利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离

一、问题引入：

1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

二、典型例题：

（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：

如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？

（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：

如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E 分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。

分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。即：一线两定点的问题。由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。

分析：由题意知：首先找点B或者点M关于AC所在直线的对称点。由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度

分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。由正方

在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？

（3）、以圆为媒介的最短距离问题：

如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，

∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值

（4）、以二次函数为媒介的最短距离：

如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y 轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P 点坐标。

三、巩固加深：

（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：

如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°, ∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC 的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。

分析：由题意知：首先找点A或者点C关于OB所在直线的对称点。由圆的轴对称性不难发现：延长AO交圆于点A′，则点A′即是点A关于直线OB的对称点，则连接CA′与线段OB的交点即为P点。那么PA+PC的最小值实际上就是线段CA′的长度。

分析：由题意知：易得A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3)，对称轴为：x=-1，△PBC周长=BC+PB+PC，因为BC是定值，则求△PBC 周长的最小值实际上就是求PB+PC的最小值。然后找点B或者点C关于对称轴的对称点。由二次函数的轴对称性不难发现：点A即是点B关于对称轴的对称点，则连接AC与对称轴的交点即为P点。根据A点和C点坐标求出直线AC的函数解析式，然后令x=-1得出y的值，即得P点坐标。

分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最

（6）、如下图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，D 为OB中点。

（1）、若E为边OA上一个动点，当△CDE周长最小时，求点E坐标。

（2）、若E、F为边OA上两动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求E、F坐标。

图1 图2

四：课堂小结：

通过本节课的学习，我们发现要想灵活掌握“利用轴对称来解决最短距离”的问题还是不容易的，它需要我们具有系统的知识结构、很高的知识素养，同时也要求我们具有丰富的想象能力以及灵活的创新能力，它还要求我们在学好基础知识的同时，还需要有大量的课外阅读知识！小值。易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则B N′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。由△AB N′′为等腰直角三角形，AB=4立得。

分析：（1）、很简单，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴的交点即为E点，然后根据点C和点D′的坐标求出一次函数解析式，令y=0，得x的值，立得。（2）、要求四边形CDEF 周长的最小值，因为线段CD、EF都是定值，所以只要求DE+CF的最小值即可。根据“两点间线段最短”，如果能将线段DE和CF转化到同一条直线上，那么求出的值肯定最小，于是我们想到作D关于x 轴的对称点D′(0，-2)，作点G(2，-2)，则GD′=2，连接CG交x轴于点F，则F点确定了，E点也就随之而确定。这时四边形EFGD′是平行四边形，则FG=ED′=DE，此时CG就是DE+Cf的最小值。