材料力学第八章
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材料力学第8章
截面形心位置
yC 0.04m 0.1m 0.05m 0.2m 0.03m 0.115m 0.089 m 0.04m 0.1m 0.2m 0.03m
对y、z轴的惯性矩
0.1 0.043 4 0.03 0.23 4 Iz m m 20.53 106 m4 12 12
M z max M y max [ ] Wz Wy
图8-4
例题8-1 已知矩形截面悬臂梁受水平荷载2F和竖向荷载F作用，如图8-5所示，
若矩形截面宽、高分别为b、h，试求梁固定端截面上A、B、C、D各点的应力。
图8-5 例题8-1图
【解】
力F单独作用时， 点A的应力为压应力 力2F单独作用时，点A的应力为拉应力 力F和2F共同作用时，A点的正应力
C
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
D
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
例题8-2 T型截面梁承担M=20 kN﹒m的弯矩，方向如图8-6(a)所示，试确定该
tan I z M y 20.53kN m cot 30 2.55 I y M z 13.92kN m
其中B点为最大拉应力点，D点为最大压应力点， 其值为
图8-6
M z y M y z 10 103 N m 0.1m 17.32 103 N m 0.041m B 99.72 106 Pa 99.72MPa 6 4 6 4 Iz Iy 20.53 10 m 13.92 10 m
A
A
Fl bh 2 / 6
4 Fl hb 2 / 6
yC 0.04m 0.1m 0.05m 0.2m 0.03m 0.115m 0.089 m 0.04m 0.1m 0.2m 0.03m
对y、z轴的惯性矩
0.1 0.043 4 0.03 0.23 4 Iz m m 20.53 106 m4 12 12
M z max M y max [ ] Wz Wy
图8-4
例题8-1 已知矩形截面悬臂梁受水平荷载2F和竖向荷载F作用，如图8-5所示，
若矩形截面宽、高分别为b、h，试求梁固定端截面上A、B、C、D各点的应力。
图8-5 例题8-1图
【解】
力F单独作用时， 点A的应力为压应力 力2F单独作用时，点A的应力为拉应力 力F和2F共同作用时，A点的正应力
C
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
D
4 Fl Fl 24 Fl 6 Fl hb 2 bh 2 hb 2 bh 2 6 6
例题8-2 T型截面梁承担M=20 kN﹒m的弯矩，方向如图8-6(a)所示，试确定该
tan I z M y 20.53kN m cot 30 2.55 I y M z 13.92kN m
其中B点为最大拉应力点，D点为最大压应力点， 其值为
图8-6
M z y M y z 10 103 N m 0.1m 17.32 103 N m 0.041m B 99.72 106 Pa 99.72MPa 6 4 6 4 Iz Iy 20.53 10 m 13.92 10 m
A
A
Fl bh 2 / 6
4 Fl hb 2 / 6
材料力学第八章
tension or compression)：杆件同时受横向力和轴向力的作用而
F1 F2
产生的变形。
x
F
F y
z
My
x z Mz
Fy My
二、应力分析：
x z Mz F y
F
MZ
My
My
σ xF
=−F A
σ xM z
= − Mzy Iz
σ xM y
= − Myz Iy
σ
x
=
−( F A
+
Mzy Iz
0.2× 0.2
§8. 4 弯曲与扭转的组合 (Combination of Bending and Torsion)
设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成 直角的刚臂，并受铅垂力F作用。整个结构位于水平面内。
建立图示杆件的强度条件 解：①外力向形心 简化并分解
=
qyl 2 8
=
358× 32 8
= 403Nm
M y max
=
qzl 2 8
=
715× 32 8
= 804Nm
[ ] σ max
=
Mz Wz
+
My Wy
≤
σ
