第6章+马尔可夫预测方法
马尔可夫预测
4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。
马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。
众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。
对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。
但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。
例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。
这种与过去的取值无关，称为无后效性。
这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。
1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。
将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。
若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。
n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。
因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。
市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。
2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。
系统预测马尔可夫预测
解：
划分状态。 按销售额多少作为划分状态的标准。 状态1——滞销：销售额60万元； 状态2——平销：60万元销售额
100万元； 状态3——畅销：销售额100万元。
19
则各状态出现的次数Mi为：
M1=7； M2=5； M3=8。 根据统计数据计算比例数，建立状态 转移概率矩阵。
20
由状态i转移为状态j的次数记为Mij，
24
条件
设市场中提供某种商品的厂商共有n家。 当前的市场占有率,即本期市场占有率为：
用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾 客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i 厂商转来的顾客的概率。特别是当i=j时， Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样 Pij即为市场占有率的转移概率。
25
转移概率矩阵
3
一、Markov预测原理
例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。
机场 租 风景区 车 宾馆
机场 0.8 0.2 0.2
还车 风景区
0.2
0
0.2
宾馆 0 0.8 0.6
p11
p12
p13 0.8 0.2
0
P
p21
p22
p23
0.2
0
0.8
p31
p32
p33 0.2 0.2 0.6
4
一、Markov预测原理
若假定各期的转移概率不变，则那 么对于下K期市场占有率的预测，可 以看成是在当前状态下经过K步转移 所达到的状态。即：S（K）=S（0）PK。
31
例5
已知市场上有A、B、C三种品牌
的洗衣粉，上月的市场占有率分布
为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩
阵为：
马尔科夫预测法
• 定义2： (k) pij (m) = P(Xm+k = E j | Xm = Ei ) 为k步 称 的转移概率。 特别是，当k=1时， P( xm+1 = Ej | Xm = Ei)称为一步转移概率，记为：
p ij (m) = P(X m +1 = E j | X m = E i )
若对任何非负整数n,马尔科夫链 ｛ Xn,n ≥ 0｝的一步转移概率 pij (m) 与m无 关，则为齐次马尔科夫链。记作 p ij
V (1) +r V2(1) +r 1 11 12 R = V (1) +r V (1) +r 21 2 22 1
• 由此二步转移之后的期望利润为 • V (2) = V (1) + r p + V (1) + r
i
[1
i1
]
i1
[2
i2
]pi2
= ∑Vj (1)pij + qi
S = P ,P ,P
0 (0) 1 (0) 2
式中： S (0)------初始市场占有率向量 (0) p i i=1，2，3------甲乙丙厂初始市 场占有率 另有市场占有率转移概率矩阵：
(
(0) 3
)
P 11 P = P21 P 31
P 12 P22 P32
P 13 P32 P33
用数学表达定义为（定义1）： 设随机时间序列｛ Xn,n ≥ 0｝满足如下条件： （1）每个随机变量Xn只取非负整数值。 （2）对任何的非负整数t1< t2 <… <m <m+k,及E1, E2,…, Em ；当P(Xt1 = E1 , Xt2 = E2,…… Xm = Em) ＞0 时，有 P( Xm+k = Ej | Xt1 = E1 , Xt2 = E2，…， Xm = Em)=P( xm+k = Ej | Xm = Em)，则称｛ Xn,n ≥ 0｝ 为马尔科夫链。
马尔柯夫预测法 PPT课件
3
在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现 象：
（1）确定性现象（在一定条件下必然出现）；
（2）随机现象（掷硬币、射手打靶等）。
随机现象的统计规律性：
同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能 的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随 机现象也具有其固有的规律性。
