对偶原理、镜像原理(中文)
对偶原理对偶原理
例2 i1 R1
+
us1
il1
–
R3 R2 il2
+
is1
rm i1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
网孔方程：
节点方程：
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 -(R2- rm) il1 +(R2+R3) il2 =0
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
I=0 节点法 并联
网孔 节点
对偶状态 开路
Y 短路
对偶元件 对偶结论
R
G
L
C
开路电流为零，短路电压为零；
理想电压源不能短路，
理想电流源不能开路；
戴维南定理，诺顿定理；
三、求对偶电路的方法（打点法） 例3
i1 R1
+ us1
–
R3 R2
+
rm i1
is1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
4.6 对偶原理
一、网络对偶的概念 1. 平面网络；
2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；
3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素
称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。
例1
R1
R2
G1
+
us
il –
un
G2
is
网孔电流方程： (R1 + R2)il = us
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
第三章 对偶原理
第一节 线性规划的对偶关系
一,对偶问题的提出 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 引例:胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具. 桌子售价50 50元 椅子售价30 30元 桌子售价50元/个,椅子售价30元/个,生产桌 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种. 子和椅子都需要木工和油漆工两种工种.现已 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 知生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时. 该厂每个月可用木工工时为120小时, 120小时 该厂每个月可用木工工时为120小时,油漆工工 时为50小时. 50小时 时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月 的销售收入最大? 的销售收入最大?
原 问 题
有最优解 无界解 无可行解
max z = 3x1 + 5 x2 + x3 =8 x1 2 x2 + x4 = 12 s.t. 3x1 + 4 x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
cj→
CB 2 5 3
3 b 4 6 4 x1 0 0 1 0
另一方面该企业家付出的租金也不能太低,否则 胜利家具厂的决策者觉得无利可图而不会将资源租给 他,还不如自己进行生产.因此该企业家付出的租金 应不低于利用两种资源进行生产得到的利润,也即:
4 y 1 + 2 y 2 ≥ 50 3 y 1 + y 2 ≥ 30 y ,y ≥ 0 1 2
这样就得到了另外一个LP模型(2)
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此
Z* = C B-1= Y* B b ) Z* ( Y*b) = yi* 或 b = bi i
电流元辐射、天线的方向性、对称天线辐射(中文)
r 的区域称为近区；r 的区域称为远区 近。区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场 称为远区场。
在电磁场中，物体的几何尺寸无关紧要， 重 要的是物体的波长尺寸，即以波长度量的尺寸 。
对于近区场。因 r ， kr ， 2则π 低r 次 1项 忽略 1k， r 且令 ，那么 e jkr 1
