灵敏度分析
灵敏度分析
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最优解或最优 解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX
s.t. AX = b
设 为基本解， 是X基≥对应0 的目标系数向量， 是
基的逆矩阵，则原问题可表示为：
（２）检验数 CN CB B1N ，即 j Cj CBB1 pj 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B1b 和 CN CBB1N 同时发生变化
一、目标系数 的灵c j敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
求（１）使原最优解基不变的b1 的变化范围； （２）若 b1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x1+ 2x2
x1+ 2x2 40 s.t. 2x1+ x2 50
x1 , x2 0
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数
b
允许
例1.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x 2 + 35x 3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2x1 + x 2 + x 3 ≤ 2000
x1, x 2, x 3 ≥ 0
问当x2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
灵敏度分析
2 1 b1 2b1 20 B b' 1 1 20 b 20 0 1 解之得：10≤b1≤20
1
即当10≤b1≤20时，最优基不变
分析使最优基保持不变的b2的范围:
2 112 24 b2 B b' 1 1 b 12 b 0 2 2
三、灵敏度分析的内容
价值系数cj的变化的分析 约束条件右端项bi变化的分析 系数矩阵A变化的分析
系数列向量Pk变化的分析
增加新约束条件的分析
增加新变量的分析
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 利润 （元/kg） A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
x1 x1 x2 f 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 B-1b 24 -2
22 b 20
3 -104
最优单纯形表
x1 x4 -f
x1 1 0 0
x2 2 -1 -2
x3 2 -1 -4
x4 0 1 0
x5 B-1b 1 20 -1 2 -5 -100
x1 x2 -f
经迭代，得到最优单纯形表如下：
x1 1 0 -1 x2 0 1 0 x3 1 0 0 x4 2 -1 -4 x5 -1 1 -2 B-1b 4 8 -88
x3 x2 -f
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
k ' Ck CB B1Pk '
灵敏度分析
灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
目录线性规划中灵敏度分析对于线性规划问题：这里max表示求极大值，s.t.表示受约束于，X是目标函数,xj是决策变量。
通常假定aij，bi和c j都是已知常数。
但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。
同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。
例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的c j一般同市场条件等因素有关。
当市场条件等因素发生变化时，c j也会随之而变化。
约束条件中的aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。
线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。
或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。
编辑本段灵敏度的应用投入产出法中灵敏度分析可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。
例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价格的影响。
研究的结果表明，在职工工资增加10％时，建筑业产品的价格将上涨7％，农产品的价格将上涨1.3％，其余各部门产品价格将上涨1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实际得益为6.2％。
