初等模型补充

模型一掷骰子游戏

你必须为学校的游园会组织一个碰运气的游戏，参赛者付10便士参加费，可摇动3个骰子。记录下点书，对高点数有现金奖赏。问题是要决定这些奖金是否足以刺激人们参与此游戏，而对学校来说，游戏收入起码要与付出的奖金相抵，学校不要赚很多钱。

游戏设计：只付10便士便可掷3次骰子！

总点数18 赢1磅

总点数16，17 赢50便士

总点数13，14，15 赢20便士

这里用的模型是直截了当的，你可以联想到每摇动一下骰子得到任一点数为1，2，3，……，6的概率都是1/6，

对一个参赛者来说，数学问题是确定预期赢或输。为找到预期的赢，你必须首先求出得到总点数18，17，……，13的概率，因为只有这些点数才能赢的奖赏。

得到各点数的概率

3456789101112131415161718

1/2163610152125272725211510631用这些概率，现在能确定对一个参赛者能期望的赢或输了。

赢一镑的概率为1/216

赢50便士的概率为9/216

赢20便士的概率为46/216

这样参赛者有一个期望的奖赏（按便士记）为

便士

因为平均而言每个参赛者将输3便士，如果游园会上有100个人参加了这种游戏，学校期望得到收益大约是：

100×3便士=3镑

没有多少盈利!

模型二轮盘赌

轮盘边缘分成57等份，分别标上1，2，5，10，20，J，K七种数字或字母，轮盘转动后，慢慢停下，最后被挡钉卡住的一格就是结果。盘面上数字或字母个数如下：（在盘面无规则分布）

1251020J K 271574311

游戏规则：押在1上的赌客，如果结果为1，那么他1：1获赔，如果结果不是1，他就输了赌资。押在2上的赌客，如果结果是2，那么他2：1

获赔，如果结果不是2，他就输了赌资，……，以此类推。J，K分别作45处理。请问：

1．押2好呢还是押1好呢？

2．同时押1个1，1个2，比押2好吗？

3．是否存在一种组合，使你在期望的意义下获利？

讨论：澳大利亚墨尔本赌场的轮盘赌的数字（字母）有些不同，个数如下：

1351123J K 241284211

试回答上面的问题1~3，你觉得现在这个方案有什么特点？

模型三卷筒形式的邮件的最大体积

问题：邮局规定，卷筒形式的邮件，它的筒长加上两倍筒的直径最多不能超过1.040m，最大长度和最大直径不超过900mm，那么能邮寄的最大长方体的体积是多少？

假设有一直径x m，长l m的圆柱体，所能邮寄的卷筒形式邮件的约束为

x，l取多大时，才能使取最大

结论：

模型四包装问题

用透明塑料薄膜（包装后加热封装）包装杂志问题，尺寸要求如下：

20cm×20cm×4mm

30cm×40cm×4cm

所需的最少塑料薄膜是多少？

对于这个问题，忽略杂志的厚度（4mm）看来是合理的，从而只考虑包装的“面积”，然后我们在每个方向加上2cm以考虑厚度及封装所需的搭接。

方法1 –成方形

为包住一个面积为acm×bcm的面积，有两种可能的包法如下面两图所示

左图面积=

右图面积=

为了能搭接，各加上2cm ，得出

左图面积=

右图面积=（

方法2---“45o”

如右图

加上2cm的余量，面积=

方法3-----“最小角度”

当欲包装的物品非正方形时，转动包装材料可以减少包住的面积，如下图

当转动角度θ等于包装物顶边及其对角线之间的夹角时，先前未被包注的面积就正好包住了

此时面积=

=

为了封装，加长2cm，则可得到

面积=

模型五----长方体形状物品的包装问题

市场上一包火柴内装10盒火柴，一条香烟内装10包香烟……，它们打包作外包装的形式一样吗？那一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包法”，这就是指打包时要求包内相邻两物必须以全等的两个侧面来对接，打包后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学化的提问：火柴、香烟或其他长方体的物体，按“规则打包”的形式将10包打成一个打包，怎样打包可使表面积最小？

可以用香烟盒的外形尺寸a=88mm，b=58mm，c=22mm来验证你的结论，但需得到一般的结论，另外也可以考虑将6包或8包打包成一个大包的情况。

模型八----椅子问题

将4条腿长相同的椅子放在不平的地面上，，问四条腿能否同时着地？

模型九----狼、羊、白菜过河问题

要把一只狼、一只羊和一颗白菜运过河，而船工每次只能运一种东

西，问船工如何运它们，才能使羊吃不掉白菜，而狼不吃掉羊。

模型十-----夫妻过河问题

有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起。

模型十一----n人分饼问题

假设n个人分一张饼，要求设计一种公平的切饼与取饼的程序。所

谓“公平”是指：n个人均认为是与切饼、取饼次序无关的方法。这里需假定n个人选取的标准是相同的，而且每个人的取法相互独立，不受他人影响。

模型十二-----是非问题

例1 审判员要从4个嫌疑犯中找出一个真正的罪犯。他已经知道真正的罪犯只有一个，而且这些嫌疑犯在回答问题时要么完全讲真话，要么完全讲假话。现在4个嫌疑犯的回答是：

甲：乙不是罪犯，丁才是罪犯；

乙：我不是罪犯，丙才是罪犯；

丙：我不是罪犯，乙才是罪犯；

丁：乙不是罪犯，甲才是罪犯。

审判员能否从中找出真正的罪犯？

例2 今有A、B、C3名运动员参加比赛，争夺第一、二、三名。现有4个观众在赛前进行预测：

甲：第一名是A，第二名是B；

乙：第一名是C，第二名是B；

丙：第二名是C，第三名是A；

丁：第一名是A，第三名是C。

比赛后，发现他们都是猜对一半。试问比赛的结果如何？