§8. 3 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心
一、拉(压)弯组合变形(Composite deformation of bending and
fy
最大正应力
变形计算
σ max
= σ D1
=
Mz Wz
+
My Wy
= −σ D 2
f=
f
2 y
+
f
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章
裂缝综合理论计算公式: 裂缝综合理论计算公式
我国现行《规范》采用此式， 我国现行《规范》采用此式，但 式中系数K 通常由各国自行确定。 式中系数 1 、 K2通常由各国自行确定。
l m = K 2 c + K1 ⋅
d
ρ
根据对试验资料的统计分析，并考虑不同构件受力特征的影响， 根据对试验资料的统计分析，并考虑不同构件受力特征的影响，对于 公式为， 常用的带肋钢筋，我国《规范》 常用的带肋钢筋，我国《规范》给出的平均裂缝间距 lm 公式为，
裂缝综合理论
1，根据粘结 滑移理论裂缝宽度的验算 ，根据粘结 滑移理论： 粘结—滑移理论： 8.2
混凝土 拉应力 钢筋 应力 粘结应力
由图（ ）可见， 为粘结应力传递长度， 由图（b）可见，图中 l 为粘结应力传递长度，在裂缝两侧 l 范 所以不可能再产生新的裂缝。 围内混凝土的拉应力总是小于 ft ，所以不可能再产生新的裂缝。
则在其间还会存在σ 如果两条裂缝的间距大于 2 l ,则在其间还会存在 ct≥ ft 则在其间还会存在 区段，就会产生新的裂缝; 的混凝土 区段，就会产生新的裂缝 如果两条裂缝的间距小于 2 l ，则由于粘结应力传递长 度不够，裂缝间混凝土处处 度不够，裂缝间混凝土处处σct ＜ ft ，因此将不会再出现新 的裂缝。故裂缝间距最终将稳定在 l ~ 2 l 之间，可近似取 之间， 的裂缝。 裂缝的平均间距 l m =1. 5 l。 。 由于混凝土材料的不均匀性，裂缝的出现、 由于混凝土材料的不均匀性，裂缝的出现、分布和开展 具有很大的离散性，裂缝间距和宽度也是不均匀的。 具有很大的离散性，裂缝间距和宽度也是不均匀的。但大量 的试验统计分析表明， 的试验统计分析表明，裂缝间距和宽度的平均值具有一定规 律性。 律性。
我国现行《规范》采用此式， 我国现行《规范》采用此式，但 式中系数K 通常由各国自行确定。 式中系数 1 、 K2通常由各国自行确定。
l m = K 2 c + K1 ⋅
d
ρ
根据对试验资料的统计分析，并考虑不同构件受力特征的影响， 根据对试验资料的统计分析，并考虑不同构件受力特征的影响，对于 公式为， 常用的带肋钢筋，我国《规范》 常用的带肋钢筋，我国《规范》给出的平均裂缝间距 lm 公式为，
裂缝综合理论
1，根据粘结 滑移理论裂缝宽度的验算 ，根据粘结 滑移理论： 粘结—滑移理论： 8.2
混凝土 拉应力 钢筋 应力 粘结应力
由图（ ）可见， 为粘结应力传递长度， 由图（b）可见，图中 l 为粘结应力传递长度，在裂缝两侧 l 范 所以不可能再产生新的裂缝。 围内混凝土的拉应力总是小于 ft ，所以不可能再产生新的裂缝。
则在其间还会存在σ 如果两条裂缝的间距大于 2 l ,则在其间还会存在 ct≥ ft 则在其间还会存在 区段，就会产生新的裂缝; 的混凝土 区段，就会产生新的裂缝 如果两条裂缝的间距小于 2 l ，则由于粘结应力传递长 度不够，裂缝间混凝土处处 度不够，裂缝间混凝土处处σct ＜ ft ，因此将不会再出现新 的裂缝。故裂缝间距最终将稳定在 l ~ 2 l 之间，可近似取 之间， 的裂缝。 裂缝的平均间距 l m =1. 5 l。 。 由于混凝土材料的不均匀性，裂缝的出现、 由于混凝土材料的不均匀性，裂缝的出现、分布和开展 具有很大的离散性，裂缝间距和宽度也是不均匀的。 具有很大的离散性，裂缝间距和宽度也是不均匀的。但大量 的试验统计分析表明， 的试验统计分析表明，裂缝间距和宽度的平均值具有一定规 律性。 律性。
材料力学第八章材料的摩擦与磨损性能
状误差。波纹度可用波高h （波峰与波谷之间的距 离）和波距s（相邻两波形对应点的距离）表征。
表面波纹度会减少零件实际支承表面面积，在 动配合中会引起零件磨损的加剧。
图8-3 表面波纹度示意图
3）表面粗糙度 （Surface Roughness） 微观几何形状误差，常以表面粗糙度来表示，该
参数有一维、二维和三维的形貌参数。 一维形貌通常用表面轮廓曲线的高度参数来表示。
