.∵ 0 A
2
，∴ 0 sin A A ，∴ esin A f (sin A) e A f ( A) ,故选 C． 2 2
2 y0 , y0 ) ，故直线 PM 的方程为 4
11．D 【解析】由题意，因为点 P x0 , y0 在抛物线 y 2 4 x 上，所以 P (

2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分专题三

专题三数列第2讲数列的求和及综合应用一、选择题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2＋2－12n －1解析：a n ＝(2n －1)＋12n ，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案：A2．(2016·天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0，则a 1＋a 2＜0，又a 1＞0，所以a 2＜0，所以q ＝a 2a 1＜0. 若q ＜0，可取q ＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝0不满足对∀n ∈N *，a 2n －1＋a 2n ＜0. 所以“q ＜0”是“∀n ∈N *，a 2n －1＋a 2n ＜0”的必要不充分条件．答案：C3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n .令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6，S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．(2017·湘潭三模)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )(导学号 54850115)A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：因为2n＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n ＋1－12n ，所以T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210. 又m ＞T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案：C5．(2017·湖南衡阳联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 5－1)3＋3a 5＝4，(a 8－1)3＋3a 8＝2，则下列选项正确的是( )A ．S 12＝12，a 5＞a 8B ．S 12＝24，a 5＞a 8C ．S 12＝12，a 5＜a 8D ．S 12＝24，a 5＜a 8解析：⎩⎪⎨⎪⎧（a 5－1）3＋3（a 5－1）＝1，（a 8－1）3＋3（a 8－1）＝－1，设f (x )＝x 3＋3x ，易知f (x )在R 上为奇函数且单调递增．所以f (a 5－1)＋f (a 8－1)＝0，(a 5－1)＞(a 8－1)，a 5＞a 8，(a 5－1)＋(a 8－1)＝0，S 12＝12（a 5＋a 8）2＝12.答案：A 二、填空题6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －27．(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．解析：易知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2（1－3n）1－3＝3n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.答案：12－13n ＋1－18．(2017·广东清远一中模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．解析：因为正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，所以a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，则q 2＝q ＋2，所以q ＝2. 又a n a m ＝4a 1，得a 12m －1·a 12n －1＝16a 21，所以a 21·2m ＋n －2＝16a 21，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（m ＋n ）＝ 16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 n m ·4m n ＝32，所以1m ＋4n 的最小值是32.答案：32三、解答题9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．已知等比数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝3×2n －1.(1)求{a n }的通项公式和前n 项和S n ； (2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，令T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n 和T n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . 在a n ＋a n ＋1＝3×2n －1中，令n ＝1，n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1（1＋q ）＝3，a 2＋a 3＝a 1q （1＋q ）＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2. 所以a n ＝2n －1，S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.(2)由题意知b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1因为T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n ＋1（2n ＋1－1）（2n ＋2－1）＞0，所以{T n }单调递增，所以(T n )min ＝T 1＝23.11．(2017·衡水中学质检)若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.(导学号 54850116)(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ＜T n ＋n 2n －1对一切n ∈N *都成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.所以a 1＋1＝2，解得a 1＝1.又数列{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. 所以2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，所以数列{b n }是等比数列，公比为2. 所以b n ＝2n －1.(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1＝2n 2n ＝n2n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，所以12T n ＝12＋222＋…＋n －12n －1＋n2n ，所以12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n，因此T n ＝4－n ＋22n －1.不等式(－1)nλ＜T n ＋n2n －1，化为(－1)nλ＜4－22n －1，n ＝2k (k ∈N *)时，λ＜4－22n －1，所以λ＜2. n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ＜4－22n －1，所以λ＞－2.综上，可得实数λ的取值范围是(－2，2)．[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．规范解答：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，所以a 1＝2，(3分)所以数列{a n )是首项为2，公差为3的等差数列，(4分) 因此{a n }的通项公式a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(6分) (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝nb n 1＋a n ＝b n 3≠0，则b n ＋1b n ＝13，(9分)因此数列{b n }是首项为b 1，公比为13的等比数列，(10分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.(12分)1．牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断b n ＋1b n ＝13. 2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得b n ＋1与b n 的关系．3．写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，才能得出a 1，并指出数列{a n }的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求b n ＋1＝b n3的步骤并要指明{b n }的性质；求S n 时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．[解题程序] 第一步：将n ＝1代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求出a 1的值；第二步：利用等差数列的通项公式求出a n ；第三步：将第(1)问中求得的a n 代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求得b n ＋1与b n 的关系；第四步：判断数列{b n }为等比数列；第五步：代入等比数列的前n 项和公式求S n . 第六步：反思检验，规范解题步骤．[跟踪训练] (2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3. 又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n－n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *.。

