李雅普诺夫稳定性分析
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
第五章李雅普诺夫稳定性分析
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
第十一章 李雅普诺夫稳定性分析
原 理 中 所 讲 的 也 有 所 不同 。
一 ， 李 雅 普 诺 夫 意 义 下的 稳 定 性 的 含 义
当
f(X e ,t) 0 时
则Xe被 称 为 系 统 的 平 衡 状 态。
应
用
范
数
表
示
以
平
衡
状态X
为
e
圆
心,
半
径
为R的 球 域 时,可 写 成 X Xe R 其 中 X Xe
被 称 为 欧 几 里 德 范 数 。它 等 于 ：
自 动 调 速 系 统 中 保 持 电机 转 速 为 一 定 的 能
力,以 及 火 箭 飞 行 中 保 持 航行 为 一 定 的 能 力 等 都 是 。 具 有 稳 定 性 的系 统 被 称 为 稳 定 的
系 统;反 之 不 具 有 稳 定 性 的 系统 被 称 为 不 稳 定系统。
由 上 面 所 讲 的 含 义 可 见,所 谓 系 统 的 稳 定 性 就 是 系 统 受 到 小 的外 界 干 扰 后,系 统 的 偏 差 量 的 过 渡 过 程 的 收敛 性, 假 如 系 统 在 受 到 外 界 干 扰 后,其 偏 差 量 越 来 越 大,显 然 它 不 可 能 是 一 个 稳 定 的 系 统。 可 见 稳 定 性 乃 是
第十一章李雅普诺夫稳定性分析
$1
概述
一 个 自 动 控 制 系 统 要 能正 常 的 工 作 ， 它 必 须 首 先 是 一 个 稳 定 的 系 统 。也 就 是 说 ， 当 系 统 受 到外 界 干 扰 后,虽 然 它 的 原 有 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)被 破 坏, 但 在 外 部 干 扰 去 掉 后,仍 有 能 力 自 动 地 在 另 一新 的 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)下 继 续 工 作 下 去,系 统 的 这 一 种 本 能 通 常 叫 做 系统 的 稳 定 性 。 例 如,常 见 的 电 压 自 动 调 节 系 统 中 保 持电 机 电 压 为 恒 定 的 能 力,电 机
稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究
稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究随着科学技术的快速发展，现代化复杂系统的建模和控制问题变得越来越重要。
不确定性常常是复杂系统中的一个普遍特征，包括参数变化、外部干扰等，而这些因素往往会影响到系统稳定性和性能。
因此，寻找有效的控制方法来保证系统稳定性和性能成为了复杂系统研究中的一个热点问题。
本文将探讨稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究。
一、稳态李雅普诺夫稳定性分析的基本理论稳态李雅普诺夫稳定性分析是现代系统控制理论中的一个重要分支。
其核心思想是通过研究系统状态变量的稳态变化规律，来判断系统的稳定性特征。
该方法的基本理论可以总结如下：1.1 稳态李雅普诺夫函数稳态李雅普诺夫（LS）函数是指在一定条件下，系统状态变量通过某种方式组合而成的函数。
它可以用来刻画系统在达到稳态时的状态变化规律。
具体而言，稳态LS函数的定义如下：$$V(x)=\int_0^{\infty} \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x,t)p(t)dt$$其中，$x=\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right]^{\mathrm{T}}$是系统状态变量，$f_i(x,t)$是系统状态变量的方程，$p(t)$是某个概率密度函数，$\frac{\partialV}{\partial x_i}$是某个函数。
在该式中，$V(x)$越小，表示稳态时系统的稳定性越强。
1.2 稳态李雅普诺夫函数的性质稳态LS函数具有许多重要的性质，其中最基本的包括：1）非负性：$V(x)\geq0$，且$V(x)=0$当且仅当$x=0$；2）单调性：如果$f_i(x,t)\geq0$，则对于$x_1\neq x_2$，有$V(x_1)-V(x_2)>0$或$V(x_1)=V(x_2)$；3）对称性：如果对于任意的$x$和$y$有$f_i(x,t)=f_i(y,t)$，则$V(x)=V(y)$；4）上界性：如果存在$yu>0$，使得$f_i(x,t)\leq f_i(y,t)$，则有$V(x)\leq V(y)$。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
李雅普诺夫稳定性理论
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
ch李雅普诺夫稳定性分析
1 p
1
2
2
n
i 1
统一记为 满足：
(1)
'
p xi i 1
( p 1, 2, )
1
p范数
2
X
2
X X X
n X n X
(2) ' (3)'
X X
n X 1
2
二、李雅普诺夫意义下的稳定（4种：系统自由响应是否有界） 1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应幅值有界） 设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 S ( )
