重庆市2020学年高一数学下学期期末试题
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
【新结构】2023-2024学年重庆市七校联考高一下学期期末考试数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年重庆市七校联考高一下学期期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为()A. B. C. D.2.下列说法正确的是()A.若，则，B.单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量C.相反向量的长度相等D.共线向量是在同一条直线上的向量3.已知平面和直线l，直线m，下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.已知，，则下列选项正确的是()A.B.C.与的夹角为D.向量在向量方向上的投影向量为5.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是6”，事件B 为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则()A. B.A与B互斥 C.A与C互斥 D.A与C相互独立6.如图，在矩形ABCD中，，E是CD的中点，沿AE将折起，使点D到达点P的位置，并满足，如图，则下列选项错误的是()A.平面平面PBEB.平面平面PBEC.平面平面ABCED.平面平面ABCE7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上正方形ABCD内部，含边界，则的取值范围为()A. B. C. D.8.新高考中数学多项选择题的评分规则是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对得6分，若两个正确选项，只选对一个正确项得3分，有选错的得0分;若有三个正确选项，只选对一个得2分，只选对两个选项得4分，有选错的得0分，我们假定不会出现四个选项都正确的情况”现已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，均随机选择选项.下列表述错误的是()A.若甲只选一个选项，能得3分的概率是B.若乙选两个选项，能得6分的概率是C.若丙至少选一个选项，能得分的概率是D.若丁至少选两个选项，能得分的概率是二、多选题：本题共3小题，共15分。
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
重庆市中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题含答案
重庆高2026级高一（下）数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 是CD 边上一点，且2DE EC =，则AE = （）A.13a b+ B.23a b+ C.13a b + D.23a b + 【答案】D 【解析】【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.【详解】由题意2233DE DC AB ==，所以232323AE AD DE AD DC AD AB a b +=+=+=+= .故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.2.已知向量3AB a b =+ ，53BC a b =+ ，33CD a b =-+，则（）A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】∵262(3)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=，又∵BD 和AB有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.故选：B ．【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题.3.在等边ABC 中，点D 是边BC 的中点，且AD =，则AB BC ⋅为（）A .16- B.16 C.8- D.8【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积定义即可求得AB BC ⋅的值.【详解】等边ABC 中，点D 是边BC 的中点，且AD =则30DAB ∠=o,()22BC BD AD AB ==-，4AB =，则()2222AB BC AB AD AB AB AD AB=⋅⋅⋅--= 224248=⨯⨯-⨯=- 故选：C4.设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC等于（）A.BCB.12AD C.ADD.12BC 【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB + 122AD AD =⨯=.故选：C.5.已知1sin()64πθ-=，则sin(2)6πθ+=（）A.78-B.78C.1516D.1516-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求解可得答案.【详解】令π6t θ=-，故1sin 4t =，π6t θ=-，故22ππ17sin(2)sin(2)cos 212sin 12()6248t t t θ+=-==-=-⨯=.故选：B.6.在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD uu u r 在BA上的投影向量为（）A.3BA 2B.3BA 4C.BA 2D.4BA 【答案】B 【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知2222cos1201113BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=++= ，BC ∴=，30ABC ∠= ，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，ABC 是等腰三角形，D ∴是BC 中点，2BD =，由图可知向量BD uu u r在BA 上的投影向量为BE3cos304BE BD ==34BE BA = ，34BE BA ∴= .故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.7.在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点.若2AB =，3CD =，且4EF AB ⋅=，则EF = （）A.172B.2C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.【详解】连接EB ，EC ，如图，可知()()()()111222EF EB EC EA AB ED DC AB DC ⎡⎤=+=+++=+⎣⎦ .由()212EF AB AB AB DC ⋅=+⋅ ，即1242AB DC +⋅=，可得4AB DC ⋅= .从而，()()2222211212444EF EF AB DC AB AB DC DC ==+=+⋅+=，所以212EF = .故选：B.8.已知函数()()3cos 2>0,<2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π，若,1216x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎣⎦，()2f x ≥恒成立，则ϕ的取值范围是（）A.,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.,46ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.0,4⎡⎤⎢⎣⎦π【答案】A 【解析】【分析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得ω值，再由不等式恒成立得ϕ的范围．【详解】由题意()f x 的最大值是5，所以由()f x 的图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π知2T π=，242πωπ==．即()3cos(4)2f x x ϕ=++，()2f x <即cos(4)0x ϕ+<，,1216x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,34x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为2πϕ<，所以36ππϕ-+<，44ππϕ+>-，所以3242ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得64ππϕ-≤≤．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如4ω=，而ϕ的求法有两种：（1）由x 的范围，求出4x ϕ+的范围，并根据ϕ的范围得出3πϕ-和4πϕ+的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出()2f x ≥时，x 的范围，再由已知区间,1216ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是这个范围的子集，得出结论．二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.AB AM BM-=B.零向量与任意向量共线C.互为相反向量的两个向量的模相等D.若向量a ，b 满足1a = ，4b = ，则35a b ≤+≤ 【答案】BCD 【解析】【分析】由向量减法法则判断选项A ；由零向量的性质判断选项B ；由相反向量的定义判断选项C ；由向量三角不等式判断选项D.【详解】对A ，AB AM MB -=，A 选项错误；对B ，零向量与任意向量共线，B 选项正确；对C ，互为相反向量的两个向量的模相等，C 选项正确；对D ，若向量a ，b 满足1a = ，4b = ，则a b a b a b -≤+≤+ ，即35a b ≤+≤，D 选项正确．故选：BCD10.已知△ABC 的重心为O ，边AB ，BC ，CA 的中点分别为D ，E ，F ，则（）A.2OA OB OD+= B.OD OE FO+=C.若()0AO AB AC ⋅-=，则OA BC⊥D.若△ABC 为正三角形，则0OA OB OB OC OC OA ⋅+⋅+⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，因为D 为OAB 中AB 的中点，所以2OA OB OD +=，故A 正确；对于B ，因为O 为ABC 的重心，,,D E F 分别为边,,AB BC CA 的中点，所以()()()111+++222OD OE OF OA OB OB OC OA OC ++=++++2+0OA OB OC OD OC ===，所以OD OE FO += ，故B 正确；对于C ，因为()0AO AB AC AO CB ⋅-=⋅=，所以OA BC ⊥，所以C 正确；对于D ，因为ABC 为正三角形，所以221cos1202OA OB OA OA ︒⋅==- ，所以232OA OB OB OC OC OA OA ⋅+⋅+⋅=-，所以D 不正确.故选：ABC.11.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A.()f x 的单调递增区间是[]58,18,k k k -+-+∈ZB.()f x 的单调递增区间是[]5π8π,π8π,k k k -+-+∈Z C.()f x 在[]2π,2π-上有3个零点D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数【答案】AC 【解析】【分析】利用图象求出函数解析式，再求出单调增区间，[2π,2π]-上零点，图象的对称轴，逐一对选项判断即可．【详解】由图象得2A =，周期2π8,8T ω==，得π4ω=，所以()()ππ32sin ,12sin 0.0π,π444f x x f ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+=<<∴=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π32sin π44f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令ππ3π2ππ2π,2442k x k k -+≤+≤+∈Z ，解得5818,k x k k -+≤≤-+∈Z ，故单调递增区间为[]58,18,k k k -+-+∈Z ．A 正确，B 错误；令π3ππ,44x k k +=∈Z ，解得43x k =-，令2π432πk -≤-≤得32π32π,44k k -+≤≤∈Z ，解得0,1,2k =，可知C 选项正确；函数图象关于直线3x =对称，向左平移3个单位长度，图象关于y 轴对称，得到的函数为偶函数，故D 错误．故选：AC ．12.如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+，x ，y ∈R .（）A.0AD BE CF -+=B.存在点P ，使x y=C.若34y =，则点P 的轨迹长度为2 D.AP AB ⋅的最小值为2-【答案】AD 【解析】【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算即可求解A ，根据共线即可得矛盾求解B ，根据共线即可求解C ，根据数量积的运算律，结合图形关系即可求解D.【详解】设O 为正六边形的中心，根据正六边形的性质可得,,,ED AB EF CB CD AF ===且四边形,,OAFE OCDE OABC 均为菱形，()()()AD BE CF AB BC CD BC CD DE CD DE EF-+=++-+++++ ()0AB CD EF AB AF EF AB FA FE AB FO =++=++=-+=-=，故A 正确，假设存在存在点P ，使x y =，则()AP xAB y AD x AB AD xAM =+=+=,其中点M 为以,AB AD 为邻边作平行四边形的顶点，所以P 在直线AM 上，这与点P 是DEF 内部（包括边界）的动点矛盾，故B 错误，当34y =时，34AP xAB AD =+ ，取34AN AD = ,则34AP AD AP AN NP xAB -=-==,所以点P 的轨迹为线段HK ,其中,H K 分别为过点N 作//NH AB 与,EF FD 的交点，由于N 为OD 的中点，所以1//,12HK ED HK ED ==,故点P 的轨迹长度为1，C 错误，由于2,DB AB AD AB AB ⊥∴⋅= ,()22444AP AB xAB y AD AB xAB y AD AB x y AB x y ⋅=+⋅=+⋅=+=+ ,过F 作FT BA ⊥于T ，则112AT AF ==,所以此时1,02x y =-=，由于,x y 分别为,AB AD 上的分量，且点点P 是DEF 内部（包括边界）的动点，所以10,012x y -≤≤≤≤当P 位于F 时，此时,x y 同时最小，故AP AB ⋅的最小值为2-故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足3a = ，5b = ，且a b λ= ，则实数λ的值是________．【答案】35±【解析】【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可.【详解】由a b λ= ，得a b b λλ== ，因为3a = ，5b = ，所以35λ=，即35λ=±.故答案为：35±14.计算：sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒︒.【答案】12【解析】【分析】因为473017︒=︒+︒，所以对sin 47︒进行和差公式展开，即可求解【详解】sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒︒()sin 3017sin17cos30cos17︒︒︒+-︒=︒sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=︒sin30cos171sin30cos172=︒︒︒=︒=.15.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得函数()g x 的图象关于原点对称，且()g x 在ππ,3618⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则ω=__________．【答案】3【解析】【分析】根据余弦函数的性质可得πππ,62k k ω=+∈Z ，结合单调性列不等式即可求解.【详解】由题意知()()πcos ,6g x x g x ωω⎛⎫=+⎪⎝⎭图象关于原点对称，因此πππ,62k k ω=+∈Z ，解出63,k k ω=+∈Z ，由于()g x 在ππ,3618⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，πππππ,6366186x ωωωωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，因此ππ2π,366πππ2π,186k k ωωωω⎧≤-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解出7291852k k ω+≤≤，由于k ∈Z ，所以取0k =，解得902ω<≤，又由于63,k k ω=+∈Z ，且k ∈Z ，则0,3k ω==．故答案为：316.已知O 为ABC 的外心，6,4BC BO AC =⋅=，当C ∠最大时，AB 边上的中线长为_________．