二重积分的概念
二重积分的概念和几何意义
二重积分是数学中的一种重要概念，用于计算平面上的曲面面积、质量、质心等物理量。
它可以理解为在平面上对某个区域进行累积求和的操作。
几何意义上，二重积分可以被解释为平面上某个区域的面积。
具体而言，给定一个平面区域R，可以将该区域划分为许多小的面积元素，然后通过对这些面积元素的面积进行求和来计算整个区域的面积。
当面积元素的大小无限趋近于零时，对所有面积元素的求和就得到了准确的区域面积。
数学上，二重积分可以表示为：
∬R f(x, y) dA
其中，f(x, y) 是被积函数，表示在平面上某点(x, y) 处的函数值；R 是积分的区域，它可以是一个矩形、圆形或更复杂的曲线边界所围成的区域；dA 是微元面积元素。
二重积分的计算可以通过不同的积分方法进行，如直角坐标系下的重叠叠加、极坐标系下的极坐标转化、变量替换等方法。
除了计算面积，二重积分还可以用于计算质心、质量、重心、惯性矩等物理量，具体应用在物理学、工程学、经济学等领域。
总而言之，二重积分是用于计算平面区域上某个函数的累积效应，其几何意义为计算该区域的面积。
通过二重积分，可以对平面上的曲面进行量化分析和计算。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的难点与重点
计算二重积分时，画出积分区域并写出积分区域的不等式是最关键的，也是必须的二重积分的概念与难点一、二重积分的概念引例与定义1、曲顶柱体的体积 设函数(,)z f x y ，当(,)x y D 时，(,)0f x y ，且(,)f x y 在D 上连续。
由曲面(,)z f x y 、xoy 平面的区域D 、母线平行于z 轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面(,)z f x y 为顶，以xoy 平面的区域D 为底，母线平行于z 轴的立体称为曲顶柱体。
定义 设函数(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数。
将D 任意分割成n 个小的区域：1 、2 、...、n ，（i 既表示第i 个小区域也表示小区域的面积）；任取(,)i i i ，1,2,i n ，作和：1(,)ni i i i f ；记max {i 的直径}，若极限1lim (,)ni i i i f 存在，称极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作：1lim (,)ni i i i f (,)Df x y d其中(,)f x y —被积函数，D —积分区域，d —面积微元，,x y —积分变量，(,)f x y d —被积表达式，1(,)ni i i i f —积分和。
即：(,)D f x y d(,)Df x y dxdy—直角坐标系下的二重积分(,)Df x y d(cos ,sin )Df r r rdrd —极坐标系下的二重积分2、二重积分的几何意义（1）当(,)0f x y ，(,)Df x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体体积（位于平面xoy 的上方）；（2）当0),( y x f ，(,)Df x y d 的几何意义表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积的负值（位于平面xoy 的下方）； （3）(,)Df x y d 的几何意义：表示以区域D 为底，以曲面(,)z f x y 为顶，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积的代数和。
二重积分证明题
二重积分证明题（原创实用版）目录一、二重积分的概念和性质二、二重积分的证明方法三、二重积分证明题的实例解析四、总结与展望正文一、二重积分的概念和性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个函数在空间中某个区域上的值进行两次积分。
二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性等。
二、二重积分的证明方法在解决二重积分证明题时，通常采用以下几种方法：1.直接积分法：适用于简单的二重积分，直接对被积函数进行积分。
2.重积分换元法：适用于较复杂的二重积分，通过换元将二重积分转化为单重积分。
3.重积分分部积分法：适用于具有一定规律的二重积分，通过分部积分将二重积分转化为求和或差。
4.重积分对称性法：适用于具有对称性的二重积分，通过利用对称性简化积分计算。
三、二重积分证明题的实例解析举例：设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，证明∫∫f(x, y) dxdy = π。
解：采用重积分换元法。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 dxdy = rdrd θ。
将被积函数代入得：∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) rdrdθ= ∫r^3cos^2θ dtdr + ∫r^3sin^2θ dtdr = ∫r^2(rcos^2θ + rsin^2θ) drdθ= ∫r^2 r drdθ= ∫r^3 dr= r^2 |_{0}^{1}= π因此，证明了∫∫f(x, y) dxdy = π。
