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二次函数综合题分类讨论

一、直角三角形分类讨论：

1

1、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，

这样的 C 点你能找到个

2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点

A 在点

B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线

C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x

轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为

N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形

是直角三角形时，求点Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147）

3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．

(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为

—1．求这个二次函数的解析式；

?

(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形

若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；

(3)求边 C’O’所在直线的解析式．

练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点

C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且 cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、 C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?

4A 二、

4

3

2

1

N

2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18

1

2

3P

4

M

5

6

等腰三角形分类讨论

1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个

2 A

的坐标为(12)，

，点

B

的坐标为

(31)，

，二次函数 y x2

、①，在平面直角坐标系中，点

的图象记为抛物线l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点 A ，但不过点 B ，写出平移后的一个抛物线的

函数表达式：（任写一个即可）．

（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．

（3）设抛物线

l2 △△

，求点 K 的坐标．

的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK S

ABC

（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角

形．若存在，请判断点

P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）

；若不存在，请说明师． y y y

l 2 l 1

l 2

A A A

1 B 1 C B x 1 B

O x O O 1

x

1 1 图① 图② 图③ 解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如 y x

2 1， y x 2 x ， y

( x 1)2 2 或 y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 1 2) 2 ．

（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2 bx

c ，

y l 2 Q 点 A(12)， ， B(31)， 在抛物线 l 2 上，

K

G

A 1 b c ， b 9 ，

2 2

9 3b c 解得 11 1

c. 2

抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2 9 x 11 ．

2 2

9 x 11 9 2

7 ， 9，7 （3） y

x 2 x C 点的坐标为 ．

2 2 4 16 4 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ， F ， 则 AD 2 ， CF

7 ， BE 1， DE 5 ， FE 3 16 2 ， DF ．

4 4 S

△ ABC S

梯形 ADEB S 梯形 ADFC S 梯形 CFEB ．

1 (

2 1) 2 1 2 7 5 1 1 7

3 15 ．

2 2 16 4 2 16 4 16

延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，

2 m ， m

1 ， Q 点 A(12)， ， B(31)， 在直线 AB 上， n

2 1 3m 解得 5

n.

n.

2 直线 AB 的函数表达式为 y 1 x 5 G 点的坐标为

5 2 ． 0， ． 2 2

B C x O D F E 图②