马尔柯夫预测法：
应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究 有关经济现象变化规律并藉以此预测未来状况 的一种方法。
6月份，甲厂有400户原来的顾客，上月的顾客有 50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300户原来的顾 客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；丙厂 有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂， 10户转乙厂。
试计算其状态转移概率。
2020/3/31
8
6月份顾客转移表
从到
甲
乙
丙
合计
甲
400
50
记为： P(xn j | x0 i) Pij (n)
并令
P11 (n) P12 (n)
P(n)
P21 (n)
PN1 (n)
P22 (n)
PN 2 (n)
则称P（n）为n步转移概率矩阵。
P1N (n)
P2N (n)
PNN (n)
当n=2时，为2步转移概率，P（2）为2步转移概率矩阵。
0.1
P32 100 0.1
P33
0.8 100
10
基本概念
3、状态转移概率矩阵
状态转移概率具有如下特征： 0 Pij 1 i, j 1,2, , N
N
Pij
1
i 1,2 , N
j1
并且，在一定条件下，系统只能在可能出现的状态 E1，
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
第六章 马尔科夫预测法完整版
(3)25
1、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占 有率情况，得到初始分布为
2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵
(3)26
假设P是稳定的，得到： 1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，
2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，
(3)27
2、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此 存在唯一的市场均衡点。因此存在
S3
S3
S2
S1
S1
S3
S2
S2
S1
S2
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 状态
S1
S3
S2
S1
S1
S2
S2
S3
S1
S2
(3)30
试计算： 1、初始状态概率。 2、该地区农业收成变化的一步和二步转移 概率矩阵。 3、2006-2010年可能出现的各种状态的概 率 4、终极状态的概率
(0) (0.5 0.3 0.2)
(3)42
未来各期的市场占有率：
1 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
基期 t=0 时的状态概率称为初始概率，初始概率 向量为 (0) (1 (0), 2 (0), n (0)) ，k步转移概率矩 k 阵为 ，预测稳定下来的平衡向量。 Pk P 当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态 经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡 状态为 ( , , ) 则 P
• 这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状 态概率。我们会在后面补充。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
马尔可夫预测方法
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
《马尔可夫预测》PPT课件
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是指一个随机过程，在该过程中，下一个状态只取决于当前状态，而不受过去状态的影响。
因此，马尔可夫过程具有“无记忆”的特点。
马尔可夫预测法利用了这个特点，假设未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
在使用马尔可夫预测法时，需要确定一个状态集合和状态之间的转移概率。
这些概率可以由已有的数据来估计。
然后，通过计算当前状态与所有可能的未来状态的概率，来预测未来的状态。
这种方法适用于许多领域，例如股票价格预测、天气预测等。
需要注意的是，马尔可夫预测法是一种基于概率的预测方法，预测结果并不一定完全准确。
因此，在使用该方法时，需要根据实际情况和可靠的数据进行合理的预测，并结合其他方法进行综合分析和判断。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进⾏分析马尔可夫预测技术是应⽤马尔可夫链的基本原理和⽅法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的⼀种技术。
⽅法由来马尔可夫是俄国的⼀位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现⾃然界中有⼀类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，⽽与事物的过去状态⽆关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测⽅法，该⽅法具有较⾼的科学性，准确性和适应性，在现代预测⽅法中占有重要地位。