2018/10/20 2
研究系统稳定性的方法：
1）古典控制理论：
乃奎斯特稳定性判据 分析特征方程的根在根平面 线性连续定常系统 的分布状况
劳斯—胡尔维茨稳定性判据
根据系统矩阵的特征根在根 2）现代控制理论：李雅普诺夫稳定性： 平面的分布情况判断稳定性 1892年, 俄国数学家Lyapunov， 第二法（直接法，定性方法。） 博士论文《运动稳定性的一般问题》。 利用经验和技巧来构造李氏函数, 线性、非线性； 根据李氏函数的特性判断稳定性 定常、时变系统等 （分析能量函数的变化趋势）
1、 函 数 h( t )有 界 含 义 ： 对于函数 h( t )， 在0, 时 间 区 间 内 存 在 实 常 k 数 ， 满 足h( t ) k 。
2、尽管在定义时提到了输入和扰动作用，但对线性定常系统来 说，系统稳定与否完全取决于系统本身的结构和参数，稳定性 是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。
2018/10/20 18
BIBO稳定性判据（传递函数）： 线性定常连续系统的传递函数是 G( s) C ( sI A)1 B，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
第4章稳定性与李雅普诺夫方法
第4章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性是评估一个系统的重要性能指标，它描述了系统在一定初始条件下是否能够保持其平衡状态。
稳定性分为两种类型，即渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性指的是系统随着时间的推移趋向于其中一平衡状态，而有界稳定性指的是系统在任意时刻的状态都保持在其中一有界范围内。
为了评估系统的稳定性，我们可以利用李雅普诺夫方法。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个满足特定条件的函数，它的导数反映了系统状态变化的趋势。
通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析，我们可以判断系统在任意时刻的状态是否会向着平衡状态演进。
在利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析时，通常需要满足以下条件：1.李雅普诺夫函数必须是正定函数，并且在系统的平衡点上取得最小值。
2.李雅普诺夫函数的导数必须是负定函数，即在系统的平衡点附近的任意一点，李雅普诺夫函数的导数都小于等于零。
如果满足以上条件，那么系统就是渐近稳定的。
反之，如果李雅普诺夫函数的导数是正定函数，那么系统就是不稳定的。
除了判断系统的稳定性外，李雅普诺夫方法还可以用于定量的稳定性分析。
通过分析李雅普诺夫函数的导数的大小，我们可以得到系统状态变化的速度。
如果李雅普诺夫函数的导数越小，那么系统的稳定性就越好。
反之，如果李雅普诺夫函数的导数越大，那么系统的稳定性就越差。
在实际应用中，李雅普诺夫方法广泛应用于控制系统、电路系统和机械系统等领域。
通过利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析，我们可以评估系统的稳定性，并对系统进行控制，以保持系统的稳定状态。
总之，稳定性是一个评估系统性能的重要指标，通过利用李雅普诺夫方法可以判断系统的稳定性，并定量地分析系统的稳定性。
李雅普诺夫方法在控制系统、电路系统和机械系统等领域有广泛的应用前景。
现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
克拉索夫斯基法 (1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
� 设非线性定常连续系统的状态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
� 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
� 对上述非线性系统 ,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
0
1
x1
x2
0
(x1 , x2 ,0,⋯ ,0)
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,⋯, x ) dxn
0
1 2
xn
n
变量梯度法 (5/10)
� 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
⎡ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + ⋯ + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ grad V = ⎢ 21 1 ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ a x + a x + ⋯ + a x ⎣ n1 1 2n 2 nn n ⎦
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
� 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 � 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 � 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 � 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