方案评价中灵敏度分析可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。
例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。
这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。
因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。
实验结果的灵敏度分析
实验结果的灵敏度分析实验是科学研究中不可或缺的一部分。
通过实验可以验证理论，揭示规律，为科学研究的发展提供支持。
然而，实验结果的可靠性和准确性往往是人们关注的焦点。
为了评估实验结果的稳定性和可信度，灵敏度分析是一种常用的方法。
本文将对实验结果的灵敏度分析进行探讨，旨在阐明其重要性和应用场景。
一、什么是灵敏度分析灵敏度分析是一种系统地评估实验结果对于输入参数变化的敏感程度的方法。
它能够帮助我们了解实验结果对于参数的响应程度，找出影响实验结果的主要因素，从而为进一步的研究和决策提供依据。
通常，灵敏度分析可通过多种途径进行，如参数敏感度分析、局部敏感度分析和全局敏感度分析等。
二、灵敏度分析的意义灵敏度分析对于科学研究具有重要意义。
首先，它可以帮助我们了解实验结果的稳定性。
通过灵敏度分析，我们可以观察输入参数变化对实验结果的影响程度，若实验结果对于参数变化不敏感，则说明实验结果较为稳定可靠。
其次，灵敏度分析可以揭示实验结果中的主要因素。
在实验过程中，我们常常需要面对各种参数和影响因素，通过灵敏度分析，可以确定哪些因素对实验结果具有重要影响，进而提供优化研究方向和决策依据。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们发现异常结果和探索实验结果潜在的风险因素。
三、灵敏度分析的应用场景根据实际需求和研究目的，灵敏度分析可以应用于多个领域。
以下将针对不同领域的实验结果灵敏度分析进行简要介绍。
1. 生态学领域生态学研究中，我们常常需要评估各种生态系统的稳定性和脆弱性。
通过灵敏度分析，可以了解生态系统对于各种环境因素的响应程度，找出对生态系统稳定性具有重要影响的关键因素，为生态保护和可持续发展提供科学依据。
2. 经济学领域经济学研究往往需要分析不同经济因素对于经济系统的影响。
通过灵敏度分析，可以评估经济模型中各个参数对于经济结果的敏感程度，识别经济政策的潜在风险和利益分配的不平衡情况，为经济决策提供参考。
3. 工程领域工程设计中常常需要考虑各种参数对于产品性能和安全性能的影响。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
第7章灵敏度分析
3.用伴随网络法求解稳态灵敏度的步骤： (1)求解原网络方程TX B ，得到原网络各支路电压和 支路电流信息。
ˆ ˆ T T X B 。其系数矩阵是原网 (2)建立伴随网络方程
络方程系数矩阵的转置。如果是非线性网络，则应是非
ˆ 线性迭代收敛后的原网络系数矩阵的转置。右端向量 B
中只需填入输出支路的贡献，是一个最多含有两个非零 元的向量。
因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数矩阵相同矩阵相同所以在原网络方程求解过程中系数矩所以在原网络方程求解过程中系数矩阵的lulu分解的结果分解的结果可以在导数网络方程的求解可以在导数网络方程的求解中直接应用中直接应用故求解导数网络方程所需乘除运算故求解导数网络方程所需乘除运算量仅是向前量仅是向前向后替代所需的乘除次数向后替代所需的乘除次数比求解比求解原网络方程的运算量小得多原网络方程的运算量小得多
ˆ 随网络 N 是个线性网络。
(2)当参量 p 发生变化时，有
f f dI g dp U g p
代入(2)式，得；
ˆ dU U f dU U f dp dU 0 ˆ Ig g ˆg g g O U g p
将(3) 式代入上式得
ˆ f dp dU 0 U g O p
(3)求解伴随网络方程，得到伴随网络中各支 路电压和支路电流信息 (4)根据原网络和伴随网络方程的结果，利用 各元件灵敏度公式，计算出输出变量对网络中所 有元件参数的灵敏度值。 (5)如果还进一步求网络中另外一个输出变量 对元件参数的灵敏度，则需要重新填写伴随网络 方程的右端向量，然后重复(3)、(4)步骤。 采用伴随网络法每求解一次伴随网络方程， 只能计算出网络的一个输出变量对所有网络元件 参数的灵敏度，如果还想计算其他输出变量的灵 敏度，则需要再求解伴随网络方程。一般人们只 对网络中少数几个输出变量的灵敏度感兴趣，所 以求解伴随网络的次数不会很多。但当网络较大 时，每次所需计算的网络参数灵敏度值会很多。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
第五章灵敏度分析
第五章灵敏度分析灵敏度分析（Sensitivity Analysis）是指在决策分析中，根据改变决策变量的数值，研究对最优解产生影响的因素。
