中考数学十大解题思路之配方法

中考数学专项讲解 配方法
知识梳理
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．
运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
典型例题
一、配方法在解一元二次方程中的应用
【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0．
【解】 移项，得x 2+6x =－3 配方，得222
666322x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即(x+3) 2=6，从而3x += 所以13x =，23x =．
二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用
一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b 2－4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式，由此得出结论，无论m 为何值，b 2－4a c ≥0或b 2－4a c ≤0，从而判定一元二次方程根的情况．
【例2】 已知关于x 的方程x 2－m x+m －2=0．求证：方程有两个不相等的实数根．
【证明】 因为△=(m －2)2+4>0 所以方程x 2－mx+m －2=0有两个不相等的实根； 变式；已知二次函数y=x 2－mx+m －2，求证：不论m 为何值，抛物线y=x 2－mx+m －2总与x 有两个不同的交点．
三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用
对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x －h) 2+k 的形式，则得到顶点坐标(h ，k)；若a >0，函数值y 有最小值k ；若a <0时，函数值y 有最大值为k ．
【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1)y=x 2－2x －4； (2)21522
y x x =-+- 【解】 (1)()22
222
2224241522y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ a =1>0，∴开口向上． 对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)．
(2)()222221512251212222222
2y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=--+--=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ a =－12<0，∴开口向下．对称轴方程是x=－12，顶点坐标是(1，－2)．
【例4】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?
【解】 设利润为y 元，售价为x 元，则每天可销售100－10(x －10)件，
依题意得：y=(x －8)[100－10(x －10)] 化简得：y=－10x 2－280x －1600
配方得：y=－10(x －14) 2+360 ∴当(x －14) 2=0时，即x=14时，y 有最大值是360． 答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元．
四、配方法在不等式、比较大小中的应用
【例5】 已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有__________．
【分析】 a 2+3－2a =(a －1) 2+2>0，∴①式成立．
a 2+
b 2－2(a －b －1)=a 2+b 2－2a +2b+2= (a －1) 2+(b+1) 2≥0，∴②式成立． 2
2223024b a b ab a b ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当a =b=0时取得等号)，∴③式不一定成立．故填①②．
【解】①②
综合训练
1．方程x 2+6x －5=0的左边配成完全平方后所得方程为 ( )
A ．(x+3) 2=14
B ．(x －3) 2=14
C ．()2162
x += D ．以上答案都不对 2．已知二次函数y=x 2－mx+m －5与x 轴交点个数为 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
3．用配方法解方程：
(1)x 2－4x －5=0 (2)2x 2－4x －1=0
4．(1)二次函数y=x 2－6x+2通过配方化为顶点式为y=________，其对称轴是________， 顶点坐标为_________．
(2)通过配方求二次函数y=3x 2－6x+1的最小值．
5．关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x －k －3=0
(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．
6．(06南通)已知A=a +2，B=a 2－2a +5，C=a 2+5a －19，其中a >0．
(1)求证：B －A>0，并指出A 与B 的大小关系；(2)指出A 与C 哪个大，并说明理由．
7．已知二次函数y=a x 2+k+c ：
(1)当a =1，b=－2，c=1时，请在下面的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；
(2)用配方法求该二次函数图象的顶点坐标．
8．(1)已知13x x +=．则221x x
+的值为__________． (2)把代数式a 2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．
9．如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD ，其中AB ∥DC ，∠B=90°，AB=100 m ，BC=80 m ，CD=40 m ，现计划在上面建设一个面积为S 的矩形综合楼PMBN ，其中点P 在线段AD 上，且PM 的长至少为36 m ．
(1)求边AD 的长；
(2)设PA=x(m)，求S 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；
(3)当x 为何值时，四边形PMBN 的面积最大?
10．(08镇江)如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m ，n)表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M 点开始传递，到离北京路1000米的N 点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口)，OATB 为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计)．
(1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；
(2)当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)；
(3)设t=m －n ，用含t 的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)．
参考答案
1．A 2．C 3．(1)x 1=5，x 2=－1 (2)1x =± 4．(1)(x －3) 2－7 x=3 (3，－7) (2)y=3(x －1) 2－2，y 最小值=－2． 5．(1)△=(k+3) 2+4>0，所以方程有两个不相等的实根； (2)另一根的值是0．
6．(1)()()2
223325233024B A a a a a a a ⎛⎫-=-+-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴B>A ． (2)C －A=(a 2+5a －19)－(a +2)=a 2+4a －21=(a +7)(a －3) a >0，∴a +7>0； ∴当a －3>0，即a >3时C －A>0，此时C>A ；当a －3=0，即a =3时C －A=0，此时C=A ；当a －3<0，即0<a <3时C －A<0，即C<A ．
7．(1)图略 (2)(1，0) 8．(1)7 (2)4164
a ，±8a 9．(1)过点D 作DE ⊥AB 于E
则D E ∥BC 且DE=BC ，CD=BE ，DE ∥PM Rt △ADE 中，DE=80 m
∴AE=AB －BE=100－40=60 m ∴100AD m = (2) DE ∥PM ，∴△AP M ∽△ADE ，∴
AP PM AM AD DE AE ==即x 1008060PM AM ==．∴45PM x =，35AM x = 即MB=AB －AM=100－35x 24312100805525
S P M M B x x x x ⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭ 由PM=45x ≥36，得x ≥45， ∴自变量x 的取值范围为45≤x ≤100
(3)()221212805012002525
S x x x =-+=--+ 当x 为50时，四边形PMBN 的面积最大，最大面积1200． 10．(1)设反比例函数为k y x =
(k>0)．则k=xy=mn=S 矩形OATB =10000，∴1000y x =． (2)设鲜花方阵的长为m 米，则宽为(250－m)米，由题意得：m(250－m)=10000． 即：m 2－250m+10000=0，解得：m=50或m=200，满足题意．此时火炬的坐标为(50，200)或(200，50)． (3) mn=10000，在Rt △TAO 中，
TO ====
当t=0时，TO 最小，此时m=n ．又mn=10000，m>0，n>0，
∴m=n=100，且10<100<1000．∴T(100，100)．。