材料力学第八章

t''max
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.4 扭转与弯曲的组合
材料力学 第八章 组合变形
2
§8.1 组合变形和叠加原理
由两种或两种以上基本变形 组合的变形，称为组合变形
12
强度计算（续）
σ τ σ σ
τ σ τ
M
T
σ
τ
σ
σ
σ
2）强度条件
M T W Wt
r 3 2 4 2 r 4 3
2 2
1 r3 W
M 2 T 2
M 2 0.75T 2
r4
Wt 2W
Me=300Nm B
材料力学 第八章 组合变形
14
例题（续）
2）内力分析，并画内力 图，危险截面为A+截面。 截面内力为
T 300 Nm M 400 Nm
T
Fy=1kN A
300Nm
Me=300Nm B
3）强度分析。危险点为 A+截面的上下边缘点， 根据第三强度理论
r3
1 W
M 400Nm
材料力学 第八章 组合变形 8
例题（续）
2）计算立柱截面内力，立柱拉 弯组合变形，各截面内力均匀
2 My 35 7.5 10 m F
F FN M
FN F
+
=
3）计算应力。与轴力对应的均匀拉应力为
FN F A 15 103 m 2
'
与弯矩对应的最大拉应力和压应力分别为
T
q Me A B l/2 l/2 C
M
0.25kN· m 0.75kN· m 1kN· m
A、B截面的上下边缘点为危险点， 应力状态如图：
σ σ τ
σ τ
24
σ
材料力学 第八章 组合变形
习题四（续）
2）在危险点，按照第三强 度理论，计算相当应力
r3A
1 2 TA2 M A WA
A l/2 q Me B l/2 C
材料力学 第八章 组合变形 3
二 研究方法
理论基础——叠加原理
将构件上的外力分解为几组等效的载荷，分别计算每 一载荷单独引起的基本变形响应，然后将结果叠加
分析步骤 1）求每个外力分量对应的内力图，确定危险面 2）画危险面应力分布图，叠加，确定危险点 3）建立危险点的强度条件 分解 叠 加
材料力学 第八章 组合变形
m0 A l/2 B P
C l/2
分析：本题为弯扭组合问题
材料力学 第八章 组合变形 20
习题三（续）
解：1）内力分析。梁弯 扭组合，作内力图，A 为危险截面，其内力为：
T 1kN m M 3kN m
m0 A l/2
T
σ
P
B
C l/2 1kN· m
2）A截面上下边缘为危 险点，应力状态为：
4
§8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A B Fsina Fcosa
a
F
特 点 1 外力：轴向载荷+横向载荷 2 内力：轴力+弯矩（忽略剪力）
材料力学 第八章 组合变形
5
强度计算方法
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
1 分解
F
1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加
Fcosa
l B A C P a
特 点 外力：弯曲载荷+扭转载荷
内力：弯矩+扭矩（忽略剪力）
P Me
A
B
材料力学 第八章 组合变形
11
强度计算
P Me A B
1 分解 1）分别计算，做内力图 2）确定危险截面：A 2 叠加 1）确定危险点：A截 面上下边缘，二向应 力状态
B
Me A Pa B
P
A
Pl
材料力学 第八章 组合变形
1 W
例题
圆形截面杆件d=40mm， 许用应力[σ]=80MPa， 按第三强度理论校核AB 段强度（长度单位mm）
400 A y z x Fy=1kN C B 300
解：AB段发生弯扭组合变形。 1）受力分析。将杆端力移到B端，并产生力偶
M e 1000 0.3Nm 300Nm
A
Fy=1kN
σ τ σ σ τ
M 3kN· m
3）由第三强度理论，设计直径
r3
1 32 T2 M2 W d3
10 3 10
3 2
3 2
Pa
d 77.2mm
21
材料力学 第八章 组合变形
思考：如果结构是这样的……
m0 A l/2 B
P
C l/2
材料力学 第八章 组合变形
400 A y z Fy=1kN C x Fx=3kN Fz=1kN B 300
Fy=1kN
A
Mx=300Nm Fx=3kN B My=900Nm Fz=1kN
材料力学 第八章 组合变形 31
习题五：教材例8.5，p273
z
解：1）外力分析： 带轮传递给轴的扭 Me F 矩为
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x
Ey
E
2.2 M e 9549 Nm 21.7 Nm 966 ' D F F 2 Me ' F 135 N F 465 N ' F F 600 N
2 2 3 32 1 0.75 1 10 M 2 0.75T 2 158.2MPa 3 9 44 10
