2-3 章末归纳总结
高中数学复习选修2-3 第一章章末总结 阶段复习课(一)
3. 的定义解释
是从Cmnn个 不Cnn同m元素中取出m个元素拼成一组，在从n个不同
元素中取出m个元素的同时，n个元素中剩余的n-m个元素就自
然C形mn 成了一组，所以 与 是相对应的，所以两数相等.
Cmn
Cnm n
【辨析】
1.组合与组合数的区别
组合与组合数是两个不同的概念,一个组合是由不同元素合成的一组数,组合
【辨析】
1.排列的概念 排列问题是针对不同元素的排列,若问题中允许元素重复,则不是排列问题. 2.排列与排列数的区别 排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是按一定顺序排列的一列数,排列 数是所有不同排列的个数,是一个数.
三、组合 1.组合与组合数
概念
组合,组合数
一般地,从n个不同元素中取出m个元素合成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合, 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数.
各类方案之间是互斥的、 各步之间是关联的、相
并列的、独立的
互依存的
二、排列 1.排列与排列数
排列,排列数
排列 概念
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不
排列数 同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个
③④字a与C母knbaa的n,b次k是b数k一之种和“是符n号. ”，它可以是数、式及其他值.
⑤通项公式是对(a+b)n这个标准形式而言的，如(a-b)n的展 开式的通项公式是
Tk1 1 k Cnkankbk .
Ckn (n N*,k 0,1,2,,n)
(2)二项式定理的特征 ①二项展开式有n+1项，比二项式的次数大1. ②二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念. ③要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.
人教A版数学选择性必修第一册 第三章章末总结(课件PPT)
解得 x2＝2c2－c2b2a2＝3c2－c2a2a2.
又 x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝ac∈
33，
2
2
.
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专题四 直线与圆锥曲线的位置关系 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基 本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中，利用判断法进行推断． [典例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点1， 22，且焦距为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过点 P(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
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2．圆锥曲线的几何性质 (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定 位、后定量”． 3．圆锥曲线的离心率 椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点， 下面就离心率的求法做一个简单的总结． (1)定义法； (2)几何法； (3)寻求齐次方程求离心率； (4)借助不等式求离心率的取值范围．
斜
率
k
的取值范围为
－ 22， 22.
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[练习 4](2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 M(2,3)，点 A 为其 左顶点，且 AM 的斜率为12.
(1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．
直线和圆的方程章末重难点归纳总结-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第2章直线和圆的方程章末重难点归纳总结重点一 直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈； ①若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ①若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α． 【答案】①①①【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误； 对于①中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以①错误；对于①中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以①错误.故答案为：①①①. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】BCD 【解析】由题意得110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-，故选：BCD ．2．（2022·黑龙江黑河）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】13,22PM PN k k =-=，画出图象如下图所示，由图可知，直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤ 所以直线l 的斜率的取值范围是13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-【答案】A【解析】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a -，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A重点二 直线的位置关系【例2-1】（2022·江西）已知条件p ：直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件q ：1a =，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，则221a a =+，故1a =或12a =-．当1a =时，()2110a x a y ++-=即为2+-1=0x y ，此时直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行；当12a =-时，()2110a x a y ++-=为111024x y +-=，即2-40x y +=，此时直线2x ＋y －4＝0与直线()2110a x a y ++-=重合，不符合，即1a =，故p 是q 的充要条件．故选：A ．【例2-2】．（2022·河南）已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =， 所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件． 故选：B ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12//l l ，则斜率12k k =； ①若斜率12k k =，则12//l l ； ①若12//l l ，则倾斜角12a a =；①若倾斜角12a a =，则12//l l ； 其中正确命题的个数是______． 【答案】4【解析】因为1l 与2l 为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k . ①由于斜率都存在，若12//l l ，则12k k =，此命题正确；①因为两直线的斜率相等即斜率12k k =，得到倾斜角的正切值相等即12tan tan a a =，即可得到12a a =，所以12//l l ，此命题正确；①因为12//l l ，根据两直线平行，得到12a a =，此命题正确；①因为两直线的倾斜角12a a =，根据同位角相等，得到12//l l ，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：4．2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（ ） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =【答案】A【解析】因为直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，易知0a =时，两直线垂直， 所以l m ∥的充要条件是11a aa a=≠，即1a =-． 故选：A ．3．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）（多选）若直线过点()1,2P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y ++=【答案】ABC【解析】A ：显然()1,2P 在10x y -+=上，且在x 、y 轴上的截距均为1，符合； B ：显然()1,2P 在30x y +-=上，且在x 、y 轴上的截距均为3，符合； C ：显然()1,2P 在20x y -=上，且在x 、y 轴上的截距均为0，符合； D ：()1,2P 不在10x y ++=上，不符合. 故选：ABC4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在 C ．直线l 可能过点()2,1 D ．直线l 的横、纵截距可能相等 【答案】BD【解析】因为直线:10l x my m -+-=， 若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确； 若0m ≠，则直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误； 将点()2,1代入直线方程得2110m m -+-=≠，故C 错误； 令1m =，则直线方程为0x y -=，横纵截距均为0，故D 正确． 故选：BD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值可能为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3【答案】AD【解析】由题意得(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=.解得1a =-或3a =． 故选：AD ．6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，下列命题中正确的有（ ）A ．当3m =时，1l 与2l 重合B ．若12l l ∥，则0m =C ．1l 过定点(6,0)-D ．