可以
远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由 于交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而 辐射部分的场强振幅与距离 r 成反比，因此，远区 中交换部分所占的比重很小，近区中辐射部分可以 忽略。
E
近区场
远区场
O
r
为了计算辐射功率 Pr ，可将远区中的复能 流密度矢量的实部沿半径为 r 的球面进行积分即,
E H
Z。
② 电场与磁场同相，复能流密度仅有实部，
能量不断向外辐射，所以远区场又称为辐射场。
H
j
I
l sin 2r
e jkr
E
j
ZI l sin 2r
e jkr
③ 远区场强振幅与距离 r 一次方成反比，这种衰 减不是介质的损耗引起的，而是球面波的自然扩散。
④ 远区场强振幅还与观察点所处的方位有关，这
H
k2I l sin j
4π kr
1 ejkr k2r2
H Hr 0
由E
j
A
A
j
，或者 H j
E
，
根据磁场强度算出电场强度为
Er
j
k 3I l cos 2π
j
k
2
r
2
1 k 3r 3
e jkr
E j
k3I l sin 4π
1 kr
j k2r2
对偶原理
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
对偶原理的基本内容
对偶原理的基本内容
对偶原理是数学和逻辑学中的一种基本原理，指出在某些情况下，一个问题的解和另一个相关问题的解之间存在着对应关系。
简单来说，对偶原理认为两个问题可以互相转化，一个问题的解可以通过转化得到另一个问题的解。
对偶原理的基本内容如下：
1. 表示性对偶：对于任意给定的命题，如果将其语句中的"是"与"不是"交换，将"或"与"与"交换，将"存在"与"全称"交换，则得到的命题与原命题具有相同的真值。
这表明这两个命题互为对偶，即具有相同的含义。
2. 集合论中的对偶：在集合论中，对偶原理指出，对于任意一个集合运算，如果将交换律、结合律和分配律中的交换符号与并符号交换，并且将空集与全集交换，则所得到的运算定义与原定义等价。
3. 线性规划中的对偶：线性规划中的对偶原理指出，给定一个原始线性规划问题，可以通过构建对偶问题，从原问题的角度找到一种更
好的解决方法。
对偶问题的解反映了原始问题的优化信息。
对偶原理在数学、逻辑学、计算机科学等领域中具有广泛的应用，在问题求解、证明推理、优化计算等方面发挥了重要作用。
它使我们能够从不同角度思考问题，发现问题的潜在联系和解决方式。
电流元辐射、天线的方向性、对称天线辐射(中文)
除了上述线极化特性外，其余四种特性是一切尺 寸有限的天线远区场的共性，即一切有限尺寸的天线 ，其远区场为 TEM 波，是一种辐射场，其场强振幅不 仅与距离成反比，同时也与方向有关。
天线的极化特性和天线的类型有关。
接收天线的极化特性必须与被接收的电磁波的 极化特性一致，称为极化匹配。
远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由 于交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而 辐射部分的场强振幅与距离 r 成反比，因此，远区 中交换部分所占的比重很小，近区中辐射部分可以 忽略。
内壁电流
1. 电流元辐射
一段载有均匀同相的时变电流的 导线称为电流元，而且 d << l ， l I l << ， l << r 。
d
均匀同相电流是指导线上各
点电流的振幅相等，且相位相同。
z
,
P(x, y,
r z)
Il O
y
x
电流元周围介质是无限 大的均匀线性且各向同性的理 想介质。
E k 2 E jJ H k2H J
近。区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场 称为远区场。
在电磁场中，物体的几何尺寸无关紧要，重 要的是物体的波长尺寸，即以波长度量的尺寸。
对于近区场。因 r 忽略 k1，r 且令 ，那么
，
e jkr
kr， 2则π 低r 次 1项
1
可以
H
I l sin 4πr 2
Er
j
I l cos 2π r3
第十章 电磁辐射及原理
主要内容 电流元辐射、天线方向性、线天线、 面天线、天线 阵、对偶原理、镜像原理、互易原理、惠更斯原理
1. 电流元辐射 2. 天线方向性 3. 对称天线辐射 4. 天线阵辐射 5. 电流环辐射