【答案】【解析】【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到228a c -=，再利用余弦定理与基本不等式求得C ∠最大时b 的值，从而得解.【详解】取AC 中点D ，连接OD BD 、，则DO AC ⊥，则()()()142BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=，所以228BC BA -= ，即228a c -=，又6BC = ，所以6a =，c =则22228cos 212123a b c b C ab b b +-+==≥=，当且仅当28b =，即b =时取等号，此时角C 最大，同时222a b c =+，所以90A =︒，所以AB边上中线长为CE ===.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化BO AC ⋅ ，得到228BC BA -= ，从而得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ．（1）如图1，如果E F 、分别是BC DC 、的中点，试用,a b 分别表示,BF DE .（2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a b ，表示AG .【答案】（1）12BF b a =- ，12DE a b =- （2）1344AG a b =+ 【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.【小问1详解】因为,E F 分别是,BC DC 的中点，所以1122BF BC CF AD AB b a =+=-=- ，1122DE DC CE AB AD a b =+=-=- .【小问2详解】因为O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，所以()3344BG BD AD AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()3131344444AG AB BG AB AD AB AB AD a b ∴=+=+-=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r .18.已知||2a = ，||1b = ，(23)(2)17a b a b -⋅+= .（1）求a 与b 的夹角和a b + 的值；（2）设2c ma b =+ ，2d a b =- ，若c 与d 共线，求实数m 的值.【答案】（1）a 与b 的夹角为23π，a b += ；（2）4m =-.【解析】【分析】（1）根据(23)(2)17a b a b -⋅+= 求出1a b ⋅=- ，根据数量积关系求出夹角，a b += （2）根据共线定理必存在λ使得：()2,2c ma d b b a λλ=+-= ，求解参数.【详解】（1）||2a = ，||1b = ，(23)(2)17a b a b -⋅+= ，2243417a b a b --⋅= ，163417a b --⋅= 1a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，所以a 与b 的夹角为23π，a b +== ；（2）由（1）可得：a 与b不共线，2c ma b =+ ，2d a b=- ，若c 与d 共线，则必存在λ使得：()2,2c ma d b b a λλ=+-= ，所以2,2m λλ==-，得4m =-.【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.19.如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =.（1）用向量AB 、AC 表示DE；（2）设6AB =,4AC =,60A =︒,求线段DE的长.【答案】（1）1162AB AC +.【解析】【详解】试题分析:（1）现将DE 转换为DB BE + ，然后利用题目给定的比例，将其转化为以,AB AC为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量DE 两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得DE .试题解析：（1）由题意可得：21DE DB BE AB BC 32=+=+ ()21AB AC AB 32=+- 11AB AC62=+ （2）由11DE AB AC 62=+ 可得：2222211111|DE |DE AB AC AB AB AC AC623664⎛⎫==+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 22111664cos60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=.故DE =20.已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---（1）化简()f α；（2）若()513f α=，()35f αβ-=-，且0πα<<，0πβ<<，求()f β.【答案】（1）()cos f αα=（2）()6365f β=-【解析】【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【小问1详解】()()()()()π3πsin cos tan πcos sin tan 22cos tan πsin πtan sin f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===---；【小问2详解】()55cos 1313f αα=⇒=，因为0πα<<，所以π02α<<所以12sin 13α===，()()33cos 55f αβαβ-=-⇒-=-，因为π02α<<，0πβ<<，所以ππ2αβ-<-<，因为()3cos 05αβ-=-<，所以ππ2αβ-<-<-，于是()4sin 5αβ-===-所以()()()()cos cos cos cos sin sin f ββααβααβααβ⎡⎤==--=-+-⎣⎦531246313513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21.已知函数()ππ2sin cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()1g x m -=在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，求实数m 的取值范围．【答案】21.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z22.{}11⎡⎤⋃⎣⎦【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简()f x ，利用整体代换法即可解出()f x 的单调递增区间；（2）先结合条件将问题转化为“π1sin 232m x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解”，然后分析πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调性以及函数值，从而列出关于m 的不等式，由此求解出结果.【小问1详解】函数()ππ2sin cos cos44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 22sin 222sin 223x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令,ππ22223π2ππk x k -≤+≤+k ∈Z ，π5,12πππ12k x k ∴-≤≤+k ∈Z ，函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z .【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()πππ2sin 22sin 2333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，若关于x 的方程()1g x m -=在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，即π2sin 213x m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，即π1sin 232m x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ππ2π2,333x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ2,332x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭时，单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，而πsin 32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，πsin 12=，2πsin 32=，1222m +∴-≤≤或112m +=，解得11m ≤≤或1m =，即实数m 的取值范围为{}11⎡⎤--⋃⎣⎦．22.如图所示，在等腰直角OAB 中，π,2AOB OA M ∠==为线段AB 的中点，点,P Q 分别在线段,AM BM 上运动，且π4POQ ∠=，设AOP θ∠=.（1）设()PM f θ=，求θ的取值范围及()fθ；（2）求OPQ △面积的最小值.【答案】（1）()ππtan ,0,44fθθθ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（21-【解析】【分析】（1）根据条件得π1,,4OM AOM OM AB ∠==⊥，即可得π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在Rt OMP 中，利用tan PM OM POM ∠=⋅即可求出结果；（2）根据条件得到11tan tan 21tan OPQ S θθθ-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭ ，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为OAB 为等腰直角三角形，OA M =为线段AB 的中点，所以π1,,4OM AOM OM AB ∠==⊥.因为点P 在线段AM 上运动，所以π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为AOP θ∠=，所以ππ,tan tan 44POM PM OM POM θθ⎛⎫∠=-=⋅∠=- ⎪⎝⎭，所以()ππtan ,0,44f θθθ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【小问2详解】因为π4POQ MOA ∠=∠=，所以,tan tan QOM QM OM QOM ∠θ∠θ==⋅=，所以πtan tan 4PQ PM QM θθ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，所以11π11tan tan tan tan 22421tan OPQ S PQ OM θθθθθ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121tan 11tan 22121tan 21tan 2θθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++-≥=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当[]tan 10,1θ=-∈时，等号成立，所以OPQ △1-.。
重庆市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案
高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
【新结构】2023-2024学年重庆市康德卷高一下学期期末联合检测数学试卷+答案解析
【新结构】2023-2024学年重庆市康德卷高一下学期期末联合检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则()A. B.1 C. D.22.，，，，，，，，，，，，的第60百分位数是()A. B. C. D.3.在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A.若空间四点共面，则其中必有三点共线B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D.若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为()A. B. C. D.6.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.在中，，，，且，，则()A. B. C. D.8.已知正方体，F为的中点，过作平面满足条件，则截正方体所得截面为()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一个不透明袋中装有2个红球、2个白球每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同，从中不放回依次抽取2个球，记事件A为“第一次取的球为红球”，事件B为“第二次取的球为白球”，则()A. B.A，B为对立事件C.A，B为相互独立事件D.抽取的2个球中至多1个白球的概率为10.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则()A.B.C.满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是D.满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是11.对棱相等的四面体被称为等腰四面体，现有一等腰四面体ABCD，，，，则下列说法正确的是()A.该四面体各面均是全等三角形B.该等腰四面体的面可以是直角三角形C.若E为AB中点，F为CD中点，则，D.该四面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2021-2022学年重庆市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ，又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立，当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( ) A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ；（2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点． AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥， 因为BCPB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=， 由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ； （2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-，所以2222222222m m m m mPC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m mPD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-，1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===，所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m mCB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+-224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ， 又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立， 当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( )A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确．〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ； （2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点．AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =， 所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥，因为BC PB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=，由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ；（2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-， 所以2222222222m m m m m PC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m m PD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-， 1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===， 所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m m CB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+- 224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h 因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．。