式(8-如12选)可取得σ：m=H/3作为出现塑性变形的条件，代入
E
(
)1/2
0.78
HR 4
（8-13）
考虑到接触时，从完全弹性接触过渡到完全塑性 接触并非瞬时完成，需要有一个过程，可引入无量纲 的塑性指数 Q E ( )1/2 ，并认为：
HR
* 当塑性指数Q＜0.6（小于0.78，是因为接触面上的
（3）轮廓支承长度率tp 它是指在取样长度L内，一平 行于中线的线与轮廓相截后得到的各段截线长度之和
与取样长度L之比(图8-7)。p为轮廓最高峰点至截线间
的距离。
tP
abcd L
（8-5）
图8-7 轮廓支承长度曲线
（4）幅度分布 在取样长度L内，离中线z处作两条相 距为Δz并平行于中线的线，在两平行线内轮廓线段 的水平方向长度为a、b、c、d、…。a、b、c、d、… 的总和Lz与取样长度L的百分比称为该轮廓线在z处的 幅度密度。
（1）轮廓微观不平度的平均间距Sm，指在取样长度L 内轮廓在中线mm上含一个轮廓峰和相邻轮廓谷的中 线长度的算术平均值。
Sm
1 n
n i1
pmi
图8-5 轮廓微观不平度的平均间距
（2）轮廓单峰平均间距S，指在取样长度L内轮廓的
表面波纹度会减少零件实际支承表面面积，在 动配合中会引起零件磨损的加剧。
图8-3 表面波纹度示意图
3）表面粗糙度 （Surface Roughness） 微观几何形状误差，常以表面粗糙度来表示，该
参数有一维、二维和三维的形貌参数。 一维形貌通常用表面轮廓曲线的高度参数来表示。
式(8-如12选)可取得σ：m=H/3作为出现塑性变形的条件，代入
E
(
)1/2
0.78
HR 4
（8-13）
考虑到接触时，从完全弹性接触过渡到完全塑性 接触并非瞬时完成，需要有一个过程，可引入无量纲 的塑性指数 Q E ( )1/2 ，并认为：
HR
* 当塑性指数Q＜0.6（小于0.78，是因为接触面上的
（3）轮廓支承长度率tp 它是指在取样长度L内，一平 行于中线的线与轮廓相截后得到的各段截线长度之和
与取样长度L之比(图8-7)。p为轮廓最高峰点至截线间
的距离。
tP
abcd L
（8-5）
图8-7 轮廓支承长度曲线
（4）幅度分布 在取样长度L内，离中线z处作两条相 距为Δz并平行于中线的线，在两平行线内轮廓线段 的水平方向长度为a、b、c、d、…。a、b、c、d、… 的总和Lz与取样长度L的百分比称为该轮廓线在z处的 幅度密度。
（1）轮廓微观不平度的平均间距Sm，指在取样长度L 内轮廓在中线mm上含一个轮廓峰和相邻轮廓谷的中 线长度的算术平均值。
Sm
1 n
n i1
pmi
图8-5 轮廓微观不平度的平均间距
（2）轮廓单峰平均间距S，指在取样长度L内轮廓的
材料力学 第八章
边界条件： x 0
xL
y1 0
y2 0
L
Fb 2 x C1 2L
x连Βιβλιοθήκη 条件：xay1 y2
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
yC , B
1、载荷分解
q
ql
ql2
2查表：单独载荷作用下
q
5ql yC1 384EI
yC 2
B2
4
ql3 B1 , 24EI
yC1
ql
B1
(ql)l 3 48EI
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI
yC2
ql2
B2
yC 3
3ql 4 48EI
图所示。试求 ( x), y( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
1 y
y '' ( x )
'2
( x)
3
2
M ( x) EI z
y ( x) ( x) 0
'
1 y ' 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) y' ' EI
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
材料力学第八章
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
C
y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;
（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;
（z，y）为所求应力点的坐标.