《管理运筹学》02-5对偶原理
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《管理运筹学》025对偶原理
目录
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论的应用 • 对偶理论的局限性 • 对偶理论的展望
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
对于原问题中的目标函数和约束条件，将它们进行适当 的变换，得到与原问题等价的新问题。
对偶问题的特点
对偶问题的目标函数和约束条件与原问题相反，但最优 解相同。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、对偶法等求解方法 求解。
原问题与对偶问题
原问题是给定的线性规划问题，对偶问题是通过 引入新的变量和约束条件，将原问题的约束条件 转化为等价的不等式约束条件，同时目标函数也 相应地转化为对偶问题的目标函数。
对偶问题与原问题之间的关系是：当原问题的最 优解存在时，对偶问题的最优解也一定存在，并 且它们的目标函数值相等。
对偶定理
01
对偶定理是线性规划中的一个基本定理，它表明原问题和对偶问题的最优解是 等价的。
02
对偶定理的证明基于互补松弛定理和最优解的性质。
03
对偶定理的应用包括在求解线性规划问题时，通过求解对偶问题来获得原问题 的最优解，以及在确定原问题和对偶问题的解是否为最优解时，使用对偶定理 进行验证。
03
生产、管理、运输等领域的问题。
实际问题验证
02
通过对偶理论的应用，可以验证实际问题的解决方案是否可行，
并优化解决方案。
实际应用拓展
03
通过对偶理论的深入研究，可以拓展其在实际问题中的应用范
围，提高解决问题的效率和质量。
05
对偶理论的展望
对偶理论的未来发展方向
深化理论体系
镜像原理是什么意思
镜像原理是什么意思镜像原理是计算机科学中的一个重要概念，它涉及到计算机系统和数据的备份、复制和同步。
镜像原理是一种用于创建数据的副本的方法，使得这些副本与原始数据一致。
在计算机领域，镜像原理广泛应用于数据备份、软件发布等方面，为数据的有效管理和保护提供了重要支持。
镜像原理的基本原理镜像原理的基本原理是通过创建数据的副本来实现数据的备份、复制和同步。
这些副本称为镜像。
镜像与原始数据保持一致，使得可以在不影响原始数据的情况下进行操作和修改。
镜像原理主要包括以下几个关键要素：1. 数据源数据源是指需要进行备份、复制或同步的原始数据。
它可以是一个文件、一个文件夹、一个磁盘或者一个整个系统。
数据源包含了需要被保护和复制的数据内容。
2. 镜像镜像是从数据源创建的副本，也称为镜像副本。
镜像与原始数据保持一致，可以用来恢复原始数据或者在镜像副本上进行操作和修改，而不影响原始数据。
镜像可以单独存储在一个位置，也可以分发到多个位置，以提供更高的数据可用性和容错能力。
3. 同步机制同步机制是实现数据的镜像和更新的关键组成部分。
同步机制可以按照不同的策略进行操作，包括增量同步、全量同步、实时同步等。
增量同步只传输数据源和镜像之间的差异部分，以减少传输数据量；全量同步是将整个数据源复制到镜像中；实时同步保持数据源和镜像的实时更新。
4. 数据完整性保护数据完整性保护是保证镜像中的数据与原始数据一致性的重要措施。
它包括校验和、故障检测和纠正等机制，以确保数据在传输和存储过程中不会受到破坏或损坏。
数据完整性保护可以通过冗余信息、校验算法和恢复机制来实现，从而提高数据的可靠性和安全性。
镜像原理的应用镜像原理在计算机科学的各个领域有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：1. 数据备份和恢复镜像原理可以用于对重要数据进行备份和恢复。
通过创建数据的镜像副本，可以保护数据免受硬件故障、人为错误、病毒攻击等因素的影响。
当原始数据丢失或损坏时，可以使用镜像副本进行数据恢复，保证数据的可用性和完整性。
对偶原理名词解释
对偶原理名词解释
对偶原理名词解释：
对偶原理，又称为对偶原则。
是射影几何的一个基本原则，指在射影空间中，若一个命题成立，则其对偶命题也必成立。
对偶，是大自然中最为广泛存在的，呈“分形”形态分布的一种结构规律，及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性，互补性，对立统一性，稳定性，互涨性和互根性。