2018届高三二轮数学(理)高考大题专攻练含答案(三)

2018 届高三二轮数学(理)高考大题专攻练含答案（三）
高考大题专攻练
3.数列(A 组)
[来源:Z_xx_]
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 1.设数列的前 n 项和为 Sn ，对任意的正整数 n，都有，数列的前 n 项和为 Tn，
an=5Sn+1 成立，bn =-1-log2
cn= (1)求数列
.
世纪金榜导学号 92494439 的通项公式与数列前 n 项和 An. 中的项 an，使得
(2)对任意正整数 m，k，是否存在数列
≤32an 成立？若存在，请求出正整数 n 的取值集合，若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为 an=5Sn+1，令 n=1⇒a1=- ，由项公式 an= ，得，an+1=- an，所以等比数列{an}的通
bn=-1-log 2|an|=2n-1，
=
=
-
，
所
以
An=1-
=
.
(2)存在.因为 an= =. ，
⇒Sn=
所以 S1 =- ，S2=当 n 为奇数，Sn=n 为偶数，Sn=-
单增，单减，，
所以(Sn)min=- ，(Sn)max=-
设对任意正整数 m，k，存在数列{an}中的项，使得|Sm-Sk|≤ 32an 成立，即(Sn)max-(Sn)min= n∈{2，4}. = ≤32an=32· ，解得：
2.已知数列{an}满足 a1 =1，an+1=1-
，其中 n∈N .
*
(1)设 bn= 的通项公式 an.
，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}
(2)设 cn=
，数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn，是否存在正整

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(二)数学(理)试题含答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【高三数学试题精选】2018高三数学(理)二轮高考大题专攻练全集(人教版12份含答案)

2018高三数学（理）二轮高考大题专攻练全集（人教版12
份含答案）
5 c 高考大题专攻练
1三角函数与解三角形(A组)
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！
1已知a，b，c分别为△ABc三个内角A，B， c的对边，且 = =
(1)求角A的大小
(2)若△ABc的面积为3，求a的值
【解题导引】(1 )由已知条可求出三个角的正切的关系，然后利用正切式可求出tanA的值，从而求出角A的大小
(2)由(1)可求出三个角的正切值，结合正弦定理和面积式可求解
【解析】(1)因为 = = ，所以 = = ，即tanA= = ，则tanB=2tanA，tanc=3tanA又在△ABc 中，tanA=-tan(B+c)=- ，则tanA=- ，解得tan2A=1所以tanA=-1或tanA=1，
当ta nA=-1时，tanB=-2，则A，B均为钝角，与A+B+c=π矛盾，故舍去，故tanA=1，则A=
(2)由tanA=1可得tanB=2，tanc=3，则sinB= ，sinc= 在△ABc 中，由正弦定理可得b= = a= a，则S△ABc= absinc= a× a× = =3，得a2=5，所以a=
2已知向量a= ，b=(csx，-1)
世纪金榜导学号92494437
(1)当a∥b时，求cs2x-sin2x的值
(2)设函数f(x)=2(a+b) b，已知在△ABc中，内角A，B，c的对边分别为a，b，c若a= ，b=2，sinB= ，
求f(x)+4cs 的取值范围
【解析】(1)因为a∥b，
所以 csx+sinx=0，。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：中档大题规范练(六)(含答案解析)