̇1 = x2 ⎧x ⎨ ̇2 = − x2 − x13 ⎩x
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
第四章 李雅普诺夫稳定性 分析和应用汇总
3、大范围渐近稳定 xe是渐近稳定，且其渐近 稳定范围是整个状态空 间。 －－线性只要渐近稳定 （只有一个xe）一定是整个状态 空间的渐近稳定。 －－非线性系统， xe不只一个
4、不稳定 若当 x0 xe 时，总存在一个初态 x0，使 x0 xe ， (t t0 ), 称平衡状态xe是不稳定的。
Ax, x (t )x 0 如线性定常： x
二、平衡状态： f (x, t )中对所有t，必存在一些状态点 系统x x e，使 f (x e , t ) 0，该类状态点 x x e 称为系统的平衡状态。 意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将 xx 0 维持平衡，不再随时间变化，即 x
三、范数：－－衡量（度量）状态空间距离的大小 向量x的长度称为向量x的范数：
x x 1 x 2 x n , 向量x与x e的距离为： x x e ( x 1 x e1 ) 2 ( x n x en ) 2 与x x e限定在某一范围时，记 作 x x e ， 0
则称系统的平衡状态 xe是稳定的，或称 xe在李氏意义下稳定
几何意义：从 S ( ) 发出的轨迹， 在t t 0的任何时刻 总不会超出 S ( )
2、渐近稳定（经典理论 稳定性定义） xe在李氏意义下稳定，且 当t 时，x xe , lim x xe 0
t
几何意义： 从S (）发出的任意一个解， 当t 时，最终收敛于 xe。 实际上渐近稳定。 区别：工程上常常要求 渐近稳定。
3、现代控制理论判稳方法：
[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用 方法，适用于各种系统。 李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳－－间接法 李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对 任何复杂系统都适用。
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
预备知识
控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov) 稳定性分析
主要内容 ＞李雅普诺夫意义下的稳定性
❖平術状态
❖ 稳定、渐近稳定、大范@a 魂定、不魏定的定义
＞李雅普诺夫稳定性理论
»李雅普诺夫第一法
线性系统的稳定判揭 ❖ 菲邈性系玻的稳定判揭
＞李雅普诺夫第二法
❖预备知识 ❖几个穂定判据
用其性质判断系统的稳定性（间 接法）
其基本思路和分析方法与经典理论一致 驚鑿夫不求解微分方程，而利用经验和技
巧构造能量函数…•李雅普诺夫函数来 判断 系统的稳定性（直接法）
对任意阶线性或非线性. 定
常或时变系统的稳定性 分析 特别适用于非线性系统和时变系统
均适用的一般性方法
（因其状态方程求解困难）
7
9
1）如果系统是线性定常的，即：
,则当
A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点;
Axe = 0 => 兀,=0
10
当 A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。 q 兀=0=＞无
穷多个兀
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这 些状态对应于
系统的常值解（对所有 t,总存在 兀二兀）
则称系统的平衡状态兀为渐近稳定的,
其中球域 S0)被称为平衡状态兀,的吸引域。
1) 渐近稳定必然是 Lyapunov 意义下的稳定
2) lim||x(r;x09r0)-xJ| ^>0
3) 5 与心无关=> 一致渐近稳定
19
(b)
平衡状态
说明：
渐近稳定性表明系统 能 完全消除扰动的影 响； 但，只是一个局部概 念，依赖系统的平衡 状 态。
李雅普诺夫稳定性分析方法
• 显然 by0x02sinx0代入后,得到
y a y b y ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
• 两边进行拉氏变换得(初始状态 y0 0 ),则
( s 2 a s b ) y ( s ) ( 2 x 0 c o s x 0 ) x ( s )
2).二次型标量函数
• V(x)xT px称为二次型函数,若 pij p ji 则p称为 实对称的.
2.Lyapunov第二方法的几个定理---稳定性判 据（书P317)
• 定理一.设系统的状态方程: xf(x,t),且 f(0,t)0 (坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统存 在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并满 足下列条件：
例子:一个系统的描述输入输出的模型为
yaybyx2sinx
其中 x:输入, y:输出.
设 x 0 , y 0 是平衡点,即满足
y0a y0b y0x02sinx0
• 由于 x 0 , y 0 均为常数,则 y0 y0 0从而有
by0 x02sinx0
• 令 xx0 x,yy0 y则方程左边是
• 实际上也是对平衡状态稳定性的定义.