四、中性轴的位置
FN F zF z F yF y A Iy Iz
z
z
F/A
y
FzF/Wy
z FyF/Wz y
y
FN
(a)
My
(b)
Mz
(c)
（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定
最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处。无需先确定中性轴的位置，直接观察确定危险点的位置 即可
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
z (yF , zF )
O
az ay
y
z
中性轴
O
外力作用点
z
D1(y1,z1) y
中性轴
y
D2(y2,z2)
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点
C
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
FRAy
FNAB
30°
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A 发生在该截面的上边缘 F
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学第八章
（a）
（b）
图8-5
设有一矩形截面杆，如图 8-6（a）所示，在顶端作用一偏心压力 F ，其作 用点 A 与横截面形心 C 的距离 AC ，用 e 表示，称为偏心距。
（a） （b）
（c） 图8-6
（ d）
（e）
轴向压力 FN F 所对应的压应力沿截面宽度均匀分布，如图 8-6（c）所示。 其值为
r3 2 4 2 r4 2 3 2
[ ]
[ ]
（8-5）
如果将 M /W 和 T /Wp 代入上式，并考虑到对于圆截面有Wp 2W ，则强
度条件可改写为
r3 r4
M 2 T 2 [ ]
W
M 2 0.75T 2 W
[ ]
（8-6）
式中， M 和 T 分别代表圆轴危险截面上的弯矩和扭矩； W 代表圆形截面的抗 弯截面系数。
材料力学
第八章 组合变形
一 组合变形的概念与实例
二
弯曲与拉伸（压缩）的组合
三
弯曲与扭转的组合
第一节 组合变形的概念与实例
工程实际中，有些杆件在外力作用下往往同时存在着两种或两种以上 的基本变形。这类变形形式称为组合变形。
图8-1
图8-2
第二节 弯曲与拉伸（压缩）的组合
一、杆件同时受到轴向力和横向力的作用
在危险截面上，由轴向力引起的压应力为
FN A
21.65 3.08 103
kN/m2
7.03103
kN/m2
7.03 MPa
在危险截面的上、下边缘各点，由弯矩引起的最大弯曲正应力为
Mm W
a
x
1
16. . 85
2154 0k
N
/
m2
材料力学第八章.