(六)不等式选讲1．(2017·唐山月考)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|mx －1|.(1)若m ＝1，求f (x )的最小值，并指出此时x 的取值范围；(2)若f (x )≥2x ，求m 的取值范围．解 (1)当m ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号，故f (x )的最小值为2，此时x 的取值范围是[－1,1]．(2)当x ≤0时，f (x )≥2x 显然成立，所以此时m ∈R ；当x >0时，由f (x )＝x ＋1＋|mx －1|≥2x ，得|mx －1|≥x －1.由y ＝|mx －1|及y ＝x －1的图象，可得|m |≥1且1m ≤1，解得m ≥1或m ≤－1.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x (a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解 (1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，此时不成立；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，解得x <0，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，解得x <－1.综上，原不等式的解集是{x |x <0}．(2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，当且仅当x ＝aa 时等号成立，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ＝2a －1.当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)．所以2a －1≥1，解得a ≥1.所以实数a 的取值范围为[1，＋∞)．3．设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)显然a ≠0.f (x )≤2可化为－1≤ax ≤3，当a >0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，3a ，易知－1a ＝－6，3a ＝2，无解；当a <0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ，－1a ，易知－1a ＝2，3a ＝－6，解得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取得最小值－72，由题意知7－3m ≥－72，解得m ≤72.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，72.4．设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)由f (x )≤x ＋2，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，－1<x <1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2，所以所求的解集为[0,2]．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时取等号．由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，1－x －x －1≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，1－x ＋x ＋1≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋1≥3，解得x ≤－32或x ≥32.所以所求x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.5．不等式|x 2＋3x －18|<6－2x 的解集为{x |a <x <b }．(1)求a ，b 的值；(2)已知p ，q ∈(－1,1)，且pq ＝b a ，求u ＝a 8(p 2－1)＋b4(q 2－1)的最小值．解 (1)由|x 2＋3x －18|<6－2x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 6－2x >0，|x 2＋3x －18|2<4(x －3)2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <3，(x －3)2(x ＋8)(x ＋4)<0，解得－8<x <－4，从而a ＝－8，b ＝－4.(2)由(1)知u ＝－88(p 2－1)＋－44(q 2－1)＝11－p 2＋11－q 2，pq ＝b a ＝12，故p 2＋q 2≥2pq ＝1，当且仅当p ＝q ＝±22时取等号．而u ＝11－p 2＋11－q 2≥211－p 2·11－q 2 ＝2154－p 2－q 2≥2154－1＝4，或u ＝11－p 2＋11－q 2＝2－p 2－q254－p 2－q 2＝1＋3454－(p 2＋q 2)≥1＋3454－1＝4.。

（完整版）2018年高考全国2卷理科数学带答案解析

范文范文范例范例指导指导参考参考word 资料资料整理分享整理分享绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：注意事项：11．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．12i 12i +=-A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e()xxf x x --=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．221010．若．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 1111．已知．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．501212．已知．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习中档大题规范练全套含解析