四、总结与展望二重积分证明题是多元函数积分中的一个重要内容，掌握好二重积分的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过本篇文章的学习，读者对二重积分的概念、性质以及证明方法有了更加深入的了解。
二重积分1dxdy的几何意义
二重积分1dxdy的几何意义二重积分 $ \iint_D 1 dxdy $ 的几何意义二重积分是高等数学中的一个重要概念，也是数学分析学科中的一种积分方法。
在数理科学和工程学科中，常常需要利用二重积分的概念和方法解决一些实际问题。
本文将从几何意义上探讨二重积分 $ \iint_D 1 dxdy $ 的概念和应用。
一、二重积分的定义二重积分是针对二元函数进行积分的一种方法，在平面直角坐标系中表示为：$ I=\iint_D f(x,y) dxdy $其中，$ f(x,y) $ 是待求积函数，$ D $ 是其定义域，$ I $ 是二重积分的值。
二、二重积分的几何意义二重积分的几何意义较为直观，可以理解为平面区域 $ D $ 上的体积或者质量。
1.平面区域的体积在平面直角坐标系中，将平面区域 $D$ 划分为无限个微小的面元，则每个微小的面元的面积近似为 $ds$，面元的高度近似为 $f(x,y)$。
则该微小面元的体积为 $f(x,y)ds$。
将所有微小体积加起来，得到平面区域$ D $ 上的体积近似值 $ V $。
$ V \approx \sum_i f(x_i,y_i)ds_i $考虑当 $ ds $ 很小时，$ V $ 的近似值越来越精确，于是得到了平面区域 $ D $ 上的体积：$ V=\iint_D f(x,y) dxdy $2.平面区域的质量若将平面区域 $ D $ 看成一个平面物体，则其每个微小部分的面积 $ ds $ 与单位面积的密度 $ \rho $ 的乘积即为该微小部分的质量 $ dm $。
则该微小部分的质量为 $ \rho ds $。
将所有微小质量加起来，得到平面物体 $ D $ 的质量 $ m $。
$ m=\iint_D \rho(x,y) dxdy $三、二重积分的应用二重积分在数学、物理等领域有许多应用，例如：1.面积对于平面区域 $D$，其面积可以表示为：$ S=\iint_D dxdy $2.重心对于平面区域$D$，可以通过以下公式求得其重心$(\bar{x},\bar{y})$：$ \bar{x}=\frac{1}{S}\iint_D x dxdy $$ \bar{y}=\frac{1}{S}\iint_D y dxdy $3.质心对于平面物体$D$，可以通过以下公式求得其质心$(\bar{x},\bar{y})$：$ \bar{x}=\frac{1}{m}\iint_D x \rho(x,y) dxdy $$ \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_D y \rho(x,y) dxdy $4.矩阵对于平面区域 $D$ 和平面物体 $D$，可以通过以下公式求得其矩：$ M_{xy}=\iint_D xy dxdy $$ M_{xx}=\iint_D x^2 dxdy $$ M_{yy}=\iint_D y^2 dxdy $四、结论二重积分是一种重要的数学概念，在物理、数学等领域都有广泛应用。
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限一、引言积分是微积分中的重要概念之一，它广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将重点讨论二重积分的定义求极限的问题。
二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分，它可以用来计算面积、质量、重心等物理量。
二、二重积分的定义设函数f(x, y)在有界闭区域D上有定义，将D划分为n个小矩形，其中第i个小矩形的面积为ΔSi，取小矩形中任意一点(xi, yi)，将其作为代表点。
当n趋向于无穷大时，这些小矩形的面积ΔSi趋向于零，此时我们可以得到二重积分的定义如下：其中，ΔSi表示第i个小矩形的面积，(xi, yi)表示第i个小矩形的代表点，S表示二维平面上的面积，D表示有界闭区域。
三、二重积分的求解方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分可以通过将被积函数f(x, y)乘以微元面积dS来求解。
具体步骤如下： 1. 将被积区域D投影到xy平面上，确定积分的上下限。
2. 写出二重积分的被积函数f(x, y)。
3. 将f(x, y)乘以微元面积dS，得到被积函数在xy平面上的微元面积元素f(x, y)dS。
4. 对被积函数在xy平面上的微元面积元素f(x, y)dS进行积分，即可得到二重积分的结果。
2. 极坐标系下的二重积分在极坐标系下，二重积分可以通过将被积函数f(r, θ)乘以微元面积dS来求解。
具体步骤如下： 1. 将被积区域D投影到极坐标系下，确定积分的上下限。
2. 写出二重积分的被积函数f(r, θ)。
3. 将f(r, θ)乘以微元面积dS，得到被积函数在极坐标系下的微元面积元素f(r, θ)dS。
4. 对被积函数在极坐标系下的微元面积元素f(r, θ)dS进行积分，即可得到二重积分的结果。
3. 其他坐标系下的二重积分除了直角坐标系和极坐标系，还可以使用其他坐标系进行二重积分的求解，如柱坐标系、球坐标系等。