在射影平面上，如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调，即把点改成直线，把直线改成点，把点的共线关系改成直线的共点关系，所得的命题仍然成立，这称为对偶原则。
例如，德沙格定理是有关点、直线以及它们的衔接关系的定理，它是一个射影定理。
它的对偶定理就是它的逆定理。
该原理也可推广到n维射影空间中去。
对偶原理是一座桥梁，借助于它，可以从数学某领域中的一定理走到另一定理(对偶定理)，当前一定理从逻辑上被证明后，后一定理的正确性是无须再证的。
即对偶原理具有真的特点。
另一方面，对偶原理对于数学的发展具有很重要的促进作用，也就是说它在数学领域中具有实用价值，因而具有善的特点。
最后通过对对偶原理的具体分析，对偶原理刻画了数学理论的一种对称性，而对称具有美的特征，所以它也是一种具体的数学美学的方法。
对偶理论的原理
对偶理论的原理对偶理论（Duality Theory）是现代线性规划理论的重要组成部分，它与线性规划之间存在深刻的关系。
对偶理论的提出为线性规划问题的求解提供了一种全新的思路，使得原始问题与对偶问题之间能够相互转化和互相补充。
在对偶理论的引导下，线性规划问题的求解不再依赖于具体的算法和技巧，而是通过分析原始问题和对偶问题之间的关系，从而为问题的求解提供了更深入的理论支持。
对偶理论的基本原理来源于线性规划的最优性条件和对偶性原理。
在线性规划问题中，我们常常需要通过确定一组变量的数值来使得目标函数取得最大（或最小）值，并且满足一定的约束条件。
对于一个线性规划问题，我们可以将其分为两个部分，即原始问题（Primal Problem）和对偶问题（Dual Problem）。
原始问题的一般形式为：最大化：c^Tx约束条件：Ax ≤b其中，c为目标函数的系数向量，A为约束条件矩阵，x为决策变量向量，b为约束条件右端向量。
原始问题的最优解被称为原始问题的最优解。
对偶问题的一般形式为：最小化：b^Ty约束条件：A^Ty ≥c其中，y为对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶问题的最优解。
对于线性规划问题的任意一个可行解，我们可以定义一个对应的对偶问题。
原始问题和对偶问题之间存在一种非常重要的关系，即弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是，对于原始问题和对偶问题的任意可行解，我们有：c^Tx ≤b^Ty强对偶性指的是，当原始问题和对偶问题都存在有限的最优解时，其最优解相等，即：c^Tx = b^Ty对偶理论的核心思想是通过最大化原始问题的目标函数和最小化对偶问题的目标函数，来求解原始问题和对偶问题的最优解。
具体而言，对偶理论主要包括以下几个方面的内容：1. 对偶定理：对于一个线性规划问题，从弱对偶性和强对偶性的角度出发，我们可以得到一些重要的结论。
例如，弱对偶性可以用来判断某个解是否为原始问题和对偶问题的最优解；而强对偶性则为原始问题和对偶问题的最优解提供了一个等价的刻画方式。
02-5对偶原理
对偶原理一、原理原理：字面上“原来的理由”，最基础，最根本的理论。
是自然界（或人类社会）中已经存在的，不可改变的基本规律。
原理反映的是各个有关概念之间相互依存制约关系，是规律性的必然关系。
人们以大量实践、现象为基础，将这个规律性的东西抽象概括出来，形成文字，他就叫“原理”。
它具有普遍性，是最基本的、可以作为其他规律的基础，其正确性直接由实践检验和确定。
某一领域或学科中的某一“原理”，指这一领域或该学科中带有普遍性的、最基本的、可以作为其他规律基础的规律。
“杠杆原理、相对性原理、光速不变原理、等效原理”有些原理还具有是跨学科性质，如对偶原理。
在逻辑学上“原理”属于“有条件关系判断”。
既所描述的有关物理概念之间的必然关系是在某种特定条件下的物理事实，则可称之谓物理原理。
如“帕斯卡原理”：“在密闭容器内，液体向各个方向传递的压强相等”。
这里的“密闭容器”就是条件。
又如“动能原理”：“无论作用在物体上的合力大小和方向是否变化，物体运动的路径是直线还是曲线，合外力对物体所做的功都等于该物体动能的增量”。
这里“无论……”也是条件。
二、对偶“对”：双，成双的；配对、对偶、对仗。
“偶”：双，对，成双成对伙伴；同伴；和人共处。
“对偶”——近义合成“对偶或对称”现象是大自然中最为广泛存在的一种结构规律，在人文社会科学中也常常出现，如文学中的对联等。