2l 一定不与坐标轴平行【答案】AC【解析】当3m =时，直线1:360l x y ++=，直线2:360l x y ++=，即两直线重合，故A 正确； 当12l l ∥时，有(2)3m m -=且26(2)m m ≠-，解得1m =-，故B 错误； 因为6060m -+⨯+=，所以直线1l 过定点(6,0)-，故C 正确；当2m =时，直线24:3l y =-与x 轴平行，故D 错误；故选：AC ．重点三 直线与圆的位置关系【例3-1】（2022·全国·高二单元测试）已知直线1l ：122y x =+，直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，则直线2l 的方程是（ ） A ．3yxB ．1533y x =+C ．37y x =-+D ．37y x =+【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，又直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线， 所以直线2l 的倾斜角为45θ+︒，故直线2l 的斜率为()11tan tan 452tan 45311tan tan 45112θθθ++︒+︒===-⋅︒-⨯， 故直线2l 的方程是()132y x -=+，即37y x =+， 故选：D ．【例3-2】（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）过点4,2P 且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是（ ） A ．43190x y --= B ．43100x y +-= C ．34160x y --= D ．3480x y +-=【答案】B【解析】由题设，与直线3460x y -+=垂直的直线斜率为43-，且过4,2P ，所以42(4)3y x +=--，整理得43100x y +-=.故选：B【例3-3】（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（ ） A ．322+ B ．322-C 2 D ．16【答案】B【解析】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>， 11112()(2)3223a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥， (322)322223(223)(322)ab a b -∴≤=-+++-当且仅当2b a a b =，即22212b a ==，ab a b +的最大值为322- 故选：B【一隅三反】1（2022·云南曲靖·高二期末）（多选）已知圆22(1)(1)4x y -+-=与直线20x my m +--=，则（ ） A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C ．直线与圆相交所截的最短弦长为23D ．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆22(1)(1)4x y -+-=的圆心()1,1C ，半径2r =，直线20x my m +--=变形得()210x m y -+-=，得直线过定点()21A ，， ①()()22211112CA =-+-<，①直线与圆必相交，故A 对，B 、D 错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为22223r CA -C 对； 故选：AC ．2．（2022·全国·高二课时练习）方程()2y k x =-表示（ ） A ．通过点()2,0的所有直线B ．通过点()2,0且不垂直于y 轴的所有直线C ．通过点()2,0且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点()2,0且除去x 轴的所有直线 【答案】C【解析】(2)y k x =-为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点()2,0． 故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在C ．直线l 可能过点()2,1D ．直线l 在x 轴、y 轴上的截距不可能相等【答案】B【解析】若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确； 若0m ≠，直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误； 将点(2,1)代入直线方程得：2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为：0x y -=，横纵截距均为0，故D 错误.故选：B.重点四 圆与圆的位置关系【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，22(0)021a --+=+，所以a ＝－3或a ＝3； 22(0)021a --+=-，所以a ＝1或a ＝－1． 当3a =时，圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分条件． 当圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切时，3a =不一定成立， 所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的不必要条件． 所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分不必要条件． 故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【解析】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆1O 的方程为()()224x a y b -+-=，圆2O 的方程为()2211x y b +-+=，其中a ，b ∈R ．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】ABD【解析】由题意可得圆心()1,O a b ，半径12r =，圆心()20,1O b -，半径21r =，则2121211O O a r r =+=-，所以两圆不可能内含．故选：ABD ．3．（2022·山东青岛·二模）（多选）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（ ） A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部 C ．直线:330l x y +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交【答案】ACD【解析】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =， 所以A 正确，对于B ，因为点(1,2222(31)(022)233-+-=>，所以点(1,22在圆C 的外部，所以B 错误，对于C ，因为圆心(3,0)C 到直线:330l x y +=的距离为()12233313d r +===+，所以直线:330l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D ，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为2(31)4CC '=+=，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确， 故选：ACD重点五 切线问题【例5-1】（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（ ） A 6B 10 C 14D ．32【答案】C【解析】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上， 所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ， 所以()223332AC =-+=所以22218414AB AC =--故选：C【例5-2】．（2022·全国·高三专题练习）直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为25r b + 因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长， 所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =， 由已知()1,2P --，(2,2)C ，22||=3+4PC ，圆的半径为3， 所以224PQ PC r =-=， 故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设点()P a b ，为直线3y x =-上一点，则由该点向圆222430x y x y ++-+=所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题知3a b =+，圆化简为：22(1)(2)2x y ++-=，则圆心()12-，2 所以由点()a b ，向圆所作的切线长为：()()()()22221223122a b b b ++--=+++--()2224182116b b b ++++ 当1b =-时，切线长取得最小值4. 故选：C.2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆22:4480C x y x y +---=，直线:280l x y -+=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为点A ，B ，圆C 的圆心为C ，当四边形PACB 的面积最小时，AB =（ ） A 25B 45C 65D 85【答案】D【解析】圆C 化为()()222216x y -+-=，①圆心为()2,2C ，半径为4.若使四边形PACB 的面积最小，则需使PAC △的面积最小，即PA 最小， ①22PC PA AC =+C 到直线l 的距离，2228255d ⨯=-+=此时25PC =2PA =， 111222AB PC PA AC ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭， ①85225AB =. 故选：D3．（2022·全国·高二专题练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．1B 2C 3D ．22【答案】C【解析】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ， 则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==， 由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-=故选：C.4．（2022·广东）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______． 【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =， 所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ， 所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=. 