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习中档大题规范练1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知acosB ＝3，bcosA ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解 (1)方法一在△ABC 中，acosB ＝3，由余弦定理，得a·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，①bcosA ＝1，则b·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin(A ＋B) ＝sin(π－C)＝sinC ，由a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，得sinA ＝asinC c ，sinB ＝bsinC c，代入上式得 c ＝acosB ＋bcosA ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得acosB bcosA ＝sinAcosB sinBcosA ＝tanA tanB ＝3.又tan(A －B)＝tanA －tanB 1＋tanAtanB ＝2tanB 1＋3tan 2B ＝33，解得tanB ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bcosC ＋ccosB ＝2acosA. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一在△ABC 中，由正弦定理及bcosC ＋ccosB ＝2acosA ，得sinBcosC ＋sinCcosB ＝2sinAcosA ，即sinA ＝2sinAcosA.因为A ∈(0，π)，则sinA ≠0，所以cosA ＝12，所以A ＝π3.方法二在△ABC 中，由余弦定理及bcosC ＋ccosB ＝2acosA ，得b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b22ac ＝2a·b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bccosA ＝3，得bc ＝23，所以△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12×23sin π3＝32.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且bsin2C ＝csinB.(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sinA 的值．解 (1)由bsin2C ＝csinB ，根据正弦定理得 2sinBsinCcosC ＝sinCsinB.因为sinB ＞0，sinC ＞0，所以cosC ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sinA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cosA ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cosB 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cosA ＝45，A ∈(0，π)，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213.所以cosB ＝cos[π－(A ＋∠ACB)]＝－cos(A ＋∠ACB) ＝sinAsin ∠ACB －cosAcos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BC sinA sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BCcosB ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f(x)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以Asin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f(α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12. 因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.3．(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 (1)方法一因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0，解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35，从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin2α＝1＋cos2α2，即4sin2α－cos2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin2α－1)2＝1，整理得17sin 22α－8sin2α＝0，解得sin2α＝817或sin2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝817，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝1517，因为tan2α＝sin2αcos2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解 (1)在△AOB 中，由余弦定理，得cos ∠AOB ＝OA 2＋OB2－AB22OA·OB＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得cos α＝513.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD.证明 (1)如图，连结A 1C ，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形，又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC.又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 的中点，因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.因为O 为BD 的中点，所以E 为PB 的中点． (2)在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2PC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ＝22AB ，所以PC ＝OC.因为G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO. 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.而四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CG. 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ，所以CG ⊥平面PBD.3．如图，已知平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点． (1)若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ； (2)若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAC ，因为M ，N 分别为AE ，AP 的中点，所以MN ∥PE ，又因为PE ∥BC ，所以MN ∥BC ，即MN ⊥平面PAC ，又MN ⊂平面CMN ，所以平面CMN ⊥平面PAC.(2)因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄平面ABC ，所以PE ∥平面ABC ，设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l. 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l.所以MN ∥PE ，因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点． (1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．(1)证明因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC. 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为A 1C 的中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD. 因为O 为A 1C 的中点，所以D 为BC 的中点，所以BDDC ＝1.4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：m 2)，高为h(单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f(α)； (2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值．解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，设AD ＝x.则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h，则x ＝S h －h tan α，则l ＝f(α)＝2DC ＋AD＝S h ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2. (2)f ′(α)＝h·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h·1－2cos αsin 2α，令f ′(α)＝h·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 当α变化时，f ′(α)，f(α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .答当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为Sm 2.设∠AOC ＝xrad. (1)写出S 关于x 的函数关系式S(x)，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝xrad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x·OA22＝800x,0＜x ＜π.在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx ，从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x,0＜x ＜π. (2)由(1)知，S(x)＝1600sinx ＋800x,0＜x ＜π，则S ′(x)＝1600cosx ＋800＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ＋12，由S ′(x)＝0，解得x ＝2π3，从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x)＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x)＜0，因此S(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减．所以当x ＝2π3时，S(x)取得最大值．答当∠AOC ＝2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值．解 (1)设一根木条长为xm ，则正方形的边长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝4－x 2m. 因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x ＞2，所以42＜4x ＜215.答四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)方法一设AB 所在的木条长为am ，则BC 所在的木条长为(3－a)m. 因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2)．S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，设f(a)＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a)＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)，令f ′(a)＝0，得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．当a 变化时，f ′(a)，f(a)的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f(a)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916，即S max ＝74.答窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二设AB 所在的木条长为am ，BC 所在的木条长为bm ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2)．由于AB ＝21－b24，BC ＝21－a24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b 24－a 2，因为4－b24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值．答窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy. (1)若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S ＝23lh.解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，－32，代入抛物线方程解得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为hm ，h ≥6，抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，－h ＋92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100h h －92，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400.因为h ≥6，所以92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40.所以S ＝23lh ＝23l·92l 2l 2－400＝3l3l 2－400(20＜l ≤40)．所以S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20＜l ＜203时，S ′＜0；当203＜l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S 在l ＝203时取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答当拱高为274m ，拱宽为203m 时，使得隧道口截面面积最小．5．直线与圆1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M(0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a)2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋(－4)2＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0，解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2，OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点 A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程； (2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值．解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1，所以A(－2,0)，F(1,0)．如图，因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32，根据对称性，可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3. ①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP＝±32，不妨设OP ：y ＝32x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ，x 24＋y23＝1，解得x ＝2，y ＝62，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2，62，此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb(x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b|k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值 6. 综上，因为6＞2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l ，m ，欲再建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与圆A 相切．(1)当P 距O 处2百米时，求OQ 的长； (2)当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．解以O 为原点，直线l ，m 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2＋yq ＝1，即qx ＋2y －2q ＝0(q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切， ∴|2－2q|q 2＋22＝1，解得q ＝83，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．(2)设直线PQ 的方程为x p ＋yq ＝1，即qx ＋py －pq ＝0(p ＞1，q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切，∴|p －pq|q 2＋p 2＝1，化简得p 2＝q q －2，则PQ 2＝p 2＋q 2＝q q －2＋q 2，令f(q)＝q q －2＋q 2(q ＞2)，∴f ′(q)＝2q －2(q －2)2＝2(q －1)(q 2－3q ＋1)(q －2)2(q ＞2)，当2＜q ＜3＋52时，f ′(q)＜0，即f(q)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3＋52上单调递减；当q ＞3＋52时，f ′(q)＞0，即f(q)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增，∴f(q)在q ＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ 长最短时，OQ 的长为3＋52百米．6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解 (1)由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b 2＝1.把P(2，－1)代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y22＝1.(2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数．设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0，因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k2，从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值．2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t)2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B. (1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？解 (1)由题意得b ＝2. 因为C(t,0)，B(0，－2)，所以BC ＝t 2＋4＝20，所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2，所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5. 所以椭圆E 的方程为x 25＋y24＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，设l ：y ＝k(x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P(m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0，所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m ＝0，所以(x 1－1)(x 2－m)＋(x 2－1)(x 1－m)＝0，即2x 1x 2－(1＋m)(x 1＋x 2)＋2m＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m)10k 24＋5k2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.所以存在定点P(5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点(点B 在第一象限)． (1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值； (2)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程．解 (1)直线OB 方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y ＝32x ＋b. 则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b消去y 整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时Δ＝9b 2－12(b 2－3)，令Δ＝0，解得b ＝±23，当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32；当b ＝－23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－32，所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×|33＋3|13＝ 3. (2)显然，直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x ＝my ＋n.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋n 消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mn 3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4. 因为3y 1＋y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝3mn 3m 2＋4，y 21＝4－n 23m 2＋4，从而9n 2m 2(3m 2＋4)2＝4－n 23m 2＋4，即n 2＝3m 2＋43m 2＋1，所以S △OBC ＝12|n|·|y 1－y 2|＝2|n|·|y 1|＝6|m|n 23m 2＋4＝6|m|3m 2＋1. 因为B 在第一象限，所以x 1＝my 1＋n ＝3m 2n 3m 2＋4＋n ＞0，所以n ＞0. 因为y 1＞0，所以m ＞0，所以S △OBC ＝6m 3m 2＋1＝63m ＋1m ≤623＝3，当且仅当3m ＝1m ，即m ＝33时取等号，此时n ＝102，所以直线l 的方程为x ＝33y ＋102，即y ＝3x －302.4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y2b2＝1经过点(b,2e)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT·BT MN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k.解 (1)由点(b,2e)在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b2＝1. 因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32. 又b 2＜a 2＝8，解得b 2＝4，所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，由对称性知N(－x 0，－y 0)，其中y 1＜0.因为MN ∥AB ，所以AT·BT MN 2＝－y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1y 2＝－7k 21＋2k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，所以y 20＝8k 21＋2k 2，从而得AT·BT MN 2＝732. (3)由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去y ，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2. 又因为－x 1＝25(x 2－1)，所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)，从而－4k 2＋23(1＋2k )·16k 2－23(1＋2k )＝2k 2－81＋2k . 整理得50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)．因为k ＞0，所以k ＝ 2.。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：中档大题规范练(四)