2022-2023学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学试题 PDF版答案
高2025届高一（下）数学期末考试参考答案一、单选题12345678ADADBCCD1.【答案】A【详解】由题知，这个人体重减轻的概率为59100.故选：A 2．【答案】D【详解】在复平面内，复数85i z -=对应的点81(,)55-位于第四象限.故选：D3【答案】A【详解】在ABC 中，最大角为角C ，222222121317313289cos 022910180a b c C ab +-+--===>⨯⨯.所以角(0,)2C π∈，则三角形为锐角三角形，故选：A 4【答案】D【详解】【详解】因为甲，乙通过面试的概率都是45，且两人通过面试相互之间没有影响，所以他们只有一人通过面试的概率为4444811555525⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:D5．【答案】B【详解】由图象知，函数的最小正周期24433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2π14π2ω==，A =，由五点对应法则代入2π3⎛ ⎝12π23ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即12ππ2π,Z 232k k ϕ=⨯++∈，因为π||2ϕ<，解得π6ϕ=，所以()1π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1π226f x x θθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭为偶函数，有π()262k k Z θππ+=+∈，22()3k k Z πθπ=+∈，当41,3k πθ=-=-，故选：B 6．【答案】C【详解】因为//,//a a b α，所以b 与平面α平行或直线b 在平面α内，A 错误，C 正确；对选项B ，当c αβÇ=，且////a c b ，此时也符合//,b a ββ⊄，所以B 错误，当b α⊂，此时不存在平面β与α，D 不正确.故选：C 7.【答案】C【详解】在三角形ABP 中，180ABP γβ∠=-+ ，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=---∠=----+=- ，正弦定理：sin sin AP ABABP APB=∠∠，所以sin sin()sin sin()AB ABP AB AP APB γβγα∠-==∠-，sin sin()sin 45sin 41sin 20041186.12sin()sin 30PQ AP AB αγβαγα-===⨯=≈-，故选C ，8.【答案】D【详解】由222||||||24a b a b a b -=+-⋅= ，所以25||22a b b ⋅=- ，又非零向量,a b 不共线，所以||,||,||a b a b -为三角形三边，所以||||||||||a b a b a b +>->- ，所以3||2||b b >> ，22||3b >> ，258||2(,8)29a b b ⋅=-∈- 选D二、多选题9101112ABABDABDBCD9．【答案】AB【详解】由图可知，[)40,500.05f =，[)50,6010f x =，[)60,700.2f =，[)70,800.3f =，[)80,900.25f =，[]90,1000.05f =，由频率之和为1可得100.15x =，故0.015x =；所以选项A 对；因为[]90,10050.05f N==，所以100N =，所以选项B 对；由[)[)[)40,5050,6060,700.4f f f ++=，所以中位数位于区间[)70,80，设中位数为a ，则(70)0.030.1a -⨯=，解得73.33a =，所以选项C 错；平均数为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以选项D 错；综上所述，AB 正确，而CD 错误；故选：AB 10．【答案】ABD【详解】依题意，113i z =-，则112z OZ ==，故A 正确；又113i z =+，()21223i z =-+，21223i z =--，21223i z =-+，即()2211z z =，故B 正确；对于选项C:2211||1||z z z z ==，故C 错误；由复数几何意义知D 选项对，故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】由题意π43sin cos 2sin 63ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)2πα∈，知2(,)663πππα+∈，当2(,)633πππα+∈时，π3sin (,1]62α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而π23sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以(0,)6πα∈所以7cos(2)6πα+，则2πcos 1sin 635(6παα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭），则πππ45sin22sin cos 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22πππ1cos2cos sin 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以24102sin 2sin(2())[sin(2())cos(2())]126426618πππππαααα-⎛⎫+=+-=+-+= ⎪⎝⎭.故答案为ABD12．【答案】BCD【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则491317AP =+=<，故A 错误；对于B ，当'1PC =，所以'BPB 中，''5,2PB BP BB ===，则'2sin 5PBB Ð=，设'BPB 外接圆半径为r ，则由正弦定理知：''52sin 2PB r PBB ==Ð，则54r =，又'AB BPB ^，设三棱锥B ABP '-的外接球半径为R ，则2222541()121616AB R r =+=+=，所以三棱锥B ABP '-的外接球表面积24144S R ππ==，故B 正确；对于C ，如图：因为DD '平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，所以AC ⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B '.所以AC BD '⊥'，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A ⋂'=，AC ，AB '⊂平面ACB '.所以BD '⊥平面ACB '.所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊄平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，所以//PG 平面ACB '，同理可得//GF 平面ACB '.则平面//PGF 平面ACB '.设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且12PC '=，可得13,||22DG DF AF AE ====，所以33242EF A D ='=，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，所以平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '.PCH D DH ~' ，所以34PH PC HC D H DD DH ''===.ICH ADH ~ ，所以34CI HC IH DA DH AH ===，所以34PH IH PI D H AH AD ='=='，所以//PI AD '，且PI AD ≠'，所以截面AIPD '为梯形，141742AI PD ==+='，所以截面AIPD '为等腰梯形.所以'117233733()22288AIPD S AD BP h '=⨯+=⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD.三、填空题1314151642i-+382921213．【答案】42i-+【详解】由题知：(1,2),(3,4)OA OB ==- ，则(4,2)AB OB OA =-=-，对应复数为42i-+14.【答案】38【详解】由2(sin cos )12sin cos αααα+=+，则112sin 24β=-，所以3sin 28β=。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题 1．已知复数12iz i=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．15B ．15iC ．25D ．25i2．直线350x +=的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π43．已知向量a r 与b r 满足2,a b ==r r ，且a r 与b r的夹角为π6，则2a b -=r r （ ）A ．3BC ．2D 4．如图，在三棱锥-P ABC 中，2,PM MC N =u u u u r u u u u r 为BC 的中点，设,,AB a AC b AP c ===u u u r u u u r u u u r r r r，则用,,a b c r r r表示MN u u u u r 为（ ）A ．1136a b c +-r r rB ．111263a b c --r r rC ．1126a b c --r r rD ．111323a b c --r r r5．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足222,b a c ac ABC =+-V 则b 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．庑殿顶是中国古代殿宇建筑屋顶的常见样式，屋顶包含一条正脊､四条垂脊，四个屋顶面.已知南开中学午晴堂侧楼屋顶为庑殿顶样式，整个屋顶长20m ，宽7.2m ，正脊长12.8m ，四个屋顶面坡度均为1:2.4，其中坡度是指坡面的垂直高度和水平宽度的比值，则午静堂侧楼屋顶面积为（ ）A ．2144mB ．2156mC ．2169mD ．2172m7．如图，已知圆台12,O O AB 为上底面圆1O 的一条直径，且2,AB CD =是下底面圆2O 的一条弦，260CO D ∠=o，矩形ABCD 的面积等于 ）A ．B ．C ．D ．8．已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ，BA u u u r 在BC u u ur 上的，则cos A =（ ）A B C D二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．对于平面,,,,,a b c αβγαβαγβγ⋂=⋂=⋂=，若//a b ，则//b cB ．对于平面α和直线,a b ，若,//a b b α⊥，则a α⊥C ．对于平面,αβ和直线,a b ，若,a b a ⊥P ,b αP β，则αβ⊥D ．对于平面,αβ和直线a ，若,,a a βαβα⊥⊥⊄，则a P α10．已知圆22:10C x y mx ny +--+=，圆心C 关于直线:1l y x =-+对称点为()1,0,,A M N -为圆C 上两点，且满足12AM AN ⋅=u u u u r u u u r ，点O 为坐标原点，则下列正确的是（ ） A ．2,4m n ==B ．y 轴与圆C 相切C ．线段MN 的中点轨迹为圆D ．MN 11．如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为11A B 的中点，动点Q 满足()1,,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．平面1B DQ ⊥平面1ACDB ．直线PQ 与平面11CCD D 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．设1CD ⋂平面1BPD Q =，则三棱锥1P ACQ -的体积为83D ．以11CC D △的边1CD 所在直线为旋转轴将11CC D △旋转，则在旋转过程中，则1PC 的取值范围是⎡⎣三、填空题12．已知直线()1:230l a x y -+-=和直线2:10l x ay ++=垂直，则实数=a . 13．已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为线段AC 的中点，π,23B BD c a ==+u u u r ，则sin sin ABD CBD ∠∠=. 14．已知三棱锥S ABC -中，,,22AB BC SC BC AB BC ⊥⊥==，三棱锥S ABC -的体积为23，则当SA 取最小值时，三棱锥S ABC -外接球的体积为.四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c )cos sin c b A b A -=.(2)若3,a b ==ABC V 的面积.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中12,,AB BC CC AC M N ====分别是11,AB B C 的中点.(1)求证：//MN 平面11ACC A ；(2)求异面直线1A B 与MN 所成角的余弦值.17．已知圆222:220C x y ax by a +--+=满足：①1,0a b >>；②与圆22:1O x y +=外切；③被直线1x =分成两段圆弧，其弧长的比为1:2. (1)求圆C 的方程；(2)若直线l 与圆C 相交于,M N 两点，四边形OCNM 为平行四边形，求直线l 的方程. 18．已知在平行四边形ABCD 中，E 是CD 边上一点，且满足3,2CE ED CAE DAE ∠∠==，2AD DE DC =⋅.(1)求DAE ∠的大小；(2)现以AC 为折痕把ACD V 折起，使点D 到达点P 的位置，且AE BE ⊥.如图： （i ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ； （ii ）求平面EAB 与平面PAB 夹角的余弦值.19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且π3,4,,3AB AD DAB M ∠===为BC 的中点，点P 在平面ABCD 内的射影为点H ，且(1)求证：PA DM ⊥；(2)当PAB V 为等边三角形时，求点H 到平面PBC 的距离；(3)若(PA m m PAH ∠θ=>=，记三棱锥P ABH -的外接球表面积()f θ，当函数()f θ取最小值时，平面BPC 与平面DPC 夹角的大小为π2θ-，求实数m 的值.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．A
【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出【详解】圆C：224
+-+
x y x
则圆心()
C-，半径为13
2,3
由()()
-+++-
m x m y m
2123
对于D ，当1l m +=时， AQ =在1DD 上取AQ DE =，在1BB 上取则四边形PEQF 为平行四边形，
则几何体111FQA B PED C -的体积为正方体体积的一半，即令1AQ C P t ==，则1
1AQ D E ==
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题，
（1）三条棱两两互相垂直时，可
求出球的半径；
（2）直棱柱的外接球可利用棱
圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
12．18π
又
1
2 MA MQ QA nBQ
=+=-uuu r uuuu r uuu r uuu r
()
2
3
1
1
32
m
n
m
n
ì
=-
ïï
í
ï=-ïî，解得
m
n
ì
=
ïï
í
ï
ïî。