故答案为：20x y +-=5．（2022·全国·高二课时练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若23AB =l 的方程为___________. 【答案】0x =或34120x y +-=【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 此时23AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =， 所以圆心C 到直线l 的距离2213211k k d k k -++++因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-， 所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故答案为：0x =或34120x y +-=6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆22:2O x y +=上一点P 作圆()()22:442C x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为___________.【答案】4【解析】由题意(4,4)C ，半径为2CQ2222PQ PC CQ PC =--224442CO =+22:2CO x y +=的半径为2r =min 42232PC = 所以2min (32)24PQ -=．故答案为：4．。
章末知识点总结
章末知识点总结
在我们学习和探讨的这一章节中，我们涉及了许多重要的知识点和概念。
本文将对这些知
识点进行总结和概括，以便读者更好地理解和消化这些内容。
1. 定义和概念
在这一章节中，我们学习了许多的定义和概念，比如基本概念、数学公式、物理定律等等。
我们学习了如何应用这些定义和概念来解决实际问题，并且深入地分析了它们的内涵和逻辑。
2. 数学方法
在这一章节中，我们学习了许多数学方法，比如微积分、线性代数、概率统计等等。
这些
数学方法对于解决具体的数学问题和实际的物理问题都起到了关键的作用，而且还可以应
用到其他学科领域。
3. 实际应用
在这一章节中，我们重点讨论了这些知识点在实际问题中的应用。
我们学习了如何应用这
些知识点来解决不同领域的问题，比如工程、经济、生物等等。
这些知识点在实际应用中
发挥了巨大的作用，为我们解决实际问题提供了有效的工具和方法。
4. 进一步研究
在这一章节中，我们讨论了这些知识点的研究现状和未来发展方向。
我们深入探讨了这些
知识点的研究现状，指出了它们在未来的发展方向和潜在的问题。
这有助于我们对这些知
识点有一个全面的理解，并且为我们提供了更多的研究方向。
总之，这一章节中涉及了很多重要的知识点和概念，对于我们理解和掌握这些知识点有着
重要的意义。
通过这一章节的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识点，并且可以发
现更多的研究方向和应用领域。
希望读者可以认真学习和消化这些内容，以便更好地应用
这些知识点解决实际问题。
人教a版数学【选修2-3】第3章《统计案例》归纳总结ppt课件
B．75% D．97.5%
第三章 章末归纳总结
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[答案] D [解析] 有关系”． 查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y
第三章
章末归纳总结
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算可得 k≈0.04145，而 0.04145<2.706，所以没有充分的证据表 明该药品对防治 A 疾病有效．
第三章
章末归纳总结
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[点评]
利用独立性检验可以帮助我们定量地分析两个分
第三章
章末归纳总结
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[解析] 将问题中的数据写成 2×2 列联表如下表： 患病 使用 不使用 总计 5 18 23 不患病 100 400 500 总计 105 418 523
2 n ad － bc 将上述数据代入公式 K2＝ 中，计 a＋bc＋da＋cb＋d
3．(2014· 唐山模拟)对具有线性相关关系的变量 x、y 有一 1 ^ 组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，8)，其回归直线方程是：y＝3x ＋a， 且 x1＋x2＋x3＋„＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋„＋y8)＝6， 则实数 a 的值是( 1 A．16 1 C．4 [答案] B ) 1 B．8 1 D．2
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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郑州市高中生物必修二第三章基因的本质知识点归纳总结(精华版)
郑州市高中生物必修二第三章基因的本质知识点归纳总结(精华版)单选题1、BrdU能代替胸腺嘧啶脱氧核苷掺入到新合成的DNA链中。
将植物的根尖分生组织放在含有BrdU的培养液中进行培养，培养过程中取出部分根尖组织用姬姆萨染料染色，结果被染色的染色体出现色差如图所示。
下列叙述错误的是（）A．第一次分裂中期，每条染色体的染色单体均不含BrdUB．第二次分裂中期，每条染色体的染色单体均含有BrdUC．第二次分裂后期，一半染色体着色浅D．色差染色体的出现能证明DNA的半保留复制答案：A分析：题意分析：根据DNA具有半保留复制的特点，题意显示BrdU能代替胸腺嘧啶脱氧核苷掺入到新合成的DNA链中，即每个染色单体所含的双链DNA分子中，都有一条链中含有BrdU，因此第一次分裂中期，每条染色体的每一条染色单体均含BrdU；到第二次分裂中期，因为经过了DNA复制，此时每条染色体中含有2个DNA，含4条链，其中有3条链是含有BrdU。
A、DNA具有半保留复制的特点，根据题意，BrdU能代替胸腺嘧啶脱氧核苷掺入到新合成的DNA链中，故新合成的DNA分子中都有一条链含有BrdU，因此第一次分裂中期，每条染色体的每一条染色单体均含BrdU， A 错误；B、结合分析可知，在第二次分裂中期，每条染色体含有2条染色单体，其中一条染色单体所含的DNA分子中有有一条链掺有BrdU（着色深），另一条染色单体所含的DNA分子中两条链都掺有BrdU，B正确；C、结合C选项，由于着丝点分裂，第二次分裂后期，一半染色体着色浅，一半着色深，C正确；D、上述结论的得出均是以半保留复制为前提推测的，故利用该实验结合染色分析可用于验证DNA的复制方式为半保留复制，D正确。
故选A。
2、新冠病毒是一种含有单链RNA的病毒，其棘突蛋白（S蛋白）是膜蛋白中的主要抗原，是决定病毒毒性的关键因素，因棘突蛋白在电子显微镜下呈现的王冠状结构而得冠状病毒之名。
下列相关叙述正确的是（）A．新冠病毒是一种生物，属于生命系统的一个结构层次B．新冠病毒仅含核糖体一种细胞器C．新冠病毒比噬菌体更容易变异，与遗传物质的结构特点有关D．新冠病毒繁殖过程所需能量由自身无氧呼吸提供答案：C分析：病毒是一类没有细胞结构的特殊生物，只有蛋白质外壳和内部的遗传物质构成，不能独立的生活和繁殖，只有寄生在其他生物的活细胞内才能生活和繁殖，一旦离开了活细胞，病毒就无法进行生命活动。
人教版高中数学选修2-3章末复习总结课件
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
－m m 等，体现了组合数性质Cn ＝C n ； n
②增减性与最大值： n＋1 当k＜ 2 时，二项式系数Ck n逐渐增大； n＋1 当k＞ 2 时，二项式系数Ck n逐渐减小；
当 n 是偶数时， 展开式中间一项 T
n 2＋1
(2)排列数公式：①Am n ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， 规定A0 n＝1. 当m＝n时，An (n－1)· (n－2)· …· 3· 2· 1. n＝n·
m ②An ＝
n！ ，其中An n＝n！，0！＝1. n－m！
[说明] 化简．
公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于
组合数公式：
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄 出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第 三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数 原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有A3 4＝24种寄信方法．
1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队， 共可组成( ) A．7队 B．8队 C．15队 D．63队 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． 答案： D
r r
n r b ＋…＋C n b ，其中各项的系数 C n n (r＝0,1,2，…，n)称为二项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n －r r 式系数，第r＋1项Cr a b 称为通项． n
[说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只 与项数有关，而后者还与a，b的取值有关． ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先 由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
线性代数：第二—三章 习题课
对A进行一次初等行变换, 相当于在A左边
乘 以 相 应 的m阶 初 等 方 阵 ；
对A进行一次初等列变换,相当于在A的 右边
乘 以 相 应 的n阶 初 等 方 阵 。
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3)定理：任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积. 推论：m n矩阵A ~ B的充要条件是：
存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆方阵Q， 使PAQ B. 注：m n矩阵A经初等行变换化为B的充要条件是： 存在可逆方阵P，使PA B。
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
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5.解的结构：x k11 k2 2 knr nr
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基础解系. 基础解系为解向量中一个最大无关组.