8
例题 8-5
图a所示钢制实心圆轴其上的两个齿轮上作用有切向力 和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的 圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径dD=200 mm。已知 许用应力 [ ]=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。
9
例题 8-5
解: 1. 轴的受力图和内力图 将作用在齿轮上的切向力向轴的 形心简化，传动轴的受力图如图 b所示，在水平荷载作用下，轴 将在xy平面内弯曲，弯矩Mz图如 图c所示；在竖直荷载作用下， 轴将在xz平面内弯曲，弯矩My图 如图d所示；弯矩图均画在受拉 侧，不注明正负。在两个力偶矩 作用下，轴产生扭转，扭矩T图 如图e所示。
或
r 4 [ ]
6
究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不 一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：
M , W
2
T T Wp 2W
2
为便于工程应用，将上式代入式(a)、(b)可得：
r3
M T 4 W 2W M T 3 W 2W
r4
2
M 0.75T [ ] W
2 2 2
即 亦即
(1064 N m ) 0.75( 1000 N m) 100 106 Pa W 1372 N m 6 100 10 Pa 3 πd / 32
3
于是得
13
d
32 1372 N m 0.0519 m 51.9 mm 6 π(100 10 Pa)
11
1064N m
例题 8-5
C截面的总弯矩为
M C (568N m )2 ( 227N m )2 616.7N m M B MC
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t''max
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.4 扭转与弯曲的组合
材料力学 第八章 组合变形
2
§8.1 组合变形和叠加原理
由两种或两种以上基本变形 组合的变形，称为组合变形
12
强度计算（续）
σ τ σ σ
τ σ τ
M
T
σ
τ
σ
σ
σ
2）强度条件
M T W Wt
r 3 2 4 2 r 4 3
2 2
1 r3 W
M 2 T 2
M 2 0.75T 2
r4
Wt 2W
Me=300Nm B
材料力学 第八章 组合变形
14
例题（续）
2）内力分析，并画内力 图，危险截面为A+截面。 截面内力为
T 300 Nm M 400 Nm
T
Fy=1kN A
300Nm
Me=300Nm B
3）强度分析。危险点为 A+截面的上下边缘点， 根据第三强度理论
r3
1 W
M 400Nm
材料力学 第八章 组合变形 8
例题（续）
2）计算立柱截面内力，立柱拉 弯组合变形，各截面内力均匀
2 My 35 7.5 10 m F
F FN M
FN F
+
=
3）计算应力。与轴力对应的均匀拉应力为
FN F A 15 103 m 2
'
与弯矩对应的最大拉应力和压应力分别为
T
q Me A B l/2 l/2 C
M
0.25kN· m 0.75kN· m 1kN· m
A、B截面的上下边缘点为危险点， 应力状态如图：
σ σ τ
σ τ
24
σ
材料力学 第八章 组合变形
习题四（续）
2）在危险点，按照第三强 度理论，计算相当应力
r3A
1 2 TA2 M A WA
A l/2 q Me B l/2 C
材料力学 第八章 组合变形 3
二 研究方法
理论基础——叠加原理
将构件上的外力分解为几组等效的载荷，分别计算每 一载荷单独引起的基本变形响应，然后将结果叠加
分析步骤 1）求每个外力分量对应的内力图，确定危险面 2）画危险面应力分布图，叠加，确定危险点 3）建立危险点的强度条件 分解 叠 加
材料力学 第八章 组合变形
m0 A l/2 B P
C l/2
分析：本题为弯扭组合问题
材料力学 第八章 组合变形 20
习题三（续）
解：1）内力分析。梁弯 扭组合，作内力图，A 为危险截面，其内力为：
T 1kN m M 3kN m
m0 A l/2
T
σ
P
B
C l/2 1kN· m
2）A截面上下边缘为危 险点，应力状态为：
4
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A B Fsina Fcosa
a
F
特 点 1 外力：轴向载荷+横向载荷 2 内力：轴力+弯矩（忽略剪力）
材料力学 第八章 组合变形
5
强度计算方法
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
1 分解
F
1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加
Fcosa
l B A C P a
特 点 外力：弯曲载荷+扭转载荷
内力：弯矩+扭矩（忽略剪力）
P Me
A
B
材料力学 第八章 组合变形
11
强度计算
P Me A B