(四)数列1．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n (a n ＋n )，且数列{b n }的前2n 项和为S 2n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1＝9，解得λ＝2，∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n (2n －1＋1)2＝n 2. (2)b n ＝(－1)n (a n ＋n )＝(－1)n (n 2＋n )，b 2n －1＋b 2n ＝－[(2n －1)2＋(2n －1)]＋[(2n )2＋2n ]＝4n ，S 2n ＝4×n (n ＋1)2＝2n 2＋2n . 2．(2017·河北省衡水中学二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋3＝a n ＋3＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设以2为公比的等比数列{b n }满足4log 2b n ·log 2b n ＋1＝a n ＋12n ＋11(n ∈N *)，求数列{b n －log 2b n }的前n 项和S n .解 (1)由题意知，数列{a n ＋3}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＋3＝2＋2(n －1)＝2n ，故a n ＝4n 2－3.(2)设等比数列{b n }的首项为b 1，则b n ＝b 1×2n －1，依题意有4log 2b n ·log 2b n ＋1＝4log 2(b 1×2n －1)·log 2(b 1×2n )＝4(log 2b 1＋n －1)(log 2b 1＋n ) ＝4(log 2b 1)2－4log 2b 1＋4×(2log 2b 1－1)n ＋4n 2＝4n 2＋12n ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧4×(2log 2b 1－1)＝12，4(log 2b 1)2－4log 2b 1＝8，解得log 2b 1＝2，b 1＝4，故b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. ∵b n －log 2b n ＝2n ＋1－(n ＋1)， ∴S n ＝22(1－2n )1－2－n (2＋n ＋1)2＝2n ＋2－4－n (n ＋3)2.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n＋2n －2，n ∈N *，且S 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. (1)解由a n ＝S n n ＋2n －2，得a 2＝S 22＋2＝5， ∴a 1＝S 2－a 2＝1.由a n ＝S n n＋2n －2，得 S n ＝na n －2n 2＋2n ，∴S n －1＝(n －1)a n －1－2(n －1)2＋2(n －1)，n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4n ＋4，即(n －1)a n ＝(n －1)a n －1＋4(n －1)，∴a n ＝a n －1＋4，即数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.(2)证明由(1)得a n ＝4n －3，则S n ＝2n 2－n .方法一 1S n ＝1(2n －1)n ＝2(2n －1)·2n＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ，当n ＝1时，1S 1＝1<53成立，当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝1＋2⎝⎛⎭⎫13－14＋2⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＝1＋23＋2⎝⎛⎭⎫15－14＋2⎝⎛⎭⎫17－16＋…＋ 2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n －2＋2⎝⎛⎭⎫－12n <1＋23＝53， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. 方法二当n ＝1时，1S 1＝1<53成立，当n ＝2时，1S 1＋1S 2＝1＋16<53成立，当n ≥3时，1S n ＝1(2n －1)n <1(n －1)n ＝1n －1－1n， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <1＋16＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝53－1n <53，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. 4．(2017届南京、盐城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．(1)解因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，Sn n ＝a 1＋n －1，从而 (n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1.(2)证明由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－Sn n ，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1,两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n . 从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－Sn n＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n＝(n ＋2)b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n＝12(n ＋2)(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－Sn n ，① (n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n ， ②由②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ.故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．5．(2017届天津市耀华中学模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 2n ＋1＝6S n ＋9n ＋1，n ∈N *，各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 3＝a 2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝(3n －2)·b n ，数列{c n }的前n 项和为T n . ①求T n ；②若对任意n ≥2，n ∈N *，均有(T n －5)m ≥6n 2－31n ＋35恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵a 2n ＋1＝6S n ＋9n ＋1，∴a 2n ＝6S n －1＋9(n －1)＋1，∴a 2n ＋1－a 2n ＝6a n ＋9(n ≥2)，∴a 2n ＋1＝(a n ＋3)2.又∵数列{a n }各项均为正数，∴a n ＋1＝a n ＋3(n ≥2)．∴数列{a n }从a 2开始成等差数列，又a 2＝4,42＝6a 1＋9＋1，∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝3，∴{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴a n ＝3n －2.∵b 1＝1，b 3＝4，∴b n ＝2n －1. (2)c n ＝(3n －2)·2n －1， ①T n ＝1·20＋4·21＋…＋(3n －2)·2n －1， 2T n ＝1·21＋4·22＋…＋(3n －2)·2n ，∴两式相减得－T n ＝1＋3(21＋22＋…＋2n －1)－(3n －2)·2n ＝1＋6(2n －1－1)－(3n －2)·2n ， ∴T n ＝(3n －5)·2n ＋5.②(3n －5)·2n ·m ≥6n 2－31n ＋35恒成立，∴m ≥6n 2－31n ＋35(3n －5)·2n ＝(3n －5)(2n －7)(3n －5)·2n＝2n －72n ，即m ≥2n －72n 恒成立，设k n ＝2n －72n ， k n ＋1－k n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，当n ≤4时，k n ＋1>k n ，当n ≥5时，k n ＋1<k n ，∴(k n )max ＝k 5＝332，∴m ≥332.。