(1) 基础解系中的向量都是原方程组的解，
(2)基础解系中所含解向量的个数等于 n r( A)； (3) 方程组的每个解可以由基础解系的线性运算表示。
定理 如果 n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则它
b k11 k2 2 kn n
成立，则称b是向量组
1
,
2
,,
的线性组合，
n
或称b 可由向量组1 , 2 ,, n线性表示，
其中k1, k2 ,, kn 称为表示系数.
注：线性方程组可表示成向量Fra bibliotek式x11 x2 2 xn n b
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如果方程组有解，就等价于存在一组数k1, k2 ,, kn使
第2章 章末总结
第2章章末总结章末总结1．病毒没有细胞结构，只有寄生在活细胞中才能生活，单细胞生物依靠单个细胞完成各种生命活动，多细胞生物依赖于各种分化的细胞共同完成一系列复杂的生命活动。
2．大量元素、微量元素都是生物必需的元素，对于维持生物体的生命活动都起着非常重要的作用。
3．占细胞鲜重含量最多的元素是氧，占细胞干重含量最多的元素是碳。
占细胞鲜重最多的化合物是水，占细胞干重最多的化合物是蛋白质。
4．组成蛋白质的氨基酸的种类、数目、排列顺序不同，肽链的盘曲、折叠方式及其形成的空间结构千差万别是蛋白质结构多样性的直接原因。
5．蛋白质是构成细胞和生物体结构的重要物质，具有催化、运输、免疫、信息传递等许多功能。
一切生命活动都离不开蛋白质，蛋白质是生命活原核细胞真核细胞病毒细胞壁大多数有，主要成分是糖类和蛋白质植物细胞有，成分是纤维素和果胶；动物细胞无细胞壁无细胞结构细胞质有核糖体，无其他细胞器有核糖体和其他细胞器细胞核拟核，无核膜、核仁，DNA不与蛋白质结合有核膜和核仁，DNA与蛋白质结合形成染色体遗传物质DNADNA或RNA例1如图是几种生物的基本结构单位，请据图回答下列问题：(1)最有可能属于病毒的是________，它在结构上不同于其他三种图示的显著特点是______________________。
(2)图中属于原核细胞的是________，它在结构上不同于真核细胞的最显著特点是________________________。
(3)图中能进行光合作用的是________，能完成此生理过程的物质基础是因为其含有______________________。
(4)图中____________展示了哺乳动物的平滑肌细胞。
答案(1)C无细胞结构(2)A、B没有以核膜为界限的细胞核(3)B藻蓝素和叶绿素(4)D解析图中A是细菌，B是蓝藻，它们都是原核生物，没有以核膜为界限的成形的细胞核。
蓝藻含有叶绿素、藻蓝素等光合作用色素，能进行光合作用。
四川省部分中学2023高中生物必修二第三章基因的本质知识点归纳总结(精华版)
四川省部分中学2023高中生物必修二第三章基因的本质知识点归纳总结(精华版)单选题1、二倍体高等雄性动物某细胞的部分染色体组成示意图如下，图中①、②表示染色体，a、b、c、d表示染色单体。
下列叙述错误的是A．一个DNA分子复制后形成的两个DNA分子，可存在于a与b中，但不存在于c与d中B．在减数第一次分裂中期，同源染色体①与②排列在细胞中央的赤道面上C．在减数第二次分裂后期，2条X染色体会同时存在于一个次级精母细胞中D．若a与c出现在该细胞产生的一个精子中，则b与d可出现在同时产生的另一精子中答案：D分析：分析题图可知，此细胞中含有同源染色体，且同源染色体形成四分体，①、②为同源染色体，a、b为姐妹染色单体，c、d为非姐妹染色单体。
A、一个DNA分子复制后形成的两个DNA分子，存在于同一条染色体的两条姐妹染色单体上，所以可存在于a 与b中，但不存在于c与d中，A正确；B、在减数第一次分裂中期，同源染色体排列在细胞中央的赤道面上，B正确；C、在减数第二次分裂后期，着丝点分裂，姐妹染色单体分开形成两条子染色体，所以2条X染色体会同时存在于一个次级精母细胞中，C正确；D、若a与c出现在该细胞产生的一个精子中，则b与d不可能出现在同时产生的另一精子中，D错误。
故选D。
小提示：在解决减数分裂的相关问题的关键是，需要考生特别铭记：减数第一次分裂进行的是同源染色体的分离，同时非同源染色体自由组合；减数第二次分裂进行的是姐妹染色单体的分离。
再结合题图解题即可。
2、果蝇的红眼基因（R）对白眼基因（r）为显性，位于X染色体上；长翅基因（B）对残翅基因（b）为显性，位于常染色体上。
现有一只红眼长翅果蝇与一只白眼长翅果蝇交配，F1雄蝇中有1/8为白眼残翅，下列叙述错误的是（）A．亲本雌蝇的基因型是BbX R X rB．F1中出现长翅雄蝇的概率为1/16C．雌、雄亲本产生含X r配子的比例相同D．白眼残翅雌蝇可形成基因型为bX r的极体答案：B分析：由题意知，长翅果蝇交配后代出现残翅果蝇，因此长翅为显性性状，残翅为隐性性状，亲本都是杂合子，基因型为Bb，子代中残翅果蝇的概率是bb=1/4，因此F1代的白眼雄果蝇的概率是1/2，所以亲代雌果蝇是杂合子，基因型为X R X r，所以亲本中红眼长翅果蝇的基因型为BbX R X r，白眼长翅果蝇BbX r Y。
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末重难点归纳总结(解析版)
第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一 基本不等式常见考法【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数,a b 满足a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．42C ．322+D ．222+【答案】C【解析】因为正数,a b 满足a b ab +=，所以111a b+=，所以112(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭23a b b a =++232322a bb a ≥+⋅+ 当且仅当2a b b a =，即2221,a b +==C【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b ab =++≥，得)()627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D 【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ）A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a <- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习） 若两个正实数,x y 满足141x y +=且存在这样的,x y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+【答案】C【解析】正实数x ，y 满足141x y+=，144422244444y y x y x y x x x y y x y x⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当44x yy x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号， 存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m 或4m <-，即()(),41,m ∈-∞-+∞，故选：C ．【一隅三反】1．（2022·四川德阳）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ，显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.2．（2022·天津红桥·）若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．3D ．42【答案】A【解析】若a ，b 都是正数，且1ab = ∴11888824222222b a a b a b a b a b a b a b a b++++=++=+⋅++++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立，故选：A.3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（ ）．A ．110 B ．19C ．227 D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b =++，()4141445529a b a ba b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当23a =，13b =时取等号，∵149ab a b ≤+．故选：B ． 4．（2022·全国·专题练习）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为________． （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________． （3）函数22(1)1x y x x +=>-的最小值为________．【答案】（1）23（2） 1 （3） 232 【解析】（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +-⎡⎤-=⨯-≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号．故答案为：23.