基本不等式题型总结

基本公式

（1）R

b a ab a a ∈≥+、,222（2）ab b a 2≥+，一定二正三相等（3

）b

a a

b b a b a 1122222+≥≥+≥+，当b a =时，等号成立（4）33abc

c b a ≥++推广：

n n n x x x n

x x x 2121≥+++，0>i x 题型

（1）对勾函数:x b

ax y +=当x

b ax =时，函数取得极值点

（2）1的代换

当题目中有b a b a 11、、、时。例1：正数n m 、满足12=+n m ，求m n 11+的最小值解：223212)21111+≥+++=+⋅+=+m n n m n m m n m n （）（

（3）xy y x 、、型

例2：已知2=++xy y x ，求y x +最小值①因式分解（提取公因式）2

3232113

)1)(1(2

-≥+∴≥+++=++∴=++y x y x y x xy y x 又②求谁留谁

22208)(4)())(2(4)())(2(44)(2222-≥+≥-+++∴+-≥+∴+-=≥+∴≥+y x y x y x y x y x y x xy y x xy

y x 解得： ③∆判别法：0

≥∆2

320

)2(40

22

)(,22-≥≥--=∆=-+-∴=-+∴-=+=z z z z zy y z y y z z y x y x z 解得则令④技巧、完全对称为最值

解得：原式完全对称和式子中2322

22-==+=∴=∴x x x y

x y x

（4）xy y x 、、22型①完全对称

②求谁留谁

③∆判别法：0≥∆④配方，三角换元例3：已知1422=++xy y x 求y x +2的最大值配方：

1)2(41522=++x y x ；则：12(21522=++x y x ）（换元：

]2,0[cos 2;sin 215πθθθ∈=+=。x y x θθθsin 15

1cos ,sin 152-==∴y x )sin(58cos sin 15

32ϕθθθ+=+=+∴y x 510

22≤+∴y x