具体的求解方法与极坐标系类似，只是微元面积元素的表达形式不同。
二 重 积 分
质量
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直 径，当λi很小时，由于ρ(x,y)连续， ρ(x,y)在同一小闭区域内变化很小， 因此这些小块就可以近似地看作均匀 分布的.在每个Δσi中任取一点 (ξi,ηi)(见图9-3),则
ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).
图 9-3
一、二重积分的概念
一、二重积分的概念
注
①和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可 积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y) 在区域D上一定是可积的.
②如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极 限存在，且与D的分法和点(ξi,ηi)的选取及积分变量用什么 字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.
一、二重积分的概念
定义1
z=f(x,y)
D上的有界函数，
将D任意分成n个小区域
Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn. 在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作 和式
(9-1)
一、二重积分的概念
当n无限增大，各小区域中的最大直径λ→0 时，不论区域D如何分割，也不论(ξi,ηi)如何选取， 如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函 数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径(一 个闭区域的直径是指区域上任意两点距离 的最大值)，当λi很小时，由于f(x,y)连续， f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此 可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于 是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个 Δσi中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高而底 为Δσi的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为
二重积分
8.6 二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。
一． 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。
这种立体称为曲顶柱体。
现在我们来讨论它的体积。
关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。
不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。
(1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。
以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。
它们的体积分别记作1V ∆，2V ∆，…，n V ∆(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。
即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V ，即0lim →=λV ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度ρ是点),(y x 的函数，即),(y x ρρ=在D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即ρ为常数，则质量M 等于面密度乘以薄片的面积。
二重积分定义
D
（二重积分估值不等式）
性质6 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f (,)
D
（二重积分中值定理）
例 1 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d
D
(2)f(x,y)在有界闭区域D上连续 f(x,y)在D上可积
5.二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积． 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体 积的负值．
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
o
故二重积分可写为
D
练习题
一、填空题:
1、当函数 f ( x, y) 在闭区域D 上______________时, 则其在D 上的二重积分必定存在 .