（2）因为54x <，所以540x ->， 则()()()1114254325431455454f x x x x x x x⎡⎤=-+=--++≤--⨯=⎢⎥---⎣⎦, 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号．故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. 故答案为：1.（3）2222(21)(22)3(1)2(1)3111x x x x x x y x x x +-++-+-+-+===--- 3122321x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即31x =时，等号成立. 故答案为：232.5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________. 【答案】13230+3013【解析】因为正实数a 、b 满足131a b+=，则03ba b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()()33515152223132231313230333b b b b b b b -+=++=-++≥-⋅=+---当且仅当630b +=.因此，()()12a b ++的最小值是13230+故答案为：1330+ 考点二 三个一元二次的关系【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（ ） A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭ B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭ D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选：B【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤； 当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<； 故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C【例2-3】（2022·江西宜春）已知:4p m <-，q ：方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，当且仅当2160m ∆=->，解得4m <-或4m >， 显然，p q ⇒，q p ，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（ ）A ．()()12-∞⋃+∞，， B ．()12， C ．()()21-∞-⋃+∞，， D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+则（ ）A ．0a <B ．不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <C ．420a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+≥的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+ 所以0a >，2,3-是方程20ax bx c ++=，所以A 错误，2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则6b a c a =-⎧⎨=-⎩，对于B ，由0bx c ->，得60ax a -+>，因为0a >，所以6x <，所以不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <，所以B 正确，对于C ，因为0a >，6b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以4242()(6)40a b c a a a a ++=+-+-=-<，所以C 正确，对于D ，不等式20cx bx a -+≥可化为260ax ax a -++≥，因为0a >，所以2610x x --≤，解得1132x -≤≤，所以原不等式的解集为11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以D 错误，故选：BC30（2022广东）在∵A B A ⋃=，∵A B ⋂≠∅，∵B A ⊆R这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()2ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ). (1)求a ，b 的值； (2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). 【答案】(1)1、2；(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =； (3)若选∵：2m ≥；若选∵：1m <或2m >；若选∵：12m ≤≤.【解析】(1)由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ，∵0,31,21,a b a b a⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．m ＜2时，2m x <<； m ＝2时，不等式无解； m ＞2时，2x m <<．综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =． (3)由(1)知{1A x x =<或}2x >， 若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆， 当2m <时，(),2B m =，不满足； 当2m =时，B =∅，满足； 当2m >时，()2,B m =，满足； ∵选①，则实数m 的取值范围是2m ≥； 若选②：A B ⋂≠∅，当2m <时，(),2B m =，则1m <； 当2m =时，B =∅，不满足； 当2m >时，()2,B m =，满足；∵选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >； 若选③：B A ⊆R，A R[]1,2=，当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∵12m ≤<； 当2m =时，B =∅，满足; 当2m >时，()2,B m =，不满足． ∵选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.考点三 恒成立或存在问题【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“0x ∃∈R ，20020x x m -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】(),1-∞【解析】由题意可知，不等式220x x m -+<在R 上有解，∵440,1m m ∆=-><，∵实数m 的取值范围为(),1-∞，故答案为：(),1-∞【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >． x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·江西吉安）若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ． 2．（2022·全国·专题练习）已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞【答案】A【解析】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤，综上所述，k 的取值范围是[]0,1，故选：A.3．（2021·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C 4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，则实数a的取值范围是___________. 【答案】[)3,+∞【解析】由于“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，所以“[]21,2,20x x x a ∀∈---≤”，为真命题，所以22a x x ≥-在区间[]1,2-上恒成立，在区间[]1,2-上，当1x =-时，22x x -取得最大值为()()21213--⨯-=，所以3a ≥.故答案为：[)3,+∞5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【解析】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式210ax x ++>在[]1,2x ∈时有解，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(2,)-+∞【解析】由210ax x ++>，得21ax x >--，因为[]1,2x ∈，所以211a x x >--有解，令2211111()24f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 在[1,2]上单调递增，所以min ()(1)2f x f ==-，所以2a >-，故答案为：(2,)-+∞7（2022·江苏）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,4-【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，()22424y x x x =-+=--+的最大值为4 所以234a a -≤，解得14a -≤≤故答案为：[]1,4-考点四 含参一元二次不等式解法【例4-1】（2022·四川）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线，对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2325ax x ax -+>- (1)若不等式的解集为3{|1}2x x -<<-，则实数a 的值；(2)若R a ∈，求不等式的解集． 