基础理论在⾃然界和⼈类社会中，事物的变化过程可分为两类:⼀类是确定性变化过程；另⼀类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯⼀确定的，或者说，对给定的时间，⼈们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可⽤时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不⽌⼀个，事先⼈们不能肯定哪个结果⼀定发⽣，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程⼀个随机试验的结果有多种可能性，在数学上⽤⼀个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，⼈们不仅需要对随机现象进⾏⼀次观测，⽽且要进⾏多次，甚⾄接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究⽆限多个，即⼀族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发⽣变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，⽤状态变量表⽰状态：=???==,2,1,,2,1t N i i X t 它表⽰随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由⼀种状态到另⼀种状态的变化。
设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于⼀种状态，则每⼀状态都具有N 个转向（包括转向⾃⾝），即由于状态转移是随机的，因此，必须⽤概率来描述状态转移可能性的⼤⼩，将这种转移的可能性⽤概率描述，就是状态转移概率。
3.5马尔科夫预测法52页
第6节 马尔可夫预测方法
教学要求
几个基本概念——状态、状态转移 过程、马尔可夫过程（记忆）
马尔可夫预测法（理解）
• 马尔柯夫（A.A Markov 俄国数学家）。
• 20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变 化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状 态无关。
例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、 市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描 述或近似。
二、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1,E2, ,EN共 n 种状态，其中每次只能处 于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身），
即 E i E 1 ,E i E 2 ,,E i E N 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
7 p11 151 50% ??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度 销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。
• 同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。 • 客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能
处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品 在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心 理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。
数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。
该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论.它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。
三大特点： （1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。
也就是说,事物第n 期的状态,只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关，而与第n-1期以前的状态无关. （2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
（3)过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示. 1.模型的应用, ①水文预测, ②气象预测, ③地震预测,④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。
2.步骤①确定系统状态有的系统状态很确定。
如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。
但很多预测中,状态需要人为确定。
如:根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。
这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。
在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。