2、二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3、若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
二重积分的概念-与性质
D
中值定理的几何意义：当 f (x ，y) 0 时，曲顶柱体的体积等于以 D 为底，以 D 上某点 ( ，) 处的值 f ( ，) 为高的平顶柱体的体积．
1.3 二重积分的性质
性质 8（偶倍奇零）
（1）设 f (x ，y) 在有界闭区域 D 上连续，区域 D 关于 x 轴对称．那么，当 f (x ，y)
f (x ，y)d f (x ，y)dxdy ．
D
D
其中， dxdy 称为直角坐标系中的面积元素．
结论 在 xOy 平面有界闭区域上定义的二元连续函数是可积的．
1.2 二重积分的几何意义
在 xOy 平 面 的 有 界 闭 区 域 D 上 ， 如 果 有 界 函 数 f (x ，y) 0 ， 则 二 重 积 分
对于平顶柱体，其体积等于底面积乘以高．对于曲顶柱体， 其高度 f (x ，y) 是 x，y 的函数，即曲顶柱体的高度不是常数，所 以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算曲顶柱体的体积．那么 如何解决这个问题呢？我们可以用之前求曲边梯形面积的方法来 试试，具体过程如下．
1.1 二重积分的概念
（1）分割：用任意一组曲线网把区域 D 分割为 n 个小闭区域 i (i 1，2， ，n) ， 小闭区域的面积记作 i (i 1，2， ，n) ，小闭区域 i 上任意两点间距离的最大值称为 该小闭区域的直径，记为 di (i 1，2， ，n) ，每个小闭区域对应着一个小的曲顶柱体， 它们的体积记作 Vi (i 1，2， ，n) ．
（3）如果 D 关于原点对称， (x ，y) D ，则有
0 ，
f (x ， y) f (x ，y) ，
f (x ，y)d
D
2
[理学]第八章二重积分_OK
![[理学]第八章二重积分_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/0c543dfc7cd184254a353530.png)
2
0
2sin
I
0
ydy dx 2
d 0
r sin rdr
矩形域 半圆域
2
2 2
2
s
i
nd
[
r3 3
2sin
]
0
4
2
s i n
8si n3 3
d
令 t
4 8
2
s
i
n4
tdt
4
8
3
1
4
30
342 2
2 27
例5.计算I e y2 dxdy,其中D由y x, y 1和y轴
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
0 x 1
x
2
y
x
x y2
yy xx22
22
( x2
y)dxdy
1[ 0
x x2
(
x
2
y)dy]dx
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx
0
2
33 . 140
先对x后对y:
0 y 1
y
2
x
y
x y2 y x2
D
D
(9) f (x, y)d g(x, y)d,( f (x, y) g(x, y))
D
D
8
1 若D对称于x 轴，关于变量y被积函数 是奇函数，
其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于y>0
的区域上的积分；
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数，
其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0
二重积分概念
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分
2 1
8
y x2
x
(1,1)
20
例5 计 算 xy d , 其 中D是 由 抛 物 线y2 x及
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。y
解 两曲线的交点 (4,2) (1,1)
y2 x
(4, 2)
若选择先 y 后 x ,
xy d
1
dx
x
xy dy
o
0
x
D
4
dx
x
xy dy ,
x
y 1( x)
12
一般地，积分区域为：
1( x) y 2( x)，a x b .
y
y 2(x)
D
f (x, y)d
D
y 1(x)
b a
2 ( x) 1( x)
f
(
x
,
y
)
dy
dx
ao
bx
记为
b
dx
2 ( x) f ( x, y) dy .
a
1( x)
—— 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
D2
y
1
0 y 2 x,
D2 :
1
x2
.
D1 D2
o
1
2x
y2 x
24
设 D D1 D2
将 D 向 y 轴投影,
D:
1
1 y2 x 2 y,
0 y 1.
y
1
D1 D2
o
1
2x
y2 x
原式 f ( x, y) d
D
1 2 y
dy
f ( x, y)dx .
0
1 1 y2
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的其中一种性质，比如面积、质心等。
在直角坐标系中，二重积分的计算需要将被积函数表示成两个变量的函数，并确定积分区域的边界。
下面将介绍二重积分的计算方法及其应用。
一、二重积分的定义二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分，其定义如下：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，且$D$为$x$轴上$[a,b]$的一个闭区间，$y$轴上$[c,d]$的一个闭区间，将$D$划分为有限个小区域，每个小区域用$(\Delta x_i,\Delta y_j)$表示，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，则二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$定义为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^*,y{j}^*)\Delta A_{ij}$$其中$x_{ij}^*,y_{ij}^*$为$(x,y)$在第$i$行第$j$列小区域内的任意一点，$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$为第$i$行第$j$列小区域的面积，$\lambda$为小区域的最大直径，$\lambda=\max\{\Deltax_1,\Delta x_2,...,\Delta x_m,\Delta y_1,\Delta y_2,...,\Delta y_n\}$。
