奇异值分解在红外弱小目标背景抑制中的应用

奇异值分解在红外弱小目标背景抑制中的

应用

2010010208 张翠翠

（控制科学与工程学院控制理论与控制工程 2010010208）

摘要:复杂背景的抑制是红外弱小目标检测技术的一个难题。为解决这个问题,本文提出了基于奇异值分解的背景抑制算法。该算法从矩阵的角度出发,通过对原始图像进行奇异值分解,将包含弱小目标信息的图像矩阵分解到一系列奇异值和奇异值矢量对应的子空间中,然后通过定义的偏差指数所确定的有效的奇异值个数来重构图像,从而达到背景抑制的目的。与二维最小均方误差算法比较,实验结果显示,该算法对红外弱小目标复杂背景从主观视觉和数值指标都具有良好抑制效果。

1、引言

红外告警系统因其被动探测、高度隐蔽的特点而受到广泛的重视。当红外弱小目标距离很远时,其成像面积非常小,且目标与背景的对比度、信噪比较低,常表现为淹没在复杂背景(例如大面积的云层和地面建筑物)中的几个像点,即为弱小目标。如果要可靠、稳定、准确地检测并跟踪这类目标,则必须对图像进行预处理,而高性能的背景抑制是其中重要而关键的一项预处理。

近20多年来,红外图像背景抑制技术得到较大的发展,主要有时域滤波、空域滤波、频域滤波、数学形态学滤波和小波域滤波等滤波方法。但是,当背景比较复杂时,这类滤波算法不能完全平滑边缘,从而导致检测概率的降低,虚警率增大。在这种情况下,为了使有用的目标特征被保留并得到有效增强,则必须要对复杂背景实行自适应的抑制。为此,本文提出了一种基于奇异值分解的背景抑制算法。作为一种非线性滤波,其从矩阵的角度出发,对图像矩阵进行奇异值分解,并根据定义的偏差指数确定有效奇异值来重构图像,从而达到平滑复杂背景,增强其突变部分,即目标信号的目的。用真实的红外图像序列进行实验,结果验证了本算法能对复杂背景有效地平滑,增强其突变部分,即抑制了复杂背景,增强了目标信号。

2、基于奇异值分解的弱小目标背景抑制

2.1奇异值分解

假设图像矩阵A是m×n的实矩阵,且A的秩为r,其中r≤min(m,n),则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得A的奇异值分解可用下式来表示:

(1)

V U A H n n n m m m n m ⨯⨯⨯⨯Γ=

式中,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Γ∑⨯000n m ∑是r 阶对角矩阵,∑=diag(σ1,σ2,…,σr );U m ×m =[U 1,U 2,…,U m ],由m 维列向量

U i =[u 1i ,u 2i ,…,u mi ]T (i=1,2,…,m)构成;V n ×n =[V 1,V 2,…,V n ],由n 维列向量V i =

[v 1i ,v 2i ,…,v ni ]T (i=1,2,…,n)构成;r 是A 的非零奇异值个数,其中λi(λ1≥λ2

≥…≥λr>0)是A T A 并且也是AA T 的非零特征值的全体;Ui,Vi 分别是AA T 和A T A 对应于非零特征值λi 的特征向量。由此,式(1)写成如下形式:

)2(A 1n m T

i i r i i V U ∑=⨯=σ

对式(2)可以理解为图像矩阵A 的零奇异值没有携带矩阵重构时所需要的重要信息,可以想象那些接近零的奇异值也只含有少量矩阵重构信息,因此重构图像矩阵时可以将其忽略,只利用携带其信息的非零奇异值进行重构即可。

∑=⨯=s

i T i i i n

m V U A 1ˆσ (3) 式中,s(s ≤r)表示重构A 时所需的奇异值数目。

2.2基于奇异值分解的背景抑制

由于红外探测器接受红外辐射只能反映其空间的明暗程度，红外图像反映在计算机屏幕上的是灰度图像，是一种特殊计算机BMP 图像（一般情况下计算机图像处理需要BMP 格式的图像），即用黑、白、和介于黑白之间的灰色来反映像素的情况（而不是彩色图像中的色彩）。这正反应了红外辐射规律：温度高、辐射强的地方的亮度高，在图像上像素的反映就更接近白色，反之就越接近黑色。BMP 图像是用彩色成分RGB 来描述的，即像素的色彩值包含的红、绿、蓝三种颜色的多少，而灰度图像的明暗程度，是用灰色（就是红、绿、蓝三种颜色成分完全相等的颜色）来表示的，这一点在图像处理中是需要注意的。