【答案】(1)2-；(2)答案见解析.【解析】(1)不等式22325(3)30ax x ax ax a x -+>-⇔+-->，依题意，3,12--是方程2(3)30ax a x +--=的二根，且0a <，因此，33(1)233(1)2a a a -⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得2a =-，所以实数a 的值是2-.(2)由（1）知，2(3)30(3)(1)0ax a x ax x +-->⇔-+>， 当0a =时，解得1x <-，当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a -+>，解得1x <-或3x a>，当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a-+<， 当30a -<<时，有31a <-，解得31x a<<-， 当3a =-时，有31a=-，不等式无解， 当3a <-时，有31a >-，解得31x a-<<， 所以当0a =时，原不等式解集为(,1)-∞-，当0a >时，原不等式解集为3(,1)(,)a-∞-⋃+∞，当30a -<<时，原不等式解集为3(,1)a -，当3a =-时，原不等式解集为∅，当3a <-时，原不等式解集为3(1,)a-.【一隅三反】．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式：（1）()22120ax a x +--<；（2）2(1)10ax a x -++>；（3）222ax x ax -≥-；（4）()210x x a a --->；（5）220ax x a -+<；（6）()()2220mx m x m R +-->∈；（7）ax 2-2（a +1）x +4>0. 【答案】答案见解析【解析】（1）2(21)20ax a x +--<当0a =时，不等式为20x --<，解集为(2,)-+∞；0a ≠时，不等式分解因式可得(1)(2)0ax x -+<当0a >时，故1()(2)0x x a -+<，此时解集为1(2,)a-；当12a =-时，1(1)(2)02x x --+<，故此时解集为{}||2x x x ≠-；当12a <-时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a >-解集为1(,2)(,)a-∞-⋃+∞；当102a -<<时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a <-解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞.综上有，0a =时，解集为(2,)-+∞； 0a >时，解集为1(2,)a -；12a =-时，解集为{}||2x x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-⋃+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞ （2）把2(1)10ax a x -++>化简得(1)(1)0x ax -->， ∵当0a =时，不等式的解为{}|1x x < ∵当11a>，即10a a -<，得01a <<，此时，不等式的解为1{|x x a>或1}x < ∵当11a<，即10a a ->，得1a >或0a <，a当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，∵当11a=，得1a =，此时，2(1)0x ->，解得{|x x R ∈且1}x ≠， 综上所述，当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a =时，不等式的解为{}|1x x <， 当01a <<时，不等式的解为1{|x x a>或1}x <， 当1a =时，不等式的解为{|x x R ∈且1}x ≠， 当1a >时，不等式的解为{1|x x a<或1}x >， （3）222ax x ax -≥-， 2(2)20ax a x +--≥，∵0a =时，220x --≥，可得{}|1x x ≤-； ∵0a ≠时，可得2()(1)0a x x a-+≥若0a >，解可得，{2|x x a≥或}1x ≤-； 若0a <，则可得2()(1)0x x a-+≤，()i 当21a >-即2a <-时，解集为[1-，2]a ； ()ii 当21a <-即20a -<<时，解集为[2a，]1-； ()iii 当21a=-即2a =-时，解集为{}1-. （4）不等式2(1)0x x a a --->可化为[]()(1)0x a x a --->. ∵当12a >时，1a a ，解集为{|x x a >，或1}x a <-； ∵当12a =时，1a a ，解集为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； ∵当12a <时，1a a <-，解集为{|x x a <，或1}x a >-. 综上所述， 当12a >时，原不等式的解集为{|x x a >，或1}x a <-；22⎩⎭当12a <时，原不等式的解集为{|x x a <，或1}x a >-. （5）当0a =时，不等式即20x -<，解得0x >. 当0a ≠时，对于方程220ax a -+=，244a ∆=- 令∆<0，解得1a >或1a <-； 令0∆=，解得1a =或1-；令0∆>，解得01a <<或10a -<<，方程220ax x a -+=211a±-. 综上可得，当1a ≥时，不等式的解集为∅；当01a <<时，不等式的解集为221111|a a x x ⎧--+-⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； 当0a =时，不等式的解集为{}|0x x >； 当10a -<<时，不等式的解集211{|a x x +-<211}a x -->； 当1a =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠-； 当1a <-时，不等式的解集为R .（6）原不等式可变形为(2)(1)0mx x -+>.∵当0m =时，则有2(1)0x -+>，即10x +<，解得1x <-； ∵当0m >时，21m>-，解原不等式得1x <-或2x m >；∵当0m <时，20m<. （i ）当21m=-时，即当2m =-时，原不等式即为22(1)0x -+>，该不等式无解； （ii ）当21m<-时，即当20m -<<时，解原不等式得21x m <<-；（iii ）当21m>-时，即当2m <-时，解原不等式可得21x m -<<.综上所述：∵当2m <-时，原不等式的解集为2(1,)m-； ∵当2m =-时，原不等式的解集为∅； ∵当20m -<<时，原不等式的解集为2(,1)m-； ∵当0m =时，原不等式的解集为(,1)-∞-；∵当0m >时，原不等式的解集为2(,1)(,)m-∞-⋃+∞. （7）（1）当a =0时，原不等式可化为-2x +4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}. （2）当a >0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -->，对应方程的两个根为x 1=2a ，x 2=2.∵当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为{2|x x a >或2}x <；∵当a =1时，2a =2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；∵当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为2{|x x a <或2}x >.（3）当a <0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -+-<，对应方程的两个根为x 1=2a，x 2=2，则2a <2，所以原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 综上，a <0时，原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；a =0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 0<a ≤1时，原不等式的解集为{2|x x a>或2}x <； 当a >1时，原不等式的解集为2{|x x a<或2}x >.。
人教a版数学【选修2-3】第1章《计数原理》归纳总结ppt课件
2．(2012·浙江理，6)若从1、2、3、„、9这9个整数中同
时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 C．65种 [答案] D B．63种 D．66种 )
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识．取出的 4 个 数和为偶数，可分为三类．