2020-2021学年重庆市渝东八校高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年重庆市渝东八校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1D．﹣12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A．B．C．或D．1或﹣13．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A．B．C．9D．64．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3C．1：3D．1：95．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥βB．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2B．C．D．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sin A＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣4C．＝1﹣2i D．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGHB．四边形EFGH是矩形C．直线AC与底面BCD所成的角为30°D．底面与侧面所成的角为60°11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cos C＝，下列正确的是（）A．AD＝5B．C．△ABC为锐角三角形D．∠BAD可能为钝角12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心B．若，则点M在线段BC的延长线上C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝．15．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C ＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．21．在①3c sin A＝4a cos C，②2b sin c sin B这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sin C．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，M为B1C1的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1D．﹣1解：z＝＝．故选：A．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A．B．C．或D．1或﹣1解：∵向量＝（1，k），＝（k，2），∥，∴2﹣k×k＝0，求得k＝±，故选：C．3．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A．B．C．9D．6解：在△ABC中，由b＝3，c＝3，∠B＝60°，得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，即63＝a2+9﹣3a，∴a2﹣3a﹣54＝0，解得a＝﹣6（舍去），或a＝9．故选：C．4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3C．1：3D．1：9解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，故选：C．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥βB．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n与β不一定垂直，故A错误；B．若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故B正确；C．若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，故C错误；D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2B．C．D．解：由题意可知，每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为cm2，有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为cm2，所以石凳的表面积是＝．故选：B．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．解：因为△ABC的外接圆圆心为O，且，所以O为BC的中点，A为直角，∠B＝，则向量在向量上的投影为||cos＝＝||，所以向量在向量上的投影向量为．故选：A．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sin A＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：由B＝C﹣，得C﹣B＝，可得B为锐角，又sin A＝，∴sin（B+C）＝，则sin（2B+）＝，即cos2B＝，∴，解得cos B＝，则sin B＝．sin C＝sin（B+）＝cos B＝，由正弦定理，得b＝，c＝．∴＝．故选：C．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣4C．＝1﹣2i D．解：∵（1+i）z＝3﹣i，∴z＝＝＝＝1﹣2i，故AD正确，BC错误，故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGHB．四边形EFGH是矩形C．直线AC与底面BCD所成的角为30°D．底面与侧面所成的角为60°解：如图所示：由于在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，所以AD∥EF，由于EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，故A正确；过点A作AO⊥平面BCD，点O为平面BCD的中心，所以OB＝，所以OA＝，故直线AB与平面BCD所成的角为∠ABO，sin，解得∠ABO＝30°，故C正确；延长BO交CD于点G，故点G为CD的中点，连接AG，所以AG⊥CD，所以∠AGO为斜面与底面的夹角，由于AC＝4，CD＝3，所以AG＝，AO＝2，所以cos，故D错误；对于B：过点E作EH⊥BG，由于∠ABO＝30°，所以EH＝2×，BH＝，所以HG＝3，故EH＝，FG2+EF2＝32+22＝13＝EH2，故EF⊥FG，由于四边形EFGH为平行四边形，且EF⊥FG，故四边形EFGH为矩形，故B正确；故选：ABC．11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cos C＝，下列正确的是（）A．AD＝5B．C．△ABC为锐角三角形D．∠BAD可能为钝角解：A：在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2+CD2﹣2AD•CD•cos C＝36+16﹣2×6×4×＝25，∴AD＝5，∴A正确，B：∵cos C＝，C∈（0，π），∴sin C＝＝，在△ACB中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝，∴B正确，D：在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝＞0，∴∠ADC为锐角，又∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD，∴∠BAD为锐角，∴D错误，C：∵cos∠CAB＝﹣cos（∠B+∠ACB）＝﹣cos∠B•cos∠ACB+sin∠B•sin∠ACB＝﹣×+×＝＜0，∴C错误．故选：AB．12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心B．若，则点M在线段BC的延长线上C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形解：对于A，设BC的中点为D，若＝（+）＝×2＝，则点M是△ABC的重心，故A正确；对于B，若，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若，且x+y＝1，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确；对于D，因为，所以•（+）＝•（+），即•＝•，所以||||cos∠BAM＝||||cos∠CAM，因为，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．解：z＝i（1﹣2i）＝2+i，∴＝2﹣i，∴＝＝．故答案为：．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝﹣8．解：如图，过F作FG⊥AB于G，所以在上的投影向量为：，所以＝﹣||||＝﹣4×2＝﹣8．故答案为：﹣8．15．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．解：由a cos A＝b cos B，结合正弦定理可得，2sin A cos A＝2sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又A，B为三角形两内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝；又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2ab cos C，则cos C＝，∵C∈（0，π），∴C＝．∴△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．故答案为：等边三角形或直角三角形．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．解：设球的半径为R，由球的体积公式，得＝36π，∴R＝3，则正三棱柱的高h＝2R＝6．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：＝3，∴a＝6．∴该正三棱柱的体积为：V＝S底•h＝•a•a•sin60°•h＝162．故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．解：（1）∵z1＝1+3i，z2＝2+2i，∴z1z2＝（1+3i）（2+2i）＝2+2i+6i+6i2＝﹣4+8i，∴|＝|1+3i+2﹣2i|＝|3+i|＝＝．（2）由题意可知A（1，3），B（2，2），∴|AB|＝＝．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．解：（1）∵，∴；（2）∵，且与垂直，∴＝，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴θ＝π．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C ＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．解：（1）如图，连接AC，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝BC＝3km，∴根据余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝，∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km，∴（km）；（2）在△ADE中，，∠E＝120°，∴根据余弦定理，63＝AE2+DE2+AE•DE≥3AE•DE，当且仅当AE＝DE＝时取等号，∴AE•DE≤21，∴，∴所种植草坪的最大面积为km2．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．【解答】（1）证明：设A1C交平面AB1D1于点N，连接AN，因为D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1BD，DB⊂平面C1BD，可得D1B1∥平面C1BD，同理由AD1∥BC1，可得AD1∥平面C1BD，又D1B1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，因为OK是平面A1AC与平面C1BD的交线，所以OK∥AN，又AN⊂平面AB1D1，OK⊄平面AB1D1，所以OK∥平面AB1D1；（2）证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以∠DMC＝90°，即DM⊥MC，因为BC⊥平面DCC1D1，DM⊂平面DCC1D1，所以BC⊥DM，CB∩MC＝C，所以DM⊥平面BMC，因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．21．在①3c sin A＝4a cos C，②2b sin c sin B这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sin C．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．解：（1）若选择①3c sin A＝4a cos C，由正弦定理得①3sin C sin A＝4sin A cos C，因为sin A＞0，所以3sin C＝4cos C，则C为锐角，又sin2C+cos2C＝1，所以sin C＝；若选择②2b sin c sin B，则2b sin（）＝c sin B，即2b cos＝c sin B，由正弦定理得2sin B cos＝sin C sin B，因为sin B＞0，所以得2cos＝sin C＝2sin cos，因为cos≠0，所以sin＝，cos＝，所以sin C＝2sin cos＝2×＝；（2）由题意得∠BMC＝，cos∠BMA＝﹣cos∠BMC＝﹣sin∠C＝﹣，△BMA中，MA＝MB，由余弦定理得，﹣＝，解得MA＝MB＝，因为cos∠BMC＝＝＝，所以MC＝，又cos∠BMC＝，sin∠BMC＝，S△ABC＝S△MAB+S△MBC＝sin∠BMC，＝＝．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，M为B1C1的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值．解：（1）取BC中点N，连接A1N、AN、MN，因为A1在底面ABC的射影为BC的中点，所以A1N⊥平面ABC，又因为M为B1C1的中点，所以MN∥B1B，MN∥A1A，因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以AN＝BN＝CN＝，A1N＝，取AB中点D，连接DN、A1D，则DN∥AC，DN＝AC＝1，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥DN，又因为DN为A1D在平面ABC内投影，所以A1D⊥AB，A1D＝＝＝，所以该三棱柱的表面积为2S△ABC++＝2•+2•2•+2•4＝8+4+4．（2）由（1）知BC⊥AN，BC⊥A1N，所以BC⊥平面A1MN，因为BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1MN⊥平面BCC1B1，过A1作A1P⊥MN于P，又因为平面A1MN∩平面BCC1B1＝MN，所以A1P⊥平面BCC1B1，于是A1P＝＝＝，所以直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值为＝＝．。
重庆八中高一数学下学期期末考试试题（树人部）
