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则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EH⊥l，因 而圆E和准线l相切．
y
C H D E F A
B O
x
11．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点， 若A、B在抛物线准线上的射影分为 A 1 、B 1 ，则 ∠A1FB1等于( ) A．30° C．60° B．45° D．90°
k 0 ∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有 , 0 解得k>-1且k≠0,由题知 4k 8 4, 解得k=2或k=-1（舍去） k2
, ∴所求k的值为2.
14.抛物线y2=2px(p>0)上有两动点A、B及一个定 点M，F为焦点，若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列 （1）求证：线段AB的垂直平分线过定点Q； （2）若|MF|=4,|OQ|=6（O为坐标原点），求抛物 线的方程.
y
P Q O 2 F 4
x
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
y
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
C H D E F A
B O
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
解析：证明：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则
|AF|=x1+p/2，|BF|=x2+p/2，|MF|=x0+p/2，由题意得 x0=x1+x2/2， ∴AB的中点坐标可设为(x0,t)，
其中
t=y1+y2/2≠0（否则|AF|=|MF|=|BF| p=0）， y1 y2 y1 y2 2p p 而k AB 1 x 1 x2 y1 y2 t 2 2 ( y1 y2 ) 2p 故AB的垂直平分线为y－t=-t/p(x－x0)，即t(x－x0－
4. 已知AB是抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点弦，F为 抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证： (1) x1· 2, y1· 2 为 定 值 x y (2)
5. 若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆 (x-3)2+y2=1上，求|PQ|的最小值.
O
y
x
6.已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x 于A,B两点，试在抛物线AOB这段 曲线上求一点P，使△PAB的面积 最大，并求出这个最大面积.
由根与系数的关系知y1y2=-1.
∵A、B在抛物线y2=-x上， ∴y12=-x1,y22=-x2,
y12y22=x1x2.
y ∵kOA·kOB= y1 · 2 = y1y 2 = 1 =-1, x1 x 2 x1x 2 y1y 2 ∴OA⊥OB.
(
2)设直线AB与x轴交于N，
由题意显然k≠0. 令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 的轨迹方程.x 2 （ y ≥ 2 2 ） （即在抛物线的内部） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直
1 3 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ . 2 2
解析：如图所示，由定义知
AA1＝AF，BB1＝BF，
∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1， ∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)， ∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°， 特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)．
答案：D
12.已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上， 抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于 不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k 的值.
20.(12分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点. 例题14
(1)求证：OA⊥OB；2）当△OAB的面积等于 10 时，求k的值.
y 2 =-x, 【解析】（1）如图，由方程组 y=k(x+1), 2
消去x得ky +y-k=0,
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
22.（12分）已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线 例题16 1 G：x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是 时， 2 uu uu r r AC=4AB. （1）求抛物线G的方程； （2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范
例8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
x
考点二、最值问题
例9：在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与 到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
当P点坐标为（1/8,1),dmin=6 变式：在抛物线 y2=8x 上求一 点P，使P到准线的距离与到 Q( 1，4)的距离的和最小，并 求最小值。
p)+yp=0，可知其过定点Q(x0+p,0).
（2）由|MF|=4,|OQ|=6，得x0+p/2=4,x0+p=6，联 立解得p=4,x0ຫໍສະໝຸດ Baidu2∴y2=8x.
∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.(p＞0)． (4)SΔAOB＝SΔAOM＋SΔBOM＝ |OM|(|y1|＋|y2|)＝
p(|y1|＋|y2|)≥2p ＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝ 2p 时，等号成立，故ΔAOB面积的最小值为4p2.
围.
【解析】
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
例7 求抛物线 所在直线方程.
y 4 x 被点P(-1,1)平分的弦
2
变式:求斜率为4且与抛物线 相交的平行弦的中点轨迹方程.
y 4x
2
变式:求过点（2，1）且与抛物线 相交的弦的中点轨迹方程.
y 4x
2
7.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直 线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1） 为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( ) (A)y=2x2 (B)y2=2x (C)x2=2y (D)y2=-2x
1 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为８的抛 物线的标准方程，并指出其焦点坐标和准线方程. 2. 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦AB恰被Q点 平分，求弦AB所在直线的方程. 3 抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直 线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1）为 线段AB的中点，求抛物线C的方程
15.设A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且 OA⊥OB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB过定点； (3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求ΔAOB面积的最小值．
• AB过定点(2p,0)，设M(2p,0)． 当x1＝x2时，AB仍然过定点(2p,0)
【解析】（1）由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，其准
线方程为 x p ，
2
∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离,
p 4 6,∴p=4, 2
∴此抛物线的方程为y2=8x.
y 2 8x （2）由 消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0， y kx 2
y
C H D E F A
B O
x
11．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点， 若A、B在抛物线准线上的射影分为 A 1 、B 1 ，则 ∠A1FB1等于( ) A．30° C．60° B．45° D．90°
k 0 ∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有 , 0 解得k>-1且k≠0,由题知 4k 8 4, 解得k=2或k=-1（舍去） k2
, ∴所求k的值为2.