清朝康熙年间一进士——车万育（1632-1750）写有一本书，叫《声律启蒙》。
书中开篇：“云对雨，雪对风。
晚照对晴空。
来鸿对去燕，宿鸟对鸣虫。
三尺剑，六钧弓。
岭北对江东。
人间清署殿，天上广寒宫。
两岸晓烟杨柳绿，一圆春雨杏花红。
两鬓风霜，途次（“中”的意思，和后面的“边”相对）早行之客；一蓑烟雨，溪边晚钓之翁。
”不仅读起来声调和谐，节奏响亮；而且天地间常见的自然景物尽来眼底。
“对偶”在不同的领域有着不同的诠释。
1、在文学中：“对偶”概念妇孺皆知：如骆宾王的《咏鹅》“鹅、鹅、鹅，曲项向天歌。
对偶定理和反演定理
对偶定理和反演定理
对偶定理和反演定理是离散数学中重要的概念。
对偶定理和反演定理
在应用中经常被用于解决图形、计算机科学、信息工程以及其他数学
分支的问题。
对偶定理是指一个问题的解决与该问题的对偶问题的解决相关。
对偶
问题通常通过交换问题的行和列来获得。
这种性质可以应用于图形学中。
例如，在一个平面问题中，如果把点替换成面，则原来的图形问
题成为对偶问题。
解决问题的难度取决于问题是否有优秀的对偶形式。
如果存在优秀的对偶形式，则可以使用对偶定理来解决问题。
反演定理是指一种技术，可以用来解决含有卷积、递归、数论运算等
的复杂问题。
反演定理是离散数学中最经典和重要的定理之一。
反演
定理可以应用于代数、分析、拓扑和众多相关分支的问题。
反演定理
可以从不同的角度来看待，但其本质是一种转化形式，通过这种形式
化的方法将原本难以处理的问题转化为更加容易处理的形式。
在离散数学中，对偶定理和反演定理是十分重要的概念。
对偶定理通
常可以用来发现新问题，而反演定理通常用来解决复杂问题。
这两个
概念的应用与发展，帮助着学者们更好地理解离散数学的本质，并在
不断拓展知识的同时，得到更广泛的应用。
对偶原理
分别考察n=3和n=4的情形
平面对偶原则
简单n点(线)形：n=3 简单三点形 ABC 简单三线形 abc
简单n点(线)形：n=4
简单四点形 ABCD 简单四线形 abcd
显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关
平面对偶原则
(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形. 顶点：n个；
(2) 点 (3) 点
(0 , 0 ,1)
u3 0.
( A, B , 0)
A u1 B u 2 0 .
(3)' 直线
A x1 B x 2 0 .
注：在上述(2), (3)及其对偶中, 为什么不提“原点”, “无穷远 点”等术语？ 请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知 命题的对偶命题，并从对偶原则出发，重新审视前面所学知识.
注2 对偶原则是一个双射
பைடு நூலகம்
F：
点几何
线几何
因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用.
平面对偶原则 二、代数对偶
规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素. 得代数对偶原则 注1 上述规定实际上是RP2与(RP2)*之间的恒同映射. 注2 事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四 章学习的配极变换.
平面对偶原则
重要原理！ 贯穿全书！
一、平面对偶原则
1. 基本概念 (1) 对偶元素 (2) 对偶运算
(3) 对偶变换 点 直线 过一点作一直线
在一直线上取一点
互换对偶元素地位、作对偶运算
(4) 对偶图形 在射影平面上, 设已知由点、直线及其关联关系 构成的图形, 若对作对偶变换，则得到另一个图形'. 称、' 为一对对偶图形. 图形 作对偶变换 互为对偶图形 图形'
电磁学对偶原理的内容
电磁学对偶原理的内容
电磁学对偶原理是指在电磁学中存在着一种对称性，即通过对电磁场的某些物理量进行一系列的变换，可以得到与原始电磁场具有相同性质的新的电磁场。
对偶原理的内容主要包括以下几个方面：
1. 对偶变换：对偶变换是指通过对电磁场的电荷、电流和电场、磁场等物理量进行一系列的变换，得到与原始电磁场具有相同性质的新的电磁场。
具体的对偶变换包括电荷和电流的对偶、电场和磁场的对偶、电磁波的对偶等。