• 定义:如果对任意给定的ε>0,都对应存在另 一依赖于ε和 t的0 实数 ,t00,使得满足 不等式:
xxe (,t0)
的任一初始状态 x 0 出发的受扰运动 x(t : x0,t0) 都满足不等式
x(t;x0,t0)xe tt0
• 则有
y(s)2x0cosx0 x(s) s2asb
G(s)
• 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x 0 处 x 和 y 的运动特性,而Laypunov第一方法, 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
结论正定0该平衡态渐近稳定正定0对任意非零的初始状态的解该平衡态渐近稳定正定0对某一非零的初始状态的解该平衡态稳定但非渐近稳定正定0正定0该平衡态不稳定正定0半正定0且不恒为0对任意非零的初始状态的解该平衡态不稳定类似于线性定常连续系统对于线性定常离散系统有如下简单实用的渐近稳定判据
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
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常微分大作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪一洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。
一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。
另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下),(t x f x= （1） 式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定方程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态 如果对于所有t ，满足0),(==t x f xe e （2） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态方程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。
控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。
鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。
对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。
（a ）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b ）渐近稳定性 （c ） 不稳定性图1 稳定性的平面几何表示 2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0),(0>t εδ，当初始状态满足δ≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim t →∞ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态x e 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。
该定义的平面几何表示见图8-18（a ），e x x -0表示状态空间中x 0点至x e 点之间的距离，其数学表达式为2021100)()(ne n e e x x x x x x -++-=- （3）设系统初始状态x 0位于平衡状态x e 为球心、半径为δ的闭球域()S δ内，如果系统稳定，则状态方程的解),;(00t x t x 在∞→t 的过程中，都位于以x e 为球心，半径为ε的闭球域()S ε内。
（2）一致稳定性： 通常δ与ε、t 0 都有关。
如果δ与t 0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
定常系统的δ与t 0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
（3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 00lim (;,)0e t x t x t x →∞-→ （4） 称此平衡状态是渐近稳定的。
这时，从()S δ 出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当∞→t 时收敛于x e 或其附近，其平面几何表示见图8-18（b ）。
（4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。
此时，∞→δ，∞→δ)(S ，∞→x 。
对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。
非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
（5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在()S δ内有一条从x 0 出发的轨迹跨出()S ε，则称此平衡状态是不稳定的。
其平面几何表示见图8-18（c ）。
注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过()S ε ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。
经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。
3.李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。
根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。
实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。
它与n x x ,,1 及t 有关，是一个标量函数，记以(,)V x t ；若不显含t ，则记以()V x 。
考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用(,)V x t 表示。
遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。
实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数Px x T 作为李雅普诺夫函数。
1.标量函数定号性（1）正定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零状态)0(≠x 有0)(>x V 且0)0(=V ，称()V x 在域S 内正定。
如2221)(x x x V +=是正定的。
（2）负定性 标量函数()V x 在域S 中对所有非零x 有0)(<x V 且0)0(=V ，称()V x 在域S 内负定。
如)()(2221x x x V +-=是负定的。
如果()V x 是负定的，-()V x 则一定是正定的。
（3）负（正）半定性 0)0(=V ，且()V x 在域S 内某些状态处有0)(=x V ，而其它状态处均有0)(<x V （0)(>x V ），则称()V x 在域S 内负（正）半定。
设()V x 为负半定，则()V x -为正半定。
如221)2()(x x x V +-=为正半定。
（4）不定性 ()V x 在域S 内可正可负，则称()V x 不定。
如21)(x x x V =是不定的。
关于(,)V x t 正定性的提法是：标量函数(,)V x t 在域S 中，对于0t t >及所有非零状态有0),(>t x V ,且0),0(=t V ，则称),(t x V 在域S 内正定。
),(t x V 的其它定号性提法类同。
二次型函数是一类重要的标量函数，记[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n nn n n n T x x p p p p x x Px x x V111111)( （6） 其中，P 为对称矩阵，有ji ij p p =。
显然满足0)(=x V ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。
当P 的各顺序主子行列式均大于零时，即111111*********,0,,0n n nn p p p p p p p p p >>> （7） P 为正定矩阵，则()V x 正定。
当P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即111111*********,0,,(1)0n n n nnp p p p p p p p p <>-> （8） P 为负定矩阵，则()V x 负定。
若主子行列式含有等于零的情况，则()V x 为正半定或负半定。
不属以上所有情况的()V x 不定。
下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。
2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理设系统状态方程为),(t x f x= ，其平衡状态满足0),0(=t f ,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在(,)V x t 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1 若①(,)V x t 正定，②(,)V x t 负定；则原点是渐近稳定的。
(,)V x t 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。
定理 2 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。
(,)V x t 负半定表示在非零状态存在(,)0V x t ≡，但在从初态出发的轨迹),;(00t x t x 上，不存在0),(≡t x V 的情况，于是系统将继续运行至原点。
状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。
定理3 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
沿状态轨迹能维持0),(≡t x V ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。
定理4 若①(,)V x t 正定；②(,)V x t 正定；则原点是不稳定的。
(,)V x t 正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。
参考定理2可推论：(,)V x t 正定，当(,)V x t 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。
应注意到，李雅普诺夫函数[正定的(,)V x t ]的选取是不惟一的，但只要找到一个(,)V x t 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的(,)V x t 不同而有所影响。
不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。
如果(,)V x t 选取不当，会导致(,)V x t 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重新选取(,)V x t 。
以上定理按照(,)V x t 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。
具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数(,)V x t ，通常选二次型函数，求其导数(,)V x t ，再将状态方程代入，最后根据(,)V x t 的定号性判别稳定性。
至于如何判断在非零状态下]),,;([00t t x t x V 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：令0),(≡t x V，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对0≠x ，0),(≡t x V 的条件是成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足0),(≡t x V的条件。