故满足强度条件
习题二：教材8.3，p281
FRCx
解：查表， A=59.98cm2 W=304cm3
W FRCy
34.64kN 35kNm
FRA
FN
A
B Fsina
1）确定危险点：A截面 上边缘，单向应力状态
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
6
强度计算方法（续）
A B Fsina
A B Fcosa
Fcosa
a
2 叠加
F
2）建立强度条件
FN M t max t A W M FN c max c W A
材料力学 第八章 组合变形
F
D
2F
16
习题一（续）
A m
T
m 3F
1kNm
B x
1kNm
M
2）内力分析，画内力图， AC段弯扭组合，CB段平 面弯曲，危险截面为C截面
3Fl C-截面内力为： T m 1kNm M 1kNm 4
3）强度校核。危险点为C-截面的上下边缘点
r4
1 W
32 2 2 T M A A 58.9 MPa 3 d AB 1 2 r 3B TB2 M B WB 32 2 2 T M B B 84.0 MPa 3 d BC
σ
σ τ
σ τ
σ
故A截面安全，而B截面则强度不足
材料力学 第八章 组合变形 Fsina
Flsina
材料力学 第八章 组合变形
7
例题：教材例8.2，p265
已知[t]=30MPa,[c]=160MPa，求许可压力F
z0
350 F m m
y
z1
z 150 50 150
50
解：1）计算截面几何性质
A 15103 m2 , z0 7.5cm, I y 5310cm4
26
材料力学 第八章 组合变形
习题五（续）
2）内力分析， 作内力图
Me
FEy
z
FEz
y 23.5 A
65 B
Me FCz
FCy C
44.5 x
E
危险截面为B截面， 截面内力分别为
T 21.7 Nm
2 y 2 z
20.4Nm Mz
My 7.43Nm
24.1Nm
M M M 26.7 Nm
M 2 T 2 79.6MPa
故满足强度条件
材料力学 第八章 组合变形 15
组合变形习题课
习题一
已知m=1kNm，l=200mm，D=300mm，d=44mm， [σ]=160MPa。试用第四强度理论校核轴的强度。
A m l/2 l/2 C B
d
解：1）受力分析，求得
FD m F 6.67kN 2
' '' 截面外侧发生最大压应力 c max c max
4）由强度条件确载
t max t F 45.1kN
c max c F 171.3kN
F FN M
故 F 45.1kN
+
=
材料力学 第八章 组合变形
10
§8.4 扭转与弯曲的组合
分析：弯扭组合问题
材料力学 第八章 组合变形 23
习题四（续）
解：1）内力分析。梁弯扭 组合变形，内力图如图： 因截面尺寸发生变化，故截 面A和B均为危险截面，危 险截面的内力分别为：
TA 1kN m TB 1kN m
M A 0.75kN m M B 0.25kN m
M
26.7Nm 21.7Nm
3）强度校核。 由第三强度理论
r3
1 W
21.7Nm T
M 2 T 2 8.18MPa
故安全
习题六
已知桥式起重机大梁为32a工字钢，l=4m，材料许用应力 [σ]=160MPa 。行进时由于某种原因，载荷 F 偏离纵向对 称面一个角度，若=15，F=30kN，试校核梁的强度， y 并与=0情况比较。
Fl cos Fl sin 151.5MPa 4Wz 4Wy
3）若=0，代入后求得
A
Fl cos Fl sin 43.3MPa 4Wz 4Wy
经比较，远小于=15时的应力值
材料力学 第八章 组合变形
B
30
思考：这个题……
d1 Fn 925N Fn cos 20 M e' M e 2 FEz Fn sin 20 316N, FEy Fn cos 20 870N
FCz F sin 24 F ' sin30 257 N
FCy F cos 24 F ' cos30 542N
1）受力分析。AC梁 产生压弯组合变形 M 根据静力平衡 FRA W
弯曲是主导因素，当小车位于梁中点时，梁内弯矩最大 2）作内力图，中截面为危险截面，截面内力为
FN FRA cos30 34.64 10 N
3
FRAl M 35 103 Nm 4
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材料力学 第八章 组合变形
习题二（续）
2m F 2m
A
z
解：查表，截面几何性质为
Wz 692cm3 Wy 70.8cm3
材料力学 第八章 组合变形

F
28
B
习题六（续）
1）内力分析，作内力图
2m F 2m
Flcos/4 Mz
Flsin/4
My
跨中为危险截面
材料力学 第八章 组合变形 29
习题六（续）
2）分析危险截面的应力分布，A角点具有最大压应力，B 角点具有最大拉应力，二者数值相等，均为危险点。