二、二重积分的计算在直角坐标系中，二重积分的计算分为三种情况：换序积分、累次积分和极坐标积分。
下面将依次介绍这三种情况的计算方法。
1.换序积分当被积函数是可分离变量的函数时，可以进行换序积分。
换序积分可以简化计算过程。
设函数$f(x,y)=g(x)h(y)$，则有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^bg(x)dx\int_c^dh(y)dy$$也可以先对$y$积分再对$x$积分，即：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^dh(y)dy\int_a^bg(x)dx$$2.累次积分对于一般的被积函数，可以通过累次积分的方法进行计算。
第二十一章二重积分
第二十一章 重积分§1二重积分概念1.把重积分Dxyd s 蝌作为积分和的极限，计算这个积分值，其中[0,1][0,1]D =?并用直线网,(,1,2,1)i ix y i j n n n===-分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为其节点。
证明：22n 24i=1j=111(1)1lim lim 44n xx Di j n n xydxdy n n n n +=鬃==邋蝌2.证明：若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，则(,)f x y 在D 上有界。
证明：假设(,)f x y 在D 上可积，但在D 上无界。
则对D 的任一分割T={}n 12s ,s ,s ,(,)f x y 必在某个小区间k s 上无界。
当i k ¹时，任取i i p 蝧，令G=(),(,),i i i kDf p I f x y dxdy ¹s =å蝌由于(,)f x y 在k s 上无界，即存在k k p 蝧使得1()k kI Gf p ++>s 。
从而1()())()()()2 1.(*)nii i i k k k ki k i i ki kf p f p f p f p f p =构s =s +s 硈-s >+邋?另一方面，由于(,)f x y 在D 上可积，取1e =，故存在0d >，对任意D 的分割n {}T 12=s ,s ,s 当T <δ时，i 1i=11*f x y D nT I ¹-<ååni i i i 的任一分f(p σ)都满足f(p )σ而（）式与此矛盾，所以，(,)在上有界3.证明二重积分中值定理（性质7）。
证明：函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上存在最大值M 与最小值m ，且对D 中一切(,)x y 点，有(,).m f x y M ＃ 有性质6知，,(,)D D DmS f x y d MS ££蝌σ即1(,)DDm f x y d M S ＃蝌σ有介值定理存在()D Îξ,η使得(,).()Df x y d f D S =蝌σξ,η4：若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则(,)0Df x y d >蝌σ证明：由已知，存在000(,)p x y D Î，使00(,)0f x y >则存在0>δ，对一切1(,)p x y D Î，其中10,(())D P D =?δ，有001(,)(,)02f x y f x y >> 而(,)f x y 在有界闭域D 上非负连续，则有111001(,)(,)(,)(,)02D D D D Df x y d f x y d f x y d f x y S -=+?蝌蝌蝌σσσ 其中（1D S 表示为1D 的面积）5.若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域'D D Ì上有'(,)0D f x y d=蝌σ 则在D 上(,)0.f x y º证明：用反证法：假设在D 内存在一点000(,)p x y 使00(,)0f x y ¹，不妨设00(,)0f x y >。
二重积分定义式公式
二重积分定义式公式一、二重积分的定义式公式二重积分的定义式公式如下：∬R f(x,y) dA其中，R为平面上的一个有界闭区域，称为积分区域；f(x,y)为定义在R上的实值函数；dA表示面积元素。
二、二重积分的概念二重积分可以理解为对一个平面区域上的函数进行求和的过程。
对于给定的函数f(x,y)和积分区域R，我们将R划分为许多小的面积元素，然后计算每个面积元素上函数值f(x,y)与面积元素dA的乘积，再将所有的乘积相加，即可得到二重积分的结果。
二重积分的结果表示了函数f(x,y)在积分区域R上的平均值或总量。
如果将函数f(x,y)看作是一个密度函数，那么二重积分的结果就表示了在积分区域R上的质量、电荷、能量等物理量的总量。
三、二重积分的性质线性性质：即二重积分具有线性运算的特性。
对于任意的实数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有以下性质：∬R (af(x,y) + bg(x,y)) dA = a∬R f(x,y) dA + b∬R g(x,y) dA2.积分区域的可加性：如果将积分区域R划分为两个不相交的子区域R1和R2，那么有以下性质：∬R (f(x,y) + g(x,y)) dA = ∬R1 f(x,y) dA + ∬R2 f(x,y) dA3.积分区域的可分性：如果将积分区域R划分为两个相邻的子区域R1和R2，那么有以下性质：∬R f(x,y) dA = ∬R1 f(x,y) dA + ∬R2 f(x,y) dA四、二重积分的计算方法计算二重积分的方法有多种，常用的方法包括直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法：当积分区域R为直角坐标系下的矩形区域时，可采用直角坐标法进行计算。
具体步骤为：（1）确定积分区域R的边界；（2）将二重积分转化为两个一重积分，分别对x和y进行积分；（3）计算一重积分的结果；（4）将两个一维积分的结果相乘，得到二重积分的结果。