通过灵敏度分析，可以评估决策变量的变化对最优解的敏感程度，帮助决策者了解决策方案的稳定性和可靠性，并能够帮助决策者制定出合理的决策方案。
在灵敏度分析中，常用的指标包括目标函数系数的灵敏度分析、资源限制系数的灵敏度分析和松弛度分析。
首先，进行目标函数系数的灵敏度分析。
目标函数系数代表着对决策变量的偏好程度，通过改变目标函数系数的数值，可以分析对最优解的影响。
如果目标函数系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该目标函数系数相对不敏感。
反之，如果目标函数系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该目标函数系数相对较敏感。
其次，进行资源限制系数的灵敏度分析。
资源限制系数反映了资源约束对最优解的影响程度，通过改变资源的可用量，可以分析对最优解的影响。
如果资源限制系数变化较大，但最优解随之变化较小，则说明最优解对该资源限制系数相对不敏感。
反之，如果资源限制系数变化较小，但最优解随之变化较大，则说明最优解对该资源限制系数相对较敏感。
最后，进行松弛度分析。
松弛度是指资源使用量与其可用量之差，表示资源的闲置程度。
通过分析松弛度，可以了解决策方案的稳健性。
如果一些资源的松弛度较大，则说明该资源具有一定的闲置容量，决策方案对该资源限制相对较不敏感。
反之，如果一些资源的松弛度较小，则说明该资源的利用率较高，决策方案对该资源限制相对较敏感。
在灵敏度分析中，还可以进行多因素综合分析，研究多个因素同时改变时对最优解的影响。
通过综合分析，可以确定各个因素对最优解的贡献程度，帮助决策者优化决策方案。
总之，灵敏度分析是决策分析中重要的工具，能够评估决策方案的稳定性和可靠性，对于决策者进行决策方案选择具有重要的指导作用。
灵敏度分析应该结合具体的决策问题和决策变量的特征来进行，并且要注意分析结果的合理性和可靠性。
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
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价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
运筹学8_灵敏度分析
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于b2：β12<0,
β22>0，所以
−
5
=
max{−
b2 }
β 22
≤
Δb1
≤
min{−
b1 }
β12
基变量 xi 的系数 ci 的变化范围
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 ci 是基变量xi 的系数， ci 变化影响每一个非基 变量xj对应的检验数σj
• 当 ci 变为 ci’ = ci +Δci 时，要使得线性规划最优解不
变需要且只需要每一个非基变量xj对应的检验数都有
σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0
什么是灵敏度分析
• 在以前讲的线性规划问题中，aij，bi，cj 均为已知常数， 但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字，如随市 场条件变化， cj 的值就会变化； aij 也会随工艺条件的改 变而改变， bi 是各项资源的投入数量，随着企业资金水 平的变化也会变化。
• 问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的 最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时， 问题的最优解不变？这就是灵敏度分析。
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
灵敏度分析
2.灵敏度分析度实例
4.电压稳定薄弱节点判定
5.无功补偿位置
灵敏度分析优缺点
（2）严格的说，在实际系统中，各控制变量之间并不是完
全独立的，而很多计算忽略了各控制变量之间的相互关系，
将各控制变量看作是独立的变量。 （3）有些计算方法用偏微分来进行计算，例如在输出变量 对控制变量的灵敏度时，将输出方程对控制变量U求偏导， 只考虑控制变量U的变化而不考虑状态变量X的变化，从数学 上讲，这显然是不正确的。
灵敏度分析
1.灵敏度定义及分类 2.灵敏度分析优缺点
3.灵敏度分析数学方程
4.电压稳定性判定
5.电压稳定薄弱节点判定
6.无功补偿位置的确定
1.灵敏度定义及分类
• 在实际系统中，当控制变量发生微小变化时，系
统的状态变量或输出变量都会发生微小变化，用 它们之间的微分关系来表示这种变化关系，就称 为灵敏度指标。 • 灵敏度分析方法是建立在潮流方程基础上的静态 电压稳定分析方法。 • 其变量可分为四类：独立参数变量，状态变量， 控制变量，输出变量。
第5章灵敏度分析