2. 对偶关系：对偶关系是指通过对偶变换得到的新的电磁场与原始电磁场之间存在着一种对称关系。
例如，对偶关系可以表述为：在一个电磁场中存在电荷和电流时，通过对偶变换可以得到一个新的电磁场，其中电荷和电流被交换，同时电场和磁场也被交换。
3. 对偶定理：对偶定理是指通过对偶变换得到的新的电磁场与原始电磁场之间存在着一种对称的物理规律。
对偶定理可以用来推导和解释一些电磁学中的现象和定律。
例如，麦克斯韦方程组是电磁学中的基本定律，通过对偶变换可以得到另一组与之等价的对偶麦克斯韦方程组。
4. 对偶应用：对偶原理在电磁学中有广泛的应用。
通过对偶变换，可以将一些复杂的电磁问题转化为简单的对偶问题，从而更容易进行分析和求解。
对偶原理
也为一些电磁学中的设计和应用提供了新的思路和方法。
例如，在天线设计中，通过对偶变换可以将一个天线的电磁特性转化为另一个天线的特性，从而可以更好地优化和设计天线。
运算的对偶原理
运算的对偶原理运算的对偶原理（Duality Principle）是指在逻辑代数中，对于每个基本运算，存在一个与之对偶的基本运算，通过互换运算中的“与（AND）”和“或（OR）”以及“真（True）”和“假（False）”的位置就可以得到对应的对偶运算。
对偶原理可以用来分析和简化逻辑表达式，通过将逻辑运算符换成对偶的运算符，可以找到等价的表达式，从而简化求解过程。
它在逻辑电路设计、布尔代数、逻辑推理等领域具有重要的应用。
首先来看AND（与）和OR（或）的对偶关系。
对偶原理告诉我们，对于任意的两个逻辑表达式E1和E2，如下等式成立：E1 AND E2 = NOT（NOT E1 OR NOT E2）E1 OR E2 = NOT（NOT E1 AND NOT E2）其中，NOT表示取反操作。
这个对偶关系可以通过化简真值表来证明。
以AND为例，假设有两个逻辑变量A和B，其真值表如下：A B AND0 0 00 1 01 0 01 1 1根据对偶原理，可以通过将真值表中的0和1互换位置，同时取反，得到AND 的对偶：A B OR1 1 11 0 10 1 10 0 0可以看到，对偶的真值表与原始表相比，0和1互换位置，并且整个表取反。
这就是AND和OR之间的对偶关系。
类似地，对偶原理也适用于其他的逻辑运算符。
例如，对于逻辑非（NOT）运算符，其对偶关系为：NOT NOT E = E这意味着连续两次对一个逻辑表达式取反，等价于不取反。
以上是基本运算符的对偶原理，但是对偶原理还有更广义的定义。
对于任意的逻辑运算符，都有对偶运算符与之对应。
例如，对于异或（XOR）运算符，其对偶运算符为同或（XNOR）。
对偶原理对于简化逻辑表达式非常有用。
通过应用对偶原理，我们可以将复杂的逻辑表达式转化为等价的简化形式。
例如，可以使用对偶原理将一个较长的逻辑表达式转换成一个更简单的形式，从而简化电路设计或计算过程。
此外，对偶原理还可以应用于逻辑推理。
对偶系统的定义及原理
对偶系统的定义及原理
对偶系统是指具有一定物理意义的参数在某种操作下可以互相对换的系统。
对偶系统的原理是通过操作或变换将系统内部的参数转换成对偶参数。
具体而言，对偶系统的定义和原理可以从以下两个方面来理解：
1. 对偶系统的定义：
对偶系统是指在某种操作或变换下，系统内部的参数可以互相对换，并且该互相对换的操作下系统的性质或规律保持不变。
对偶系统的定义中强调了两个关键点：参数的对换和系统性质的保持。
2. 对偶系统的原理：
对偶系统的原理是通过某种操作或变换将系统内部的参数转换为对偶参数。
这种参数的转换使得原系统的性质在对偶系统中得以保持，并且参数之间的对换使得对偶系统具有更广泛的应用和解释空间。
对偶系统的原理可以从以下几个方面来解释：
- 对偶性操作或变换：对偶系统的原理中必须有一种操作或变换能够将系统内部的参数转换为对偶参数，这种操作或变换被称为对偶性操作或变换。
- 对偶参数的等效性：对偶系统原理中对偶参数与原参数之间具有等效性，即相同的物理意义。
对偶系统的参数对换不改变系统的性质或规律，只是提供了不同的观测或描述方式。
- 对称性的存在：对偶系统的原理中存在着某种对称性，即对偶系统的性质在
对换参数后保持不变。
这种对称性使得对偶系统在解释和应用上更加便利。
总之，对偶系统是指具有一定物理意义的参数在某种操作下可以互相对换的系统，对偶系统的原理通过操作或变换将系统内部的参数转换成对偶参数，同时保持系统的性质或规律不变。
对偶原理、镜像原理(中文)
e jkr
可见，场强振幅提高一倍。