重庆市树人中学校2021—2021学年度(下)期末考试高一年级数 学 试 题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.（1）圆012422=+--+y x y x 的圆心坐标是 （A ）)1,2(- （B ）)1,2( （C ）)1,2(- （D ）)1,2(-- （2）在等差数列}{n a 中，已知1093=+a a ，那么=6a（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （3）不等式01242<--x x 的解集为（A ）)6,2(- （B ）)2,6(- （C ）)6,2( （D ）),6()2,(+∞--∞ （4）在各项都为正数的等比数列}{n a 中,161232,a a a a a ==,那么公比q 的值为（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3（5）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边别离为c b a ,,，假设19,3,2===c b a ，那么=C（A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π（6）已知变量,x y 知足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么y x z +=2的最大值是（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4-（7）已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是 （A ）m n m n αα若，，则‖‖‖ （B ）αγβγαβ⊥⊥若，，则‖ （C ） m m αβαβ若，，则‖‖‖ （D ）m n m n αα⊥⊥若，，则‖． （8）已知数列}{n a 知足nn a a a +-==+11,111，那么=2014a（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）21-第（9）题图（9）某几何体的三视图如下图,那么该几何体的表面积为 （A ）219+ （B ）2417+ （C ）2219+ （D ）2217+（10）由直线2+=x y 上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，那么切线长的最小值为（A ）124- （B ）24 （C ）31 （D ）15 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上.（11）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边别离为c b a ,,，假设6,4,3===c C A ππ，那么=a.（12）假设直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，那么实数a 的值等于 . （13）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AD 异面的棱有 条.（14）假设数列{}n b 知足)1(1+=n n b n ，那么{}n b 的前n 项和=n S .（15）已知0,0>>y x ，且4x y xy +=，那么4x y +的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． （16）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且11=a .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和nS ；（II ）假设数列nn n a b 2+=，求数列}{n b 的前n 项和nT .（17）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知直线02:=++y x l 与圆9)1()1(:221=-+-y x C 相交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦长||AB ；（II ）假设圆2C 的圆心坐标为)5,4(，且圆1C 与圆2C 外切，求圆2C 的方程.第13题图1（18）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）备受注视的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳运动场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如下图）.要求矩形场地的一面利用运动场的外墙，其余三面用铁栏杆围，而且要在体育馆外墙对面留一个长度为m 2的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ），租用铁栏杆的总费用为y （单位：元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确信x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.（19）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问5分，在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边别离是a 、b 、（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）假设A CB a 2sin sin sin ,2==，求ABC ∆的面积S ． （20）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1111C B B A ⊥，21===BB BC AB ，M 是1BC 的中点. （Ⅰ）证明：⊥1BC 平面M B A 11； （II ）求三棱锥B B A M 11-的体积.（21）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 已知数列}{n a 知足*)(12,111N n a a a n n ∈+==+.（Ⅰ）证明：数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；（II ）设na b n n ⋅+=)1(,求数列}{n b 的前n 项和nS .重庆市树人中学校2021—2021学年度 (下)期末考试高一年级 数学试题（文科）参考答案命题：朱俊、曾文军 方明 打印：朱俊 校对：曾文军、朱俊一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目入口 第18题图M ACBA 1C 1B 1第18题图要求的.部份题目详解：（10）切线长311)24(||22222=-=-≥-=r d r PC l ，其中P 是直线上的点，C 是圆心，d 表示圆心到直线的距离，r 表示半径二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上.部份题目详解：（15）由4x y xy +=得：141=+x y ，于是y x x y y x y x y x ++=++=+168)14)(4(4 161628=+≥，当且仅当y xx y =16即y x 4=即2,8==y x 时取“=” 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. （16）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）解：（Ⅰ）依题意有：12)1(21-=-+=n n a n ，222)1(1n n n n S n =⨯-+⨯=（II ）依题意有：nn n b 2)12(+-=则)222()1231()212()23()21(2121n n n n n T ++++-+++=+-+++++=（17）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）解：（Ⅰ）依题意：圆心)1,1(到直线l 的距离222|211|=++=d故弦长22||221=-=d r AB （II ）依题意：圆心距5||21=C C ，而两圆外切53||22121=+=+=r r r C C ，解得22=r故圆2C 的方程为4)5()4(22=-+-y x（18）（本小题总分值13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）解：（Ⅰ）依题意有：)2272(100-+⨯=x x y ，其中2>x（Ⅱ）由均值不等式可得：)2144(100)2272(100-+=-+⨯=x x x x y2200)21442(100=-≥，当且仅当xx =144即12=x 时取“=”综上：当12=x 时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 （19）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 解：（Ⅰ）由余弦定理：A bc a c b cos 2222=-+，于是bc A bc =cos 2，得21cos =A ，即3π=A（Ⅱ）由于A C B 2sin sin sin =，再结合正弦定理可得：22==a bc于是：2323221sin 21=⨯⨯==A bc S（20）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）解：（Ⅰ）因为11BC B ∆为等腰三角形，M 是1BC 的中点，因此M B BC 11⊥① 又因为11BC A ∆为等腰三角形，M 是1BC 的中点，因此M A BC 11⊥② 由①②可得：⊥1BC 平面M B A 11（II ）由于⊥1BB 平面ABC ，因此111B A BB ⊥，又1111C B B A ⊥，因此⊥11B A 平面1BMB于是：111111131B A S V V BMB BMB A B B A M ⨯⨯==∆--能够计算：122212111=⨯⨯=⨯⨯=∆MB BM S BMB ，211=B A因此：32213111=⨯⨯=-B B A M V （21）（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）解：（Ⅰ）因为21112111=+++=+++n n n n a a a a （常数）因此数列}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 于是：n n a 21=+，即12-=n n a（II ） 依题意有：nn n b 2⋅=，下面利用错位相减法来求和两式相减得：1322)222(12+⨯-+++⨯+=-n n n n S因此：1(1)22n n S n +=-⨯+。
2021-2022学年重庆市渝北区高一(艺术班)下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年重庆市渝北区高一（艺术班）下学期期末数学试题一、单选题1．下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（ ）A ．众数B ．极差C ．方差D ．标准差【答案】A【分析】利用众数、极差、方差、标准差的定义直接求解．【详解】解：对于A ，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能能反映样本数据的离散程度大小，故A 错误；对于B ，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故B 正确；对于C ，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C 正确；对于D ，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D 正确．故选：A ．2．已知向量，，，且，，则(),2a x =()2,b y =()2,4c=-//ac b c ⊥a b -=A ．3BCD ．【答案】B【解析】根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.440440x y --=⎧⎨-=⎩,x y 【详解】因为向量，，，且，，(),2a x =()2,b y =()2,4c =-//a c b c ⊥ 所以，解得：，即，，440440x y --=⎧⎨-=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,2a =- ()2,1b = 所以，因此(3,1)a b -=-a -= 故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.3．某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．4月至7月的月平均计划销售额为22万元B ．4月至7月的月平均实际销售额为27万元C ．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D ．这4个月内，总的计划销售额没有完成【答案】C【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为，故错误；()1451520253042⨯+++=B.4月至7月的月平均实际销售额为，故错误；()5520302040421+++=⨯C.4月至7月的月实际销售额的中位数为，故正确；()12030252⨯+=D.因为，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；554522>故选：C.4．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则22:14x C y +=F ():0l y kx k =≠C ,A B 的值是AF BF+A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定2,F 22,,AF BF 2AFBF 义得到=2a 得解.AF BF+详解：设椭圆的右焦点为连接2,F 22,,AF BF 因为OA=OB,OF=O ,所以四边形是平行四边形.2F 2AFBF 所以,2BF AF =所以=|AF|+=2a=4,AF BF+2||AF 故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.2AFBF 5．如图在梯形中，，，设，，则（ ）ABCD 2BC AD =DE EC =BA a = BC b = BE =A ．B ．1124a b +1536a b +C ．D ．2233a b + 1324a b + 【答案】D【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，，2BC AD =DE EC =所以，()()111113222224BE BD BC BA AD BC BA BC BC BA BC⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭又，，BA a = BC b =所以.1324BE a b+= 故选：D.【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.6．已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）()()4,8,2,4A B -C 1yx =+AC BC+A ．B ．9C D ．10【答案】C【分析】根据给定条件求出B 关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.1y x =+【详解】依题意，若关于直线的对称点，()2,4B 1y x =+(,)B m n '∴，解得，41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩33m n =⎧⎨=⎩∴，连接交直线于点，连接，如图，(3,3)B 'AB '1y x =+C 'BC '在直线上任取点C ，连接，显然，直线垂直平分线段，1y x =+,,AC BC B C '1y x =+BB '则有，当且仅当点与重合时取等||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+C C '号，∴，故的最小值为.min ()||AC BC AB '+=AC BC+故选：C7．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1:3为（ ）A ．B ．CD ．161030【答案】A【分析】设上底面边长为，则下底面边长为，根据勾股定理求出，再根据勾x 3x 1x =股定理求出侧面等腰梯形的高为，最后根据梯形的面积公式可求出结果.2【详解】设上底面边长为，则下底面边长为，x 3x，下底面正方形对角线长为，，解得，)222=+1x =，2=所以该棱台的侧面积为.()141322⨯+⨯=16故选：A.8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得221)68):((C x y -+-=(,0)A m -(,0)(0)B m m >C P ，则的最大值为（ ）．90APB ∠=︒m A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】首先根据题意得到若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有C P 90APB ∠=︒AB O C 交点.从而得到圆与圆内切时，取得最大值，再求最大值即可.O C m 【详解】圆，圆心，半径.221)68):((C x y -+-=()6,8C 1r =若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.C P 90APB ∠=︒AB O C 如图所示：当圆与圆内切时，取得最大值.O C m.max 1111m CO =+=故选：D二、多选题9．设复数，则（ ）13i1i z -=+A ．|z |=B ．z 的虚部为2C ．12iz =-D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【答案】AD【分析】利用复数的除法化简复数，即可判断各选项的正误.【详解】由，对应点位于第三象限，13i (13i)(1i)12i 1i 2z ---===--+所以z 的虚部为-2，．|z |=12i z =-+故选：AD10．设m ，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）,αβA ．若，则B ．若，则//,m n m α⊥n α⊥,//m n m α⊥n α⊥C ．若，则D ．若，则//,m αβα⊥m β⊥,m αβα⊥⊥//m β【答案】AC【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误.【详解】对于A ，因为，所以，A 正确；//,m n m α⊥n α⊥对于B ，因为时，也可以平行，所以B 错误；,//m n m α⊥,n α对于C ，因为，所以，C 正确；//,m αβα⊥m β⊥对于D ，因为时，直线也可能在平面内，所以D 错误；,m αβα⊥⊥m β故选：AC.11．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）．:10l kx y k --+=22:4O x y +=A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．直线l 与圆O 相交C ．当时，直线l 被圆O 截得的弦长为21k =D ．直线l 被圆O 截得的最短弦的长度为【答案】BD【分析】把直线方程变形为，即可求出直线过的定点，从而判断选10kx y k --+=()11y k x -=-l 项A ；根据定点在圆内，可判断选项B ；把代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直1k =径，从而判断选项C ；根据点为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，从而可判断选项()1,1P D.