第5章灵敏度分析灵敏度分析是指在建立模型之后，通过改变模型中的一个或多个参数，观察模型的输出结果发生的变化程度。
也就是说，灵敏度分析是通过改变输入参数来检测模型对参数变化的敏感程度，从而评估输入参数对模型输出结果的影响。
在实际应用中，灵敏度分析有助于确定模型的输入参数，以及优化模型的结果。
灵敏度分析可以从不同的角度进行分类。
一种常见的分类方法是根据分析的目标，将灵敏度分析分为全局灵敏度分析和局部灵敏度分析。
全局灵敏度分析是通过改变所有参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估每个参数对模型输出结果的影响程度。
全局灵敏度分析通常使用敏感性指标来衡量参数对输出结果的贡献程度。
常见的敏感性指标包括Sobol指数、Morris方法和FAST方法等。
这些方法可以通过统计学的方式分析不同参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析是在给定一个参数值的情况下，通过改变该参数的取值范围，观察模型输出结果的变化情况，从而评估该参数对模型输出结果的影响程度。
局部灵敏度分析通常使用敏感度系数来衡量参数对输出结果的贡献程度。
敏感度系数可以通过计算参数对输出结果的一阶导数或二阶导数来得到。
灵敏度分析在实际应用中有很多的应用场景。
例如，在金融领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同投资组合的风险敏感性；在环境领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同因素对环境污染的影响程度；在工程领域中，可以通过灵敏度分析来评估不同参数对工程设计的影响程度。
在进行灵敏度分析时，需要注意以下几点。
首先，应该选择合适的参数范围，在整个参数变化范围内均匀地选取参数值。
其次，应该选择合适的敏感性指标或敏感度系数来评估参数的影响程度。
最后，应该进行敏感性分析的可行性研究，确保所选择的参数和指标可以反映真实的模型情况。
总之，灵敏度分析是建立模型之后的一项重要工作，可以通过改变模型中的参数来评估参数对模型输出结果的影响程度。
灵敏度分析可以帮助我们确定模型的输入参数，以及优化模型的结果，在实际应用中具有广泛的应用前景。
灵敏度分析
第八章灵敏度分析目的：介绍灵敏度分析的用法，研究过程变量之间的关系。
（1）灵敏度分析●可使用户研究输入变量的变化对过程输出的影响●在灵敏度模块文件夹的Results表上能够查看结果●可以把结果绘制成曲线，使不同变量之间的关系更加形象化●在灵敏度模块中对流程输入量所做的改变不会影响模拟，灵敏度研究独立于基础工况模拟而运行●位于/Data/Model Analysis Tools/Sensitivity下（2）灵敏度分析的用法●研究输入变量的变化对过程（模型）的影响●用图表表示输入变量的影响●核实设计规定的解是否可行●初步优化●用准稳态方法研究时间变化变量（3）灵敏度分析应用步骤a）定义被测量（采集）变量-它们是在模拟中计算的参量，在第4步将要用到（Sensitivity Input Define页）b）定义被操作（改变的）变量-它们是要改变的流程变量（Sensitivity Input Vary页）c）定义被操作（改变的）变量范围-被操作变量的变化可以按在一个间隔内等距点或变量值列表来规定（Sensitivity Input Vary页）d）规定要计算的或要制成表的参量-制表参量可以是任何合法的Fortran表达式，表达式含有步骤1中定义的变量(Sensitivity Input Tabulate页)（4）绘图a）选择包括X轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择X-Axis 变量b）选择包括Y轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择Y-Axis 变量c）（可选的）选择含有参数变量的列，然后从Plot菜单下选择参数变量d）从Plot菜单下选择Display Plot»要选择一列，用鼠标左键点击列标题（5）注意●只有被输入到流程中的参量才可以被改变或操作●可以改变多个输入●对于每一个被操作（改变的）变量的组合都运行一次模拟（6）灵敏度分析举例以第二章中苯和丙烯为原料合成异丙基苯为例，如下图：冷却器出口温度怎样影响产品物流纯度的？●被调节(被改变)变量是什么？冷凝器出口温度●被测量(采集)变量是什么？产品物流中异丙基苯纯度（摩尔分率）打开文件cumene.bkp，另存为cumene-s.bkp，如下图所示：在数据浏览窗口中，点击Model Analysis Tools/Sensitivity，如下图，点击N ew…创建一个新的灵敏度分析：点击New...按扭输入创建的灵敏度分析的ID，可以自己指定。
灵敏度分析
18
增加新约束条件的分析总结
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
3、利用对偶单纯形法继续迭代。
–为什么可以利用对偶单纯形法?