4 2 2 四个奇数 C4 5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4. 4 2 2 共有 C4 ＋ C ＋ C 5 4 5C4＝66 种不同取法． [点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
1 n n ③各二项式系数的和：C0 ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 . n n n
第一章
章末归纳总结
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(4)解决二项式定理问题的注意事项
n－k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk＋1＝Ck a b ，注意(a n
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指
第一章
章末归纳总结
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3．在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是(
)
A．－25
C．5 [答案] B
B．－5
D．25
[解析] (x2＋x＋1)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4，其展开式中 x4
中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部
分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
第一章 章末归纳总结
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2．排列与组合 (1)排列与组合的定义
第三章 代数式 章末核心要点分类整合(课件)人教版(2024)数学七年级上册
方法必会
专 题 4 从特殊到一般的思想
链接中考 >> 从特殊到一般的思想多用于规律探究类题目。 从特殊情况入手，分析其规律，然后应用于一般情况，为保证 规律的正确性，需进行检验.
方法必会
例 6 [中考·安徽节选]【 观察思考】如图3-3所示.
方法必会
【规律发现】 请用含n 的代数式填空： (1)第n 个图案中“◎”的个数为___3_n___ ；
A. 4，2，1 B. 2，1，4 C. 1，4，2 D. 2，4，1
知识必学
解题秘方：根据运算程序进行计算，逐项代入验证. 解：若最初输入的数是4，因为x=4 是偶数，所以对应的值是 x2=2；而x=2 是偶数，则对应的值是x2=1；而x=1 是奇数，则对 应的值是3x＋1 =4，即以4，2，1 为循环节进入循环；用上述 方法可得：当最初输入的数是2 时，将以2，1，4 为循环节进 入循环；当最初输入的数是1 时，将以1，4，2 为循环节进入 循环.
知识必学
思路点拨：解决运算程序类问题，首先要根据运算程序进行计 算，再根据计算的结果寻找规律，寻找规律时把变量和序列号 放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘.
知识必学
例 4 [期末·周口淮阳区] 某学校组织七、八年级全体学生参观七亘大
捷爱国主义教育基地(位于平定县东回镇七亘村)．七年级租用45 座大巴车x 辆，55 座大巴车y 辆；八年级租用30 座中巴车y 辆， 55 座大巴车x 辆．当每辆车恰好坐满学生时： (1)用含有x，y 的代数式分别表示七、八年级各有多少名学生？ (2)当x=4，y=6 时，该学校七、八年级各有多少名学生？
解：由题意得，当x=3 时，5ax5＋4bx3＋3cx－4=5a×35＋ 4b×33＋3c×3－4=2024；当x=－3 时，－5ax5－4bx3－3cx－4= －5a×(－3)5－4 b ×(－3)3－3c ×(－3)－4 = 5a×35 ＋4b×33＋ 3c×3－4 =2024 ．
苏教版高中数学选修2-3第三章章末总结.docx
章末总结知识点一独立性检验独立性检验是对两个变量间是否存在相关关系进行的一种案例分析方法，其基本步骤是通过列联表，计算统计量χ2的值，判断两个变量相关的可能性大小．例1某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下面列联表：生产线与产品合格数列联表合格不合格总计甲线973100乙线955100总计1928200请问甲、乙两生产线生产的产品合格率在多大程度上有关系？知识点二回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出两个变量的散点图，然后利用常见的函数模型去拟合样本点．相关系数r可以判断两个变量线性相关的程度．用转化的方法可研究一些非线性相关问题．例2高三某班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间的关系，所得数据资料如下表：x 24152319161120161713y 92799789644783687159 某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该学生的数学成绩．例3某班前10名学生高三第一次市统测的成绩x和第三次市统测成绩y如下，则y 与x________(填“具有”或“不具有”)线性相关关系.第一次x 143150157130153149142144134143 第三次y 124145142111150151145140119127 例4炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y(分钟)100200210185155135170205235125(1)画出散点图；(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？章末总结 答案重点解读例1 解 χ2的观测值k ＝200×(97×5－95×3)2100×100×192×8≈0.521<2.706，因此没有充分的证据显示甲、乙两生产线生产的产品合格率有关系．例2 解 x ＝17.4，y ＝74.9，∑10i ＝1x 2i ＝3 182，∑10i ＝1y 2i ＝58 375，∑10i ＝1x i y i ＝13 578， 于是由公式b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x ·y ∑10i ＝1x 2i －10(x )2≈3.53，a ^＝y －b ^x ≈13.5，所以线性回归方程y ^＝13.5＋3.53x .当x ＝18时，y ^＝13.5＋3.53×18＝77，所以该同学预计可以得77分．例3 具有解析 x ＝144.5，y ＝135.4，∑10i ＝1x 2i ＝209 413，∑10i ＝1y 2i ＝185 102，∑10i ＝1x i y i ＝196 512， r ＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n (x )2)(∑ni ＝1y 2i －n (y )2)＝196 512－10×144.5×135.4(209 413－10×144.52)×(185 102－10×135.42) ≈0.826 3，因为0.826 3接近1，所以可以认为y 与x 具有线性相关关系． 例4 解 (1)散点图如图所示．(2)由已知条件制成下表：i 1 23 4 5 x i 104 180 190 177 147 y i 100 200 210 185 155 x i y i 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 i 6 7 8 9 10 x i 134 150 191 204 121 y i 135 170 205 235 125 x i y i 18 090 25 50039 15547 94015 125∴x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640. ∴b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10(x )2≈1.267，a ^＝y －b ^x ≈－30.47.所求线性回归方程为y ^＝1.267x －30.47. (3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47≈172(分钟)． 即大约冶炼172分钟．。
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一、选择题
1．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2
[答案] A
[解析] y ＝2x 是指数函数，不是幂函数． 2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x －2
B ．y ＝x
12 C ．y ＝x －
13
D ．y ＝x
－
12
[答案] D
3．若幂函数y ＝x n ，对于给定的有理数n ，其定义域与值域相同，则此幂函数( )
A ．一定是奇函数
B ．一定是偶函数
C ．一定不是奇函数
D ．一定不是偶函数
[答案] D
[解析] 由y ＝x
12
知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数，
故能排除A 、B ；又y ＝x 3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C.