1 分解 1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加 1）确定危险点：A截 面上下边缘，二向应 力状态
B
Me A Pa B
P
A
Pl
材料力学 第八章 组合变形
1 W
例题
圆形截面杆件d=40mm， 许用应力[σ]=80MPa， 按第三强度理论校核AB 段强度（长度单位mm）
400 A y z x Fy=1kN C B 300
解：AB段发生弯扭组合变形。 1）受力分析。将杆端力移到B端，并产生力偶
M e 1000 0.3Nm 300Nm
A
Fy=1kN
σ τ σ σ τ
M 3kN· m
3）由第三强度理论，设计直径
r3
1 32 T2 M2 W d3
10 3 10
3 2
3 2
Pa
d 77.2mm
21
材料力学 第八章 组合变形
思考：如果结构是这样的……
m0 A l/2 B
P
C l/2
材料力学 第八章 组合变形
400 A y z Fy=1kN C x Fx=3kN Fz=1kN B 300
Fy=1kN
A
Mx=300Nm Fx=3kN B My=900Nm Fz=1kN
材料力学 第八章 组合变形 31
习题五：教材例8.5，p273
z
解：1）外力分析： 带轮传递给轴的扭 Me F 矩为
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x
Ey
E
2.2 M e 9549 Nm 21.7 Nm 966 ' D F F 2 Me ' F 135 N F 465 N ' F F 600 N
2 2 3 32 1 0.75 1 10 M 2 0.75T 2 158.2MPa 3 9 44 10
故满足强度条件
习题二：教材8.3，p281
FRCx
解：查表， A=59.98cm2 W=304cm3
W FRCy
34.64kN 35kNm
FRA
FN
A
B Fsina
1）确定危险点：A截面 上边缘，单向应力状态
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
6
强度计算方法（续）
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
2 叠加
F
2）建立强度条件
FN M t max t A W M FN c max c W A
材料力学 第八章 组合变形
F
D
2F
16
习题一（续）
A m
T
m 3F
1kNm
B x
1kNm
M
2）内力分析，画内力图， AC段弯扭组合，CB段平 面弯曲，危险截面为C截面
3Fl C-截面内力为： T m 1kNm M 1kNm 4
3）强度校核。危险点为C-截面的上下边缘点
r4
1 W
32 2 2 T M A A 58.9 MPa 3 d AB 1 2 r 3B TB2 M B WB 32 2 2 T M B B 84.0 MPa 3 d BC
σ
σ τ
σ τ
σ
故A截面安全，而B截面则强度不足
材料力学 第八章 组合变形 Fsina
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
7
例题：教材例8.2，p265
已知[t]=30MPa,[c]=160MPa，求许可压力F
z0
350 F m m
y
z1
z 150 50 150
50
解：1）计算截面几何性质
A 15103 m2 , z0 7.5cm, I y 5310cm4
26
材料力学 第八章 组合变形
习题五（续）
2）内力分析， 作内力图
Me
FEy
z
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.4 扭转与弯曲的组合
材料力学 第八章 组合变形
2
§8.1 组合变形和叠加原理
由两种或两种以上基本变形 组合的变形，称为组合变形
12
强度计算（续）
σ τ σ σ
τ σ τ
M
T
σ
τ
σ
σ
σ
2）强度条件
M T W Wt
r 3 2 4 2 r 4 3
2 2
1 r3 W
M 2 T 2
M 2 0.75T 2
r4
Wt 2W
Me=300Nm B
材料力学 第八章 组合变形
14
例题（续）
2）内力分析，并画内力 图，危险截面为A+截面。 截面内力为
T 300 Nm M 400 Nm
T
Fy=1kN A
300Nm
Me=300Nm B
3）强度分析。危险点为 A+截面的上下边缘点， 根据第三强度理论
r3
1 W
M 400Nm
材料力学 第八章 组合变形 8
例题（续）
2）计算立柱截面内力，立柱拉 弯组合变形，各截面内力均匀
2 My 35 7.5 10 m F
F FN M
FN F
+
=
3）计算应力。与轴力对应的均匀拉应力为
FN F A 15 103 m 2
'
与弯矩对应的最大拉应力和压应力分别为
T
q Me A B l/2 l/2 C
M
0.25kN· m 0.75kN· m 1kN· m
A、B截面的上下边缘点为危险点， 应力状态如图：
σ σ τ
σ τ
24
σ
材料力学 第八章 组合变形
习题四（续）
2）在危险点，按照第三强 度理论，计算相当应力
r3A
1 2 TA2 M A WA
A l/2 q Me B l/2 C
材料力学 第八章 组合变形 3