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3.3增加新的决策变量的分析
假如要增加一个新的决策变量xn+1，其对应的系数列向量为 Pn+1 ，价值系数为cn+1 。在原最优单纯形表中xn+1 对应的检 验数为 n 1 c n1 C B B 1 p n1 若 n 1 0 ，则原最优解不变。从经济学的观点来看，增加该 项活动（或产品）是不利的。 若 n 1 0 ，则原来的最优解不再是最优解，表明增加该活动是 有利的。 这时把xn+1对应于原最优基B的系数列向量 Pn/1 B1 pn 1 加入到 原最优表中，并以xn+1 作为换入变量按单纯形法进行迭代， 即可得到新的最优解。
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1、目标函数的系数变化； 2、约束条件右边的值变化；
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1、目标函数的系数变化； 2、约束条件右边的值变化；
若B -1 b ≤ 0，即最优基发生变化，此 10 时需用对偶单纯形法进行计算。
1、目标函数的系数变化； 2、约束条件右边的值变化；
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3.系数矩阵A变化的分析
系数矩阵A变化的分析包括: 系数列向量Pk变化的分析
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所有的判别数都非负， 故最优解不变。
2 1 5 8 6 0 0
5 8
3 -1 1
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所有的判别数都非负， 故最优解不变。
1 1 5 8 6 0 0
5 8
1 0
Байду номын сангаас-1
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
第四章 灵敏度分析
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线性规划问题 I 表与 B 表的关系 给定符合典式的线性规划问题如下： 给定符合典式的线性规划问题如下：
0 X5 0 0 1 0 0 X5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
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Cj 解 15/2 7/2 3/2
2 X1 0 1 0 0
增加到30，最优解如何变化？ 若b2增加到 ，最优解如何变化？
1 5 / 4 − 15 / 2 −1 B = 0 1/ 4 −1/ 2 0 −1/ 4 3 / 2 15 b' = 30 5
Max Z = CX + 0XS AX + IXS = b X ，XS ≥ 0 a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n ……………….. am1 am2 … amn b= C = （c1 ，c2 ，…，cn ） 其中 X= b1 b2 . . . bm x1 x2 . . . xn XS = xS1 xS2 . . . xSm
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I表 CB 0 0 0 基 X3 X4 X5 检验数σj 检验数σ B表 CB 0 2 1 基 X3 X1 X2 检验数σ 检验数σj
Cj 解 15 24 5
2 X1 0 6 1 2
1 X2 5 2 1 1 1 X2 0 0 1 0
0 X3 1 0 0 0 0 X3 1 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0 X4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
敏感度分析
例题讲解
• 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的 某工厂在计划期内要安排甲、 生产，生产单位产品所获得的利润， 生产，生产单位产品所获得的利润，所需的 设备台时及A 设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源 的限制如下表所示。 的限制如下表所示。请列出符合题意的线性 规划数学模型，试用运筹学软件求解， 规划数学模型，试用运筹学软件求解，并进 行灵敏度分析。 行灵敏度分析。
例题灵敏度分析
• 约束 软件输出结果 松弛/剩余变量 约束 松弛 剩余变量 ------------------1 0 2 50 3 0
对偶价格 -------50 0 50
例题灵敏度分析
结果分析 的对偶价格为50， （1）由于约束条件 的对偶价格为 ，说明增 ）由于约束条件1的对偶价格为 加一个台时就可使总利润增加50元 加一个台时就可使总利润增加 元。 的对偶价格为0， （2）由于约束条件 的对偶价格为 ，说明增 ）由于约束条件2的对偶价格为 原料A不会使总利润有所增加 加1kg原料 不会使总利润有所增加。 原料 不会使总利润有所增加。 的对偶价格为50， （3）由于约束条件 的对偶价格为 ，说明增 ）由于约束条件3的对偶价格为 加1kg原料 就可使总利润增加50元。 原料B就可使总利润增加 元 原料 就可使总利润增加
