自动控制原理习题

【练习1】系统的闭环传递函数为

)13()3(3)(2

3++++++=

ΦK s K s s K

s s ，其中，K >0

试绘制系统根轨迹，并求出s=-2时的闭环极点和零点。 解： ，得根轨迹方程：由0)13()3(32

3

=+++++K s K s s

0)

1()3(13

=+++

s s K

0)2)(2(2

=+++s s s 272

1,23,21j

s s ±-

=-=⇒

【练习2】一单位负反馈系统，其开环传递函数为：

]

4)1[()1(4)(++-=

s K s s K s G

(1) 试绘制K 从0→+∞时的系统根轨迹； (2) 求系统阶跃响应中含有分量)cos(βωα+-t e

t

时的K 值范围，其中

0,0>>ωα；

(3) 求系统有一个闭环极点为-2时的闭环传递函数。

解：（1）根轨迹方程为：

)

4()2(12

=+-+

s s s K

等效开环传递函数为：

)4()

2()(2

+-=

s s s K s G

实轴上的根轨迹：[-4，0] 分离点：12

24

11-=-=

++

d d d d

，得：由

与虚轴交点：劳斯表如下

K

s

K s K K s 40

44410

12-+

显然，K=1时，系统处于临界稳定，由辅助方程可解出交点处

21,±

==ωK

由模值条件得分离点处根轨迹增益：31

3*33

*1==d K 系统根轨迹如下图所示：

(２)求Ｋ值范围

尼状态，分量时，系统处于欠阻

当系统含有)cos(βωα+-t e

t

系统有一对具有负实部的共轭极点，Ｋ值的范围为：131

<

(３)求闭环极点

4

14

42221=⨯⨯=

-=K K s 值为：其对应的时，由模值条件，当系统具有闭环极点

)

445()1(]

4)1[()1(4)(+-=

++-=

∴s s s s K s s K s G )

2.3()1(8.0+-=

s s s

)2)(4.0()1(8.0)

(1)()(++-=

+=

Φs s s s G s G s 闭环传递函数为：

【练习3】负反馈系统的开环传递函数为22

*)1)(1()

2()(+-+=s s s K s G

(1)绘制K 从0→+∞时的系统闭环根轨迹；

(2)用根轨迹模值方程确定系统稳定 *

K 的取值范围； (3)试证明复平面上的根轨迹不是圆。

解：(1) 分离点：5,022

121121-==+=++-d d d d d ，得：由

(2)原点对应的41

2

2111=

⨯⨯⨯=

*

K （模值方程）

(３)根轨迹若为圆，则其方程应为2

2

2

5.2)5.2(=++y x

任取一点Ａ，其对应的坐标为)2,1(j -，然后代入相角方程中看是否

满足该方程：π)12(13.1882arctan 29090135+≠︒=-︒+︒+︒k

所以，该根轨迹不是圆。

【练习4】一单位反馈系统，其开环传递函数为：

)2()4()(*

++=

s s s K s G

试绘制根轨迹，分析*K 对系统性能的影响，并求出系统最小阻尼比所对应的闭环极点。

解 开环传递函数有二个极点，一个零点。可以证明，此类带零点的二阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。 分离点为： 系统的根轨迹如图4-19所示

利用幅值条件求得分离点1d 、2d 处的根轨迹增益*1K 、*2

K 为:

343

.083

.2828

.0172.11

=⨯=

*

K

∴*1

1

20.686K K ==

*2

6.83 4.83

11.7

2.83

K ⨯=

=

∴223.4

K =

828.6,172.121-=-=d d

可见:

当增益*

K 在[0~0.343] 范围内时,闭环系统为两个负实数 极点,系统阶跃响应为非周期性质。

当根轨迹增益*

K

在[0.343~11.7]范围内,闭环系统为一对共轭复数

极点,其阶跃响应为振荡衰减过程。

当根轨迹增益*

K 在[11.7~]∞范围内，闭环系统又为两个负实数

极点，其阶跃响应又为非周期性质。

下面求解系统最小阻尼比 所对应的闭环极点。

在图中，过坐标原点作根轨迹圆的

切线，此切线与负实轴夹角的余弦，即为系统的最小阻尼比

cos cos 450.707ξβ==︒=

因此，最小阻尼比为707.0=ξ所对应的闭环极点可从图直接

得到： 1,222s j =-±

该点对应的*

K 值可用幅值条件求得：

*

2K =。 由于最小阻尼比为0.707，故系统阶跃响应具有较好好的平稳性、快速性。