二 研究方法
理论基础——叠加原理
将构件上的外力分解为几组等效的载荷，分别计算每 一载荷单独引起的基本变形响应，然后将结果叠加
分析步骤 1）求每个外力分量对应的内力图，确定危险面 2）画危险面应力分布图，叠加，确定危险点 3）建立危险点的强度条件 分解 叠 加
材料力学 第八章 组合变形
m0 A l/2 B P
C l/2
分析：本题为弯扭组合问题
材料力学 第八章 组合变形 20
习题三（续）
解：1）内力分析。梁弯 扭组合，作内力图，A 为危险截面，其内力为：
T 1kN m M 3kN m
m0 A l/2
T
σ
P
B
C l/2 1kN· m
2）A截面上下边缘为危 险点，应力状态为：
4
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A B Fsina Fcosa
a
F
特 点 1 外力：轴向载荷+横向载荷 2 内力：轴力+弯矩（忽略剪力）
材料力学 第八章 组合变形
5
强度计算方法
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
1 分解
F
1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加
Fcosa
l B A C P a
特 点 外力：弯曲载荷+扭转载荷
内力：弯矩+扭矩（忽略剪力）
P Me
A
B
材料力学 第八章 组合变形
11
强度计算
P Me A B
1 分解 1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加 1）确定危险点：A截 面上下边缘，二向应 力状态
B
Me A Pa B
P
A
Pl
材料力学 第八章 组合变形
1 W
例题
圆形截面杆件d=40mm， 许用应力[σ]=80MPa， 按第三强度理论校核AB 段强度（长度单位mm）
400 A y z x Fy=1kN C B 300
解：AB段发生弯扭组合变形。 1）受力分析。将杆端力移到B端，并产生力偶
M e 1000 0.3Nm 300Nm
A
Fy=1kN
σ τ σ σ τ
M 3kN· m
3）由第三强度理论，设计直径
r3
1 32 T2 M2 W d3
10 3 10
3 2
3 2
Pa
d 77.2mm
21
材料力学 第八章 组合变形
思考：如果结构是这样的……
m0 A l/2 B
P
C l/2
材料力学 第八章 组合变形
400 A y z Fy=1kN C x Fx=3kN Fz=1kN B 300
Fy=1kN
A
Mx=300Nm Fx=3kN B My=900Nm Fz=1kN
材料力学 第八章 组合变形 31
习题五：教材例8.5，p273
z
解：1）外力分析： 带轮传递给轴的扭 Me F 矩为
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x
Ey
E
2.2 M e 9549 Nm 21.7 Nm 966 ' D F F 2 Me ' F 135 N F 465 N ' F F 600 N
2 2 3 32 1 0.75 1 10 M 2 0.75T 2 158.2MPa 3 9 44 10
故满足强度条件
习题二：教材8.3，p281
FRCx
解：查表， A=59.98cm2 W=304cm3
W FRCy
34.64kN 35kNm
FRA
FN
A
B Fsina
1）确定危险点：A截面 上边缘，单向应力状态
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
6
强度计算方法（续）
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
2 叠加
F
2）建立强度条件
FN M t max t A W M FN c max c W A
材料力学 第八章 组合变形
F
D
2F
16
习题一（续）
A m
T
m 3F
1kNm
B x
1kNm
M
2）内力分析，画内力图， AC段弯扭组合，CB段平 面弯曲，危险截面为C截面
3Fl C-截面内力为： T m 1kNm M 1kNm 4
3）强度校核。危险点为C-截面的上下边缘点
r4
1 W
32 2 2 T M A A 58.9 MPa 3 d AB 1 2 r 3B TB2 M B WB 32 2 2 T M B B 84.0 MPa 3 d BC
σ
σ τ
σ τ
σ
故A截面安全，而B截面则强度不足
材料力学 第八章 组合变形 Fsina
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
7
例题：教材例8.2，p265
已知[t]=30MPa,[c]=160MPa，求许可压力F
z0
350 F m m
y
z1
z 150 50 150
50
解：1）计算截面几何性质
A 15103 m2 , z0 7.5cm, I y 5310cm4
26
材料力学 第八章 组合变形
习题五（续）
2）内力分析， 作内力图
Me
FEy
z
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x