灵敏度分析原理
• 目标函数最优值 这是输出信息的第一部分， 这是输出信息的第一部分，从中可以知道最 优的Z 优的Z的取值
例题敏感度分析
• 目标函数值：27500 目标函数值： 最大利润为27500 27500元 最大利润为27500元
灵敏度分析原理
• 变量 这是输出信息的第二部分， （1）这是输出信息的第二部分，从中可以知 道变量的最优值以及相差值 （2）相差值的概念：表示相应的决策变量的 相差值的概念： 目标系数需要改进的数量 需要改进的数量， 目标系数需要改进的数量，使得该决策变量 有可能取正数值， 有可能取正数值，当决策变量已经取正数值 时相差值为零。 时相差值为零。
什么是“灵敏度分析”,它如何改进我们对不同现象的理解？
什么是“灵敏度分析”，它如何改进我们对不同现象的理解？灵敏度分析是指在一定范围内，改变某些参数的取值时，对于系统性能或者输出结果所引起的变化程度的分析。
这种方法可以在预先设计的过程中，识别出哪些参数在不同的处理条件下对输出结果的影响最大。
因此，它能为我们提供更加全面的数据信息，进而帮助我们对系统或事物的总体性能进行更深入的了解。
下面，我们将为您详细阐述灵敏度分析的作用，以及它对我们对不同现象的理解所做出的贡献。
一、灵敏度分析的主要作用1. 发现控制因素。
通过灵敏度分析，我们可以知道哪些变量或参数对于某个系统或者应用来说，是最重要的。
这些变量或参数被称为控制因素，因为我们可以通过调整它们的数值来改善系统/应用性能。
2. 预测性能。
灵敏度分析还可以用于预测系统或应用性能。
即使在没有实际数据的情况下，通过定量评估控制参数对结果的影响，我们可以大致估计系统或应用的性能，并为未来的问题提供预测性指南。
3. 优化系统。
灵敏度分析可以用于优化系统或应用程序，并改善绩效。
分析结果可以提供关于如何调整特定参数的建议，以达到更好的结果。
此外，这种方法也可以帮助我们发现系统的弱点，在设计更好的系统方案时提供启示。
二、灵敏度分析在不同领域的应用1. 财务领域。
在财务领域，灵敏度分析可以用于识别市场趋势，分析投资风险，以及测量资产投资组合的表现。
2. 制造业。
在制造业，灵敏度分析可以用于定量评估材料变化、产量、销售价格等因素对盈亏平衡点的影响，以及为实现质量、效率和利润的优化提供指导。
3. 气象领域。
在气象领域，灵敏度分析可用于预测天气变化，改善对天气和气象因素的干预力度，如农作物生长的影响，以及自然灾害的风险评估和应对。
4. 经济学。
在经济学中，灵敏度分析可分析某种政策、法规或市场变化对个人或整个企业的影响，从而帮助我们了解这些变化对于人们日常生活和企业运行的各个方面的影响。
三、结语总之，灵敏度分析不仅可以帮助我们了解事物中关键信息的来源和对它们的影响程度，而且也可以帮助我们评估不同方案或决策的影响，以及找到最佳解决方案。
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为了确定模型中主要因素，我们对该模型采用 Sobol 法进行灵敏度分析判断其全局敏感性。
Sobol 法是最具有代表性的全局敏感性分析方法，它基于模型分解思想，分别得到参数
1,2 次及更高次的敏感度。
通常 1次敏感度即可反映了参数的主要影响。
Sobol 法
Sobol 法核心是把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数。
假设模型为
Y f(x)(x x-i ,x 2,...x m ), x i 服从［0,1］均匀分布，且f 2(x)可积，模型可分解为：
n
f(x) f(0) f i (X i )
f j (x) ... f i,2”..,n (X i ,X 2,...X k )
i 1 i j 则模型总的方差也可分解为单个参数和每个参数项目组合的影响：
n n n
D =刀 D i + 刀刀(D ij + D
1 ,2, , n )
i =1 i =1 j =1
i 半j 对该式归一化，并设:
可获得模型单个参数及参数之间相互作用的敏感度
S 由式(2)可得： n n n
1 = ^S i +
M^S j + + S,2, ,n
i=1 i = 1 j=1
i 有 S l,2, ,n
式中，si 称之为1次敏感度；Sij 为2次敏感度，依此类推； 为n 次敏感度，总共
2n -1
有
项。
第i 个参数总敏感度 STJ 定义为： S j S (i)
它表示所有包含第i 个参数的敏感度。
模型中4个输入参数分别为推力，角度， 比冲，月球引力常量。
因为月球引力常量和比 冲为物理恒定值，不会产生干扰。
所以这里我们对角度，推力进行敏感性分析。
设角度初值为150°，推力为4500N 时，做出高度变化图像如图所示。
S t ,i 2 , ,i D i 1,i 2
, ,i D
不改变力大小，调节角度为151°时，做出高度图像如图所示
1.7mUL：,
1 I ( ? f 11 11 IS £1 Hi 31 I? .HI 11 ii fF jf «L
不改变角度大小，调整力大小为7500N时，做出高度变化图像如图所示: I巧却E
：LT53tm
由图像对比可知，角度变化对模型结果影响较大，力变化对模型结果影响较小。