【详解】直线整理得，故直线过定点，故A 错误；:10l kx y k --+=()11y k x -=-()1,1P 由于点在圆O 内，故直线l 与圆O 相交，B 正确；()1,1当时，直线过圆心O ，故直线l 被圆O 截得的弦为直径，其长为4，C 错误；1k =:0l x y -=当点为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，()1,1P此时的弦长为D 正确．=故选：BD ．12．在边长为4的正方形中，如图1所示，，，分别为，，的中点，分ABCD E F M BC CD BE 别沿，及所在直线把，和折起，使，，三点重合于点，得AE AF EF AEB △AFD △EFC B C D P 到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）P AEF -A ．PA EF⊥B ．三棱锥的体积为4M AEF -C ．三棱锥外接球的表面积为P AEF -24πD ．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为M P AEF -π【答案】ACD【分析】根据线面垂直可判断A ；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B ；求得三棱锥外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C ；将三棱锥补成长方体，确定P AEF -P AEF -最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【详解】对于A ：由题意知平面 ，,,,,AP PE AP PF PE PF P PE PF ⊥⊥=⊂ PEF 所以 平面，平面，所以 ，故A 正确；AP ⊥PEF EF ⊂PEF PA EF ⊥对于B ：,4,2,PA PE PF PE PF ===⊥因为M 为的中点，所以,BE 111114224222323M AEF P AEF A PEF V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=故B 错误；对于C ：因为两两垂直，,,PA PE PF 故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等，P AEF -2,2,4故其外接球半径R ==故外接球表面积，故C 正确；24π24πS R ==对于D ：将三棱锥补成如图所示长方体，，P AEF -4,2PA PE PF ===设长方体外接球球心为O ，即为三棱锥的外接球球心P AEF -过点M 的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，P AEF -最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，OM ==此时截面圆半径为 此时截面圆的面积为 ，1,r ===2ππr =所以过点M 的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为，故D 正确,P AEF -π故选：ACD三、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，6:5:4若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为________.【答案】45【分析】计算出高一年级学生人数占全部年级人数的比例，根据其抽取的人数，可求得结果.【详解】由题意得;高一年级学生人数占比为 ，626545=++故根据按年级用分层抽样的方法抽取若干人，抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为 ，218455÷=故答案为：4514．已知非零向量满足，则与的夹角为__________.,a b a b a b +=- a b 【答案】2π【分析】直接把两边同时平方化简即得解.a b a b+=-【详解】因为，a b a b+=- 所以，222222()(),22a b a b a a b b a a b b →→→→→→→→→→→→+=-∴++=-+ 所以.=0a b a b →→→→∴⊥ ，所以与的夹角为.a b2π故答案为：2π15．在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，A,B,C A,B,C 121314且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】16【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统A,B A,B 正常工作的概率.【详解】由题意可知都不工作的概率为，A,B 111(1233--=所以至少有一个能正常工作的概率为，A,B 12133-=故这个系统正常工作的概率为，211346⨯=故答案为：1616．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M 的中点，则椭圆的离心率为_____．AB C【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，()11,x y ()22,x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=∵M 是线段AB 的中点，∴，∵直线AB 的方程是，12121,122x x y y ++==()1112y x =--+∴，∵过点M （1，1）作斜率为的直线与椭圆C ：（a ＞b ＞0）相()121212y y x x -=--12-22221x y a b +=交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得，即22221212220x x y y a b --+=2221202a c b a b ⎛⎫+-⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭c e a ∴==【解析】椭圆的简单性质四、解答题17．在中，角，，所对的边分别为，，，若，．ABC A B C a b c c =1b =120C =(1)求的大小；B (2)求的面积ABC S 【答案】(1)；30.【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角，再由三角形的面积公式即可求解.A【详解】（1）在中，，，ABC c =1b =120C =由正弦定理得即，sin sin b c B C =1si n B =1sin 2B ==因为，所以，b c <B C <因为，所以060B << 30B = （2）因为，所以，180A B C ++= 1801803012030A B C =--=--=所以的面积为.ABC 11sin 1sin 3022S bc A ==⨯=18．如图，在正方体中，是的中点，是的中点.1111ABCD A B C D -M 1AD N 1DC(1)求证：平面；MN ABCD (2)求证：.11D B B C ⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，易得，根据线面平行的判定定理即可得证；1,AC D C MN AC ∥（2）根据正方体的结构特征可得，平面，则有，再根据线面11BC B C ⊥11C D ⊥11BCC B 111C D B C ⊥垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证.1B C ⊥11BC D 【详解】（1）证明：连接，1,AC D C 则与互相平分，1DC 1CD 因为是的中点，是的中点，M 1AD N 1DC 所以点为的中点，N 1D C 所以，MN AC ∥又平面，平面，AC ⊂ABCD MN ⊄ABCD 所以平面；MN ABCD （2）证明：连接，111,,BD BC B C 在正方体中，1111ABCD A B C D -，平面，11BC B C ⊥11C D ⊥11BCC B 因为平面，1B C ⊂11BCC B 所以，111C D B C ⊥又，平面，1111C D BC C ⋂=111,C BC D ⊂11BC D所以平面，1B C ⊥11BC D 又平面，1BC ⊂11BC D 所以.11D B B C ⊥19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方5,6法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】(1)，71.6770.5(2)35【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，5,6根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）设中位数为x ,平均数为,x 因为前三个矩形面积为，()0.0100.0150.020100.45++⨯=故，解得；()()0.0100.0150.02010700.0300.5x ++⨯+-⨯=71.67x ≈.()10450.010550.015650.020750.030850.0159705510.0.0x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）人，人,即第五组有30人，第六组有20人,2000.0151030⨯⨯=2000.011020⨯⨯=人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,30533020⨯=+20523020⨯=+设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 ,,,a b c ,D E 则共有抽法为，共10种，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a D a E b c b D b E c D c E D E 其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．63105=20．已知圆C 的圆心C 在直线上，且圆C 过，两点，32y x =+()0,0A ()2,2B (1)求圆C 的标准方程；(2)过点作圆C 的切线l ，求切线l 的方程.()3,0【答案】(1)()2224x y +-=(2)或0y =125360x y +-=【分析】（1）求出线段的中垂线方程，和直线，即求得圆心坐标，接着求得半径，可AB 32y x =+得答案；（2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案.【详解】（1）∵，∴线段的中垂线斜率为.1AB k =AB -1又线段的中点为，∴线段的中垂线方程为，即.AB ()1,1AB ()11y x -=--2y x =-+由可得,即，∴半径为，2,32,y x y x =-+⎧⎨=+⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,2C 2AC =∴圆C 的标准方程为.()2224x y +-=（2）由题知，切线l 的斜率存在，设切线l 的斜率为k ，则，即.():3l y k x =-30kx y k --=，解得，,210k =2125k =-∴l 的方程为或.0y =125360x y +-=21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FA x AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛ ⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛= ⎝)CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m = 则cos ,n m n m n m ⋅== 所以二面角的余弦值为A PBC --【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．已知椭圆的离心率，点在椭2222:1(0)x yS a b a b +=>>e =12F F 、(2,P 圆S 上，过的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点.2F(1)求椭圆S 标准方程；(2)求的面积的最大值.1ABF 【答案】(1)22184x y +=(2)【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；,,a b c （2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然:2l x my =+1121212ABF S F F y y =-1ABF 后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.1ABF 【详解】（1）解：设椭圆S 的半焦距为，(0)c c >由题意解得22222,21,c a a b c a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆S 的标准方程为；22184x y +=（2）解：由（1）得，12(2,0)(2,0)F F -、设，代入，得，:2l x my =+22184x y +=()222440m y my ++-=设，则，()()1122,,A x y B x y 、12122244,22m y yy y m m +=-=-++∴，1y-==∴，当且仅当即时，等1121212ABF S F F y y=-=≤= 211m +=0m =号成立，故的面积的最大值为1ABF。
重庆市第十八中学高一下学期测试数学试题(含答案)
重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期定时测试（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点(3,4)P 是角α的终边上一点，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C D 2．将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．12x π=B ．6x π=-C ．3x π=-D ．12x π=-3．已知R 为实数集，集合211A xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，1242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}13x x -<≤B ．{}23x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -<<4．“01x <<”是“2log (1)1x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2= a ，1= b ，向量a 与b 的夹角为120°，若ka b + 与2a b -垂直，则k 的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．12-D ．126．在ABC 中，1,6a b B π===，则A =（ ）A ．3πB ．6π或56πC ．23πD ．3π或23π7．在ABC 中，1,3BD BC E = 为AD 的中点，若,AB a AC b == ，则BE =（ ）A ．2136a b -+B ．2136a b+C ．1263a b-D ．2136a b-8．在t ABC R 中，90,2,4∠=== A AB AC ，D 为BC 的中点，点P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB PC ⋅的取值范围为（ ）A ．[]5,0-B ．[]3,0-C ．[]0,3D ．[]0,5二、多选题9．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则（ ）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=10．若平面向量(),2a n =，()1,1b m =- ，其中n ，R m ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若()22,6a b += ，则//a bB ．若2a b =- ，则与b 同向的单位向量为C ．若1n =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．若a b ⊥，则24n m z =+的最小值为411．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45,60BAC ABC ∠=︒∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题12．已知π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．设e为单位向量，2a = ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为 .14．设平面向量12a e e =+ ，123b e e =+ ，其中12e e，为单位向量，且满足12e 则2cos ,a b 的最小值为 .四、解答题15．已知函数()22sin cos f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期和对称轴;(2)求()f x 在[]0,πx ∈上的单调递增区间.16．已知向量12,e e ，且121e e == ，1e 与2e 的夹角为π3，1221,32m e e n e e λ=+=-．(1)求证：()1222e e e -⊥；(2)若||||m n =，求λ的值；(3)若m与n 的夹角为π3，求λ的值．