4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2
的图象不过原点，那么
( )
A ．－1≤m ≤2
B ．m ＝1或m ＝2
C ．m ＝2
D ．m ＝1
[答案] B
[解析] 幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2
中，系数m 2－3m ＋3＝1，
∴m ＝2,1.又∵y ＝(m 2－3m ＋3)x
m 2－m －2
的图象不过原点，故m 2－m －
2≤0，即－1≤m ≤2，故m ＝2或1.
5.
函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
[答案] A
6．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，1
2，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )
[答案] C
[解析] 直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1,1≠－1.故A
错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x
12 ，2≠12
.故
B 错；
直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2,2＝2.故C 对；直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数为y ＝x 3，－1≠3.故D 错．
7．(2010·安徽文，7)设a ＝(3
5)
25 ，b ＝(25) 35 ，c ＝(25
)
2
5
，则
a ，
b ，
c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
[答案] A
[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)
35 <(25
)
2
5 ，
即b <c .
对a 和c ，∵幂函数．y ＝x
25
在(0，＋∞)上单调递增，
∴(35)
25 >(25
)
2
5
，即
a >c ，∴a >c >
b ，故选A.
8．(2012～2013山东省临沂市临球县实验中学高一教学阶段性测试题)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间为( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞) ) D.(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 设f (x )＝x α，代入(2,4)得x ＝2，f (x )＝x 2， ∴f (x )＝x 2在(0，＋∞)为增函数，故选C. 二、填空题
9．(2012～2013湖南益阳模拟)已知幂函数y ＝f (x )过点(3，1
27)，
则f (1
4)＝________.
[答案] 8
[解析] 设幂函数为y ＝x α，将点(3，127)代入，得127
＝3α，则α＝－32，所以f (14)＝(14)
－ 32
＝8.
10．若函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1
是幂函数 ，且是偶函数，则
m ＝________.
[答案] －1
[解析] 由题意，知m 2－m －1＝1， 解得m ＝2，或m ＝－1.
当m ＝2时，m 2－2m －1＝－1，函数为y ＝x －1，不是偶函数；
当m ＝－1时，m 2－2m －1＝2，函数为y ＝x 2，是偶函数，满足题意．
11．设f (x )＝(m －1)x
m 2－2
，如果f (x )是正比例函数，那么m ＝
________；如果f (x )是反比例函数，那么m ＝________；如果f (x )是幂函数，那么m ＝________.
[答案] ±3 －1 2
[解析] 若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2＝1，
m －1≠0，即m ＝±3；若f (x )
是反比例函数，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
－2＝－1，
m －1≠0，即m ＝－1；若f (x )是幂函数，则m
－1＝1，即m ＝2.
12．(2012～2013海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．
①y ＝x
12 ；②y ＝x 4
；③y ＝x －2；④y ＝－x
1
3 .
[答案] ③
[解析] ①中函数y ＝x
12
不具有奇偶性；②中函数
y ＝x 4是偶函
数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y ＝x －2是偶函数，且在(0，
＋∞)上为减函数；④中函数y ＝－x
13
是奇函数．故填③.
三、解答题
13．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时． (1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数；
(4)f (x )是幂函数．
[解析] (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－4
5，此时m 2
－m －1≠0，故m ＝－4
5.
(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得m ＝－2
5，即m 2
－m －1≠0，故m ＝－2
5.
(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.
(4)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即时m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.
14．已知函数y ＝x
n 2－2n －3
(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点，
且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．
[解析] 因为图象与y 轴无公共点，所以n 2－2n －3≤0，又图象关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数，由n 2－2n －3≤0得，－1≤n ≤3，又n ∈Z .∴n ＝0，±1,2,3
当n ＝0或n ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．
当n ＝－1或n ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图A.
当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B. ∴n的取值集合为{－1,1,3}．
15．已知f(x)＝x －n2＋2n＋3
(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调
递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
[解析]依题意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3.
又∵n＝2k，k∈Z，∴n＝0或2.
当n＝0或2时，f(x)＝x3，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x2－x)>f(x＋3)可转化为x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
16．(2012～2013温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
[解析](1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
∴f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。