②计算初始概率()0i S用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为()()011,2,ii i nii M S F i n M=≈==∑③计算一步转移概率矩阵令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：111212122212n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦④计算K 步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移,则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
2019PPT-马尔科夫预测法
2.稳定性假设
若系统的一步状态转移概率 不随时间变化，即转移矩阵在各 个时刻都相同，称该系统是稳定 的。
这个假设称为稳定性假设。 蛙跳问题属于此类，后面的讨论 均假定满足稳定性条件。
{2004/11/22}
马尔科夫预测法
第一节 基本原理
一、基本概念
1.随机变量 、 随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准 确地预言它取何值），而对于每一个数值 或某一个范围内的值有一定的概率，那么 称x为随机变量。
假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi
即P(x = xi) = Pi
对于xi的所有n个可能值，有离散型随
初期工作:
a)行销上海,日本,香港味精,确定状 态1,2,3.
b) 市 场 调 查 , 求 得 目 前 状 况 , 即 初 始 分布
c)调查流动状况;上月转本月情况,求 出一步状态转移概率.
1)初始向量:
设 上海味精状况为1;
日本味精状况为2;
2)确定一步状态转移矩阵
P11 P12 P13
0.4 0.3 0.3
0.5 0.25 0.25
lim S(k) = [0.5 0.25 0.25]
= lim
第三节 期望利润预测
是考虑:一个与经济有关随 机系统在进行状态转移时,利润 要发生相应变化,例如商品连续 畅销到滞销,显然在这些过程变 化时,利润变化的差距是很大的.
所以有如下的定义:
若马尔科夫链在发生状态转 移时,伴随利润变化,称这个马尔
定理二：设X为任意概率向量， 则XT = U
即任意概率向量与稳态概率矩阵 之点积为固定概率向量。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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第6章
如果对任一n>1,任意的i1, i2, …, in-1 , j∈S, P{Xn=j|X1=i1, X2=i2, …, Xn-1=in-1}=P{Xn=j|Xn-1=in-1}
(6.1)
则称离散型随机过程{Xt, t∈T}为马尔可夫链。
例如,在荷花池中有N张荷叶,编号为1, 2, …, N。假设有一
第6章
例6.2
0.50 0.25 0.25 P 0.50 0.00 0.50
0.25 0.25 0.50
求其平稳分布及稳态分布。
解 （1） P不可约。
0.4375 0.1875 0.375
P(2)
P2
0.375
0.25
0.375
0.375 0.1875 0.4375 pij>0,仅当i≠2且j≠2时。又p (2) 22>0,由定义可知,P是
第6章
将表6.1中的数据化为转移概率将对研究分析未来 若干周期的顾客流向更为有利。表6.2列出了各公司顾 客流动的转移概率。表6.2中的数据是每家厂商在一个 周期中的顾客数与前一周期的顾客数相除所得。表中 每一行表示某公司从一个周期到下一个周期将能保住 的顾客数的百分比,以及将要丧失给竞争对手的顾客数 的百分比。表中每一列表示各公司在下一周期将能保 住的顾客数的百分比,以及该公司将要从竞争对手那里 获得顾客数的百分比。
第6章
6.1.2
马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型, 它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。
所谓系统,就是我们所研究的事物对象；所谓状态,是表
示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时,也就确
定了系统的行为,并说系统处于某一状态。系统状态常
表示为向量,故称之为状态向量。例如,
A、
B、C三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、
p (k) ij=P{Xn+k=j|XБайду номын сангаас=i}
P(k) =(p (k) ij) N×N
(6.3)
称p (k) ij为k步状态转移概率, P(k)为k步状态转移概率 矩阵,它们均与n无关（从式(6.4)也可看出）。
特别地,当k=1时,p (1) ij=pij为1步状态转移概率。马 尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移 概率求出。
只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动
可看作一随机过程。在时刻tn,青蛙所在的那张荷叶,称为青蛙 所处的状态。那么,青蛙在未来处于什么状态,只与它现在所
处的状态i(i=1, 2, …, N)
,与它以前在哪张荷叶上无关。
此过程就是一个马尔可夫链。
由于系统状态的变化是随机的,因此,必须用概率描述状 态转移的各种可能性的大小。
p j (m)
lim
m
i 1
pi
(0)
p(m) ij
i 1
pi (0)
j
j
这mlim也是P称(mπ)为稳mli态m分(布p1的(m理),由p。2(m),...,pN (m))
设存在稳态分布π=(π1, π 2, …, πN),则由于下式恒成 立:
P(k)=P(k-1)P
为概率矩阵。对于一个概率矩阵P,若存在正整数m,使
得Pm的所有元素均为正数,则称矩阵P为正规概率矩阵。
例如,
A
0.7 0.5