接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率
时仅需沿上半球面进行积分， 即
Pr
2π 0
d
π 2 0
Sr 2
sin
d
160π2I 2
l
2
对应的辐射电阻为
Rr
160π2
l
2
可见，辐射电阻也提高一倍。
类似可以证明位于无限大理想导电平面附近的水 平电流元的镜像电流元为负像。
理想导电平面附近磁流元的镜像关系恰好与电 流元情况完全相反，如下图所示。
？
？
电流
磁流
镜像法的求元解可归结元为二元天线阵的求解。
对于实际地面，也可应用镜像原理。但是，由 于地面为非理想导电体，严格分析表明，只有当 天线的架空高度以及观察点离开地面的高度远大 于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用。
由于麦克斯韦方程是线性的，它们分别满足的
电磁场方程如下：
He J j Ee
Ee Be 0
j
He
De
Hm j Em
Em Jm Bm m
j
Hm
Dm 0
He J j Ee
Ee Be 0
j
He
De
Hm j Em
Em Jm Bm m
例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为 l 、电流为 I 的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射 电阻。地面当作无限大的理想导电平面。
Il
E
Il
E
Il
解 对于无限大的理想导电平面，垂直电流元
的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为
2l 的电流元产生的辐射场，即
E
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� l E � dl Im
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S
S
前B述�边dS界条m件也必须加以修正 , 但仅涉及电场
强度的切向分量和磁场强度的法向分量， 即
en E2 E1 J mS
en B2 B1 mS
式中JmS (r) 为表面磁流密度；mS(r) 为表面磁荷密度 ；en
由媒质①指2向1,, 媒21 et质e②n E，2Jtm如S E下1t 图BB所12nn 示。
解 对于无限大的理想导电平面，垂直电流元
的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射场，即
E
j
Z0 I lsin r
e jkr
可见，场强振幅提高一倍。
接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率 时仅需沿上半球面进行积分， 即
Pr
2π
d
π
2 Sr 2 sin
d
160π2 I 2
设时变电流元 Il 位于无限大的理想导电平 面附近，且垂直于该平面，如下图所示。
Il
,
Il
, ,
I'l'
引入的镜像源必须保持原有的边界条件。
正弦时变电流与时变电荷的关系为 I 。j时q 变电
流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷
端电q 荷I ，如下左图q 所 示I。
j
j
，下
镜像电流元为 I l ，且令I I ，l l
电磁场方程如下：
He J j Ee Ee j He
Be 0
De
H m j Em
Em J m j H m Bm m
Dm 0
He Jm Em Jm j H m Bm m
Dm 0
理想导电平面附近磁流元的镜像关系恰好与 电 流元情况完全相反，如下图所示。
？
？
电
磁
镜像法的求流元解可归结流元为二元天线阵的求解。
对于实际地面，也可应用镜像原理。但是，由
于地面为非理想导电体，严格分析表明，只有当 天线的架空高度以及观察点离开地面的高度远大 于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用。
为
H
j
I l sin 2r
e jkr
E
ZI l sin j 2r
e jkr
那么， z 方向磁流元 Ilm 产生的远区场应为
Em
j
Im l sin e jkr 2r
H m
j
Im l sin 2rZ
e jkr
z 电流元
,
r Il
x
H E
z 磁流元
,
r
y
Im l
x
z 电流环
,
E H
y
r
IS
x
E
H y