14.抛物线y2=2px(p>0)上有两动点A、B及一个定 点M，F为焦点，若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列 （1）求证：线段AB的垂直平分线过定点Q； （2）若|MF|=4,|OQ|=6（O为坐标原点），求抛物 线的方程.
y
P Q O 2 F 4
x
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
y
分析：运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷．
C H D E F A
B O
x
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
解析：证明：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则
|AF|=x1+p/2，|BF|=x2+p/2，|MF|=x0+p/2，由题意得 x0=x1+x2/2， ∴AB的中点坐标可设为(x0,t)，
其中
t=y1+y2/2≠0（否则|AF|=|MF|=|BF| p=0）， y1 y2 y1 y2 2p p 而k AB 1 x 1 x2 y1 y2 t 2 2 ( y1 y2 ) 2p 故AB的垂直平分线为y－t=-t/p(x－x0)，即t(x－x0－
4. 已知AB是抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点弦，F为 抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证： (1) x1· 2, y1· 2 为 定 值 x y (2)
5. 若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆 (x-3)2+y2=1上，求|PQ|的最小值.
O
y
x
6.已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x 于A,B两点，试在抛物线AOB这段 曲线上求一点P，使△PAB的面积 最大，并求出这个最大面积.
由根与系数的关系知y1y2=-1.
∵A、B在抛物线y2=-x上， ∴y12=-x1,y22=-x2,
y12y22=x1x2.
y ∵kOA·kOB= y1 · 2 = y1y 2 = 1 =-1, x1 x 2 x1x 2 y1y 2 ∴OA⊥OB.
(
2)设直线AB与x轴交于N，
由题意显然k≠0. 令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 的轨迹方程.x 2 （ y ≥ 2 2 ） （即在抛物线的内部） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直
1 3 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ . 2 2
解析：如图所示，由定义知
AA1＝AF，BB1＝BF，
∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1， ∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)， ∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°， 特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)．
答案：D
12.已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上， 抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于 不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k 的值.
20.(12分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点. 例题14
(1)求证：OA⊥OB；2）当△OAB的面积等于 10 时，求k的值.
y 2 =-x, 【解析】（1）如图，由方程组 y=k(x+1), 2
消去x得ky +y-k=0,
设A（x1,y1）,B(x2,y2)，
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
22.（12分）已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线 例题16 1 G：x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是 时， 2 uu uu r r AC=4AB. （1）求抛物线G的方程； （2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范
例8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
x
考点二、最值问题
例9：在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与 到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
当P点坐标为（1/8,1),dmin=6 变式：在抛物线 y2=8x 上求一 点P，使P到准线的距离与到 Q( 1，4)的距离的和最小，并 求最小值。
p)+yp=0，可知其过定点Q(x0+p,0).
（2）由|MF|=4,|OQ|=6，得x0+p/2=4,x0+p=6，联 立解得p=4,x0ຫໍສະໝຸດ Baidu2∴y2=8x.
∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.(p＞0)． (4)SΔAOB＝SΔAOM＋SΔBOM＝ |OM|(|y1|＋|y2|)＝
p(|y1|＋|y2|)≥2p ＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝ 2p 时，等号成立，故ΔAOB面积的最小值为4p2.
围.
【解析】
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
例7 求抛物线 所在直线方程.
y 4 x 被点P(-1,1)平分的弦
2
变式:求斜率为4且与抛物线 相交的平行弦的中点轨迹方程.
y 4x
2
变式:求过点（2，1）且与抛物线 相交的弦的中点轨迹方程.
y 4x
2
7.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直 线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1） 为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( ) (A)y=2x2 (B)y2=2x (C)x2=2y (D)y2=-2x
1 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为８的抛 物线的标准方程，并指出其焦点坐标和准线方程. 2. 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦AB恰被Q点 平分，求弦AB所在直线的方程. 3 抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直 线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1）为 线段AB的中点，求抛物线C的方程
15.设A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且 OA⊥OB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB过定点； (3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求ΔAOB面积的最小值．
• AB过定点(2p,0)，设M(2p,0)． 当x1＝x2时，AB仍然过定点(2p,0)
【解析】（1）由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，其准
线方程为 x p ，
2
∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离,
p 4 6,∴p=4, 2
∴此抛物线的方程为y2=8x.
y 2 8x （2）由 消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0， y kx 2