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos sin b A A a c =+．(1)求B ；(2)若ABC 的中线BD 长为ABC 面积的最大值．18．若 ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，(1)求值：2222a b c +(2)从下列条件①，条件②，条件③三个条件中选择一个作为已知，求cos C 的值，条件①223sin sin 0A A C C -=；条件②若cos B =；条件③若tan tan A C +=19．在ΔABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且2AO OC =，设AB =a，AC =b(1)试用a ，b表示AR ；(2)若2,1,,60a b a b ===︒，求∠ARB 的余弦值(3)若H 在BC 上，且RH ⊥BC 设2,1,,a b a b θ=== ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求CH CB的范围.参考答案：1．B 【分析】利用三角函数的定义，结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为点(3,4)P 是角α终边上一点，所以3c 5os α==，4sin 5α==，所以ππsin sin cos 66αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π431cos sin 6552α=+⨯=，故选：B ．2．B 【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(213y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B 3．C【分析】图中阴影部分表示R B A ，根据分式不等式求出A 的解集，利用指数不等式求出B 的解集，进而求出结果.【详解】图中阴影部分表示R B A ，由211x <-，得1x <或3x >，所以{}R 13A x x =≤≤ ，由1242x <<，解得12x -<<，所以{}12B x x =-<<，故{}R 12B A x ⋂=≤< ，故选：C ．4．A【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得.【详解】因为2log (1)111x x +<⇔-<<，所以(0,1) (1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件.故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.5．D【分析】由ka b + 与2a b -的数量积为0可求得k ．【详解】因为ka b + 与2a b -，所以()ka b +⋅ (2)a b -=2222(12)22(12)21cos12021ka k a b b k k +-⋅-=⨯+-⨯⨯⨯︒-⨯ 0=，解得：12k =．故选：D ．6．D【分析】根据大边对大角可得A >B ，结合正弦定理和三角形内角的范围即可得出结果.【详解】在ABC 中，根据大边对大角可得A >B ，1sin 6π=，所以sin A =，故3A π=或23π.故选：D 7．A【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】BE BD DE=+12BD DA=+ ()12BD DB BA=++ 111232BC AB =⨯-()1162AC AB AB =--1263AC AB =-2136a b =-+ .故选：A.8．A【分析】以A 为坐标原点，,AC AB 为,x y 轴的正方向建立平面直角坐标系，()01λλ=≤≤ AP AD ，求出P 点坐标可得PB PC ⋅，利用二次函数的单调性可得答案.【详解】以A 为坐标原点，,AC AB 为,x y 轴的正方向建立平面直角坐标系，所以()()()0,0,0,2,4,0A B C ，因为D 为BC 的中点，所以()2,1D ，()2,1AD =，设()01λλ=≤≤ AP AD ，所以()()2,12,λλλ== AP ，所以()2,λλP ，可得()()()0,22,2,2λλλλ=-=-- PB ，()()()4,02,42,λλλλ=-=--PC ，所以()22105515λλλ⋅=-+=-- PB PC ，因为01λ≤≤，所以()[]25155,0λ⋅=--∈-PB PC .故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.9．AD【分析】对1sin cos 5θθ+=两边平方得12sin cos 025θθ=-<，结合θ的范围得到π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可判断A ；再对sin cos θθ-平方将sin cos θθ代入可求出7sin cos 5θθ-=可判断D ；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC 错误.【详解】1sin cos 5θθ+=，两边平方得：112sin cos 25θθ+=，解得：12sin cos 025θθ=-<①，故sin ,cos θθ异号，因为()0,πθ∈，所以π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，A 正确；所以sin 0,cos 0θθ><，()22449sin cos 12sin cos 12525θθθθ-=-⋅=+=，所以7sin cos 5θθ-=②，D 正确；由①②可得43sin ,cos 55θθ==-，故4tan 3θ=-，故B ，C 不正确.故选：AD.10．BD 【分析】根据向量的线性运算可判断AB 选项，再根据向量夹角公式可判断C 选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D 选项.【详解】由(),2a n =，()1,1b m =- ，A 选项：()()221,32,6a b n m +=++= ，则21236n m +=⎧⎨+=⎩，解得312m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，则1,22a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭ ，()1,2b = ，所以不存在λ，使b a λ=，即a ，b 不共线，A 选项错误；B 选项：2a b =-，则()2221n m =-⎧⎨=--⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，即()2,2a =- ，()1,1b =-=，所以与b同向的单位向量为b b =，B 选项正确；C 选项：1n =时，()1,2a =，又a 与b的夹角为锐角，则()1121012a b m m ⎧⋅=⨯+⨯->⎪⎨-≠⎪⎩ ，解得12m >，且3m ≠，即()1,33,2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，C 选项错误；D 选项：由a b ⊥，得()21220a b n m m n ⋅=+-=+-= ，即22m n +=，所以224224n m n m z =+=+≥===，当且仅当222n m =，即21n m ==时，等号成立，D 选项正确；故选：BD.11．ABD【分析】对A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，结合奔驰定理可得到2MD MA =-，进而即可判断A ；对B ，设内切圆半径为r ，从而可用r 表示出,,A B C S S S ，再结合奔驰定理即可判断B ；对C ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据圆的性质结合题意可得90,120,150BMC AMC AMB ∠=︒∠=︒∠=︒，从而可用R 表示出,,A B C S S S ，进而即可判断C ；对D ，延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E ，根据题意结合奔驰定理可得到4ABCA S S = ，3ABC BS S = ，从而可设,MD x MF y ==，则3,2AM x BM y ==，代入即可求解cos AMB ∠，进而即可判断D ．【详解】对于A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，由::1:1:1A B C S S S =，则0MA MB MC ++=，所以2MD MB MC MA =+=- ，所以A ，M ，D 三点共线，且23A D M A = ，设E ，F 分别为AB ，AC 的中点，同理可得23CM CE = ，23BM BF =，所以M 为AMC 的重心，故A 正确；对于B ，由M 为ABC 的内心，则可设内切圆半径为r ，则有111,,222A B C S BC r S AC r S AB r =⋅=⋅=⋅，所以1110222r BC MA r AC MB r AB MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，故B 正确；对于C ，由M 为ABC 的外心，则可设ABC 的外接圆半径为R ，又45,60BAC ABC ∠=︒∠=︒，则有290,2120,2150BMC BAC AMC ABC AMB ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=∠=︒，所以222111sin sin 90222A S R BMC R R ︒=⋅∠=⋅=，22211sin sin12022B S R AMC R R ︒=⋅∠=⋅=，222111sin sin150224C S R AMB R R ︒=⋅∠=⋅=，所以::2A B C S S S =，故C 错误；对于D ，如图，延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E ，由M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则::3:4:5A B C S S S =，又ABC A B C S S S S =++ ，则4ABCA S S = ，3ABC BS S = ，设,MD x MF y ==，则3,2AM x BM y ==，所以cos cos 23x yBMD AMF y x∠==∠=，即2232x y =，所以cos BMD ∠=()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确.故选：ABD ．【点睛】关键点睛：解答D 选项的关键是通过做辅助线（延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E ），根据题意，结合奔驰定理得到4ABCA S S = ，3ABC BS S = ，再设,MD x MF y ==，得到3,2AM x BM y ==，进而即可求解cos AMB ∠．12．23【分析】利用5πππ623αα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用诱导公式求解即可.【详解】5ππππ2sin sin cos 62333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为:23．13．e【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e e e e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e14．2829【分析】由12e 边平方可得1234e e ⋅≥ ，根据()2222cos ,a b a b ba ⋅=⋅，可得()2122224cos 21353,a b a e b a b e ⎛⎫==-⋅ ⎪+⋅⋅⎝⎭ ，根据单调性即可求解.【详解】因为12e ，所以21222e e -≤ ，即124412e e -⋅+≤ ，可得1234e e ⋅≥ .所以()()()()2212121222244c 2os ,2106e e e e e e a a b a b b +⋅==+⋅⋅+⋅⋅⋅()1212124142422811333295353534e e e e e e ⎛⎫+⋅ ⎪⎛⎫==-≥⨯-=⎪ ⎪+⋅+⋅⎝⎭ ⎪+⨯⎝⎭，所以2cos ,a b 的最小值为2829.故答案为:2829.15．(1)()5πππ;Z 122k x k =+∈(2)5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】（1）根据二倍角公式对函数()f x 进行化简,利用最小正周期公式和整体代入法求解即可;（2）先求出整体单调递增区间,再找出[]0,πx ∈时的递增区间即可.【详解】（1）()()22sin cos sin 21cos 2sin 22f x x x x x x x x =-=+=π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以最小正周期为2ππ2T ==;令()ππ5ππ2πZ 32122k x k x k -=+⇒=+∈,即对称轴为()5ππZ 122k x k =+∈.（2）令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈,解得π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈,因为[]0,πx ∈,所以()f x 在[]0,πx ∈上的单调递增区间为5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.16．(1)证明见解析；(2)3λ=-或2λ=；(3)2λ=.【分析】（1）由已知及向量数量积的运算律求证()12220e e e -⋅=即可.（2）由222121()()32e e e e λ+=-及向量数量积的运算律化简即可求结果.（3）根据cos ,||||m nm n m n ⋅<>=及向量数量积的运算律列方程求参数.【详解】（1）由()22122122122211102e e e e e e ⋅-⋅=-=⨯⨯⨯-= ，所以()1222e e e -⊥.（2）由题设，222121()()32e e e e λ+=- ，则222221122112229124e e e e e e e e λλ+⋅+=-⋅+ ，所以26(3)(2)0λλλλ+-=+-=，即3λ=-或2λ=.（3）由22222121212()21e e e e e e λλλλλ+=+⋅+=++ ，()2221211223291247e e e e e e -=-⋅+=，12112222121)3(32()(32)222e e e e e e e e m n λλλλ+⋅-⋅-⋅==+-=- ，又1cos ,02||||m n m n m n ⋅<>===> ，则22741)1)((λλλ-++=且14λ>，所以2352(31)(2)0λλλλ--=+-=，可得13λ=-或2λ=，故2λ=.17．(1)π3B =(2)【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；（2）利用平面向量知()12BD BA BC =+，利用数量积与模关系及基本不等式可得16ac ≤，再根据面积公式求最值即可.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得：sin cos sin sin sin B A B A A C =+，而()πsin sin sin cos cos sin C A B C A B A B A B =--⇒=+=+，所以sin cos sin si sin cos n cos sin A B B A B A A A B +=+，sin si sin n cos B A A A B =+，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠1cos B B =+，cos 1B B -=，所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66B -=，即π3B =.（2）由BD 是ABC 的中线，可知()12BD BA BC =+ ，所以()222124BD BA BC BA BC =++⋅ ，即()221124c a ac =++，可得22483a c ac ac =++≥，即16ac ≤，当且仅当4a c ==时，等号成立，所以三角形面积1sin 2ABC S ac B ==≤即ABC 的面积的最大值为18．(1)1(2)详见解析【分析】（1）由224sin 02A Bb a a +-+=，利用二倍角公式得到2cos 0b a C +=，再利用余弦定理求解；（2）选条件①223sin sin 0A A C C -+=，利用正弦定理求得a ，c 的关系，再结合（1）利用余弦定理求解；选条件②cos B =，利用余弦定理结合（1）求得求得a ，c 的关系，再结合（1）利用余弦定理求解；选条件③tan tan A C +=1）2cos 0b a C +=，利用正弦定理得到sin 2sin cos 0B A C +=，再结合两角和的正弦公式得到3tan tan 0A C +=求解.【详解】（1）解：由224sin 02A Bb a a +-+=，得224cos02Cb a a -+=，则1cos 2402C b a a +-+=，化简得 2cos 0b a C +=，由余弦定理得222202a b c b a ab+-+=，即222202a b c ab +-=，化简得22221a b c +=；（2）选条件①223sin sin 0A A C C -=，2230ac -=，解得a =或a =，当a =，由（1）得12b c =，此时222cos 2a b c C ab +-==，当a =时，由（1）知不成立；若选条件②cos B =，则222cos 2a c b B ac +-==1）化简得22620a c -+=，解得a =或a =，当a =时，12b c =，222cos 2a b c C ab +-==当a =，22718b c =，222cos 2a b c C ab +-==若选条件③若tan tan A C +=由（1）知：2cos 0b a C +=，则sin 2sin cos 0B A C +=，即3sin cos cos sin 0A C A C +=，即3tan tan 0A C +=，联立解得tan tan A C ==，所以cos C =19．