2.极坐标法：当积分区域R具有旋转对称性或者边界方程为极坐标方程时，可采用极坐标法进行计算。
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第一节 二重积分的概念与性质
一、内容要点
1、引例
例1曲顶柱体的体积
例2平面薄片的质量
通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。
2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。
3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。
例3关于估值定理的应用
例4关于中值定理的应用
4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。
二、教学要求和注意点
理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
第二节 二重积分的计算法
一、内容要点
利用直角坐标计算二重积分
1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分：
①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21ϕϕ 则
⎰⎰⎰⎰=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ
②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21ϕϕ 则
⎰⎰⎰⎰=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(ϕϕσ
③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。
2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。
例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。
例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。
例3关于利用对称性计算二重积分的例子。
例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。
利用极坐标计算二重积分
1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。
2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。
3、确定积分上下限的办法。
例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分
例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2
0-+∞⎰ 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分
例4利用极坐标计算二重积分
二、教学要求和注意点
1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法
2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。
3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。
第四节 三重积分
一、内容要点
1、三重积分的概念，存在性及性质
2、三重积分在直角坐标系下的计算
①先单积分后二重积分
②先二重积分后单积分
3、更换积分次序
例1将三重积分化为三次积分
例2更换积分次序
例3先二重积分后单积分
4、柱面坐标系下三重积分的计算。
5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +ϕ等时，常用柱面坐标计算。
6、球面坐标系下三重积分的计算。
7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++ϕ
时，常用球面坐标计算。
例1化三重积分为柱面坐标系下的三次积分。
例2化三重积分为球面坐标系下的三次积分。
例3利用三重积分求体积或质量。
二、教学要求和注意点
1、在直角坐标系中，当用“先一后二”法计算三重积分时，如何恰当选择第一次单积分的积分变量颇为关键，一般方法是：先把围成Ω的各边界曲面通过显式方程表出，如果x ，y ，z 中的某个变量恰好出现在两个显式方程的左端，并且不出现于任一方程的右端，则可选该变量作为第一次单积分的积分变量。
2、在重积分的计算中，换元法也是强有力的手段。
第四节 重积分的应用——元素法
一、内容要点
1、曲面面积：σd z z A y x D xy 221++=
⎰⎰
2、物体的质量：
平面薄片质量 ⎰⎰=D d y x M σμ),(
空间物体质量 dv z y x M ),,(μ⎰⎰⎰Ω
=
3、物体重心： 平面薄片的重心：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰D
D d y x y M y d y x x M x σ
μσμ),(1),(1 空间物体的重心： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
ΩΩdv z y x z M z dv z y x y M y dv z y x x M x ),,(1),,(1),,(1μμμ 4、转动惯量：
平面薄片对坐标轴及原点的转动惯量：
⎰⎰=D
x d y x y I σμ),(2
⎰⎰=D
y d y x x I σμ),(2
⎰⎰+=D
d y x y x I σμ),()(220
空间物体对于坐标面、坐标轴及原点的转动惯量：
dv z y x z I xy ),,(2μ⎰⎰⎰Ω
=
dv z y x z y I x ),,()(22μ+=⎰⎰⎰Ω
dv z y x z y x I ),,()(2220μ++=⎰⎰⎰Ω
5、引力： dv r
x x z y x G F x 30))(,,(-=⎰⎰⎰Ωμ 例1求曲面面积
例2求物体的重心
例3求转动惯量
二、教学要求和注意点
1、掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的算法。
2、用元素法解决实际问题。