灰度也可认为是亮度，简单的说就是色彩的深浅程度。实际上在我们的日常生活中，任何颜色都有红、绿、蓝三原色组成，通过三原色色彩深浅的组合，可以组成各种不同的颜色。对于黑白图像，R 、G 、B 值均相等，称为灰度值，每一个像素都对应一个灰度值。对于8位的灰度图像，其灰度值范围为0—255。产品能够展现的灰度数量越多，也就意味着这款产品的色彩表现力更加丰富，能够实现更强的色彩层次。例如三原色16级灰度，能显示的颜色就是16×16×16=4096色。

空中红外运动弱小目标图像由目标、背景(主要指天空和云层)和红外成像器的电子噪声构成。其中,具有云层反射的复杂背景,背景在空间上有缓变部分,也有剧变部分,背景是在时间上体现为缓变;噪声按照产生的物理机理的不同,可分为热噪声、散粒噪声、1/f 噪声三大类,前二者是白噪声,主要出现在中、高频段,幅度与频率无关,而1/f 噪声是色噪声,出现在低频段,幅度与频率成反比。因此,图像中的目标即使在整幅图像中强度不是最强的,但在它所处的小区域中与局部背景的差异较明显,一般要高于局部背景的辐射强度,另一方面,背景中强度较高的像素虽然灰度值较大,但在它所处的局域中与周围背景无明显差异。

图像的大量细节信息体现在图像矩阵A 的两个正交矩阵U 和V 中,即含有弱小目标的红外图像的大量弱小目标信息体现在的前几个最大的奇异值所对应的左奇异向量U m ×m =[U1,U2,…,Um]、右奇异向量V n ×n =[V 1,V 2,…,V n ]中。如图1(a)

所示是一幅含有弱小目标的原始红外图像,对其根据式(3)作奇异值分解。图1(b)~(e)分别是采用不同数目的非零奇异值重构的结果,可知前几个最大的奇异值所对应的左、右奇异向量的变化将引起图像的巨大变化,而图像对较小的部分奇异值所对应的奇异向量的变化是不敏感的。这主要是因为背景杂波的能量比较小,所以它对应的奇异值比较小,可以通过去除小奇异值滤掉背景子空间,然后在有效的弱小目标子空间上重构原图像,就可以实现背景抑制的目的。

基于上面的分析,可以通过奇异值分解,将原图像在其奇异值分解左奇异矩阵U 上作正交投影,就可以将包含弱小目标信息的矩阵分解到一系列奇异值和奇异值矢量对应的子空间中。但是,在式(3)中,重构矩阵时所需的奇异值数目S 可以从1~r 中选择,它的选择是基于不同的背景复杂度情况,为了确定选取多少个奇异值,这需要通过实验来比较利用不同奇异值数目重构后图像保存目标信号抑制背景噪声的性能,来确定最终选取的重构奇异值数目。因此,定义了偏差指数来确定在不同应用场合精确重构图像时所需的奇异值数目,以达到最佳背景抑制效果。

2.3基于偏差指数的非零奇异值数目选择

偏差指数定义为重构图像各个像素灰度值与原图像相应像素灰度值差的绝对值与原图像相应像素灰度值比值的平均值,其值的大小表示重构图像与原图像平均灰度值的相对差异,它用来反映重构图像与原图像在弱小目标信息上的匹配程度和将原高空间分辨率图像的细节(即目标信息)传递给重构图像的能力,如式

(4)所示:

)4(|),(/)],(),(ˆ[|11N M j i A j i A j i A

p M i N

j r ⨯-=∑∑==

其中,p r 为偏差指数,A 为原始含有弱小目标的图像, r 为使用r 个非零奇异