0.3 0.5
中每个元素均非负,每行元素之和皆为1,行数和列
数相同,为2×2方阵,故矩阵A为概率矩阵。
第6章
概率矩阵有如下性质： 如果A、B皆是概率矩阵,则 AB也是概率矩阵；如果A是概率矩阵,则A的任意次幂 Am(m≥0)也是概率矩阵。对k≥1,
对k≥1,记pi(k)=P{Xk=i},
N
pi(k)= pj(0)·p (k) ji i=1, 2, …, N; k≥1
j 1
若记向量P(k)=(p1(k), p2(k), …, pN(k)),
P(k)=P(0)P (k) =P(0)Pk
(6.5) (6.6)
P(k)=P(k-1)P
(6.7)
第6章
现以1个月为时间单位。经观察统计,知从某月份到 下月份机床出现故障的概率为0.2,即p12=0.2。其对立事 件,保持正常状态的概率为p11=0.8。在这一时间,故障机 床经维修返回到正常状态的概率为0.9,即p21=0.9；不能 修好的概率为p22=0.1。机床的状态转移情形见图6.1。
第6章
0.3,则可用向量P=(0.3, 0.4, 0.3)来描述该月市场洗衣粉
销售的状况。
第6章
当系统由一种状态变为另一种状态时,我们称之为状态 转移。例如,洗衣粉销售市场状态的转移就是各种牌号洗衣 粉市场占有率的变化。显然,这类系统由一种状态转移到另 一种状态完全是随机的,因此必须用概率描述状态转移的各 种可能性的大小。如果在时刻tn系统的状态为Xn=i的条件下, 在下一个时刻tn+1系统状态为Xn+1=j的概率pij (n)与n无关,则 称 此 马 尔 可 夫 链 是 齐 次 马 尔 可 夫 链 , 并 pij=P{Xn+1=j|Xn=i}i, j=1, 2, …, N称pij为状态转移概率。显然,
0.18 0.19
矩阵的第一行表明,本月处于正常状态的机床,两个月后
仍处于正常状态的概率为0.82，转移到故障状态的概率为
0.18。第二行说明,本月处于故障状态的机床,两个月后转移
到正常状态的概率为0.81,仍处于故障状态的概率为0.19。
第6章
于是,两个月后机床的状态向量
P(2) P(0)P(2) [0.85
第6章
第6章 马尔可夫预测方法
6.1 马尔可夫预测的基本原理 6.2 马尔可夫预测的应用 思考与练习
第6章
6.1 马尔可夫预测的基本原理
6.1.1
为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态）,可 以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在 任何时刻上的状态是随机的,则变化过程就是一个随机过 程。
第6章
由全概率公式可知, 对k≥1,有（其中P (0) 表示单位矩阵）
p (k) ij=P{Xn+k=j|Xn=i}
N
=
l 1
P{Xn+k-1=l| Xn =i}·P{Xn+k=j|Xn+k-1=l}
N
= p (k-1) ilplj l 1
i, j=1, 2, …, N
其中用到马尔可夫链的“无记忆性”和齐次性。用矩阵
pij P{X n1 j X n i} i, j 1,2,...N
N
pij 1 i 1,2,...N
j 1
第6章
转移矩阵设系统的状态转移过程是一齐次马尔可夫
链,状态空间S={1, 2, …, N}为有限,状态转移概率为pij,则 称矩阵
p11 p12 p1N
0.8
0.2
1
0.9
0.1 2
图6.1 机床的状态转移
第6章
P
p11 p21
p12 p22
0.82
0.9
0.2 0.1
若已知本月机床的状态向量P(0)=(0.85, 0.15),现要预测
机床两个月后的状态。
P(2)
P2
0.8 0.9
0.22 0.82 0.1 0.81
第6章
表6.2
第6章
如用矩阵来表示表6.2中的数据,就得到了如下的状 态转移矩阵:
设有参数集T (-∞, +∞),如果对任意的t∈T,总有一随机
变量Xt与之对应,则称{Xt, t∈T}为一随机过程。
T
为离散集（不妨设T={t0, t1, t2, …, tn, …}）,同时Xt的取值也
是离散的,则称{Xt, t∈T}为离散型随机过程。
第6章
设有一离散型随机过程,它所有可能处于的状态的集合 为S={1, 2,…, N},称其为状态空间。系统只能在时刻t0, t1, t2, … 改变它的状态。为简便计,以下将Xtn等简记为Xn。
第6章
例6.1 考察一台机床的运行状态。机床的运行存在 正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性,故可将 机床的运行看作一个状态随时间变化的随机系统。可以 认为,机床以后的状态只与其以前的状态有关,而与过去 的状态无关,即具有无后效性。因此,机床的运行可看作 马尔可夫链。
设正常状态为1,故障状态为2,即机床的状态空间由 两个元素组成。机床在运行过程中出现故障,这时从状态 1转移到状态2；处于故障状态的机床经维修,恢复到正常 状态,即从状态2转移到状态1。
不可约的。
第6章
（2） P非周期。
由p (1) 11>0, p (2) 11>0, 而1、2的公约数为1,故状态1 为非周期状态。同理可得状态2、3均为非周期状态。 故P
（3）由于P不可约且是非周期的,求解如下方程组:
XP X
3
i1
xi
1
得X=［0.4 0.2 0.4］, 这就是该马尔可夫链的稳态
品销售额逐期稳定上升,而A公司的产品销售额却在下降。
通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表6.1所
示。
第6章
其中产品销售周期是季度。现在的问题是,按照目 前的趋势发展下去, A公司的产品销售额或客户转移的 影响将严重到何种程度？ 更全面地,三个公司的产品销 售额的占有率将如何变化？
第6章 表6.1 A、B、C三公司的顾客流动情况
对于我们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫 链,平稳分布必定存在。特别地,当状态转移矩阵为正规概率矩 阵时,平稳分布惟一。此时,求解方程(6.8),即可得到系统的平 稳分布。