(自动控制原理)4章 根轨迹分析法.

4、K（ 0 ）值变化时特征根（闭环极点）分布
特征根：
1.5
1 1 s1 1 4K 2 2
1 1 s2 1 4K 2 2
K
1
0.5
Imag Axis
0
K 0
K 0 K
-0.5
-1
-1.5 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
5、根据根轨迹分析系统性能
K
-1 * * 0
1 1 s 1 4K 特征根：1 2 2 1 1 s2 1 4K 2 2
K
1）当 0 k 0.25 ，闭环特征根为两个实数，系统过阻尼 2）当 k 0.25 3）当 k 0.25 ，闭环特征根为两相等实数，系统临界 阻尼 ，闭环特征根为两共轭复根，系统欠 阻尼
(s z ) (s p ) (2h 1)
i 1 i j 1 i
m
4.2 绘制根轨迹的规则（掌握）
一、根轨迹分支数（规则一）
根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就 是分支数等于闭环极点的个数(闭环特征方程的阶数)
二、根轨迹对称于实轴（规则二）
三、根轨迹的起点与终点（规则三）
2、实质——特征方程的二重根
3、分布位置——实轴上
b
*
a *
4、求重根的方法
1 G( s ) H ( s ) 0
'
令 G ( s) H ( s) k
N ( s) D( s)
D(s) kN (s) 0 kN ' (s) D' (s) 0
D(s) N (s) N (s) D (s) 0
i 1 i j 1 i
m
n
(ma na ) (2h 1)
(2h 1) a nm
B）渐进线与实轴的交点
( p1 p2 pn ) ( z1 z2 zm ) a nm
3
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -3
-2.5
-2
-1.5
闭环极点（特征根）
参数变化对系统的影响
问题：闭环特征方程一般是高次代数方程，求解困难，且不能分析
方法：直接由开环传递函数确定闭环特征根的图解法——根轨迹法 特征：可以研究参数变化对系统的影响
1、根轨迹——系统开环传递函数的某一参数变化时，闭环特征根
在S平面上移动的轨迹
2、目的——分析参数变化对系统动态特性的影响、确定可变参数
第四章
根轨迹法(6学时)
4.1 根轨迹与根轨迹方程（了解） 4.2 绘制根轨迹的规则（掌握） 4.3 零度根轨迹及其基本法则（自学）
4.4 参变量根轨迹及多回路根轨迹（自学）
4.5 增加开环零点、极点对根轨迹的影响（了解） 4.6 用根轨迹分析控制系统（重点掌握）
第一节
根轨迹与根轨迹方程（了解）
系统的稳定性、动态性能
2、特征方程 1 G(s) H (s) 0
3、将开环传函写成零极点形式
k ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) k (s z i )
m
(s p
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
1.5
2
七、根轨迹的起始角与终止角（规则七）
3、参数选择——一般是选取开环增益，但也可选择其他参数 4、举例研究根轨迹与系统性能的密切联系
R(s) -
K s( s 1)
C(s
1、闭环传函：
C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs)
K s2 s K
1 1 s2 1 4K 2 2
2、特征方程：
3、特征根：
s2 s K 0
1 1 s1 1 4K 2 2
六、根轨迹的渐进线（规则六） k 有（n-m）条根轨迹趋向于 1、渐进线——当n>m时，
无穷远，无穷远处的方位 2、主要参数——渐进线倾角、渐进线与实轴的交点 A）渐进线倾角 a 设在无穷远处有特征根 sk 则： (sk zi ) (sk p j ) a 代入
(s z ) (s p ) (2h 1)
lim s mn 0
s
1 k k
四、实轴上的根轨迹（规则四）
实轴上根轨迹区段的右侧，开环传函零、极点数目之和应为 奇数
(s z ) (s p ) (2h 1)
i 1 i j 1 i
m
n
*
*
*
五、根轨迹的分离点和会和点（规则五）
1、分离点和会和点——两条根轨迹在S平面的某点相遇，然 后又立即分开
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果 则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处 ？
nm
(s z )
i
m
(s p
j 1
i 1 n

j
)
1 k
s pj 当k=0时（起始点）， s zj k 当 (终止点 )
lim
s
s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
j 1
i 1 n
j
)
1 G( s ) H ( s ) 0
(s z )
i
m
(s p
j 1
i 1 n

j
)
1 k
根轨迹方程
根轨迹应满足的两个基本条件
(s z )
i
m
(s p
j 1
i 1 n

j
)
1 k
n
幅值条件
必须清楚该式 的物理意义
相角条件（决定根轨迹 的充分必要条件） 规定：顺时针-，逆时针+
6、绘制根轨迹的主要方法：根据开环传递函数与闭环传递函数的 关系、开环传函零点和极点的分布， 绘出系统的根轨迹
绘制根轨迹的基础——根轨迹方程
一、根轨迹方程 E (s) R(s) B( s )
G (s)
C(s）
H (s)
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
1、闭环传函
从开环传函零极点描绘根轨迹
'
d [G ( s) H ( s)] 0 ds
d [G ( s ) H ( s )] d 1 又因为：[ ] 1 ds ds G ( s ) H ( s ) [G ( s ) H ( s )] 2
d 1 [ ]0 ds G ( s) H ( s)
d D( s) [ ]0 ds N ( s )