引入磁荷 m 及磁流 Im 后，两个积分形式
场具有 TEM 波性质，反射系数 R 可以近似看成是
平面波在平面边界上的反射系数。 实际地面对天
线的影响归结为一个非均匀二元天线阵。
例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为 l 、电流为 I 的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射 电阻。地面当作无限大的理想导电平面。
Il
E
Il
E
Il
A Il e jkr0
4 π r0
Φ
q
4πr
e jkr
Φ
q
4πr
e jkr
类似可以求得镜像电流元 Il产生的电场为
E E0 E E jA Φ Φ
式中
A
I l
4 πr0
e jkr0
,
Φ
q
4π r
e jkr ,
q
4π r
e jkr
q Il
r0 r
对于边界平面上任一点
-q
r E
E0 E0 E
上半空间任一点场强可以认为是直接波 E1 与
来自地面反射波 E2 之合成，且认为 E1 与 E2 的 方
向一致。因此，合成场为直接波与反射波的标量和
，即 直接波
E1
r1
E E1 E2
反射波
E2
地
e jkr1
e jkr2
E0 r1 RE0 r2
r2
面
式中， R 为地面反射系数。
由于地面处于天线的远区范围，天线的远区
比较上述两组方程，获得以下对应关系：
He Em Ee H m
这个对应关系称为对偶原理。
J J m
m
若已求出电荷及电流产生的电磁场，只要将其
式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，
获得的表示式即是具有相同分布特性的磁荷与磁
流产生的电磁场。
已知 z 方向电流元 Il 的远区场公式
q Il
。
-q
E
q Il
r0 r
-q
r E
E0 E0 E
q'
I-'ql''
r
r0 r
E E+
这些电荷及电流分别在边界上产生的电场强度，
如上右图所示。
由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无
限大的空间，因此可以通过矢量位 A 及标量位
计算场强。
电流元 Il 产生的电场强度为
式中 E E 0 E E j A Φ Φ
l
2
0
0
对应的辐射电阻为
Rr
160π 2
l 2
可见，辐射电阻也提高一倍。
中波广播电台使用的悬挂式垂直导线或自立式铁 塔，可以看成是一种垂直接地天线。
6. 对偶原理 电荷与电流是产生电磁场的惟一源。自然界中 至今尚未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些 电磁场问题，引入假想的磁荷与磁流是有益的。
引入磁荷与磁流后，麦克斯韦方程修改为
H r J r jDr EErrJm jrBjrBr BBrr0m r Dr r
式中， J m(r) 为磁流密度； m(r) 为磁荷密度。
磁荷守恒定律为 Jm r jm r
现将电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷
及电流产生的电场 Ee (及r) 磁场 H；e (r另) 一部分是由磁
荷及磁流产生的电场 及E磁m场(r) ， Hm (r) 即
E(r) Ee (r) Em (r) H (r) He (r) H m (r)
由于麦克斯韦方程是线性的，它们分别满足的
r0 r0 r r r r
r
q' I'l'
r0 r
E E+
已设I ，I故 q。 q
又 l， 水l 平分量相互抵消，合成电
-q'
场 的(E方向E垂) 直于边界平面，满足
原有的边界条件。
由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同 ，这种镜像电流元称为正像。
类似可以证明位于无限大理想导电平面附近的水 平电流元的镜像电流元为负像。
已知磁导率的理想导磁体，其内部不可
能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面 磁荷与磁流。
那么，理想导磁体的边界条件为
en H 0 en E JmS
en B mS
en D 0
H E
理想导磁体
E
H
理想导电体
7. 镜像原理 静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电 磁场的边值问题，但也仅能用于某些特殊的波 源和边界。