2018届高三数学理二轮复习高考大题专攻练 10 含解析精品

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高考大题专攻练10.解析几何(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，其右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的方程.(2)若P，Q，M，N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2-c2=1，故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1，0)，且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则PQ的方程为y=k(x-1)，联立整理得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=，x1x2=，则|PQ|=·，于是|PQ|=，同理：|MN|==.则S=|PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，S=|PQ||MN|==2，当k=〒1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=〒1时，四边形PMQN的面积取最小值.当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2.综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：+=1(a>b>0)的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1. 世纪金榜导学号92494446(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2.①求证：k1·k2为定值；②求△CEF的面积的最小值.【解题导引】(1)由题知b=1，由=，b=1联立求解即可得出.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，利用斜率计算公式即可得出.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，可得△CEF的面积S△|EF|(2-y c).CEF=【解析】(1)由题意知b=1，由=，所以a2=2，b2=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，由得(1+2)x2+4k1x=0，解得x C=-，同理x B=-，因为B，O，C三点共线，则由x C+x B=--=0，整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0，所以k1k2=-.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，所以k1k2=·===-.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，而y C=k1x C+1=-+1=，所以，△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c)==··.由k1k2=-，得k2=-，则S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时取得等号，所以△CEF的面积的最小值为.【加固训练】(2017·广元一模)已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F(-1，0)的距离为d2，且=.直线l与椭圆C交于不同两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA+∠OFB=180°.(1)求椭圆C的方程.(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程.(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)设P(x，y)，得==，由此能求出椭圆C的方程.(2)由已知条件得k BF=-1，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程.(3)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，由此能证明直线l总经过定点M(-1，0). 【解析】(1)设P(x，y)，则d1=|x+2|，d2=，==，化简得+y2=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)因为A(0，1)，F(-1，0)，所以k AF==1，∠OFA+∠OFB=180°，所以k BF=-1，直线BF的方程为y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，所以x=0或x=-，代入y=-x-1得，(舍)或所以B.k AB==，所以AB的方程为y=x+1.(3)由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF 上.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，-y2).设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，x1+x2=-，x1x2=，k AB=，所以AB的方程为y-y1=(x-x1)，令y=0，得：x=x1-y1=，y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)，x=====-1.所以直线l总经过定点M(-1，0).关闭Word文档返回原板块。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：中档大题规范练(三)含答案

(三）概率与统计1．（2017·北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组,每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者．(1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;（2)从图中A，B，C,D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1。

7的人数,求ξ的分布列和期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论)解（1)由题图可知,在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为错误!＝0。

3。

(2)由题图可知,A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1，2.P(ξ＝0)＝错误!＝错误!，P（ξ＝1)＝错误!＝错误!,P（ξ＝2）＝错误!＝错误!，所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝1。

(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．2．（2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ）之外的零件数,求P(X≥1)及X的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9．95 10.12 9。

2018年高考理科数学二轮复习专项精练：中档大题规范练(一)