(1)1142AR a b=+(2)(3)19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由,,P R C ，,,B R O 三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设()(),0CH kCB k AB AC k a b k ==-=->，结合RH BC ⊥及（1）可得352cos 342k k θ-=-，即可得答案.【详解】（1）因P ,R ,C 共线，则存在λ使RP PC λ=，则()()AR AP AC AP λ-=- ，整理得()112AR AP AC a b λλλλ-=-+=+.由,,B R O 共线，则存在μ使BR BO μ=，则()()AR AB AO AB μ-=- ，整理得()()2113AR AB AO a b μμμμ=-+=-+.根据平面向量基本定理，有111222334λμλλμμ-⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，则1142AR a b =+ .（2）由（1），1142AR a b =+ ，1324BR b a =-，则22131341644AR BR b a a b ⋅=--⋅=-==则cos ,AR BR AR BR AR BR ⋅==⋅；（3）由（1）知12PR PC =，则111222RC PC b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .由,CH CB共线，设()(),0CH kCB k AB AC k a b k ==-=-> .又()0RH BC RH BC RC CH BC ⊥⇒⋅=+⋅=.则()221111302024244k b k a b a k b k a k a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⋅-=⇒---+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3533332520522cos 0cos 3242442k k k a b k k k θθ-⎛⎫⎛⎫⇒-++-⋅=⇒-++-=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .因π2π33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则11cos,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则3511192,32242842kkk-⎡⎤-≤≤⇒∈⎢⎥⎣⎦-.。
重庆市2022-2023学年高一下学期期末联合检测数学试卷(康德卷)(有答案)
2023年春高一(下)期末联合检测试卷数 学1数学测试卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B “准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
1． 一组数据从小到大排列为3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
123345791315，，，，，，，，，，估计该组数据的第75百分位数为A ．7B ．8C ．9D ．112． 复数2i1i +-的虚部为 A ．32-B ．32C ．3i 2-D ．3i 23．已知(1=a， (2=-b ，则<>=，a bA ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4． 在ABC △中，4A π=，AC =4，若存在两个△ABC 满足条件，则CB 的长可以为5． 今年4月23日是第28个“世界读书日”A ．2 B ．C ．3D ．4，某中学高二数学统计小组发起了一项关于阅读的调查，通过各班小组成员在本班（共四个班级）收集的有效问卷数（份）如下：891211，， ，，其中关于“每人每天电子阅读时长”（单位：分钟）的各班平均数依次为：105120115100， ， ， ，则据此估计该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为 A ．105分钟B ．108分钟C ．110分钟D ．112分钟6． 在一个不透明的袋中有4个红球和n 个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为89，则n = A ．1B ．2C ．3D ．47． 已知圆锥的顶点和底面圆都在球O，侧面展开是一个半圆，则球O 的表面积是 A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π8．如图，一个棱长为4的正方体封闭容器中，在棱111AA C D，的中点和顶点1B处各有一个小洞，则该容器最多能盛水A．36B．48C．1643D．1813二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市2020学年高一数学下学期期末试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．若要从已编号为1～100的100个同学中随机抽取5人，调查其对学校某项新措施的意见，则用系统抽样的方法确定所选取的5名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5 B ．5,10,15,20,25 C ．3,23,43,63,83 D ．17,27,37,47,572．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．只有一次中靶 C ．两次都中靶 D ．两次都不中靶3．当输入2,20x y =-=时，右图中程序运行后输出的结果为A ．20 B ．5 C ．3 D ．-204．已知x ，y 满足条件2002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．2-B ．1-C ．2D ．85．若a ，b ，c ∈R，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A ．11a b < B ．22a b > C ．2211a b c c >-- D ．||||a c b c ≥ 6．等比数列{}a 中，若12341,16a a a a +=+=，那么公比q 等于( )7，则角B 等于( ) A ．30︒ B ．30︒或150︒ C ．60︒ D ．60120︒︒或8．计算机内部都使用二进制数.对于二进制数(2)10101010，化为我们熟悉的十进制数时算式正确的是( )A ．8213-B ．8223-C ．9223-D ．9213-9．已知一组数据12,,,n x x x L 的平均数2,x =方差24,s =则数据123,x -223,,x -L 23n x -的平均数、方差和标准差分别为( )A ．4, 16 4,B ．1, 16 4,C ．4, 64 8,D ．1, 64 8, 10．等差数列}{n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( )A ．11aB ．12aC ．13aD ．14a11．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离为126海里，灯塔C 在A 的北偏西30︒，距离为123海里，该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C 位于游轮的( )A ．正西方向B ．南偏西75︒方向C ．南偏西60︒方向D ．南偏西45︒方向 12．已知实数,x y ，若0,0x y ≥≥，且+=2x y ，则1+21x yx y +++的最大值为( ) A ．65B ．75C ．85D ．95第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．如图，在一个边长为2的正方形内随机撒入1200粒芝麻（芝麻落到任何位置可能性相等），恰有400粒落入阴影区域内，则阴影部分的面积约为___________.14．某中学高一、高二、高三三个年级共有1500名学生，其中高二年级有450名学生，高三年级有550名学生，为了调查这些学生的课外阅读情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，则在高一年级应抽取___________名学生. 15．秦九韶算法是中国古代求多项式f (x )=a n x n + a n –1x n –1 +…+ a 1x + a 0的值的优秀算法,直到今天仍很 先进,其算法见程序框图.若f (x )=6x 5–2x 4+20x 3–1000x 2+300x +700,则利用秦九韶算法易求得f (7)=___________.16．下表是某村2020年到2020年十年间每年考入大学的人数，为了方便计算，制表人 将2020年编号为1,2020年编号为2，．．．大学的人数有___________人.(附：线性回归方程$$y bx a =+$，其中 $1122211()(),.()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑$$) 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题12分）在公差d ≠0的等差数列{}n a 中，12a =-，且5711a a a ，，成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值. 18．（本小题满分12分）设函数2()2(12)1f x mx m x m =+-+-. (Ⅰ)当m =1时，解不等式()3f x <；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（本小题满分12分）某中学从参加环保知识竞赛的学生中抽取了部分学生的成绩进行分析，不过作好的茎叶问题：(Ⅰ)求抽取学生成绩的中位数, 并修复频率分布直方图；(Ⅱ)根据修复的频率分布直方图估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩.(以各组的区间中点值代表该组的各个值)20．（本小题满分12分）三角形ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若222sin .2b c a B ac +-=(Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若△ABC 的外接圆半径为2，求△ABC 面积的最大值. 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 其中112,32(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =.(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)令11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若(20)n n k T +≥对一切*n N ∈恒成立，求实数k 的最小值.22．（本小题满分10分）在最强大脑的舞台上，为了与国际X 战队PK ，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A 1,A 2,A 3，三名擅长数独的选手B 1,B 2,B 3，两名擅长魔方的选手C 1,C 2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C 1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求A 1,B 1不全被选中的概率.高一数学（文科）答案1—6 CDCBDD 7—12 ACBACA 13．4314．40 15．56700 16．3217．(Ⅰ)由题有225117111,(4)(10)(6)a a a a d a d a d =++=+即， ······2分10,21d a d ≠=-=由将代入可解得， ······4分∴1(1)3n a a n d n =+-=-； ······6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得2(1)121(5)22n n n S n n n -=-+⋅=-， ······9分 21525[()]224n =--， 由N*n ∈知23n =或时，min ()3n S =-. (12)分18．(Ⅰ) 不等式即2230xx --<，可化为(23)(1)0x x -+<， 可得原不等式的解集为3(1,)2- ······5分(Ⅱ) ①当0m =时，()1f x x =-，不合题意； (6)分②当m ≠时，还需220(12)42(1)0mm m m >⎧⎨--⋅⋅-≤⎩， ······9分 解之得12m +≥. ······11分 综上得m 的取值范围是12m +≥. ······12分 19．(Ⅰ)由可见信息可知抽取学生成绩的个数为2200.0110=⨯个，从而据茎叶图可得抽取学生成绩的中位数为7577762+=， ······2分 修复的频率分布直方图如图: ······6分(Ⅱ)根据修复后的 频率分布直方图 可得所抽取样本 的平均成绩为550.0110650.02510750.03510850.01510950.01510⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯75=分， ······10分由此估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩大约为75分. ······12分20．(Ⅰ)由222sin 2b c a B ac +-=得222sin 2b c a B a bc b +-=⋅，即cos sin A Ba b=，又由正弦定理得cos sin tan 1sin sin A BA A B=⇒=，可得4A π=； ······6分(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设可得2sin a R A ==由余弦定理有，2282cos24b c bc bc bc π=+-≥-⇒≤， ······9分1sin 2244ABCS bc π∴=≤=+V ， 其中“=”当且仅当b c =时成立，故△ABC面积的最大值是2+. ······12分21．(Ⅰ)由112,32(*)n n a a S n N +==+∈有12,32n n n a S -≥=+时， 两式相减得: 1134(*,2)n n n n n a a a a a n N n ++-=⇒=∈≥，又由112,32(*)n n a a S n N +==+∈可得22184a a a =⇒=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，从而121242n n n a --=⋅=，于是2122log log 221n n n b a n -===-. ······5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知111111()(21)(21)22121nn n c b b n n n n +===--+-+，于是n T =111111[(1)()()]23352121n n -+-++--+L 21n n =+ ，······8分 依题意(21)(20)nkn n ≥++对一切*n N ∈恒成立，令()(21)(20)nf n n n =++，则1(1)()(23)(21)(21)(20)n nf n f n n n n n ++-=-++++(1)(21)(20)(23)(21)(23)(21)(21)(20)n n n n n n n n n n +++-++=++++22(10)(23)(21)(21)(20)n n n n n n -+-=++++由于*n N ∈易知3,(1)();3,(1)()n f n f n n f n f n <+>≥+<时时， 即有(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ><>>>L ，∴只需max 3()(3)161k f n f ≥==， 从而所求k的最小值为3161. ······12分 (若是由1()20(21)(20)(2)41n f n =n n n n=++++求得的最值参照给分) 22．(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C 1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}，由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M 表示“A 1被选中”，则 M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 1)}， 因而31()93P M ==. ······5分(Ⅱ)用N 表示“A 1、B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1、B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1) }， ∴1()9P N =， 从而8()1()9P N P N =-=. ······10分。