大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习）

师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意

第一章 函数与极限

函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

(){},|U a x x a δδ=-<

(

,U a 1．由n x ∴N =2．即对∀∴x ∞

→lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对∀∴x x →0

lim ○→x 1．由(f ∴X =2．即对∀∴x ∞

→lim 第三节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f

函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且

()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．

→x 即函数x g 是（→x 3（x 0lim x x →

3

x →【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23

333311

lim lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()2

3

9

x f x x -=

-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

33323311lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：

9

3

lim 23

--→x x x

∵

22121lim

212

21lim lim 2lim 121x x x x x x →∞+→∞

+→∞++→∞=⎝⎭

⎝⎭

⎣

⎦

⎡

⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e

e e

+→∞⎡⎤

⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦

+⎛⎫

⎪

+⎝

⎭

====第六节 无穷小量的阶（无穷小的比较）

○等价无穷小（★★）

1．

()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +-

2．U U cos 1~2

12

-

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

lim 0=→x

12123．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）

4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b

ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e -

-+⎧=+=+=⎪⎪=⎨

⎪

=+=⎪⎩

2．由函数可导定义()()()()

()001

0002f f a f f f b -+-+

''===⎧⎪⎨====⎪⎩

∴1,2a b ==

arcsi e e =

⎛⎫

⎪ =

⎝⎭

=

⎛ ⎝

第四节 高阶导数

○()

()()

()1n n f

x f

x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1

111y x x

-'=

=++， ()()()12

111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦

， (

y ⎡'''=⎣……

()(n

y =-即y '=∴y =

'dy 【题型示例】现假设函数f x 在0,π上连续，在0,π 上可导，试证明：0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0f

f ξξξξ'+=成立

【证明示例】

1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=

显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ϕ==