中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1.(2017届江苏省南通、扬州、泰州三模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (A >0,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点⎝⎛⎭⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若角α满足f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎫α－π2－1＝0,α∈(0,π),求角α值. 解 (1)由条件可知,周期T ＝2π,即2πω＝2π, 所以ω＝1,即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 因为f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，32, 所以A sin 2π3＝32,所以A ＝1, 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由f (α)＋3f ⎝⎛⎭⎫α－π2＝1, 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－π2＝1, 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1, 所以2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝1, 即sin α＝12. 因为α∈(0,π),所以α＝π6或5π6.2.如图,在△ABC 中,已知点D 在边AB 上,AD ＝3DB ,cos A ＝45,cos ∠ACB ＝513,BC ＝13. (1)求cos B 的值；(2)求CD 的长.解 (1)在△ABC 中,cos A ＝45,A ∈(0,π), 所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35.同理可得sin ∠ACB ＝1213. 所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB )＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB＝35×1213－45×513＝1665. (2)在△ABC 中,由正弦定理得AB ＝BC sin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20. 又AD ＝3DB ,所以BD ＝14AB ＝5. 在△BCD 中,由余弦定理得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B＝ 52＋132－2×5×13×1665＝9 2. 3.(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1,a ＝3,求△ABC 的周长.解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A, 即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理,得12sin C sin B ＝sin A 3sin A, 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1),得cos B cos C －sin B sin C ＝－12, 即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3,故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a 23sin A,a ＝3,所以bc ＝8. 由余弦定理,得b 2＋c 2－bc ＝9,即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8,得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.4.(2017届辽宁省部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间及其对称中心；(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3,BC 边上的中线长为3,求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝3⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3,令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π⇒－π3＋k π≤x ≤π6＋k π,k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z ).令2x ＋π6＝k π⇒x ＝－π12＋k π2(k ∈Z ),则对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，3(k ∈Z ).(2)由f (A )＝3＋1,得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12,则2A ＋π6＝5π6,所以A ＝π3.又|BC →|＝|AC →－AB →|＝3,① BC 边上的中线长为3,则|AC →＋AB →|＝6,②由①②知,AB →·AC →＝274⇒|AB →|·|AC →|cos π3＝274⇒|AB →|·|AC →|＝272,所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin π3＝2738.5.如图,在边长为2的正三角形ABC 中,D 为BC 的中点,E ,F 分别在边CA ,AB 上.(1)若DE ＝2,求CE 的长；(2)若∠EDF ＝60°,问：当∠CDE 取何值时,△DEF 的面积最小？并求出面积的最小值.解 (1)在△CDE 中,∠DCE ＝60°,CD ＝1,DE ＝2,由余弦定理,得DE 2＝CD 2＋CE 2－2×CD ×CE ×cos 60°,CE 2－CE －1＝0,解得CE ＝5＋12. (2)设∠CDE ＝α,30°≤α≤90°,在△CDE 中,由正弦定理,得DE sin ∠DCE ＝DC sin ∠CED, 所以DE ＝sin 60°sin (60°＋α)＝32sin (60°＋α), 同理DF ＝32sin α, 故S △DEF ＝12×DE ×DF ×sin ∠EDF ＝3316sin αsin (60°＋α)＝334＋8sin (2α－30°), 因为30°≤α≤90°,30°≤2α－30°≤150°,所以当α＝60°时,sin(2α－30°)的最大值为1,此时△DEF 的面积取到最小值. 即∠CDE ＝60°时,△DEF 的面积的最小值为34.。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：中档大题规范练(五)含答案

(五）坐标系与参数方程1．已知曲线C的参数方程为错误!(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹；(2）若直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝错误!，求直线l被曲线C 截得的弦长．解(1)因为曲线C的参数方程为错误!(α为参数)，所以曲线C的普通方程为（x－3）2＋（y－1）2＝10, ①曲线C表示以C(3,1)为圆心，10为半径的圆．将错误!代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ。

(2）因为直线l的直角坐标方程为y－x＝1，所以圆心C到直线y＝x＋1的距离d＝错误!，所以直线被曲线C截得的弦长为2错误!＝错误!.2．（2017·河南郑州一中模拟)已知曲线C1的参数方程为错误!（t为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ＝2错误!cos错误!，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．解（1）ρ＝2错误!cos错误!＝2(cos θ＋sin θ），即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ）,可得x2＋y2－2x－2y＝0，故C2的直角坐标方程为（x－1)2＋（y－1)2＝2。

（2）易知C1的普通方程为x＋错误!y＋2＝0。

由（1）知曲线C2是以(1,1）为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离d＝错误!＝错误!，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为错误!。

3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝错误!.(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程;(2）若Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l距离的最大值．解(1）由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x＋2y＝0，即直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.由ρ2＝错误!⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4⇒错误!＋y2＝1，即椭圆C的直角坐标方程为错误!＋y2＝1。

2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：中档大题规范练(三)(含答案解析)

2018年高考数学理二轮复习 专项精练：中档大题规范练二 含答案 精品